數(shù)學(xué)學(xué)案：主動(dòng)成長(zhǎng)第二講五與圓有關(guān)的比例線段

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精主動(dòng)成長(zhǎng)夯基達(dá)標(biāo)1.點(diǎn)C在⊙O的弦AB上，P為⊙O上一點(diǎn),且OC⊥CP，則（)A。OC2＝CA·CB B。OC2＝PA·PBC。PC2＝PA·PB D.PC2＝CA·CB思路解析：根據(jù)OC⊥CP，可知C為中點(diǎn)；再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB。答案：D2.如圖2—5—10,點(diǎn)A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn),點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn),⊙O的半徑為1,則AP+BP的最小值為()圖2—5—10A。1 B. C。 D.思路解析：過點(diǎn)B作BB′⊥MN,交⊙O于點(diǎn)B′，連結(jié)AB′交MN于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P使AP+BP最小.易知B與B′點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱，依題意∠AON=60°,則∠B′ON=∠BON=30°,所以∠AOB′=90°，AB′=OA2+OB′2=2.故PA+PB的最小值為.答案:D3.如圖2-5—11,已知AB是半圓的直徑,直線MN切半圓于C，BD⊥MN于D.求證:BC2＝BD·AB。圖2—5-11思路分析：簡(jiǎn)單型的比例線段問題,主要是證兩個(gè)三角形相似。這樣,如何證得兩個(gè)三角形相似,就成為關(guān)鍵問題，可以利用兩角對(duì)應(yīng)相等，也可以利用一角相等，夾邊對(duì)應(yīng)成比例。證明:連結(jié)AC.∵AB是直徑,∴∠ACB＝90°。又BD⊥MN,∴∠BDC＝90°.∴∠ACB＝∠CDB.又MN切⊙O于C，∴∠DCB＝∠A。∴△ACB∽△CDB.∴AB∶CB＝CB∶BD。則BC2＝BD·AB。4。如圖2-5—12，以⊙O上的一點(diǎn)A為圓心作⊙A,分別交⊙O于B、C,過A作弦AF交公共弦于E,交⊙A于D.求證:AD2＝AE·AF.圖2—5—12思路分析：由于本題要證的成比例的四條線段在同一條直線上，因此不存在相似三角形,所以必須轉(zhuǎn)移其中一條或兩條,以構(gòu)成兩個(gè)能夠相似的三角形，注意到同圓半徑相等的性質(zhì),所以將AD換成AB,通過等線段代換,可以達(dá)到目的.證明：分別連結(jié)AB、AC、BF。∵AB＝AC，∴AB=AC.∴∠ABC＝∠F.又∠BAF為公共角，∴△ABE∽△BFA.∴AB2＝AE·AF。∵AB＝AD，∴AD2＝AE·AF.5.如圖2—5-13,PA切⊙O于A,割線PBC交⊙O于B、C兩點(diǎn)，D為PC的中點(diǎn)，連結(jié)AD并延長(zhǎng)交⊙O于E，已知BE2＝DE·EA，圖2—5-13求證：（1）PA＝PD；（2)BP2＝AD·DE.思路分析：（1)中因?yàn)镻A與PD在同一個(gè)三角形中,所以可以通過說明兩角相等解決問題;(2）中則運(yùn)用切割線定理轉(zhuǎn)換線段。證明：（1）連結(jié)AB，證明△BED∽△AEB得∠DBE＝∠DAB。又可證∠PAD＝∠ADP,∴PA＝PD。（2)PA2＝PB·PC且PD＝CD＝,PA＝PD,∴PD＝2PB＝PB+BD?！郟B＝BD＝。又BD·CD＝AD·DE，∴可證得結(jié)論,且PD＝CD。6.如圖2-5-14，P為圓O外一點(diǎn)，PA、PB是圓O的兩條切線,A、B為切點(diǎn),OP與AB相交于點(diǎn)M,且點(diǎn)C是上一點(diǎn)。求證:∠OPC=∠OCM。圖2-5—14思路分析:圖形中有兩條切線,故運(yùn)用切割線定理得線段和角的關(guān)系,在Rt△OPB中運(yùn)用射影定理,有OB2=OP·OM，代換其中的OB為OC,可得三角形相似，即得角的相等關(guān)系.證明:連結(jié)OB，由切線長(zhǎng)定理,得PA=PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB,在Rt△OPB中，OB2=OP·OM,∵OB=OC，∴OC2=OP·OM，即=.∴△OCP∽△OMC。∴∠OPC=∠OCM。7.如圖2—5-15，PA切⊙O于A，PCB、PDE為⊙O的割線，并且PDE過圓心O，已知∠BPA＝30°,PA＝，PC＝1,求PD的長(zhǎng).圖2—5—15思路分析:求PD,可使用割線定理PC·PB＝PD·PE，顯然PA切⊙O，∴PA2＝PC·PB.可求得PB,但PE＝PD+DE，DE為⊙O直徑,所以求⊙O的直徑成為解題的關(guān)鍵。解:∵PA切⊙O于A，∴PA2＝PC·PB.又PB＝PC+BC,∴BC＝11.連結(jié)AO，并延長(zhǎng)與⊙O交于K,與CB交于G,則GA＝PAtan∠GPA＝PAtan30°＝2。又Rt△GPA中,∠GPA＝30°,∴PG＝2GA＝4?！郈G＝3,GB＝8.由相交弦定理GC·GB＝AG·GK，可得GK＝12，∴直徑為14?！嘤筛罹€定理有PC·PB＝PD·PE,得PD＝—7.8.如圖2—5—16，PA為⊙O的切線,A為切點(diǎn)，PBC為⊙O的割線，若PA＝10，PB＝5,∠BAC的平分線與BC和⊙O分別交于D、E。求AD·AE的值.圖2—5—16思路分析：由切割線定理PA2＝PB·PC，由已知條件可得BC長(zhǎng).又通過△ACE∽△ADB，得AD·AE＝CA·BA，從而求CA、BA的長(zhǎng)即可。解：連結(jié)CE，∵PA2＝PB·PC，PA＝10，PB＝5，∴PC＝20。∴BC＝15。又PA切⊙O于A,∴∠PAB＝∠ACP，∠P為公共角.∴△PAB∽△PCA。∴==。∵BC為⊙O的直徑,∴∠CAB＝90°.∴AC2+AB2=BC2＝225.∴可解得，.但AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAB，∠ABC＝∠E?！唷鰽CE∽△ADB.∴=?！郃D·AE＝AB·AC＝。9.如圖2—5-17，C為⊙O直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過C作⊙O的切線CD，D為切點(diǎn)，連結(jié)AD、OD和BD，根據(jù)圖中所給的已知條件（不再標(biāo)注或使用其他字母,也不再添加任何輔助線)，寫出兩個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論。圖2-5-17思路分析:可通過勾股定理、直角三角形斜邊上的中線定理、切線的性質(zhì)定理以及弦切角定理、切割線定理來寫結(jié)論.解：如：OD＝,CD⊥OD,∠CDB＝∠BAD,CD2＝CB·CA或OD2＋CD2＝CO2等.走近高考10。如圖2—5—18,已知⊙O1和⊙O2相交于點(diǎn)A、B,過點(diǎn)A作⊙O1的切線交⊙O2于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作兩圓的割線，分別交⊙O1、⊙O2于點(diǎn)D、E，DE與AC相交于點(diǎn)P。圖2-5-18（1）求證：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切線，且PA＝6，PC＝2,BD＝9,求AD的長(zhǎng).思路分析：（1)連結(jié)AB，利用⊙O1的弦切角∠BAC過渡來證明∠D＝∠E.（2)設(shè)BP＝x，PE＝y(tǒng),利用相交弦定理和AD∥EC可以列出關(guān)于x、y的方程組，求出x、y,再用切割線定理求AD。（1）證明：連結(jié)AB.∵AC為⊙O1的切線，∴∠BAC＝∠D。又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E.∴AD∥EC。(2）解:設(shè)PB＝x,PE＝y(tǒng)，∵AP＝6,PC＝2,∴xy＝12。①∵AD∥EC，∴=，即=.∴9＋x＝3y.②由①②解得。∴DE＝9＋x＋y＝16。∵AD為⊙O2的切線,∴AD2＝DB·DE＝9×16.∴AD＝12。11.如圖2-5-19,已知PA為⊙O的切線，PO交⊙O于點(diǎn)B，BC⊥PA于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)D,圖2—5—19(1）求證：AB2=PB·BD。（2)若PA=15，PB=5,求BD的長(zhǎng).思路分析:(1)只需證△PBA∽△ABD.(2)在（1）的基礎(chǔ)上，只需求AB，因此尋找AB與BE的關(guān)系式,這可以通過相似三角形和勾股定理達(dá)到目的。(1)證明：連結(jié)AD，延長(zhǎng)PO交⊙O于E,連結(jié)AE.∵BC⊥PA，∴∠P+∠PBC=90°?！連E為直徑,∴∠BAE=90°,∠BAD+DAE=90°.∵∠DAE=∠DBE=∠PBC，∴∠P=∠BAD.又∵∠PAB=∠ADB,∴△PBA∽△ABD.∴=，即AB2=PB·BD。（2)解：∵PA為切線，∴PA2=PB·PE.又PA=15，PB=5,∴PE=45。∴BE=40.∵△PBA∽△PAE，∴===。設(shè)AB=x,則AE=3x.又AB2+AE2=BE2，∴x2+（3x)2=1600，解得x2=160.代入AB2=PB·BD,得BD=32。12.在直徑為AB的半圓形區(qū)域內(nèi),劃出一個(gè)三角形區(qū)域，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓上,其他兩邊分別為6米和8米.先要建造一個(gè)內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN,其中，DE在AB上，右圖的設(shè)計(jì)方案是使AC=8米,BC=6米.圖2—5-20（1）求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn)。（2）設(shè)DN=x,當(dāng)x取何值時(shí),水池DEFN的面積最大？（3）實(shí)際施工時(shí),發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1。85米的M處有一棵大樹，問:這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果為保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹。思路分析:（1）利用三角形的面積,即斜邊×斜邊上的高=兩直角邊的積；（2）求最值問題