第12講 構(gòu)造函數(shù)及不等式放縮判斷函數(shù)值大小關(guān)系（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第12講構(gòu)造函數(shù)及不等式放縮判斷函數(shù)值大小關(guān)系（3類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2022年新I卷，第7題,5分構(gòu)造函數(shù)、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)冪的大小比較對(duì)數(shù)式的大小2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較大，分值為5-12分【備考策略】1會(huì)結(jié)合實(shí)際情況構(gòu)造函數(shù)2能用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性3能求出函數(shù)的極值或給定區(qū)間的最值4能結(jié)合單調(diào)性進(jìn)行函數(shù)值大小比較【命題預(yù)測(cè)】比較大小的問(wèn)題，形式靈活、內(nèi)涵豐富，學(xué)生可以綜合運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題，是考查學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的有效題型載體。近幾年，這類試題得到了高考和各類大型考試命題老師的青睞和追捧。需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解構(gòu)造函數(shù)的重要依據(jù)常見(jiàn)構(gòu)造類型常見(jiàn)的指對(duì)放縮，，，常見(jiàn)的三角函數(shù)放縮其他放縮，，，，，，放縮程度綜合，方法技巧1構(gòu)造相同函數(shù)，比較不同函數(shù)值2構(gòu)造不同函數(shù)，比較相同函數(shù)值3.構(gòu)造不同函數(shù)，比較不同函數(shù)值這個(gè)時(shí)候，不等式放縮就是首選之道了!4.先同構(gòu)，再構(gòu)造，再比較當(dāng)題干呈現(xiàn)一個(gè)較復(fù)雜的等式或者不等式關(guān)系，并沒(méi)有前幾類那么明顯的數(shù)字時(shí)，往往可能現(xiàn)需要同構(gòu)(變形)出一個(gè)函數(shù)之后再來(lái)比較大小.考點(diǎn)一、構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性判斷函數(shù)值大小關(guān)系1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時(shí)，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問(wèn)題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問(wèn)題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無(wú)法解決的.1．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性，代入數(shù)值可比較大小.【詳解】設(shè)，，時(shí)，，為減函數(shù)，時(shí)，，為增函數(shù)，所以，，即.設(shè)，，時(shí)，，為增函數(shù)，時(shí)，，為減函數(shù)，所以，，即，所以.設(shè)，，為增函數(shù)，所以，所以，即.故選：D2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)及函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可比較與，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可比較與，即可得解.【詳解】令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，故，故，即，即，、令，則，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，即；令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故，故，即，故有.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)幫助比較大小，對(duì)與，可通過(guò)構(gòu)造，從而比較與的大小關(guān)系，構(gòu)造，從而比較與的大小關(guān)系，可得與的大小關(guān)系，通過(guò)構(gòu)造可比較與的大小關(guān)系.3．（2024·山西·二模）設(shè)，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得、，構(gòu)造函數(shù)、，利用導(dǎo)數(shù)討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性可得、，即可求解.【詳解】，，設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，且，即，所以在上單調(diào)遞減，則，即，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且，即，得，所以，即，解得.綜上，.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此類比較大小類題目，要能將所給數(shù)進(jìn)行形式上的變化，進(jìn)而由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.4．（2024·安徽·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得、之間大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求取單調(diào)性可得、之間大小關(guān)系，即可得解.【詳解】由，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，則有，即，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，則有，即，故.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造出函數(shù)、，以比較、與、之間大小關(guān)系.5．（2024·安徽蕪湖·三模）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，則，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，即可比較，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，即可比較，即可得解.【詳解】令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，而，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，,令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造和兩個(gè)函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵.6．（2024·湖北武漢·二模）設(shè)，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)、和，其中，利用導(dǎo)數(shù)得到它們的單調(diào)性即可比較出三者大小關(guān)系.【詳解】由已知可得，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，綜上，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，所以故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵首先對(duì)進(jìn)行合理變形得，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、和，利用它們的單調(diào)性即可比較三者大小關(guān)系.考點(diǎn)二、不等式放縮判斷函數(shù)值大小關(guān)系1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．放縮法因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，所以，即綜上所述：，故選：C2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得;構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得,即可得解.【詳解】[方法一]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)楫?dāng)故，故，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，故，所以，所以，所以，故選A[方法二]：不等式放縮因?yàn)楫?dāng)，取得：，故，其中，且當(dāng)時(shí)，，及此時(shí)，故，故所以，所以，故選A[方法三]：泰勒展開(kāi)設(shè)，則，，，計(jì)算得，故選A.[方法四]：構(gòu)造函數(shù)因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；設(shè)，，所以在單調(diào)遞增，則,所以，所以,所以，故選：A．[方法五]：【最優(yōu)解】不等式放縮因?yàn)椋驗(yàn)楫?dāng)，所以,即，所以；因?yàn)楫?dāng)，取得，故，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評(píng)】方法4：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，是常見(jiàn)思路，難點(diǎn)在于構(gòu)造合適的函數(shù)，屬于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式放縮，即可得出大小關(guān)系，屬于最優(yōu)解．1．（2024·甘肅隴南·一模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性判斷得，再構(gòu)造函數(shù)，推得，從而推得，由此得解.【詳解】因?yàn)?，所以；令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以，故，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)，即，有，從而有；綜上，.故選：D.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：兩個(gè)常見(jiàn)的重要不等式：（1）；（2）.2．（2024·遼寧·一模）設(shè)則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，可得；根據(jù)不等式的性質(zhì)可證得，則，即可求解.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則，即.所以，.由，得，所以，則，所以，即.所以.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于比較實(shí)數(shù)大小方法：（1）利用基本函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，（2）利用中間值“1”或“0”進(jìn)行比較，（3）構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)及函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷.3．（2024·山東威海·二模）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求導(dǎo)可證明，進(jìn)而可得，可判斷，令，求導(dǎo)可證，令，可判得.【詳解】令，可得，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)，，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以，令，可得，即，所以.故選：B.4．（2024·貴州遵義·三模）設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出其單調(diào)性，即可比較，構(gòu)造函數(shù)，，即可比較，即可得解.【詳解】，，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，綜上所述，.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)，，，是解決本題的關(guān)鍵.5．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)x，y，z分別滿足，，，則x，y，z的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知即，，，構(gòu)選函數(shù)確定其在上單調(diào)遞減，可得，又設(shè)，其在上單調(diào)遞增，所以得．【詳解】解：由已知得，，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因此，即所以，；又設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因此，所以，則；綜上得.故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)比較大小主要方法有：1.通過(guò)找中間值比較大小，要比較的兩個(gè)或者三個(gè)數(shù)之間沒(méi)有明顯的聯(lián)系，這個(gè)時(shí)候我們就可以通過(guò)引入一個(gè)常數(shù)作為過(guò)渡變量，把要比較的數(shù)和中間變量比較大小，從而找到他們之間的大小關(guān)系.2.通過(guò)構(gòu)造函數(shù)比較大小，要比較大小的幾個(gè)數(shù)之間可以看成某個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，我們只要構(gòu)造出函數(shù)，然后找到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性就可以通過(guò)自變量的大小關(guān)系，進(jìn)而找到要比較的數(shù)的大小關(guān)系.有些時(shí)候構(gòu)造的函數(shù)還需要通過(guò)放縮法進(jìn)一步縮小范圍.考點(diǎn)三、構(gòu)造函數(shù)解決其他綜合問(wèn)題1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定建立的不等關(guān)系，以及的不等關(guān)系，整理化簡(jiǎn)得答案.【詳解】令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，即，A錯(cuò)誤，B正確，，即，即，CD錯(cuò)誤.故選：B.2．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，為正數(shù)，且，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間，根據(jù)已知條件，判斷選項(xiàng).【詳解】由，可知，設(shè)，則，令，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，故當(dāng)時(shí)，則，，故，，且當(dāng)時(shí)，，故，只有C滿足要求.故選：C3．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】不等式整理為，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性得到，再構(gòu)造，進(jìn)而得到，從而.【詳解】，，且，兩邊加上得，，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，，即，令，則，的定義域是，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值即為最大值，，，.故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將等式兩邊整理為結(jié)構(gòu)相同的形式，由此構(gòu)造新函數(shù)，本題中將整理為，從而構(gòu)造函數(shù)求解.4．（23-24高三上·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且恒成立，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】由，有，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，得，所以，所以，解得．故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造函數(shù)，令，由導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)遞增，不等式變形為，利用單調(diào)性解即可.1．（23-24高二下·天津·期中）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)已知條件判斷的單調(diào)性，奇偶性，結(jié)合的模擬草圖，數(shù)形結(jié)合即可求得結(jié)果.【詳解】令，則，由題可知，當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減；又為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)，故為偶函數(shù)，則在單調(diào)遞增；又，則，畫(huà)出的模擬草圖如下所示：

當(dāng)時(shí)，，則，數(shù)形結(jié)合可知，此時(shí)；當(dāng)，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，故，不滿足題意；當(dāng)，，則，數(shù)形結(jié)合可知，此時(shí)；綜上所述：的解集為.故選：A.2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知a，，若，，則b的可能值為（

）A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，結(jié)合可得答案.【詳解】由得，設(shè)，則，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．因?yàn)椋裕Y(jié)合選項(xiàng)可知B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.3．（2024·湖南邵陽(yáng)·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)闉榈膶?dǎo)函數(shù).若，且在上恒成立，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得在上單調(diào)遞減，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，可得，即，可得，所以，即不等式的解集為.故選：D.4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，均有成立，若，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，然后由已知可得的單調(diào)性，最后將不等式轉(zhuǎn)化為，即可得到答案.【詳解】，令，則，則在上單調(diào)遞增.由，為奇函數(shù)，得，則，從而原不等式可化為，即，此即為.由于在上單調(diào)遞增，故這等價(jià)于，所以不等式的解集為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造新的函數(shù)并利用已知條件.1．（22-23高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可比較，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出，的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，得，即，即，得，因?yàn)?，因此?故選：B.2．（2024·云南貴州·二模）已知，則的大關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，判斷其單調(diào)性，得到，故有，再運(yùn)用作差法比較即得.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，在上遞增；當(dāng)時(shí)，，在上遞減,故.則，即；由可知，故.故選：B.3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用當(dāng)時(shí)，判斷，通過(guò)函數(shù)在是減函數(shù)判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，，用代替，可得，即，所以，即．又知，所以，所以．故選：A4．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)研究其單調(diào)性，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性比較大小即可.【詳解】易知，，，令，則，，所以在上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，所以，即．故選：D.5．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且滿足恒成立，常數(shù)則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造并求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，即可得結(jié)果.【詳解】令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增．，，即．故選：A6．（2024高二下·全國(guó)·專題練習(xí)）定義在上的函數(shù)，已知是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】令，則，因?yàn)椋?，則在上單調(diào)遞減，所以，即，故，，故選：C.7．（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)及已知條件得出單調(diào)性并化簡(jiǎn)不等式，即可求出不等式的解集.【詳解】由題意，在函數(shù)中，，導(dǎo)函數(shù)為，，設(shè)，則.∵，∴，則是上的增函數(shù).不等式等價(jià)于，即，則解得：，故選：D.8．（23-24高二上·重慶·期末）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，且，則下列式子中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，得到，得到在上單調(diào)遞增，再由，得到，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，可得，?duì)于A中，由，即，所以，所以A不正確；對(duì)于B中，由，即，所以，所以B不正確；對(duì)于C中，由，即，所以，所以C正確；對(duì)于D中，由，即，所以，所以D不正確.故選：C.9．（2024·廣東·二模）函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，解不等式即可得出答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，滿足，，則由可得，解得：.故選：B.10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性，將所求不等式進(jìn)行同解變形，利用單調(diào)性得到一元二次不等式，解之即得.【詳解】設(shè)，則，故單調(diào)遞增.又，故可轉(zhuǎn)化為，即，由單調(diào)遞增可得，解得或，即不等式的解集為.故選：.1．（2024高三下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小.【詳解】由題，.令（），則，因?yàn)?，所以，所在上單調(diào)遞增，又，，，，故.故選：C.2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明，代入可比較的大小，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷的大小，從而可求解.【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，即，所以，即，所以，即.由，可得，即，即，所以，即.綜上所述，.故選:B.3．（2023·遼寧鞍山·二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，為的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用的奇偶性和單調(diào)性求得正確答案.【詳解】設(shè)，，所以是奇函數(shù).當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，不等式即，所以，所以不等式的解集為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩點(diǎn)，一個(gè)是函數(shù)的奇偶性，奇偶性可以轉(zhuǎn)化為來(lái)進(jìn)行判斷；一個(gè)是構(gòu)造函數(shù)法，有關(guān)和的不等關(guān)系式，在解題過(guò)程中可以考慮利用構(gòu)造函數(shù)法，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解.4．（23-24高二下·江蘇常州·期中）若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將兩邊分別同時(shí)取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】由，，，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將兩邊分別同時(shí)取對(duì)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.5．（2024·湖北黃岡·二模）已知分別滿足下列關(guān)系：，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式，利用換底公式，基本不等式可推得，利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性可推得，最后利用正切函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】由可得因，又，故,即；因，則由，由函數(shù)，，因時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，故得；由，而，即，綜上，則有.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決此類題的常見(jiàn)方法，（1）指、對(duì)數(shù)函數(shù)的值比較：一般需要指對(duì)互化、換底公式，以及運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性判斷；（2）作差、作商比較：對(duì)于結(jié)構(gòu)相似的一般進(jìn)行作差或作商比較，有時(shí)還需基本不等式放縮比較；（3）構(gòu)造函數(shù)法：對(duì)于相同結(jié)構(gòu)的式子，常構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性判斷.6．（23-24高二下·江蘇常州·期末）已知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的定義域均為，對(duì)任意實(shí)數(shù)，，且當(dāng)時(shí)，.不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與所給條件得到函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性，在將所給不等式中化為即可得解.【詳解】令，則，由題意可得，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，由，則，即，故為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，則不等式可化為：，即，則有，即，即，即，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造函數(shù)，從而結(jié)合導(dǎo)數(shù)與所給條件得到函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性.7．（2024·寧夏銀川·三模）已知定義在R上的奇函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)發(fā)現(xiàn)利用已知條件可知恒為正數(shù)，所以可知在時(shí)是單調(diào)遞增函數(shù)，再結(jié)合已知條件又可知是偶函數(shù)，利用單調(diào)性和奇偶性解不等式即可.【詳解】令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又為奇函數(shù)，且圖象連續(xù)不斷，所以為偶函數(shù)，由，得，解得或故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.8．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，從而得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，即，又在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，可得，，所以，，所以，，即所以，，即.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：先利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，是解決本題的關(guān)鍵.9．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷大小關(guān)系即可得，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則，即，又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，則，，可得；令，則，，構(gòu)建，則，可知在上遞減，則，即；綜上所述：.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得.10．（2023