數(shù)學建模席位分配問題

數(shù)學建模席位分配問題2.3公平的席位分配

某校有200名學生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學生代表會議設(shè)20個席位，問三系各有多少個席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則

表示總?cè)藬?shù)

表示總席位數(shù)1問題的提出（美國憲法1788）20個席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)?20=10乙6060/200(30/100)?20=6丙4040/200(20/100)?20=4現(xiàn)丙系有6名學生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%?20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%?20=3.410641064現(xiàn)象1

丙系少了6人，但席位仍為4個。(不公平！）Halmiton(1790)先按整數(shù)分配再按余數(shù)較大者分配由于在表決提案時可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個席位。21個席位的分配結(jié)果（Halmiton方法）系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%?21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%?21=3.5701173現(xiàn)象2

總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平！）慣例分配方法（Halmiton方法）

：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象（Alabama悖論），能否給出更公平的分配席位的方案？2建模分析目標：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標可用每席位代表的人數(shù)來衡量。系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)AB當席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標準來判斷。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個好的衡量標準。單位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對不公平標準A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大為改善！2）相對不公平表示每個席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。則A吃虧,或?qū)是不公平的。定義“相對不公平度”對A的相對不公平值；對B的相對不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3模型構(gòu)成若A、B兩方已占有席位數(shù)為用相對不公平值討論當席位增加1個時，應該給A還是B方。不失一般性，有下面三種情形。情形1說明即使給A單位增加1席，仍對A不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說明當對A不公平時，給A單位增加1席，對B又不公平。計算對B的相對不公平值情形3說明當對A不公平時，給B單位增加1席，對A不公平。計算對A的相對不公平值則這一席位給A單位，否則給B單位。結(jié)論：當（*）成立時，增加的一個席位應分配給A單位，反之，應分配給B單位。記則增加的一個席位應分配給Q值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為Q值法。若A、B兩方已占有席位數(shù)為4推廣有m方分配席位的情況設(shè)方人數(shù)為，已占有個席位，當總席位增加1席時，計算則1席應分給Q值最大的一方。開始，即每方至少應得到1席，（如果有一方1席也分不到，則把它排除在外。）從5舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個席位，如何分配？按Q值法：甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4模型分析存在公平的分配方法么？

1）比例加慣例法（H法）——悖論

2）Q值法——存在不合理

3）其它方法：D’hondt方法理想化原則——不存在完全“合理”的分配方法練習系人數(shù)Pi比例分配參照慣例分配Q值法A921592.159292B1591.5922C1581.5822D1571.5722E1561.5611F1551.5511總和10000100100100d’Hondt方法有k個單位，每單位的人數(shù)為pi，總席位數(shù)為n。做法：用自然數(shù)1,2,3,…分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前n個，（這n個數(shù)來自各個單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n個數(shù)中哪個單位有幾個所分席位就為幾個。/1/2/3/4/5/6/7/8/9/10A10361.534.325.7520.617.214.712.87511.410.3B6331.521