數(shù)學(xué)學(xué)案：知識導(dǎo)航6數(shù)學(xué)歸納法與不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精5.6數(shù)學(xué)歸納法與不等式自主整理數(shù)學(xué)歸納法證明命題P（n)的兩個(gè)步驟：第一步:證明命題_____________成立，即證命題當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n0=1,2等）時(shí)成立。第二步:假設(shè)命題P（k)（k∈N＊，且k≥n0)成立，證明_____________成立，根據(jù)以上兩步得到當(dāng)n≥n0且n∈N＊時(shí)命題P(n)成立。高手筆記1。數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題的一種方法.2.數(shù)學(xué)歸納法證明命題的原理:第一步證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立,即P（n0)成立。由P(n0)成立與第二步可得P(n0+1）成立；由P(n0+1）成立及第二步,可得P（n0+2）成立……依次類推，可得對于任意的自然數(shù)n(n≥n0)，命題P（n）都成立.3.數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可,最后要總結(jié)所要證的結(jié)論.4.數(shù)學(xué)歸納法中所取的第一個(gè)值n，不一定是1，有可能是0，2，3等值,要審清題意。名師解惑數(shù)學(xué)歸納法及其證明思路是什么？剖析:歸納法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般結(jié)論的推理方法，它包括不完全歸納法和完全歸納法.不完全歸納法是根據(jù)事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般結(jié)論的推理方法.我們知道僅根據(jù)一系列有限的特殊事例所得出的一般結(jié)論有時(shí)是不正確的,其正確性可用數(shù)學(xué)歸納法來證明.數(shù)學(xué)歸納法一般用來證明涉及與正整數(shù)n有關(guān)的命題,但不能說證明所有的與正整數(shù)n有關(guān)的命題都可用數(shù)學(xué)歸納法.用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，兩步缺一不可。第一步是基礎(chǔ);第二步反映了無限遞推關(guān)系,即命題的正確性具有傳遞性，若只有第一步而沒有第二步，只有證明了命題在特殊情況下的正確性是不完全歸納法.若只有第二步?jīng)]有第一步,那么假設(shè)n=k成立，即P(k)成立就沒有根據(jù)，缺少遞推的基礎(chǔ),也無法進(jìn)行遞推，有了步驟一和步驟二使傳遞成為可能,由一、二步得出命題成立.證明時(shí)歸納假設(shè)的利用是數(shù)學(xué)歸納法證明的關(guān)鍵,即第二步必須用上假設(shè)n=k成立推證出n=k+1成立，在證明過程中，需根據(jù)命題的變化、特點(diǎn),利用拼湊或放縮,得出結(jié)論。講練互動【例1】用數(shù)學(xué)歸納法證明分析:用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,關(guān)鍵是第二步,要注意當(dāng)n=k+1時(shí),等式兩邊的式子與n=k時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系,增加了哪些項(xiàng)，減少了哪些項(xiàng),隨n怎樣變化.證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊==，右邊=,等式成立.（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即=,則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊======右邊.∴當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立。由（1）(2)可知等式恒成立。綠色通道用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí),一定注意等式兩邊的式子隨n怎樣變化，需要增加哪些項(xiàng)，且當(dāng)n=k+1時(shí),代入假設(shè)后要進(jìn)行觀察，進(jìn)行適當(dāng)變換完成。變式訓(xùn)練1.用數(shù)學(xué)歸納法證明12-22+32—42+…+(2n-1)2—(2n）2=—(1+2+3+…+2n）。證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12—22=-3，右邊=—（1+2×1）=-3,∴左邊=右邊,等式成立.(2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立，即12—22+32-42+…+(2k-1)2—(2k)2=—（1+2+…+2k)，則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=12—22+32—42+…+(2k-1)2-(2k）2+（2k+1)2—［2(k+1）]2=-（1+2+…+2k）+（2k+1）2-［2(k+1）］2=-（1+2+3+…+2k）+[(2k+1)+2(k+1）］[(2k+1）-2(k+1)］=—(1+2+3+…+2k)-（2k+1）-2(k+1)=-［1+2+3+…+（2k+1)+2（k+1)］=右邊.∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立.由(1)（2）,可知等式恒成立.【例2】設(shè)an=+…+(n∈N)。證明n(n+1)<an<（n+1)2。分析:本題中an很難求和，可用數(shù)學(xué)歸納法證明。證明：（1)當(dāng)n=1時(shí),an=,n(n+1）=1,（n+1）2=2.∴當(dāng)n=1時(shí)不等式成立。(2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即k(k+1）〈ak<(k+1)2。則當(dāng)n=k+1時(shí),k(k+1)+〈ak+1<（k+1)2+，由于<<,即<<，∴〈ak+1<.從而證得〈ak+1〈.∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立.由（1）（2）可知n(n+1）〈an<(n+1)2成立.綠色通道在所證明的不等式與自然數(shù)n有關(guān)，而不易合并的情況下，可用數(shù)學(xué)歸納法證明。變式訓(xùn)練2.已知n∈N，用數(shù)學(xué)歸納法證明1+++…+。證明:（1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=，∴不等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即1+++…+〉。則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=1+++…++>+〉+=+=.∴當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立。由（1）(2)，可知不等式恒成立.【例3】（2006高考江西卷,22）已知數(shù)列{an}滿足：a1=，且an=（n≥2，n∈N＊).(1）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;（2)求證:對一切正整數(shù)n，不等式a1·a2·…·an<2·n！恒成立。分析：由題設(shè)條件知，可用構(gòu)造新數(shù)列的方法求得an；第（2)問的證明，可以等價(jià)變形，視為證明新的不等式.解:(1）將條件變?yōu)?-=(1—）,因此，數(shù)列｛1—}為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1—=,公比為,從而1—，據(jù)此得an=（n≥1）。①(2）證明：據(jù)①,得a1·a2·…·an=為證a1·a2·…·an〈2·n!，只要證n∈N＊時(shí)有（1-)（1—)…（1-）>.②顯然,左端每個(gè)因式皆為正數(shù)，先證明，對每個(gè)n∈N*,(1—)(1—）…（1-)≥1-（++…+）。③用數(shù)學(xué)歸納法證明③式:（Ⅰ）n=1時(shí),顯然③式成立,（Ⅱ)假設(shè)n=k時(shí),③式成立，即（1—)(1—）…（1-）≥1—（++…+）,則當(dāng)n=k+1時(shí)，(1—）(1—)…（1—）(1—）≥［1—(++…+）］(1—)=1-(++…+)—+(++…+)≥1—(++…++）,即當(dāng)n=k+1時(shí),③式也成立.故對一切n∈N＊，③式都成立。利用③，得（1-)（1-)…（1-)≥1-（++…+)=1-=1-［1—（)n］=+()n>。綠色通道本題提供了用數(shù)學(xué)歸納法證明相關(guān)問題的一種證明思路,即要證明的不等式不一定非要用數(shù)學(xué)歸納法去直接證明,我們通過分析法、綜合法等方法的分析,可以找到一些證明的關(guān)鍵,“要證明……",“只需證明……",轉(zhuǎn)化為證明其他某一個(gè)條件,進(jìn)而說明要證明的不等式是成立的。變式訓(xùn)練3.已知數(shù)列｛an｝是正數(shù)組成的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，并且a3=5,a4S2=28.（1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;(2）求證：不等式（1+）（1+)…(1+）·≥對一切n∈N*均成立。分析：第(2)問中的不等式左側(cè),每個(gè)括號的規(guī)律是一致的,因此顯得“多余”，所以可嘗試變形,即把不等式兩邊同乘,然后再證明。（1)解:設(shè)數(shù)列｛an｝的公差為d,由已知,得∴(10-3d）（5+d）=28?！?d2+5d—22=0。解之,得d=2或d=.∵數(shù)列{an｝各項(xiàng)均為正，∴d=2?！郺1=1?！郺n=2n—1。（2）證明:∵n∈N＊,∴只需證明（1+)(1+)…(1+）≥成立。①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2,右邊=2,∴不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),不等式成立,即(1+)（1+)…(1+)≥那么當(dāng)n=k+1時(shí)，(1+)(1+)…（1+）（1+）≥(1+）=,以下只需證明≥,即只需證明2k+2≥?！?2k+2）2-()2=1>0,∴(1+）（1+)…(1+）≥。綜上①②,知不等式對于n∈N*都成立.【例4】設(shè)Pn=（1+x）n，Qn=1+nx+，n∈N*，x∈（-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小，并加以證明.分析:這類問題，一般都是將Pn、Qn退至具體的Pn、Qn開始觀察，以尋求規(guī)律,作出猜想，再證明猜想的正確性。P1=1+x=Q1，P2=1+2x+x2=Q2,P3=1+3x+3x2+x3，Q3=1+3x+3x2，P3—Q3=x3，由此推測，Pn與Qn的大小要由x的符號來決定.解:(1)當(dāng)n=1，2時(shí),Pn=Qn.(2)當(dāng)n≥3時(shí)，(以下再對x進(jìn)行分類）①若x∈(0，+∞)，顯然有Pn>Qn；②若x=0，則Pn=Qn；③若x∈(-1，0）,則P3—Q3=x3〈0,所以P3<Q3;P4—Q4=4x3+x4=x3(4+x）〈0,所以P4<Q4；假設(shè)Pk<Qk（k≥3)，則Pk+1=(1+x）Pk<(1+x）Qk=Qk+xQk(運(yùn)用歸納假設(shè))=1+kx++x+kx2+=1+(k+1)x++=Qk+1+〈Qk+1,即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立。所以當(dāng)n≥3，且x∈(-1，0）時(shí)，Pn〈Qn.綠色通道本題除對n的不同取值會有Pn與Qn之間的大小變化，變量x也影響Pn與Qn的大小關(guān)系,這就要求我們在探索大小關(guān)系時(shí)，不能只顧“n"，而忽視其他變量（參數(shù)）的作用.變式訓(xùn)練4.已知f（x）=，對n∈N＊，試比較f(）與的大小,并說明理由。分析：利用分析法探求需要推理證明的關(guān)系，然