幾何綜合（一）專題訓(xùn)練-A4

答案第=page11頁，共=sectionpages22頁幾何綜合（一）??2024.11未命名一、解答題1．如圖，是等腰直角三角形，，，是的中點，連接，過作于點，與交于點．

(1)求的值；(2)是線段上一點，且，過點作的垂線交于點，請在圖中補(bǔ)全圖形，用等式表示和的數(shù)量關(guān)系，并證明．2．已知正方形，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，射線交于點F．(1)如圖1，當(dāng)時，求；(2)在延長線上取點G使，連接并延長，交延長線于點H．①在圖2中補(bǔ)全圖形；②試判斷線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．3．如圖，在中，邊繞點B順時針旋轉(zhuǎn)（）得到線段，邊繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，點F是的中點．

(1)以點F為對稱中心，作點C關(guān)于點F的對稱點G，連接．①依題意補(bǔ)全圖形，并證明；②求證：；(2)若，且于H，直接寫出用等式表示的與的數(shù)量關(guān)系．4．如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊上一動點（不與點B、C重合），延長AE到點F，連接BF，且∠AFB＝45°，G為DC邊上一點，且DG＝BE，連接DF，點F關(guān)于直線AB的對稱點為M，連接AM、BM．（1）依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠DAG＝∠MAB；（3）用等式表示線段BM、DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并證明．5．在正方形ABCD中，點P是邊BC上一動點（不包含端點），線段AP的垂直平分線與AB、AP、BD、CD分別交于點M、E、F、N．(1)過點B作BGMN交DC于G，求證：△BGC≌△APB；(2)若AB＝9，BP＝3，求線段MN的長度；(3)請你用等式表示線段ME，EF和FN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．6．如圖，在等腰中，．點D是邊的延長線上一點，連接，作點D關(guān)于直線的對稱點E，作直線，交的延長線于點F，過點E作直線的垂線，交的延長線于G、交的延長線于H．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)設(shè)，求的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；(3)用等式表示，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．7．已知正方形，將線段繞點旋轉(zhuǎn)（），得到線段，連接，．(1)如圖1，當(dāng)點在正方形的內(nèi)部時，若平分，，則______°，四邊形的面積為______；(2)當(dāng)點在正方形的外部時，①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)；②作的平分線交于點．交的延長線于點，連接．用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．8．在中，，，M為的中點，D為線段上的動點，連接，將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．(1)如圖1，點D在線段上，求證：；(2)如圖2，點D在線段上，連接，取的中點F，連接并延長交的延長線于點G，若，用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．在中，，D為內(nèi)一點，連接，，延長到點，使得(1)如圖1，延長到點，使得，連接，，若，求證：；(2)連接，交的延長線于點，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．10．如圖1，在正方形中，點E是邊上一點，且點E不與C、D重合，過點A作的垂線交延長線于點F，連接．(1)計算的度數(shù)；(2)如圖2，過點A作，垂足為G，連接．用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．11．如圖在中，，過點A作的垂線．垂足為D，E為線段上一動點（不與點C，點D重合），連接．以點A為中心，將線段逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，與線段交于點G．(1)求證：；(2)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．12．如圖1，P為正方形ABCD邊BC上任一點，BG⊥AP于點G，在AP的延長線上取點E，使AG=GE，連接BE，CE．（1）如圖2，∠CBE的平分線交AE于N點，連接DN，則∠ANB=．（2）如圖2，用等式表示線段BN，DN，AN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（提示：過點A作AE的垂線，交NB的延長線于點F）（3）若正方形的邊長為2，當(dāng)P點為BC的中點時，依照題意補(bǔ)全圖3，并直接寫出CE的長．13．如圖1，為正方形邊上任一點，于點，在的延長線上取點，使，連接，．(1)如圖2，的平分線交于點，連接，則___________．(2)如圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（提示：過點作的垂線，交的延長線于點）14．如圖，在正方形中，點E，F(xiàn)分別在，的延長線上，且，的延長線交于點G．(1)求的度數(shù)；(2)在線段EG上取點H，使得，連接，．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．15．如圖，在正方形中，為對角線上一點，連接并延長，交于點，過點做，交于點．(1)用等式表示和的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求證：；(3)連接，用等式表示線段，，的數(shù)量關(guān)系，并證明．16．如圖，等邊中，點D在邊上，且，點E在邊上，且，連接，交于點F；(1)求的度數(shù)；(2)在線段上截取，連接交于點H，根據(jù)題意在圖2中補(bǔ)全圖形，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若等邊是的邊長是2，直接寫出線段的最小值．17．如圖1，P是正方形邊上一點，線段與關(guān)于直線對稱，連接并延長交直線于點F，連接．

(1)補(bǔ)全圖形，求的大??；(2)用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)連接，G是的中點，，若點P從點B運動到點C，直接寫出的最大值．18．已知AB=BC，∠ABC=90°，直線l是過點B的一條動直線（不與直線AB，BC重合），分別過點A，C作直線l的垂線，垂足為D，E．(1)如圖1，當(dāng)45°＜∠ABD＜90°時，①求證：CE+DE=AD；②連接AE，過點D作DH⊥AE于H，過點A作AF∥BC交DH的延長線于點F．依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段DF，BE，DE的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)在直線l運動的過程中，若DE的最大值為3，直接寫出AB的長．19．如圖1，E為正方形對角線上一點（不與B，D重合），F(xiàn)為中點，作于G，連接，．

(1)直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不必證明；(2)將繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)（）．①如圖2，若，（1）中的結(jié)論是否還成立，若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；②如圖3，若，連接且滿足，直接用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，不必證明．20．如圖，在正方形中，點是邊上一動點（點與點、不重合），連接，過點作的垂線交延長線于點，連接．(1)依據(jù)題意，補(bǔ)全圖形；(2)求的度數(shù)；(3)連接交于點，若，用含的等式表示線段和之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．21．在正方形ABCD中，E是CD邊上一點（CE>DE），AE，BD交于點F．（1）如圖1，過點F作GH⊥AE，分別交邊AD，BC于點G，H．求證：∠EAB=∠GHC；（2）AE的垂直平分線分別與AD，AE，BD交于點P，M，N，連接CN．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段AE與CN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．22．在正方形中，將邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過B作交于點G，連接．(1)如圖1，求證：；(2)當(dāng)時，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．23．如圖，在中，為邊上一點（不與點A，C重合），點D關(guān)于直線的對稱點為，連接，將線段繞點旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點恰好在線段的延長線上．(1)求證：；(2)連接，過點作的垂線，分別交于點G，H．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示與的數(shù)量關(guān)系，并證明．24．如圖，等邊，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)．(2)取的中點，連接并延長，交的延長線于點①用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．②若等邊的邊長為，點在邊上且，直接寫出線段的最小值．25．已知：線段，點C是線段的中點，點D在線段上，線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過B作交的延長線于點F，交直線于點G．(1)如圖，補(bǔ)全圖形，設(shè)，求的度數(shù)(可以用α表示)；(2)在（1）中補(bǔ)全圖形中，求與的數(shù)量關(guān)系；(3)在（1）中補(bǔ)全圖形中，用等式表示、、的數(shù)量關(guān)系，并證明．26．已知在中，，D為線段上一點，且．點E在線段上（不與端點重合），以為斜邊向右側(cè)作，連接并延長，交線段的延長線于G．(1)如圖1，若，直接用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，若，①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系并證明．27．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90點P在線段BC上，延長BC至點Q，使得CQ=CP，連接AP，AQ．過點B作BD⊥AQ于點D，交AP于點E，交AC于點F．K是線段AD上的一個動點(與點A，D不重合)，過點K作GN⊥AP于點H，交AB于點G，交AC于點M，交FD的延長線于點N．(1)依題意補(bǔ)全圖1；(2)求證：NM=NF；(3)若AM=CP，用等式表示線段AE，GN與BN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．已知正方形，將線段繞點B旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，．

(1)如圖1，當(dāng)點E在正方形的內(nèi)部時，若平分，，則________；(2)當(dāng)點E在正方形的外部時．①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)；②作的平分線交于點G，交的延長線于點F，連接，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．29．在中，，，D是的中點，E為邊上一動點（不與點A，C重合），連接，點A關(guān)于直線的對稱點為F，過點F作于點H，交射線于點G．(1)如圖1，當(dāng)時，寫出與的大小關(guān)系；(2)如圖1，當(dāng)時，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖2．當(dāng)時，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系（不需證明）．30．如圖，在正方形ABCD中，E是邊AB上的一動點（不與點A、B重合），連接DE，點A關(guān)于直線DE的對稱點為F，連接EF并延長交BC于點G，連接DG，過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H，連接BH．（1）求證：GF=GC；（2）用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關(guān)系，并證明．31．如圖，四邊形是正方形，點E是邊上的點，連接，，過點D作，垂足為F，延長到點G，使，連接，，延長交的延長線于點H．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用含α的式子表示；(3)直接寫出的度數(shù)；(4)用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．32．正方形ABCD邊長為2，點E、F在CB、DC延長線上，且BE=CF，AE與BF延長線交于點G．(1)如圖1，求證AE⊥BF；(2)如圖2，點M是FG延長線上一點，MG=BG，∠MAD的平分線交BF于點N，連接CN．試探究AN、CN、BN三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，G為BC上一點，過G作GH⊥DG交AB于H點，當(dāng)BG=____，BH達(dá)到最大值，最大值是____．33．正方形，點E、F在、延長線上，且，與延長線交于點G．(1)如圖1，求證；(2)如圖2，點M是延長線上一點，，的平分線交于點N，連接．試探究、、三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，E為上一點，，F(xiàn)是的中點，G為上一動點，以為邊在正方形內(nèi)作等邊，若，則的最小值是．34．已知，點，分別在射線，上，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作的垂線交射線于點.

(1)如圖1，當(dāng)點在射線上時，求證：是的中點；(2)如圖2，當(dāng)點在內(nèi)部時，作，交射線于點，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明。35．【問題】在中，，為內(nèi)一點，連接，，延長到點，使得．（1）如圖，延長到點，使得，連接，．若，求證：；（2）依題意補(bǔ)全圖，連接，交的延長線于點，連接．若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【問題】如圖，在中，，如果點為線段上一動點，點為線段上一動點，且，連接、，且，，請直接寫出的最小值為________．參考答案：1．(1)；(2)．見解析【分析】（1）證和相似得，由點為的中點及得，設(shè)，，則，，進(jìn)而得，由此可得的值；（2）先證為等腰直角三角形得，，再由得，則，設(shè)，由（1）可知，，，則，，進(jìn)而可求出，，再證和相似得，即，由此得，據(jù)此可得和的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：，，，又，，，即，點為的中點，，，，，設(shè)，，在中，，，由勾股定理得：，，在中，，，由勾股定理得：，；（2）解：補(bǔ)全圖形如下圖所示，，證明如下：

，，為等腰直角三角形，，，，，，設(shè)，由（1）可知：，，，，，在中，，，則，由勾股定理得：，在中，，由勾股定理得：，，，，，，又，，，即，，，，．【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，理解等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用勾股定理進(jìn)行計算是解決問題的關(guān)鍵．2．(1)(2)①畫圖見解析；②，證明見解析【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，進(jìn)而推出，，是等邊三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)即可得到答案；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②如圖所示，在上取一點M使得，連接，證明，得到，，根據(jù)等邊對等角得到，據(jù)此可證，得到，則，即可證明．【詳解】（1）解：∵四邊形是正方形，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，，是等邊三角形，∴，∴；（2）解：①如圖所示，即為所求；②，證明如下：如圖所示，在上取一點M使得，連接，∵四邊形是正方形，∴，又∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．3．(1)①補(bǔ)全圖形見解析，證明見解析；②見解析(2)【分析】（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示，先證明，推出，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得結(jié)論；②設(shè)，則，在四邊形中，由全等三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而可證明，再證明即可證明；根據(jù)對稱的性質(zhì)可證明，可得結(jié)論；（2）連接，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合（1）②的結(jié)論可得是等邊三角形，可得，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）①依題意補(bǔ)全圖形如圖所示：證明：∵點F是的中點，∴，∵點C關(guān)于點F的對稱點為G，∴，又∵，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，∴；

②證明：設(shè)，則，在四邊形中，

，由（1）①得，∴，∴，∴，又∵，∴∴；（2）解：連接，如圖，由題意得，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵點F是的中點，∴，∴，∵，，∴；∴與的數(shù)量關(guān)系是．【點睛】本題考查了對稱變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、30度角的直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)BM2+DF2＝2AD2；證明見解析.【分析】（1）由題意畫出圖形即可；（2）由SAS證明△ABE≌△ADG得出∠BAE=∠DAG，由對稱的性質(zhì)得出∠BAE=∠MAB，即可得出∠DAG=∠MAB；（3）連接BD，延長MB交AG的延長線于點N，由SAS證明△BAN≌△DAF得出∠N=∠AFD=45°，得出∠BFD=90°，由勾股定理得出BF2+DF2=BD2，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADG＝90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，∵點F關(guān)于直線AB的對稱點為M，∴∠BAE＝∠MAB，∴∠DAG＝∠MAB；（3）BM2+DF2＝2AD2；理由如下：連接BD，延長MB交AG的延長線于點N，如圖2所示：∵∠BAD＝90°，∠DAG＝∠MAB，∴∠MAN＝90°，由對稱性可知：∠M＝∠AFB＝45°，∴∠N＝45°，∴∠M＝∠N，∴AM＝AN，∵AF＝AM，∴AF＝AN，∵∠BAE＝∠DAG，∴∠BAN＝∠DAF，在△BAN和△DAF中，，∴△BAN≌△DAF（SAS），∴∠N＝∠AFD＝45°，∴∠BFD＝90°，∴BF2+DF2＝BD2，∵BDAD，BM＝BF，∴BM2+DF2＝2AD2．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)(3)ME+FN＝EF，證明見解析【分析】(1)過點B作BG∥MN交DC于G，利用AAS即可得△BGC≌△APB（AAS）；(2)由△BGC≌△APB，得到BG＝AP，證明四邊形BMNG是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得MN＝BG＝AP，由勾股定理AP的長度，即可得到結(jié)果．(3)過P作PH∥AB交MN于H，過F作ST∥AB交BC于S，交AD與T，連接AF，PF，通過△AME≌△PHE，得到ME＝HE，再由矩形的性質(zhì)和三角形全等得到BS＝AT，F(xiàn)S＝AT，由Rt△FPS≌Rt△ATF，得到PS＝TF，可得PS＝TD，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可證明．【詳解】（1）證明：如圖，過點B作BG∥MN交DC于G，∴BG⊥AP，∴∠CBG+∠BPA＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCG＝90°，∴∠CBG+∠CGB＝90°，∴∠CGB＝∠BPA，在△BGC與△APB中，，∴△BGC≌△APB（AAS），（2）解：∵△BGC≌△APB，∴BG＝AP，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵BG∥MN，∴四邊形BMNG是平行四邊形，∴MN＝BG＝AP，在Rt△ABP中，AB＝9，BP＝3，∴，∴MN＝；（3）解：ME+FN＝EF．理由如下證明：如圖，過P作PH∥AB交MN于H，過F作ST∥AB交BC于S，交AD與T，連接AF，PF，∵M(jìn)N垂直平分AP，∴AE＝PE，AF＝PF，∵PH∥AB，∴∠MAE＝∠HPE，在△AME與△PHE中，，∴△AME≌△PHE（ASA），∴ME＝HE，∵∠TDF＝∠FBP＝45°，∴TD＝TF，F(xiàn)S＝BS，∵四邊形ABST是矩形，∴BS＝AT，∴FS＝AT，t在Rt△FPS與Rt△ATF中，，∴Rt△FPS≌Rt△ATF（HL），∴PS＝TF，∴PS＝TD，∵四邊形TSCD是矩形，∴TD＝SC，∴PS＝SC，∵PH∥TS∥CD，∴HF＝FN，∴ME+FN＝EF．【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和垂直平分線的性質(zhì)等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．6．(1)見詳解(2)(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖圖形即可．（2）有等腰三角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，進(jìn)一步得出，由軸對稱的性質(zhì)可得出垂直平分，進(jìn)一步得出，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得出．（3）在直線上截取，結(jié)合已知條件可得出垂直平分，由垂直平分線的性質(zhì)可得出，，再證明，，，利用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，由勾股定理得出，等量代換可得出．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖如下：（2）在等腰中，，∴，∴，∵，∴，∵點D、點E關(guān)于直線的對稱，∴垂直平分，∴，，，∵，∴，∴．（3）判斷關(guān)系∶在直線上截取，∵，即，∴垂直平分，∴，，∵，∴，∴，，∴，，∵，∴，∴，在中，，∴，∴【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)三角形外角的定義和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定以及性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．(1)；(2)①見解析，；②【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，證明，由全等的性質(zhì)得出，可求出，過點作于點，求出的面積即可得到答案；（2）①由題意畫出圖形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得出答案；②過點作交的延長線于點，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：將線段繞點旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，正方形，，平分，，，，，過點作于點，，，，四邊形的面積；（2）①解：將線段繞點旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，，，；②解：．過點作交的延長線于點，平分，垂直平分，，，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，找到正確的全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和斜邊的中線等于斜邊的一半可證為等邊三角形，進(jìn)而可證，即可證明結(jié)論；（2）在上截取，連接，利用證明，由等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可證由平行線的性質(zhì)可證進(jìn)而可證明結(jié)論；【詳解】（1）證明：∵將線段繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，∵M(jìn)為的中點，，，為等邊三角形，，，，，，，，；（2），

證明：如圖，在上截取，連接，∵F是的中點，，，，，為等邊三角形，，，，，，又，，．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，斜邊的中線等于斜邊的一半，解題關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點，正確作出輔助線；9．(1)見解析(2)；證明見解析【分析】（1）先利用已知條件證明，得出，推出，再由即可證明；（2）延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，先證，推出，通過等量代換得到，利用平行線的性質(zhì)得出，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到．【詳解】（1）證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，第二問有一定難度，正確作輔助線，證明是解題的關(guān)鍵．10．(1)(2)，證明見解析【分析】（1）先證明，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）連接，先證明，得出，取的中點M，連接，證明，從而得出結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形；（2）．理由：如圖，取的中點，連接，，

是等腰直角三角形，，是的中點，，同理，在中，，，，，，，，；∵，為的中位線，，，，在中，，為等腰三角形，，，，，，．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析(2)線段與的數(shù)量關(guān)系是．證明見解析【分析】（1）由題意知，故．（2）過點A作的垂線，可證得，由全等三角形性質(zhì)知，由相似三角形的性質(zhì)即可推導(dǎo)得．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴（2）連接．在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∵，∴【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，由相似的性質(zhì)得另外兩邊與中位線的交點為中點．12．（1）45°；（2）BN+DN=2AN，理由見解析；（3）補(bǔ)全圖見解析，【分析】（1）由線段垂直平分線上性質(zhì)可得AB=BE=BC，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠EBG=∠ABE=（∠ABC+∠CBE），由等腰三角形的性質(zhì)可得∠NBE=∠CBN=∠CBE，即可求解；（2）只要證明△BGN，△DHN都是等腰直角三角形即可解決問題；（3）由勾股定理可求AP，由面積法可求BG，通過證明△BPG≌△CNP，可得CN=BG，即可求解．【詳解】（1）證明：∵BG⊥AP，AG=GE，∴BG垂直平分線段AE，∴AB=BE，又∵AG=GE，∴∠EBG=∠ABE=（∠ABC+∠CBE），在正方形ABCD中，AB=BC，∴BE=BC，又∵BN平分∠CBE，∴∠NBE=∠CBN=∠CBE，∴∠GBN=∠GBE-∠NBE=（∠ABC+∠CBE）-∠CBE=∠ABC=45°，∵BG⊥AE，∴∠ANB=45°，故答案為：45°；（2）BN+DN=2AN，理由如下：過點D作DH⊥AE于H，連接AC．∵∠ANB=45°=∠NBG，∴BG=GN，BN=2GN，∵DH⊥AP，∠DAB=90°，∴∠DAH+∠ADH=∠DAH+∠BAD=90°，∴∠ADH=∠BAH，∵∠AHD=∠AGB=90°，AD=AB，∴△ADH≌△BAG（AAS），∴AH=BG=GN，DH=AG，∴HN=HG+GN=HG+AH=AG，∴DH=HN，∵∠DHN=90°，∴DN=HN=2AG，∴BN+DN=2GN+2AG=2AN；（3）如圖3，連接CN，根據(jù)勾股定理，AP==，∵S△ABP=?AB?BP=?AP?BG，∴BG==，∵BC=BE，∠CBN=∠EBN，BP=BP，∴△CBN≌△EBN（SAS），∴CN=CE，∠BNE=∠BPC，∵∠ANB=45°，∴∠BNE=∠135°=∠BNC，∴∠CNP=90°=∠CNE，∵BP=PC，∠BGP=∠CNP=90°，∠BPG=∠CPN，∴△BPG≌△CNP（AAS），∴CN=BG，∴CE=2CN=2×=．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．13．(1)(2)，證明見解析【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，即可求解；（2）過點作的垂線，交的延長線于點，利用全等三角形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】（1）證明：，，垂直平分線段，，又，，在正方形中，，，又平分，，，，，故答案為：；（2）解：，理由如下：過點作的垂線，交的延長線于點，，，由（1）得，得，，，，，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的全等判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練的掌握它們的性質(zhì)和判定，作出合理的輔助線是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可得，，，，由此可證，得到，再根據(jù)，，即可得到．（2）依據(jù)題意補(bǔ)充圖形后，過點作交于點，根據(jù)，，可得到、為等腰直角三角形，再證，即可得到線段與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖所示，為正方形，，，，，，，，，，，．．（2）解：①如圖所示，在線段EG上取點H，使得，連接，，②過點作交于點，如圖所示，，，為等腰直角三角形，，，，，為等腰直角三角形，，，即，（第一問已證），，又，，，為等腰直角三角形，，．15．(1)，理由見解析(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和求解即可得出答案；（2）過作于，過作于，先根據(jù)正方形性質(zhì)得出平分，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，然后根據(jù)證明即可；（3）過作交延長線于點，連接，先根據(jù)證明，得出，，然后根據(jù)證明，得出，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：．理由：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，四邊形內(nèi)角和為，∴，即；（2）證明：過作于，過作于，∵四邊形是正方形，∴平分，∴，∵，，∴，又，∴（），∴；（3）解∶．理由∶如圖，過作交延長線于點，連接，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，又，∴（），∴，，∵，，∴，∴，又，∴，∴，又，，∴（），∴，又，，∴【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，添加合適的輔助線進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．16．(1)(2)畫圖見解析，，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)是等邊三角形得到，結(jié)合即可得到，得到，根據(jù)三角形外角關(guān)系即可得到答案；（2）如圖所示，延長到M，使得，連接，則是等邊三角形，，先證明，得到，再證明，即可證明；（3）如圖所示，連接，取的中點N，連接，由全等三角形的性質(zhì)得到，即點H為的中點，則，推出點H在以為直徑的圓上運動，故當(dāng)三點共線時，有最小值，求出，則．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，在和中，∴，∴，∵，∴；（2）解：，證明如下：如圖所示，延長到M，使得，連接，∵，，∴是等邊三角形，，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：如圖所示，連接，取的中點N，連接，∵，∴，即點H為的中點，∵是等邊三角形，∴，即，∴點H在以為直徑的圓上運動，∴當(dāng)三點共線時，有最小值，∵是等邊三角形，N是的中點，∴，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，圓外一點到圓上一點的最值問題，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．17．(1)(2)，證明見解析(3)【分析】（1）補(bǔ)全圖形如圖1，由線段與關(guān)于直線對稱，可知，，則，，根據(jù)，計算求解即可；（2）如圖2，連接，，連接交于，由對稱的性質(zhì)可得，，，，則，，是等腰直角三角形，，，，由，證明，則，計算求解即可；（3）如圖3，連接，，交點為，則，，是的中位線，，由題意知，在以為圓心，以2為半徑的的圓上運動，則在以為圓心，以1為半徑的的圓上運動，如圖3，當(dāng)三點共線時，最大，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如圖1，

∵線段與關(guān)于直線對稱，∴，，∴，∵，∴，∴為；（2）解：，證明如下：如圖2，連接，，連接交于，

由對稱的性質(zhì)可得，，，，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得，∴；（3）解：如圖3，連接，，交點為，

由正方形的性質(zhì)可得，，為的中點，∴，，又∵是的中點，∴是的中位線，∴，由題意知，在以為圓心，以2為半徑的的圓上運動，∴在以為圓心，以1為半徑的的圓上運動，如圖3，∴當(dāng)三點共線時，最大，∴，∴最大值為．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線，圓，余弦等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．18．(1)①見解析；②補(bǔ)全圖形見解析；線段DF，BE，DE的數(shù)量關(guān)系為．證明見解析；(2)【分析】（1）①根據(jù)ASA證明△ABD≌△BCE，推出AD=BE，BD=CE，由此得到．

②利用同角的余角相等推出∠ABD=∠DAF．利用三角形外角性質(zhì)推出∠HED=∠ADF．進(jìn)而證明△ADF≌△BEA．得到DF=AE．利用勾股定理證得，由此得到．

（2）當(dāng)直線l在∠ABC外部時，由（1）知△ABD≌△BCE．得到DE=DB+BE=DB+AD，設(shè)AD=x，則BE=x，DB=DE-BE=3-x，推出AB2=，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答【詳解】（1）①證明：∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=90°．∵CE⊥l，∴∠CEB=90°．∴∠CBD+∠C=90°．∴∠ABD=∠C．

∵AD⊥l，∴∠ADB=90°=∠CEB．∵AB=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE．∵，∴．

②補(bǔ)全圖形如圖：線段DF，BE，DE的數(shù)量關(guān)系為．

證明如下：∵AF∥BC，∴∠BAF+∠ABC=180°．∵∠ABC=90°，∴∠BAF=90°．∴∠BAD+∠DAF=90°．∵AD⊥l，∴∠ADB=90°．∴∠BAD+∠ABD=90°．∴∠ABD=∠DAF．∵DF⊥AE于H，∴∠DHE=90°．∴∠HDE+∠HED=90°．∵∠ADE=∠ADF+∠HDE=90°，∴∠HED=∠ADF．∵由（1）中全等，有AD=BE，∴△ADF≌△BEA．∴DF=AE．∵在中，，∴．（2）當(dāng)直線l在∠ABC外部時，由（1）知△ABD≌△BCE．∴AD=BE，BD=CE，∴DE=DB+BE=DB+AD，設(shè)AD=x，則BE=x，DB=DE-BE=3-x，∴==∴當(dāng)x=時，AB2有最小值，即AB=．故當(dāng)DE取最大值3時，AB為【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．19．(1)，(2)①（1）中的結(jié)論成立，證明見解析；②【分析】（1）如圖1，延長到M，使，連接，，，分別證明和，得到，，則是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）①如圖2，延長到M，使，連接，，，同（1）中方法，分別證明和，得到，，則是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；②如圖3，延長到M，使，連接，，，同①中方法，可證得，，利用勾股定理可得關(guān)系式．【詳解】（1）解：，．理由：如圖1，延長到M，使，連接，，，

∵四邊形是正方形，∴，，，∵F為中點，∴，又，∴，∴，，∴，∵，，∴，，∴，C、D、M共線，則，在和中，，∴，∴，，∴，則是等腰直角三角形，又，∴，；（2）解：①（1）中的結(jié)論，即，．證明：如圖2，延長到M，使，連接，，，

同（1），∵，又，，∴，∴，，∴，∵繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，結(jié)合（1）中的，∴繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，則，∴在和中，，∴，∴，，∴，則是等腰直角三角形，又，∴，；②如圖3，延長到M，使，連接，，，

同①中方法，可證得，，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、勾股定理等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)探究線段之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．20．(1)見解析(2)45°(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)已知補(bǔ)全圖形即可；（2）由四邊形是正方形，得，，而，可證明，即得是等腰直角三角形，故；（3）過作于，過作于，根據(jù)四邊形是正方形，可得是等腰直角三角形，從而，由，可知，，即得，，故．【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形如下：（2）解：四邊形是正方形，，，，，，，，是等腰直角三角形，；（3）解：過作于，過作于，如圖：四邊形是正方形，，是等腰直角三角形，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，而，，即．【點睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及等腰直角三角形的性質(zhì)及判定，全等三角形的性質(zhì)及判定，相似三角形的判定及性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形轉(zhuǎn)化線段比．21．（1）詳見解析；（2）①補(bǔ)全圖形，如圖所示．②．詳見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，有AD∥BC，∠BAD=90°，得到∠AGH=∠GHC，再根據(jù)GH⊥AE，得到∠EAB=∠AGH，即可證明．（2）①根據(jù)垂直平分線的作法步驟進(jìn)行即可．②連接AN，連接EN并延長，交AB邊于點Q，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到NA=NC，∠1=∠2，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到NA=NE，進(jìn)而得到NC=NE，∠3=∠4，在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，得到∠AQE=∠4，∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°，∠ANE=∠ANQ=90°，最后在Rt△ANE中，即可求解．【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，∴∠AGH=∠GHC．∵GH⊥AE，∴∠EAB=∠AGH．∴∠EAB=∠GHC．（2）①補(bǔ)全圖形，如圖所示．②．證明：連接AN，連接EN并延長，交AB邊于點Q．∵四邊形ABCD是正方形，∴點A，點C關(guān)于BD對稱．∴NA=NC，∠1=∠2．∵PN垂直平分AE，∴NA=NE．∴NC=NE．∴∠3=∠4．在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD=90°，∴∠AQE=∠4．∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°．∴∠ANE=∠ANQ=90°．在Rt△ANE中，∴．【點睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握性質(zhì)就解題關(guān)鍵．22．(1)證明見解答過程；(2)補(bǔ)全圖形見解析；，理由見解答過程．【分析】（1），得到，由繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段，得到，，由正方形性質(zhì)得到，得到；（2）按照題意補(bǔ)全圖形即可，在上取，連接交于M，交于P，連接，，利用、、證明A、H、M、B共圓，從而可得，，再證明，即可得到．【詳解】（1）證明：∵邊繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∵正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵正方形，∴，∴，∴；（2）解：補(bǔ)全圖2如下：

線段，，理由如下：在上取，連接交于M，交于P，連接，，如圖：

∵正方形，∴，，又，∴，∴，，∵，∴∠DAN+∠AHB＝90°，∴，∴，由（1）知，且，∴，∴，而，，∴，∴，∴A、H、M、B共圓，∴，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題考查正方形性質(zhì)應(yīng)用及全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，難度較大，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助線，將轉(zhuǎn)化為．23．(1)見解析(2)①圖見解析②，證明見解析【分析】（1）連接，過于點，證明，得到，，證明，得到，進(jìn)而得到，得到，即可得證；（2）①根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形即可；②過點作交的延長線于點，交于點，證明，得到，推出兩點重合，進(jìn)而得到，平行線的性質(zhì)，對頂角相等，推出，進(jìn)而得到，進(jìn)而推出，證明，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，過于點，則：，∵點D關(guān)于直線的對稱點為，∴，又∵，∴，∴，，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（2）①補(bǔ)全圖形如圖：②，證明如下：過點作交的延長線于點，交于點，∵，∴，∵，，∴，∴，由（1）知：，∴，∴點重合，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查軸對稱，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，正確的添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形，是解題的關(guān)鍵．24．(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形，根據(jù)圓周角定理以及等邊三角形的性質(zhì)即可求解；（2）①過點作于點，證明，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解；②證明，可得共圓，過點作于點，取的外心點，連接，勾股定理求得，當(dāng)三點共線時，最小，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∵是等邊三角形∴∵，∴在以為半徑，為圓心的圓上運動，∴；（2）①如圖，過點作于點，∵∴，,∵為的中點，,∴,∴,∴,即,即；②∵∴∵∴∴垂直平分∴∴∴∴由①可得∴∴共圓如圖，過點作于點，取的外心點，連接∴∴，∵∴在中，；當(dāng)三點共線時，最小，此時．【點睛】本題考查了圓周角定理，等邊三角形的性質(zhì)，同弧所對的圓周角相等，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．25．(1)圖形見解析，；(2)，理由見解析；(3)，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，推出，利用直角三角形性質(zhì)，得到，結(jié)合對頂角性質(zhì)和角的運算得到，再利用直角三角形性質(zhì)即可得到的度數(shù)；（2）連接，根據(jù)題意得到，推出，記，則，利用三角形內(nèi)角和得到，進(jìn)而得到，利用等腰三角形性質(zhì)得到，最后進(jìn)行等量代換，即可解題；（3）過B作交于點H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合解直角三角形，進(jìn)行等量代換，即可解題．【詳解】（1）解：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如下：，線段繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，，，，，；（2）解：，理由如下：連接，點C是線段的中點，，是的垂直平分線，，，記，，，由（1）可知，，，，；（3）解：，證明如下：過B作交于點H，如圖，由（2）可知，，，，，，同理，，，，，整理可得．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及對頂角性質(zhì)等知識，掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．26．(1)(2)①見解析，②，證明見解析【分析】（1）延長至點，使得，連接，證明，再利用角度的轉(zhuǎn)換和圓周角定理，得到，最后證明，即可解答；（2）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②由角邊角可證，可得，由角角邊可證，可得，即可證明．【詳解】（1）證明：如圖，延長至點，使得，連接，，，，，，，，，，設(shè)，，，，在中，，，，，，即，四點共圓，，，，，，．（2）①如圖，補(bǔ)全圖形；②證明：如圖，過點C作交的延長線于點H，在上截取，連接．∵，∴，∵，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴點A、E、C、H四點共圓，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，作出正確的輔助線，仔細(xì)耐心地對角度進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．27．（1）見解析；（2）見解析；（3）BN=AE+GN，見解析.【分析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖1即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AP=AQ，求得∠APQ=∠Q，求得∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，等量代換得到∠MFN=∠FMN，于是得到結(jié)論；（3）連接CE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AP=AQ，求得∠PAC=∠QAC，得到∠CAQ=∠QBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CP=CF，求得AM=CF，得到AE=BE，推出直線CE垂直平分AB，得到∠ECB=∠ECA=45°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）依題意補(bǔ)全圖1如圖所示；（2）∵CQ=CP，∠ACB=90°，∴AP=AQ，∴∠APQ=∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q=∠QBD+∠BFC=90°，∴∠Q=∠BFC，∵∠MFN=∠BFC，∴∠MFN=∠Q，同理，∠NMF=∠APQ，∴∠MFN=∠FMN，∴NM=NF；（3）連接CE，∵AC⊥PQ，PC=CQ，∴AP=AQ，∴∠PAC=∠QAC，∵BD⊥AQ，∴∠DBQ+∠Q=90°，∵∠Q+∠CAQ=90°，∴∠CAQ=∠QBD，∴∠PAC=∠FBC，∵AC=BC，∠ACP=∠BCF，∴△APC≌△BFC（AAS），∴CP=CF，∵AM=CP，∴AM=CF，∵∠CAB=∠CBA=45°，∴∠EAB=∠EBA，∴AE=BE，∵AC=BC，∴直線CE垂直平分AB，∴∠ECB=∠ECA=45°，∴∠GAM=∠ECF=45°，∵∠AMG=∠CFE，∴△AGM≌△CEF（ASA），∴GM=EF，∵BN=BE+EF+FN=AE+GM+MN，∴BN=AE+GN．【點睛】本題考查了三角形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．28．(1)(2)①補(bǔ)全圖形見解析，；②，證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，即可求出；（2）①由題意可畫出圖形，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得出答案；②過點B作交的延長線于點H，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵將線段繞點B旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，∵四邊形是正方形，，，∵平分，，在和中，，∴，，，，，故答案為：；（2）解：①補(bǔ)全圖形如圖2，

∵將線段繞點B旋轉(zhuǎn)，得到線段，，，，，，；②，證明如下：證明：過點B作交的延長線于點H，如圖3，

，平分，垂直平分，，，由①知，，，，，，，∴，，，，，，在和中，，，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．29．(1)，證明見解析(2)，證明見解析(3)，補(bǔ)圖見解析【分析】（1）利用四邊形內(nèi)角和與平角，得到，利用對頂角相等，進(jìn)而得到，利用等腰直角三角形和對稱點性質(zhì)，得到，再利用三角形內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（2）由（1）可得，得到，又因為是中點，即可得到結(jié)論；（3）延長到點，使得，得到，由（1）（2）同理可得，再利用勾股定理，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，，，，，，，，，，點F是點A關(guān)于直線的對稱點，，，，，，，；（2）解：由（1）可知，在和中，，，，是中點，，，，，；（3）解：補(bǔ)圖如下圖所示，延長到點，使得，是中點，是中位線，由（1）（2）同理可證，，，，，在中，由勾股定理得：，．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，中點性質(zhì)，對稱點性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，勾股定理，熟練掌握相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵．30．（1）證明見解析；（2）BH=AE，理由見解析【分析】（1）連接．根據(jù)對稱的性質(zhì)可得．．證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到．進(jìn)而證明≌，即可證明；（2）在上取點使得，連接．證明≌，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到線段與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）證明：連接．∵，關(guān)于對稱．∴．．在和中，∴，∴．∵四邊形是正方形，∴．，∴，∴，∴，∵，，∴．在和中．∴≌，∴．（2）．證明：在上取點使得，連接．∵四這形是正方形．∴，．∵≌，∴．同理：，∴∵，∴，∴，∴．∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∴．在和中，∴≌，∴，在中，，．∴，∴．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．31．(1)見解析(2)(3)(4)，證明見解析【分析】（1）畫線段的延長線與線段的延長線相交于點H即可．（2）如下圖，過點A作，交的延長線于點M，由得，再根據(jù)四邊形是正方形可得，從而得