八年級(jí)奧數(shù)專題資料

目錄

本內(nèi)容適合八年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽拔高使用。注重中考與競(jìng)賽的有機(jī)結(jié)合，重點(diǎn)落實(shí)在中

考中難以上題、奧賽方面的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能培訓(xùn)和提高。本內(nèi)容難度適中，講練結(jié)

合，由淺入深，講解與練習(xí)同步，重在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力與解題能力。另外在本

次培訓(xùn)中，內(nèi)容的編排大多大于120分鐘的容量，因此在實(shí)際教學(xué)過程中可以根據(jù)學(xué)生

的具體狀況和層次，由任課教師適當(dāng)?shù)恼{(diào)整順序和選擇內(nèi)容（如專題復(fù)習(xí)可以提前上）。

注：有（*）標(biāo)注的為選做內(nèi)容。

本次培訓(xùn)具體計(jì)劃如下，以供參考：

第一講如何做幾何證明題

第二講平行四邊形（一）

第三講平行四邊形（二）

第四講梯形

第五講中位線及其應(yīng)用

第六講一元二次方程的解法

第七講一元二次方程的判別式

第八講一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

第九講一元二次方程的應(yīng)用

第十講專題復(fù)習(xí)一：因式分解、二次根式、分式

第十一講專題復(fù)習(xí)二：代數(shù)式的恒等變形

第十二講專題復(fù)習(xí)三：相似三角形

第十三講結(jié)業(yè)考試（未裝訂在內(nèi)，另發(fā)）

第十四講試卷講評(píng)

第一講：如何做幾何證明題

【知識(shí)梳理】

1、幾何證明是平面幾何中的一個(gè)重要問題，它對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。

幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。

這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補(bǔ)的問題。

2、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：

（1）綜合法（由因?qū)Ч?，從己知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步

向前推進(jìn)，直到問題的解決；

（2）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再

把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實(shí)為止；

（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于

表達(dá)，因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距

離，最后達(dá)到證明目的。

3、掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜

醫(yī)形分解成基本圖形。在更多時(shí)候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時(shí)往往需要添加

輔助線，以達(dá)到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的。

【例題精講】

【專題一】證明線段相等或角相等

兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多

其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用

全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與

性質(zhì)等也經(jīng)常用到。

【例1】已知：如圖所示，“H2中，ZC=90°,AC=BC,AD=DB,AE=CFo

求證：DE=DF

CFB

【鞏固】如圖所示，己知“fit為等邊三角形，延長(zhǎng)BC到D,延長(zhǎng)BA到E,并且使

AE=BD,連結(jié)CE、DEO

求證：EC=ED

【例2】已知：如圖所示，AB=CD,AD=BCfAE=CF.

求證：/E=/F

【專題二】證明直線平行或垂直

在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同

位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證，也可通過邊對(duì)應(yīng)成比例、三角形中位線定理證明。

證兩條直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個(gè)角等于90°,或利用兩個(gè)銳角互余，或等腰三角形“三

線合一”來證。

【例3】如圖所示，設(shè)BP、C。是八肛的內(nèi)角平分線，AH,4K分別為A到3P、CQ

的垂線。

求證：KH//BC

BC

【例4】己知：如圖所示，AB=4C,▼%委

求證：FDLED

【專題三】證明線段和的問題

（一）在較長(zhǎng)線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。（截

長(zhǎng)法）

【例5】如圖，四邊形ABCD中，AO〃3C,點(diǎn)E是48上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若NB=60°,AB

=BC,

且NZ）￡C=60°；

求證：BC=AD~\~AE

【鞏固】已知：如圖，在“BT中，上目^,NBAC、N3CA的角平分線A。、CE相

交于。。

求證：AC=AE-I-CD

A

C

（二）延長(zhǎng)一較短線段，使延長(zhǎng)部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段,

證明該線段等于較長(zhǎng)線段。（補(bǔ)短法）

【例6】已知：如圖7所示，正方形A8C。中，/在上，E在上，z

求證：EF=BE+DF

【專題四】證明幾何不等式：

【例7】己知：如圖所示，在AV3T中，4。平分N3AGAB>AC.

求證：

［拓展］中，0,求證:

A

BDC

第二講：平行四邊形（一）

【知識(shí)梳理】

1、平行四邊形：

平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：

（1）平行四邊形對(duì)角相等；

（2）平行四邊形對(duì)邊相等；

（3）平行四邊形對(duì)角線互相平分。

除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：

（1）兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；

（2）兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

（3）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；

（4）一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

2、特殊平行四邊形：

一、矩形

（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形

（2）矩形的四個(gè)角都是直角；

（3）矩形的對(duì)角線相等。

（4）矩形判定定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

（5）矩形判定定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

二、菱形

（1）把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

（2）定理1:菱形的四條邊都相等

（3）菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.

（4）菱形的面積等于菱形的對(duì)角線相乘除以2

（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

（6）菱形判定定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。

三、正方形

（1）有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形

（2）性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角，四條邊相等

②對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

（3）判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形

②有一個(gè)角是直角的菱形是正方形

【例題精講】

【例1］填空題:

在下列特征中，

（1）四條邊都相等平行四邊形具有的是:

（2）對(duì)角線互相平分

（3）對(duì)角線相等矩形具有的是：_____

（4）對(duì)角線互相垂直

（5）四個(gè)角都是直角菱形具有的是：_____

（6）每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

（7）對(duì)邊相等且平行正方形具有的是：_

（8）鄰角互補(bǔ)

【鞏固】

1、下列說法中錯(cuò)送的是（）

A.四個(gè)角相等初四邊形是矩形8四條邊相等的四邊形是正方形

C對(duì)角線相等的菱形是正方形。.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

2、如果一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相平分，互相垂直且相等，那么這個(gè)四邊形是（）

A矩形B.菱形C.正方形D菱形、矩形或正方形

3、下面結(jié)論中，正確的是（）

A對(duì)角線相等的四邊形是矩形對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形D對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方

4、如圖，在△ABC中，點(diǎn)O、E、尸分別在邊48、BC、C4上，且。石〃C4,DF//BA.下

列四種說法：

①四邊形AEDF是平行四邊形；

②如果NB4C-90。，那么四邊形A￡DF是矩形；

③如果AO平分N8AC,那么四邊形AEDF是菱形；

④如果且A8=AC,那么四邊形AEEF是菱形.

其中，正確的有.（只填寫序號(hào)）

BD

【例2】如圖，在平行四邊形A88中，點(diǎn)、E,尸分別是AD,8c的中點(diǎn).

求證：四邊形是平行四邊形.

【鞏固】己知，如圖9,E、尸是四邊形A5CO的對(duì)角線4c上的兩點(diǎn)，AF=CE,DF=

BE,DF〃BE.

四邊形ABC。是平行四邊形嗎？請(qǐng)說明理由.

【例3】如圖，梯形48co中，AB//CD,AC平分N3AD,CE//AD交AB于點(diǎn)、E.

求證：四邊形AECD是菱形.

【例4】如圖，在等邊△A8C中，點(diǎn)。是8c邊的中點(diǎn)，以AO為邊作等邊△ADE.

(1)求NC4E的度數(shù)；

(2)取A8邊的中點(diǎn)R連結(jié)。尸、CE,試證明四邊形AFCE是矩形.

BD

【鞏固】如圖，。為矩形ABCO對(duì)角線的交點(diǎn)，DE//AC,CE//BD.

(1)試判斷四邊形OCE1。的形狀，并說明理由；

(2)若4B=6,BC=8,求四邊形OCEO的面積.

【例5】如圖所示，在△A8C中，分別以A3、AC.3C為邊在的同側(cè)作等邊△A8。、

等邊△ACE、等邊△BCF.

(1)求證：四邊形04所是平行四邊形；c

(2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明)

①當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，四邊形以￡尸是矩形；

②當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，四邊形/是菱形；

③當(dāng)△ABC滿足條件時(shí)，以。、A、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形

不存在.

第三講：平行四邊形(二)

【知識(shí)梳理】

由平行四邊形的結(jié)構(gòu)知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，并且包含著平

行線的有關(guān)性質(zhì)，因此，平行四邊形是全等三角形知識(shí)和平行線性質(zhì)的有機(jī)結(jié)合，平行

四邊形包括矩形、菱形、正方形C

另一方面，平行四邊形有許多很好的性質(zhì)，使得構(gòu)造平行四邊形成為解幾何題的有

力工具。

【例題精講】

【例1】四邊形四條邊的長(zhǎng)分別為加、〃、p、q,且滿足〃/+/=2/加+2〃4，

見這個(gè)四邊形是()

4平行四邊形正對(duì)角線互相垂直的四邊形

C.平行四邊形或?qū)蔷€互相垂直的四邊形。.對(duì)角線相等的四邊形

【例2】如圖①，四邊形A8CZ)是正方形，點(diǎn)G是8C上任意一點(diǎn)，Z)E_LAG于點(diǎn)E,

BFA.AG于點(diǎn)F.

(1)求證：DE-BF=EF.

(2)當(dāng)點(diǎn)G為8C邊中點(diǎn)時(shí)，試探究線段所與G戶之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變.請(qǐng)你在圖②中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、

BF、M之間的數(shù)量關(guān)系(不需要證明).

圖②

【鞏固】如圖1,在邊長(zhǎng)為5的正方形A8CD中，點(diǎn)E、尸分別是3C、OC邊上的點(diǎn),

且BE=2.

(1)求EC：C尸的值；

(2)延長(zhǎng)E/交正方形外角平分線CP于點(diǎn)P(如圖13—2),試判斷AE與石尸的大小

關(guān)系，并說明理由；

(3)在圖2的A8邊上是否存在一點(diǎn)M,使得四邊形是平行四邊形？若存在,

請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

BEBEC

圖1圖2

【例3】如圖，在矩形ABCQ中，已知AZ)=12,AB=5,P是4D邊上任意一點(diǎn)，PE1

BD于E,PFIAC^F,求PE+PF的值。

【例4】如圖，在△A8C中，ZBAC=90°,AD±BC,BE、AF分別是NABC、ZDAC

的平分線，BE和AD交于G,求證：GF//AC.

B

DF

【例5】如圖所示，RfZXABC中，ZBAC=90°,AO_L8C于Q,8G平分NA8C,EF

〃BC且交AC于凡求證：AE=CF.

【鞏固】如圖，在平行四邊形ABCO中，NB,NO的平分線分別交對(duì)邊于點(diǎn)E、F,交

四邊形的對(duì)角線AC于點(diǎn)G、Ho求證：AH=CG.

第四講：梯形

【知識(shí)梳理】

與平行四邊形一樣，梯形也是一種特殊的四邊形，其中等腰梯形與直角梯形占有重

要地位，本講就來研究它們的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。

一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形，等腰梯形是一類特殊的梯形，

其判定和性質(zhì)定理與等腰三角形的判定和性質(zhì)類似。

通過作輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，這是解梯形問題的基本思路，

常用的輔助線的作法是：

1、平移腰：過一頂點(diǎn)作一腰的平行線；

2、平移對(duì)角線：過一頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線；

3、過底的頂點(diǎn)作另一底的垂線。

熟悉以下基本圖形、基本結(jié)論：

平移一腰平移一腰從一底的兩端作另一底的垂線

Lb二zn\

&

平移對(duì)角線延長(zhǎng)兩腰交于一點(diǎn)連結(jié)上底一端和腰中點(diǎn)并延

長(zhǎng)，與下底的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

中位線概念：

⑴三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.

⑵梯形中位線定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線.

三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并等于第三邊的一半。

梯形的中位線性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并等于兩底和的一半。

【例題精講】

【例1】如圖所示，在梯形A8CO中，AD//BC,A8=8,PC-6,N8=45°,8c'=10,

求梯形上底AD的長(zhǎng).

【例2】如圖所示，在直角梯形A3CO中，ZA=90°,AB//DC,AO=15,45=16,

BC=17.求CO的長(zhǎng).

【例3】如圖所示，在等腰梯形48CO中，AD//BC,對(duì)角線ACJ_8O,BD=6cm.求梯

形ABC。的面積.

【例4】如圖所示，四邊形48CZ）中，4。不平行于8C,AC=BDfAD=BC.判斷四邊

形ABCQ的形狀，并證明你的結(jié)論.

【鞏固】

1、如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°,它的兩底分別為15cm和49cm,求它的

腰長(zhǎng).

2、如圖所示，己知等腰梯形ABCD中，AD//BC,AC±BDfAD+8C=10,DE±BC

于E,求OE的長(zhǎng).

3、如圖所示，梯形人BCO中，AB//CD,ZD=2ZB,AO+OC=8,求A3的長(zhǎng).

【例5】己知：如圖，在梯形48co中，AD//BC,E是C。的中點(diǎn)，且AE_LBE.

求證：AD-\-BC=AB

【鞏固】如圖所示，梯形A3CD中，AD//BC,E是CO的中點(diǎn)，且AO+BC=A3

求證：DE±AEO

【例6】如圖，在梯形A8co中，AD//BC,E、F分別是A。、BC的中點(diǎn)，若NB

+ZC=90°.AO=7,8C=15,求E尸.

BFC

第五講：中位線及其應(yīng)用

【知識(shí)梳理】

1、三角形中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

梯形中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

2、中位線性質(zhì)定理的結(jié)論，兼有位置和大小關(guān)系，可以用它判定平行，計(jì)算線段的長(zhǎng)

度，確定線段的和、差、倍關(guān)系.

3、運(yùn)用中位線性質(zhì)的關(guān)鍵是從出現(xiàn)的線段中點(diǎn)，找到三角形或梯形，包括作出輔助線。

4、中位線性質(zhì)定理，常與它的逆定理結(jié)合起來用。它的逆定理就是平行線截比例線段

定理及推論，

①一組平行線在一直線上截得相等線段，在其他直線上截得的線段也相等

②經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)而平行于另一邊的直線，必平分第三邊

③經(jīng)過梯形一腰中點(diǎn)而平行于兩底的直線，必平分另一腰

5、有關(guān)線段中點(diǎn)的其他定理還有：

①直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半

②等腰三角形底邊中線和底上的高，頂角平分線互相重合

③對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

④線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等

因此如何發(fā)揮中點(diǎn)作用必須全面考慮。

【例題精講】

【例1】已知△ABC中，及是AB上一點(diǎn)，AD=AC,AEJLCZ）于E,尸是的中點(diǎn)，試

說明BD=2EF.

【鞏固】己知在△48C中，ZB=2ZC,于。，M為BC的中點(diǎn).

BDM

【例2】已知七、尸、G、”是四邊形ABCO各邊的中點(diǎn)

則①四邊形EFGH是形

②當(dāng)AC=BO時(shí)，四邊形EFG”是形

③當(dāng)AC_LBO時(shí)，四邊形EFG”是形

④當(dāng)AC和8。時(shí)，四邊形EFG”是正方形。

【鞏固】如圖，等腰梯形A8CD中，AD//BC,"、N分別是A。、BC的中點(diǎn)，E、尸分

另I.是BM、CM的中點(diǎn)。

(1)求證：四邊形MEN尸是菱形；

(2)若四邊形MEN尸是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BC。的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的結(jié)論。

【例3】梯形"8中，AB//S%N分別是AC、8D的中點(diǎn)。求證：MN=；(AB

一CD)

AB

【鞏固】如圖，在四邊形4BCO中，AB>CD,E、尸分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)。

求證：EF>-(AB-CD)

2

【拓展】爪尸為四邊形4BCO的一組對(duì)邊A。、8C的中點(diǎn)，若M=’（48+。。），問：

2

四邊形ABCD為什么四邊形？請(qǐng)說明理由。

【例4】四邊形A8CO中，G、”分別是A。、的中點(diǎn)，AB=CD.BA.CD的延長(zhǎng)線交

HG的延長(zhǎng)線于￡、F。求證：ZBEH=ZCFH.

【例5】如圖，/XABC的三邊長(zhǎng)分別為AB=14,BC=16,AC=26,尸為NA的平分線

AD上一點(diǎn)，且M為8c的中點(diǎn)，求尸M的長(zhǎng)。

【鞏固】己知：△ABC中，分別以A3、AC為斜邊作等腰直角三角形A3M和CAN,P

是8C的中點(diǎn)。求證：PM=PN

第六講：一元二次方程的解法

【知識(shí)梳理】

形如?+法+c=0(叱0)的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是

解一元二次方程的基本方法，而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方

法。

求根公式工=士如心竺內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段己學(xué)過的全部代數(shù)運(yùn)算；

2a

它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問題；它展

示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。

【例題精講】

【例11選用恰當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?基礎(chǔ)題)：

(1)(2)f-9=0(3)(1-3X)2=1；

(4)Ct-2)(r+1)=0(5)f+8x=2(6)x1-7x+6=0

(7)X2-4X-21=0(8)f-2x75=0(9)4x2-12x4-9=0

(10)-a2-4a+21=0(II)X2+11X+18=0(12)2X2-X-3=0

(13)x(x-6)=2(14)(2X+1)2=3(2X+1)(15)加2+76—15=0

(16)3/+4。-4=0(17)3Z?2+14Z?=5(18)2>/3X24-X-73=0

(19)X4-X2-20=0(20)(3X+5)2-5(3X+5)-6=0；

【例2】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于X的方程(提高題)：

(1)(3x-2X4x+3)=5；(2)-2x-3327=0；

(3)(5x-3)2-12=4(5x-3)；(4)(3x-lX，r-1)=(4x+1X^-1);

(5)(2-V3)r2-2(V3-l)x-6=0o

【鞏固】用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝嘘P(guān)于X的方程:

(1)(x-2)2-9(x+1)2=0；(2)x2-6ax=b2-9a2；

2

(3)2x+(272-73)r-V6=0o(4)(2X+1XX-3)=(4X-1X3-JV)O

【拓展】解方程：（6X+7）2（3X+4）（X+1）=6；

【例3】解方程：X2-3|A|-4=0O

【鞏固】解方程:

(1)x2-|x-l|-l=(2)刑-1-2=0

【例4】解關(guān)于x的方程：（，%-1卜2+（2加一l）x+機(jī)一3=0。

【鞏固】解關(guān)于A1的方程：x2-4px+4p2+5x-10p-6=0o

【例5】已知方程V一息一7=0與/一6X一（2+1）=0有公共根。

（1）求2的值；

（2）求二方程的所有公共根和所有相異根。

【鞏固】是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)加，使得方程X?十g+2=0和X?+2x+〃?=0有且只有一個(gè)

公共的實(shí)根？如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)機(jī)及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說明理

由。

第七講：一元二次方程的判別式

【知識(shí)梳理】

一、一元二次方程4/2+bx+C=O（〃w0）根的情況：令△=62-4dC。

-b+y/b2-44c—b—dif--4ac

1、若△>（）,則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根:

2a2a

2、若△=（）,則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：x,=x=-—；

22a

3、若A<0,則方程無實(shí)根（不代表沒有解）。

二、1、利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；

2、運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍;

3、通過判別式，證明與方程有關(guān)的代數(shù)問題；

4、借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題、最

值問題。

【例題精講】

【例1】已知方程這2+以-1=0；則①當(dāng)。取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?

②當(dāng)。取什么值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根？③當(dāng)。取什么值時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根？

【鞏固】1、已知關(guān)于x的方程丁+2（2-機(jī)）x+3-6機(jī)=0。

求證：無論相取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；

2、已知關(guān)于x的一元二次方程（"2狀2-2病口-1=0有兩個(gè)大相等的實(shí)數(shù)根，求人的

取值范圍。

【拓展】關(guān)于X的方程上/-1-1卜+1=0有有理根，求整數(shù)上的值0

【例2】已知關(guān)于上的方程V一々+2卜+2攵=0。

(1)求證：無論％取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰三角形4BC的一邊長(zhǎng)。=1,另兩邊長(zhǎng)仄c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求

△ABC的周長(zhǎng)。

【鞏固】1、等腰三角形ABC中，BC=8,AB.AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程/一10%+機(jī)=0的

兩根，則〃7=o

2、在等腰三角形4BC中，NA、/B、NC的對(duì)邊分別為a、b、c,已知。=3,力和c

是關(guān)于x的方程2-'=°的兩個(gè)實(shí)數(shù)根‘求三角形施的周長(zhǎng)。

【拓展】已知對(duì)于正數(shù)a、b、c,方程。2%2+(°2一/一°2卜+從=0沒有實(shí)數(shù)根，求證:

以長(zhǎng)a、b、c的線段為邊能組成一個(gè)三角形。

【例3】設(shè)方程旨+何=4有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求。的值和相應(yīng)的3個(gè)根。

【鞏固】已知關(guān)于/的方程/+(l-a)x2-2?x+?2=0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是

【例4】設(shè)a,b,c,d>0f證明在方程

1x2+

一X十yjla+bx+4cd=0；

2

12

-X+y[2b+'cx+=0；

2

12

-X+J2c+dx+4ab=0；

2

12

—X+yjld+ax+4bc=0,

2

中，至少有兩個(gè)方程有不相等的實(shí)數(shù)根。

第八講：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

【知識(shí)梳理】

一元二次方程ox?+/?x+c=O（a工0）的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）

bc

設(shè)方程的兩個(gè)根%x,則XI+X,=--?xx=-O

2a}2a

韋達(dá)定理用途比較廣泛，運(yùn)用時(shí)，常需要作下列變形：

2

(I)X：+=(X]+X2)-2xtx2；

x_X)+x_(陽+%)2-2七工2.

(2)22

X]X?中2

3:

(3)x/+x2=(%1+x2+x2)-3XjX2

(4)(X]-％)2=(司+)2-4芭馬；

2X+X2

(5)1^-X2\yj(x}-X2)=7(12)-4x^2O

【例題精講】

【例1］求下列方程的兩根之和，兩根之積。

(1)f—2r+l=o；(2)—10=0；

解：X,+x2=,內(nèi)占=------解：x}+x2=X%2=--------

(3)Zx2—9x+5=0；(4)4X2-7X+1=0；

解：X+/=百/=------解：x}+x2=司”----

(5)2?-5x=0；(6)x2—1=0

解：xx+x2=g=------解：xx+x2=書=------

【例2】設(shè)X2是方程2?+以-3=0的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列各式的

值：

(1)(xi+1)(X2+1)=；(2)X|2X2+X1X22=;(3)三十%=

Mx2

(4)(XI+X2)2=(5)(XI-X2)2=；(6)X|3+X23=

【例3】解答下列問題：

(1)設(shè)關(guān)于x的一元二次方程/-4工-2(&-1)=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根2、/，問是否存在

%1+X2<%1的情況?

(2)己知：樸々是關(guān)于X的方程/+(2。-1卜+/=0的；兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且

(A,+2XX2+2)=11,求〃的值。

【鞏固】

1、已知關(guān)于文的方程/+?+〃=()有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且物-％=7,則

a=o

2、己知a、夕是方程爐一冗_(dá)1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式/+。仿2_2)的值為

【例4】己知關(guān)于x的方程：x2-(m-2)x--=0

4o

(1)求證：無論加取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根；

(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根樸々滿足同=聞+2,求〃?的值及相應(yīng)的樸聲。

【鞏固】已知關(guān)于x的方程，一（2%-3）冗+公+1=0。

（1）當(dāng)2為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；

（2）若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根和芍滿足㈤+同=3,求欠的值。

【例4】。。是斜邊上的高線，AD.8。是方程——6x+4=0的兩根，WJAABC

的面積是多少？

【鞏固】已知△ABC的兩邊AB.AC的長(zhǎng)是關(guān)于x二次方程--（24+3,+公+3%+2=0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5。

（1）2為何值時(shí)，△A8C是以3c為斜邊的直角三角形；

（2）Z為何值時(shí)，△A8C是等腰三角形，并求△ABC的周長(zhǎng)。

第九講：一元二次方程的應(yīng)用

【知識(shí)梳理】

方程是刻畫現(xiàn)實(shí)問題的有效模型之一，一元二次方程是方程模型的重要代表，許多

實(shí)際問題可轉(zhuǎn)化為解一元二次方程、研究一元二次方程根的性質(zhì)而獲解。

列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟基本

相同，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、分析數(shù)量關(guān)系，將實(shí)際問題中內(nèi)在、本質(zhì)的聯(lián)系抽

象為數(shù)學(xué)問題，建立二次方程模型解決問題。

【例題精講】

【例1】要建一個(gè)面積為150m2的長(zhǎng)方形養(yǎng)雞場(chǎng)，為了節(jié)省材料，雞場(chǎng)的一邊靠著原有

的一條墻，墻長(zhǎng)am,另三邊用竹籬笆圍成，如果籬笆的長(zhǎng)為35m。

（1）求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各為多少？

（2）題中墻的長(zhǎng)度〃m對(duì)題目的解起著怎樣的作用？

【例2】某博物館每周都吸引大量中外游客參觀，如果游客過多，對(duì)館中的珍貴文物會(huì)

產(chǎn)生不利影響；但同時(shí)考慮文物的修繕和保存費(fèi)用問題，還要保證一定的門票收入，因

此博物館采用了漲浮門票的價(jià)格來控制參觀人數(shù)，在該方法實(shí)施過程中發(fā)現(xiàn)：每周參觀

人數(shù)與票價(jià)之間存在著如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，在這樣的情況下，如果確保每周4萬

【例3】將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元售出時(shí)，就能賣出500個(gè)，已知這種商品每

個(gè)漲價(jià)1元，其銷售量就減少10個(gè)，問為了賺得8000元的利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為多少？這

時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？

【例4】甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)相背而行，1小時(shí)后分別到達(dá)各自的終點(diǎn)A與

若讓他們?nèi)詮脑爻霭l(fā)，互換彼此到達(dá)的目的地，則甲將在乙到達(dá)A之后35分鐘到

達(dá)B,求甲與乙的速度之比。

【例5】一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)1200米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)

伍的排頭兵，并在到達(dá)排頭后立即回到末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任

務(wù)時(shí)，隊(duì)伍已經(jīng)前進(jìn)了1200米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位

士兵共走了多少路程？

【例6】象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記

。分，如果平局，兩個(gè)選手各記1分，今有4個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了比賽中全部選手的得分總數(shù),

分別是1980、1981、1993、1994,經(jīng)核實(shí)確實(shí)有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無誤，試計(jì)算這次比賽中

共有多少名選手參加。

【鞏固】

1、在青島市開展的創(chuàng)城活動(dòng)中，某居民小區(qū)要在一塊靠墻（墻長(zhǎng)15m）的空地上修建

一個(gè)矩形花園A8C。，花園的一邊靠墻，另三邊用總長(zhǎng)為40m的柵欄圍成（如圖所示）,

若設(shè)花園的邊長(zhǎng)為xm,花園的面積為yn?。

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）滿足條件的花園面積能達(dá)到200m2嗎？若能，求出此時(shí)x的值；若不能，說明理

由；

（3）當(dāng)x取何值時(shí)，花園的面積最大？最大面積為多大///////

AD

BC

2、某水果批發(fā)商場(chǎng)有一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)

市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨價(jià)不變的情況下，若每千克漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克,

現(xiàn)該商場(chǎng)要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)多少

元？

3、甲乙兩條船分別從河的兩岸同時(shí)出發(fā)，它們的速度是固定的。第一次相遇距河的一

岸700米處，然后繼續(xù)前進(jìn)，都到達(dá)對(duì)岸后立即折回，第二次相遇距河的另一岸400米

處，如果認(rèn)為船到岸調(diào)轉(zhuǎn)方向時(shí)不耽誤時(shí)間，問河有多寬？

4、一支士兵隊(duì)伍長(zhǎng)10()米，在行軍途中，隊(duì)伍正中間的某士兵接受任務(wù)，追趕隊(duì)伍排

頭，并在到達(dá)排頭后立即回到隊(duì)伍的末尾，然后再立即返回隊(duì)伍正中間，在他完成任務(wù)

時(shí)，隊(duì)伍已前進(jìn)了100米，如果行軍途中隊(duì)伍和他的速度都保持不變，那么這位士兵共

走了多少路程？

5、象棋比賽共有奇數(shù)個(gè)選手參加，每位選手都同其他選手比賽一盤，記分辦法是勝一

盤得1分，和一盤各得0.5分，負(fù)一盤得0分，已知其中兩名選手共得8分，其他人的

平均分為整數(shù)，求參加此次比賽的選手共有多少人？

第十講：專題復(fù)習(xí)：因式分解、分式和根式

【知識(shí)梳理】

一、因式分解：

1、常用的公式：

平方差公式：cr-b2=(a+b\a-b)；

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±bf

a1-\-b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2：

a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca=(?+Z?-c)2；

a2+b2+c2-lab+2bc-2ca=(?-/?-1?)2；

立方和(差)公式：a3+h3=(a-￥b^a2-ah+b2)；

a3-h3=(a-h^a2+ab+b2)；

2、許多多項(xiàng)式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到，我們應(yīng)熟悉以下的常用結(jié)果：

(1)ab±b±a+\=(a±lX^il);

(2)ab±a+b-l=[a^i1);

(3)〃4+4=(/+2〃+2儲(chǔ)-2〃+2)；

(4)4/+1=(2/+2。+1)(2/-24+1)；

(5)a2+b2+c2+lab+2bc+2ac=(a+b+cf；

(6)a3+by+c3-3abc=(?+/7+c^a2+Z?2+c2-ab-bc-ac)^

二、分式：

1、分式的意義

形如捺(A、B為整式),其中8中含有字母的式子叫分式。

當(dāng)分子為零且分母不為零時(shí)，分式的值為零，而當(dāng)分母為零時(shí)，分式?jīng)]有意義。

2、分式的性質(zhì)

(1)分式的基本性質(zhì)：

2=（其中M是不為零的整式）。

BBxMB^M

（2）分式的符號(hào)法則：

分子、分母與分式本身的符號(hào)，改變其中的任何兩個(gè)，分式的值不變。

（3）倒數(shù)的性質(zhì)：

a--=\(a=\(a>0)；若〃」=1,貝=1(awO,〃是整數(shù));

ay/aa\a)

a^-->2(a>0)o

a

3、分式的運(yùn)算

八13、一田、4.mi*a,ba+ba,cad±bc

分式的運(yùn)算法則有：一士一=----,-±-=-------;

cccbdbd

acaca啜胡號(hào)"是正整數(shù)）。

—?,—

bdbdbd

4、分式的變形

分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論根據(jù)之一，分式變形的常用方法有：設(shè)參法（主

要用于連比式或連等式），拆項(xiàng)法（即分離變形），因式分解法，分組通分法和換元法等。

三、二次根式：

1、當(dāng)時(shí)，稱右為二次根式，顯然右20。

2、二次根式具有如下性質(zhì)：

(1)(V^)2=a(a>0)；(2)\[a^=時(shí)=?當(dāng)aNOB寸，

當(dāng)"Ofl寸;

(3)4ab=4a-4b(a>0,Z?>0)；(4)>0,/?>0)o

3、二次根式的運(yùn)算法則如下：

(1)ajc±b4c=(a±b)Jc(c>0)；

(2)(Va)f=\[a"{a>0)o

4、設(shè)a,b,c,d,meQt且〃z不是完全平方數(shù)，則當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)〃=c,6=d時(shí),

a+b\[m=c-\-d4rn。

【例題精講】

【例1】分解因式：X2+xy-6y2+x+13^-6

【鞏固】分解因式：

1>x2-xy-2y2-x+5y-2；2、3爐+5盯一2y?+%+9y-4；

【例2】已知〃、b、C是一個(gè)三角形的三邊，貝1」/+//+04-242加—2/02一2。2〃2的值是

()

A.恒正A恒負(fù)C.可正可負(fù)D非負(fù)

3、2為何值時(shí)，多項(xiàng)式/一2孫十62+3x-5y+2能分解成兩個(gè)一次因式的積?

【例3】已知以人是實(shí)數(shù)，且+/+@=1,問。、8之間有怎樣的關(guān)系？

請(qǐng)推導(dǎo)。

【專題訓(xùn)練】

1、己知ab+a+b+l=13,求a+b的值為

2、多項(xiàng)式爐+ar），+by2-5x+y+6的一個(gè)因式是x+y-2,試確定a+b的值為

3、設(shè)36=a+2c,求”2一96+4^+4。。的值。

4、若加0,且設(shè)工"￡=*,則好遜也皿=___________

cababc

5、已知1=q，2=*,3=上，則x=______________

x+yy+zz+x

6、已知。+/=I991,^+x2=1992,c+x2=1993,且"c=24,則

abc111

---d-----+-------------------______________________

becaababc

7、當(dāng)x變化時(shí)，分式3：+6x+5的最小值為

-X2+X+1

2

8、設(shè)一心一二］,則6:3

x-/nx+1x-mx+\

9、已知實(shí)數(shù)〃滿足|1992—4+，々-1993=々,則。一19922=

2n

10＞化簡(jiǎn)

V2+V3+V5

11、己知五=則"x+x?=

Na

12、設(shè)J39-質(zhì)的整數(shù)部分為。，小數(shù)部分為8,則二+U,

a+ba+^-b

13、設(shè)等式宰(x-4)+=Jx-a-Ja-y在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立,其中a,x,y兩

c22

兩不同，則31+盯_；

14、使等式6+6=回成立的整數(shù)對(duì)(x,)，)的個(gè)數(shù)為

15、設(shè)正整數(shù)a,m,〃滿足Ja?一4后=-G,則這樣的小機(jī)，〃的取值有

組；

12722"

16、求和：S=——1+X+1+/+1+/+…+1+/

17、己知。+力+c=0,化簡(jiǎn)^~\~~-+^~~\+\-7

b-+c--a-c-+a--b~a-+b--c

甘,八八工行（1—從人一^）（1—。5―c?）（1—QU"〃）1Vl代

18、若a+Z?+c=ahcwO,計(jì)算---------Z+A----△----/+1----△----的值。

beacab

計(jì)儻：.—!—+_____1___+_____1____1

19、+???+

丁舁.3+V3573+3757V5+5V749747+47749

20、設(shè)M=（4+26],它的小數(shù)部分為P,求〃（1-尸）的值。

第十一講：專題復(fù)習(xí)：代數(shù)式的恒等變形

【知識(shí)梳理】

1、恒等式的意義

兩個(gè)代數(shù)式，如果對(duì)于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩

個(gè)代數(shù)式恒等。

2、代數(shù)式的恒等變形

把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等式的證

明，就是通過恒等變形證明等號(hào)兩邊的代數(shù)式相等。

3、基本思路

（1）由繁到簡(jiǎn)，即從比較復(fù)雜的一邊入手進(jìn)行恒等變形推到另一邊；

（2）兩邊同時(shí)變形為同一代數(shù)式；

中左邊?

（3）證明：左邊-右邊=0或此時(shí)右邊￥0。

4、基本方法

在恒等變形的過程中所用的方法有配方法、消元法、拆項(xiàng)法、綜合法、分析法、比

較法、換元法、待定系數(shù)法、設(shè)參數(shù)法以及利用因式分解等諸多方法。

【例題精講】

【例1】己知求證：--—+—-—+—-—=lo

ab+a+\bc+b+lac+c+1

思路點(diǎn)撥：由繁到簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)左邊，使左邊等于右邊。

222

【鞏固】已知x、y、z為三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，且x+,=y+,=z+L,求證：xyz=l0

yzx

【拓展】若x+y+zwO,a=——,b=——,c=---,求證：—^―+—^―+—^―

y+zx+zx+ya+\h+\c+1

【例2】證明：」^+-2L^+^^T=_L+_^+-L+3。

ax-aay-aaz-ax-ay-az-aa

思路點(diǎn)撥：本題可采用比差法以及拆分法兩種方法進(jìn)行證明。

【鞏固】1＞求證tz+—+[Z?+-1+ab+—

ka)\b)\ab)

bb+c+d

2、求證:

a[a+b)(a+b^a+Z?+c)(a+b+c\a+b+c+d)a(a+b+c+d)

24620111111

【拓展】求證:?4-??|>?4-■?■4"?=，4>4>?■??U

x2-1x2-4x2-9x2-100(x-lX^+10)(x-2^x4-9)(x-10)(x+l)

［例3］已知x=^~-,y=-~~-?z=-―求證：（1+或1+“1+z）=（1—戈）（1-戒1-z）

a+bb+cc+a

思路點(diǎn)撥：左邊和右邊，變形為同一個(gè)代數(shù)式。

_(a+0)2+(c+d)2

I、、一「