數(shù)學(xué)學(xué)案：主動成長第一講四直角三角形的射影定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精主動成長夯基達(dá)標(biāo)1。直角三角形斜邊上的高把斜邊分成的兩條線段長分別為6cm和4cm,則斜邊上的高是（)A.10cmB。2cmC。2cmD。24cm思路解析:直接應(yīng)用射影定理可求得斜邊上的高為26cm.答案：C2。在Rt△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D,若AD∶BD=9∶4，則AC∶BC的值為（）A。9∶4 B。9∶2 C。3∶4 D。3∶2思路解析:本題的關(guān)鍵是表示出AD、BD、AB的長后,用射影定理求出AC、BC的長.設(shè)AD=9k,BD=4k，則AB=13k.由射影定理得AC=k,BC=k。從而AC∶BC=3∶2.答案:D3。如圖1—4—8，△ABC中,∠CAB=90°，AD⊥BC于D，求證:AB2∶AC2=BD∶DC.圖1-4-8思路分析:此題直接采用射影定理，答案顯而易見。證明:在Rt△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC,∴AB2=BD·BC，AC2=CD·BC.∴AB2∶AC2=（BD·BC)∶(CD·BC)=BD∶CD.4.如圖1—4-9，△ABC中,∠ABC=90°，BD⊥AC于D,BC=25cm，BD=4cm,求S△BDA∶S△CDB.圖1—4-9思路分析:求S△BDA∶S△CDB，實際上是求AD∶DC,顯然結(jié)合已知條件，應(yīng)用射影定理，不難求出AD、DC的長度。解:∵BD⊥AC，cm,BD=4cm,∴由勾股定理得DC=2cm.在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC?！嘤缮溆岸ɡ淼肂D2=AD·DC.∴=?！郤△BDA∶S△CDB=AD∶DC=8∶2=4∶1。5.如圖1—4-10,在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是高,且AB=2AC，求證:5AD=2BC圖1-4—10思路分析:本題關(guān)鍵是把所求結(jié)論“5AD=2BC”與已知條件“AB=2AC證明:設(shè)AC=x，則AB=2x,由勾股定理得,在Rt△ABC中，∵AD⊥BC，∴AC2=CD·CB，===?！郃D2=BD·CD=.∴?！?=,即5AD=2BC。6.如圖1—4-11,在Rt△ABC中，∠A=90°,M為AC中點，MD⊥BC于D。求證:AB2=BD2-CD2。圖1-4-11思路分析：看AB2,結(jié)合已知條件想到“射影定理”，構(gòu)造輔助線-—作出斜邊上的高AE，再聯(lián)系“平行線等分線段定理的推論”可達(dá)到證明的目的。證明:過點A作AE⊥BC于E.在Rt△ABC中,由射影定理得AB2=BE·BC?！進(jìn)D⊥BC,AE⊥BC，∴AE∥MD。又∵AM=MC,∴ED=DC（經(jīng)過三角形一邊中點平行于一邊的直線，必平分第三邊)。又∵BE=BD-ED=BD—CD，∴兩邊同乘以BC得BE·BC=BC（BD-CD).∴AB2=（BD+DC）(BD-CD）=BD2-CD2。7.如圖1-4-12，已知CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高線。求證:CD·AC=BC·AD.圖1—4—12思路分析：分別在三個直角三角形Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中運(yùn)用射影定理，有CD2=BD·AD，BC2=BD·AB，AC2=AD·AB，將第一個式子和第三個式子相乘,就有CD2·AC2=BD·AB·AD2，將BD·AB換成BC2，然后兩邊開方即得.證明:∵CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高線，∴CD2=BD·AD，BC2=BD·AB，AC2=AD·AB.∴CD2·AC2=BD·AB·AD2,BC2=BD·AB?！郈D2·AC2=BC2·AD2.∴CD·AC=BC·AD.8。如圖1-4—13，在Rt△ABC中,∠BCA＝90°，CD是AB上的高。已知BD=4,AB=29，試求出圖中其他未知線段的長.圖1—4-13思路分析:本題是利用直角三角形的射影定理進(jìn)行計算，根據(jù)條件直接計算可得結(jié)論。解：由已知，BD=4，AB=29，BC2=BD·AB，∴==.∴AD=AB-BD=29—4=25。∵AC2=AD·AB，∴==.∵CD2=AD·BD，∴=。9。如圖1-4—14，已知BC2=BD·AB，能否推出CD⊥AB?如果認(rèn)為不能推出，那么試加一個條件，并推出CD⊥AB.圖1-4-14思路分析：根據(jù)已知條件，只能得到△BCD和△BAC相似,但不能斷定CD⊥AB，必須再附加其他條件.解：根據(jù)已知條件,不能推出CD⊥AB?？梢蕴砑訔l件∠BCA是直角。走近高考10.暑假里，康子幫母親到魚店去買魚，魚店里有一種“竹夾魚”,個個都長得非常相似，現(xiàn)有兩種大小不同的“竹夾魚”,價錢也不同,如圖1-4-15所示，魚長10cm的每條10日元；魚長13cm的每條15日元?？底硬恢蕾I哪種更好些，你看怎么辦?圖1—4—15思路分析:由相似形可知，兩個相似圖形大小的比等于相似比，兩個相似圖形面積的比是相似比的平方，而體積的比則應(yīng)是相似比的立方。此題是判斷兩種魚的體積之比，再看價格之比，決定買哪種魚好。解：設(shè)兩條相似的魚A、B的長分別為10cm和13cm，即B與A的長度之比為，則體積之比為==2。197；又B與A的價格之比為=1.5,這里B種魚的體積是A種魚的體積的2。197倍，而價格只是1.5倍，顯然，買B種魚比買A種魚更劃算.11.如圖1-4-16,在△ABC中，D、F分別在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC。圖1—4—16思路分析:由數(shù)形結(jié)合易知，△ABC是直角三角形，AF為斜邊上的高線,CF是直角邊AC在斜邊上的射影,AC為所求，已知的另外兩邊都在△BDC中，且BD＝DC＝1,即△BDC是等腰三角形。因此，可以過D作DE⊥BC,拓開思路。由于DE、AF同垂直于BC，又可以利用比例線段的性質(zhì)，逐步等價轉(zhuǎn)化求得AC.解：在△ABC中,設(shè)AC為x，∵AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根據(jù)射影定理,得AC2=FC·BC,即BC＝x2.再由射影定理,得AF2=BF·FC=(BC-FC）·FC，即.∴AF=x2-1.在△BDC中,過D作DE⊥BC于E，∵BD＝DC＝1,∴BE＝EC。又∵AF⊥BC,∴DE∥AF.∴=?！?.在Rt△DEC中，∵DE2+EC2=DC2,即+=12,∴+=1。由=，=,整理得x6=4.∴?！唷?2.如圖1—4—17,在正方形ABCD的邊BC和CD上取點H和M，且==,AH和BM相交于點P，求證：AP=9PH.圖1—4—17思路分析:由==,容易證明△ABH∽△BCM，從而不難推出BP⊥AH，在△ABH中，由=,考慮射影定理確定答案.證明：在正方形ABCD中,∵==,∴=