高等數(shù)學(xué)（工科類）課件 第九章 概率論基礎(chǔ)

新時(shí)代高職數(shù)學(xué)系列教材高等數(shù)學(xué)（工科類）理解隨機(jī)變量的期望與方差的概念；掌握隨機(jī)變量期望、方差的性質(zhì)與計(jì)算；掌握常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差.理解隨機(jī)事件及樣本空間的概念；了解概率的統(tǒng)計(jì)定義；掌握概率的基本性質(zhì),會(huì)計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率.理解條件概率的概念,掌握概率的乘法公式；會(huì)判斷事件的獨(dú)立性,會(huì)利用事件的獨(dú)立性計(jì)算概率.理解隨機(jī)變量的概念；理解離散型隨機(jī)變量及分布律的概念及性質(zhì),掌握常見的離散型隨機(jī)變量的分布；了解連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度；了解分布函數(shù)的概念及性質(zhì),掌握常見的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布；會(huì)利用分布列和概率密度以及分布函數(shù)計(jì)算事件的概率.知識(shí)目標(biāo)第九章概率論基礎(chǔ)第一節(jié)隨機(jī)事件與概率情景與問(wèn)題其可能結(jié)果為：

.取值的結(jié)果可以按從小到大依次排成一列.引例1

拋硬幣兩次,觀察正、反面的情況.其可能的結(jié)果有：{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},拋一次的結(jié)果為引例2觀察一小時(shí)中落在地球上某一區(qū)域的粒子數(shù).落在區(qū)域上的粒子數(shù)為0，或者粒子數(shù)大于等于1都是可能發(fā)生也有可能不發(fā)生的事件.以上四種中的任意一種，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性均相同.

{第一件是正品},

{第二件是正品},

{沒有一件是次品},

{只有第一件是次品},

{恰有一件是次品},

{至少有一件是次品}.引例3從一批包含正品和次品的產(chǎn)品中,不放回地依次任意取出兩件.若記

這幾個(gè)事件之間存在什么樣的關(guān)系呢?三個(gè)引例的結(jié)果雖然充滿著不確定性,但人們?nèi)匀荒軌驕?zhǔn)確預(yù)知可能結(jié)果的范圍.為了表述和討論這類隨機(jī)現(xiàn)象,接下來(lái)我們給出隨機(jī)事件的定義并討論其運(yùn)算和概率.9.1.1隨機(jī)事件的概念概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,自然界中的許多現(xiàn)象,其結(jié)果是確定的,而且我們可以事先預(yù)測(cè).電荷互相吸引；水從高處流向低處；按照現(xiàn)行的規(guī)則，被出示紅牌的足球運(yùn)動(dòng)員一定會(huì)被罰下場(chǎng).這種在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象,我們稱為確定現(xiàn)象或必然現(xiàn)象.例如:太陽(yáng)東升西落；正負(fù)除了必然現(xiàn)象外還有一類現(xiàn)象與必然現(xiàn)象是相對(duì)的,即結(jié)果具有不確定性,且事先不能斷言會(huì)出現(xiàn)哪種結(jié)果.比如:擲硬幣正面向上、玩骰子擲出點(diǎn)數(shù)3、路過(guò)十字路口時(shí)遇到紅燈等等，我們稱之為隨機(jī)現(xiàn)象或偶然現(xiàn)象.外表,揭示內(nèi)在的某種規(guī)律.目的是透過(guò)隨機(jī)現(xiàn)象的前面引例是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行一次觀察或進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)的過(guò)程,這樣的過(guò)程稱為隨機(jī)試驗(yàn),簡(jiǎn)稱實(shí)驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合稱為這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間,記作

．(1)可重復(fù)性：試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)不唯一性：每次試驗(yàn)有多個(gè)可能結(jié)果,且所有結(jié)果已知；(3)隨機(jī)性：每次試驗(yàn)之前不能確定具體出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果.部分樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件,簡(jiǎn)稱事件，通常用大寫字母A

,

B

,

C

,…

表示．不能再分解的隨機(jī)事件稱為基本事件.由于每次試驗(yàn)的結(jié)果都是

的一個(gè)樣本點(diǎn),所以

必然發(fā)生,即

為必然事件.不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件,常用

表示,試驗(yàn),一般用字母

表示.隨機(jī)試驗(yàn)具有以下三個(gè)特征：記作

.樣本空間中的元素稱為樣本點(diǎn),是樣本點(diǎn)可列的數(shù)量型樣本空間.引例1拋硬幣兩次,觀察正、反面情況的實(shí)驗(yàn)中,

{(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)},是樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限的非數(shù)量型樣本空間；“正面恰好出現(xiàn)一次”、“第二次為反面”等是隨機(jī)事件,其中“兩次均為正面”、“第一次正面,第二次反面”等事件是基本事件.

易知：引例2觀察一小時(shí)中落在地球上某一區(qū)域的粒子數(shù)的實(shí)驗(yàn)中，易知：中的樣本點(diǎn)雖然有無(wú)數(shù)個(gè),但可以依次排成一列,這樣的集合我們稱為可列集或可數(shù)集.9.1.2隨機(jī)事件的運(yùn)算事件是一個(gè)集合,所以事件間的關(guān)系和運(yùn)算都可以按照集合的關(guān)系和運(yùn)算來(lái)定義.圖9-1

定義9.1

若事件A

的發(fā)生必然導(dǎo)致事件

B發(fā)生,則稱事件

B

包含事件

A

．記作

．特別地,若

且

,則稱事件A與事件B

相等,記作A=B．定義9.2

事件A

與事件B

同時(shí)發(fā)生,這一事件稱為事件A

與B

的積(交),記為AB或

．如圖9-2所示.對(duì)任意事件A

,有

AA=A,A=A

,

．圖9-2

圖9-3

圖9-4

定義9.3

兩事件

A與B中至少有一件發(fā)生,這一事件稱為事件A與B的和(并),記為A+B對(duì)任意事件A

,有A+A=A,,定義9.4

事件A

發(fā)生而事件B

不發(fā)生,這一事件稱為事件A

與B

的差,記作

,如圖9-4所示.或

．如圖9-3所示.圖9-5

圖9-6

定義9.5若事件

A

與事件

B不能同時(shí)發(fā)生,即

,則稱事件A

與

B為互斥事件（或不相容事件）,如圖9-5所示.定義9.6

若事件

A與

B

滿足

且

,則稱事件

A與B

是互逆事件（或?qū)α⑹录?，顯然，基本事件之間總是互斥的．記作

B=,如圖9-6所示.解(1)

={沒有一件是次品}表示成

(2)

{只有第一個(gè)零件是次品}表示成(3)

{恰有一個(gè)零件是次品}表示成(4)

{至少有一個(gè)零件是次品}表示成顯然,互逆事件一定是互斥事件,但反之不真.(1)

；(2)

,

,；(3)德摩根律:

,

例1將引例3中的事件

用

表示.對(duì)任意事件A和

B

,不難證明以下結(jié)論成立:或例2A={甲種產(chǎn)品暢銷,乙種產(chǎn)品滯銷},則

表示什么事件?解設(shè)B={甲種產(chǎn)品暢銷},C={乙種產(chǎn)品暢銷},所以，則即={甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷}.9.1.3隨機(jī)事件的概率用來(lái)表示隨機(jī)事件

A發(fā)生可能性大小的數(shù)字度量稱為事件

A的概率,記作

.如何才能獲得

的數(shù)值呢?盡管事件的頻率隨試驗(yàn)的不同會(huì)有所改變,對(duì)于確定的事件,概率值是客觀存在的.人們常利用事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)次數(shù)的比值來(lái)獲知概率值的大小,這樣的值稱為頻率.頻率總是逐漸穩(wěn)定于但當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)逐漸增加時(shí),一個(gè)確定的常數(shù).

拋硬幣次數(shù)比較少的時(shí)候,正面出現(xiàn)的頻率波動(dòng)較大,試驗(yàn)者擲硬幣次數(shù)n正面出現(xiàn)次數(shù)m正面出現(xiàn)頻率德·摩根409220480.5001普豐404020480.5069威廉·費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998以下是有名的頻率穩(wěn)定性的例子,該實(shí)驗(yàn)不僅具有典型性，而且可以重復(fù)驗(yàn)證.事實(shí)上,隨機(jī)事件頻率的穩(wěn)定性不斷地被人類的實(shí)踐所證明.隨著試驗(yàn)次數(shù)n

增加,頻率表現(xiàn)出穩(wěn)定性,取值總在

附近擺動(dòng),并逐漸穩(wěn)定于

.這個(gè)常數(shù)就是拋硬幣試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的概率.從表中可以看出：在對(duì)英文字母使用頻率深入研究后發(fā)現(xiàn),各個(gè)字母被使用的頻率相當(dāng)穩(wěn)定.字母空格ETOANIRS頻率0.20.1050.0720.06540.0630.0590.0550.0540.052字母HDLCFUMPY頻率0.0470.0350.0290.0230.02250.02250.0210.01750.012字母WGBVKXJQZ頻率0.0120.0110.01050.0080.0030.0020.0010.0010.001實(shí)際上其他各種文字包括漢語(yǔ)也有類似的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,這對(duì)于結(jié)合漢字輸入方案的研制,實(shí)現(xiàn)漢字信息處理自動(dòng)化具有重要意義.定義9.7

多次重復(fù)試驗(yàn)中,若事件

A

發(fā)生的頻率穩(wěn)定在常數(shù)

P附近擺動(dòng),隨著試驗(yàn)次數(shù)增加,這種擺動(dòng)的幅度是很微小的,則稱確定常數(shù)

P為事件A

發(fā)生的概率,記作

.統(tǒng)計(jì)定義對(duì)應(yīng)著概率論中的一類隨機(jī)試驗(yàn)類型即古典概型.概率的統(tǒng)計(jì)定義(1)基本事件總數(shù)有限；當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)有兩個(gè)特征：(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等．滿足這兩個(gè)特征的試驗(yàn)?zāi)Ｐ头Q為古典概型．古典概型定義結(jié)論:(一正面,一反面)這一事件出現(xiàn)的概率為

.則事件

A的概率為

.對(duì)于古典概型,概率的計(jì)算是非常直觀的：事件A包含的基本事件數(shù)為

m,拉普拉斯在1812年將這個(gè)式子作為概率的一般定義.這個(gè)結(jié)論今天看顯然是錯(cuò)誤的,因?yàn)檫@三種結(jié)果出現(xiàn)的可能性并不相同.數(shù)學(xué)史曾有一個(gè)著名的例子.在擲兩枚硬幣觀察正面和反面出現(xiàn)的試驗(yàn)中，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾論證總共有三種結(jié)果,即{(正面,正面),(反面,反面),(一正面,一反面)},由此他得出基本事件總共有四種,事實(shí)上該問(wèn)題中的而一正一反在兩種情況下出現(xiàn),即(一正面,一反面)出現(xiàn)的概率應(yīng)為

.若基本事件總數(shù)為

n,性質(zhì)2(規(guī)范性)

圖9-7性質(zhì)1(非負(fù)性)

對(duì)于任何事件

A,有

一般地,若事件

彼此互斥,則推論2(逆事件概率)若

是

A

的逆事件,則推論3(單調(diào)性)若

,則

,且隨機(jī)事件的統(tǒng)計(jì)概率有如下性質(zhì)：性質(zhì)3

(概率的加法公式)

對(duì)任意兩個(gè)事件A

與B,有推論1(有限可加性)若事件A與B

互斥,則設(shè)

A={恰有1件次品},

從100件產(chǎn)品中任取2件的方式總共有n

=

種.

則事件A包含的事件數(shù)m

=

種.例3

100件產(chǎn)品中有90件合格品,10件次品.從中任取2件,求恰有1件次品的概率.解易知該試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪枪诺涓判?由古典概率公式得對(duì)于不同n

值計(jì)算相應(yīng)的概率見下表例4生日問(wèn)題:已知有n

個(gè)人（

）,求至少有兩個(gè)人生日在同一天的概率.從而則

表示“n個(gè)人的生日全不相同”.從而n

個(gè)人的生日共有

種安排方法,而“

n個(gè)人的生日全不相同”的安排方法總共有

種,因此

n10202330405060

0.120.410.510.710.890.970.99從表中可以看到,在人們的印象中,“一個(gè)班級(jí)中至少有兩個(gè)人的生日在同一天”似乎并不常見.解設(shè)

A表示事件“n個(gè)人中至少有兩人的生日在同一天”,每個(gè)人的生日有N=365種選擇,從而實(shí)際的情況是,一個(gè)人數(shù)達(dá)到60的班級(jí),這個(gè)事件發(fā)生的概率高達(dá)99%,這幾乎是必然發(fā)生的事件.抽簽不僅在體育比賽中經(jīng)常出現(xiàn),在日常生活中也很常見.但抽簽的公平性往往被人質(zhì)疑,結(jié)果會(huì)不會(huì)和抽簽的順序有關(guān)呢？例5設(shè)口袋中有a

只黑球,b

只白球.現(xiàn)在采取不放回的方式將球一只只的摸出來(lái).求第

k(

)次摸出的是一只黑球的概率.解

a+b只球一只只依次抽取出來(lái),總的抽取方式有

n=

種.故第

k次摸出的是一只黑球的抽取方式有種.第k次摸得黑球的方式總共有a

種,同時(shí)其余次摸球相當(dāng)于對(duì)a+b-1只球進(jìn)行全排列.由古典概率公式得例5中的摸球問(wèn)題是為抽簽隨機(jī)性設(shè)計(jì)的一個(gè)數(shù)學(xué)模型,黑的數(shù)量a

與白球的數(shù)量b有關(guān),其計(jì)算結(jié)果表明第k

次摸得黑球結(jié)果只與黑而與抽取的順序

k無(wú)關(guān),即抽簽與順序無(wú)關(guān).即該班參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或外語(yǔ)競(jìng)賽的學(xué)生占90%．例6某班有80%的學(xué)生參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽,70%的學(xué)生參加了外語(yǔ)競(jìng)賽,60%的學(xué)生既參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加了外語(yǔ)競(jìng)賽,問(wèn)該班參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或外語(yǔ)競(jìng)賽的學(xué)生占百分之多少?解設(shè)A={參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的學(xué)生},B={參加外語(yǔ)競(jìng)賽的學(xué)生},則AB={既參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽又參加外語(yǔ)競(jìng)賽的學(xué)生},A+B={參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽或外語(yǔ)競(jìng)賽的學(xué)生}.由加法公式:

例8某城市有N輛卡車,車牌號(hào)從1到N.某人到該城市去將遇到的n

輛車的號(hào)牌抄下,這當(dāng)中可能會(huì)重復(fù)抄到某些車牌號(hào).求抄到的最大號(hào)碼正好為

k的概率.例7在20件產(chǎn)品中,有15件一級(jí)品,5件二級(jí)品,從中任取3件,其中至少1件為二級(jí)品的概率是多少?

.解

設(shè)事件A={至少1件為二級(jí)品},事件

{恰有件二級(jí)品}

,其中

彼此互斥.由推論1有限可加性可得這種通過(guò)號(hào)牌估計(jì)卡車數(shù)量的方法在二戰(zhàn)時(shí)期的戰(zhàn)場(chǎng)上得到了很好的應(yīng)用.當(dāng)時(shí)的盟軍從擊毀戰(zhàn)車上的出廠號(hào)碼推測(cè)敵方的生產(chǎn)批量,估計(jì)其軍火生產(chǎn)能力,得到了相當(dāng)精準(zhǔn)的情報(bào).{抄到的最大號(hào)碼為},事件

{抄到的最大號(hào)碼不超過(guò)k

}

.顯然

,且

,由性質(zhì)3的推論3知,解設(shè)每輛卡車被遇到的機(jī)會(huì)相同.應(yīng)用與實(shí)踐案例1(賭徒的困惑)17世紀(jì)法國(guó)的某賭場(chǎng)內(nèi),著名賭徒梅爾和一位游客保羅賭錢,他們事先每人拿出6枚金幣放在一起,并約定誰(shuí)先勝3局誰(shuí)就拿走全部的12枚金幣.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),他們?cè)诿烤种袆倮目赡苄韵嗤?比賽開始,保羅先勝1局后,梅爾又連勝2局,這時(shí)由于意外事件他們不得不終止了賭博.于是兩位賭徒開始商量如何合理分配這12枚金幣.保羅對(duì)梅爾說(shuō):“我勝1局,你勝2局,因此金幣應(yīng)該三等分,你得到的金幣為2份,總共8枚,而我得1份,即4枚金幣.”他們誰(shuí)也說(shuō)服不了誰(shuí),最后決定由法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡來(lái)評(píng)判.精通賭博的梅爾對(duì)此提出異議:“這顯然不公平!”梅爾說(shuō)道:“我只需要再贏1局就能得到全部的金幣,而你得到全部金幣還需要連贏2局.我勝1局的可能性比你連贏2局的可能性大的多.金幣的分配必須考慮這種可能性.”費(fèi)馬的解決辦法是:如果再玩2局,會(huì)出現(xiàn)4種可能的結(jié)果:(梅爾勝,保羅勝)(梅爾勝,梅爾勝)(保羅勝,梅爾勝)(保羅勝,保羅勝）由于梅爾已經(jīng)贏了2局,這4種結(jié)果中只有最后1種才能使保羅獲勝.所以梅爾先勝3局的可能性是保羅先勝3局可能性的3倍.12枚金幣中的

,即9枚應(yīng)歸梅爾,而保羅只能分得

,即3枚金幣.帕斯卡用的是另一種分析方法,但分配的方案與費(fèi)馬完全一樣.帕斯卡假設(shè)這兩人接著再玩一局,那么會(huì)出現(xiàn)2種結(jié)果.如果梅爾勝了,此時(shí)梅爾已經(jīng)先勝3局,可獲得全部的金幣,記為1.如果獲勝的是保羅,梅爾和保羅均各勝兩局,各得金幣的一半,記為

.由于第四局兩人獲勝的可能性一樣,同理,保羅獲得金幣的可能性為.

所以梅爾贏得金幣的可能性是兩種可能性大小的算術(shù)平均,即,

兩位數(shù)學(xué)家并不熱衷賭博,但他們?nèi)詫?duì)這個(gè)事件中的規(guī)律進(jìn)行了深入的研究.案例2(蒲豐投針與

)1777年,法國(guó)博物學(xué)家蒲豐向世人宣布,他用投針實(shí)驗(yàn)得到了計(jì)算的近似公式.投針實(shí)驗(yàn)是,先在一張紙上畫滿距離為

d的等距平行線,然后將長(zhǎng)度

的小針隨機(jī)投往紙上,記下投擲次數(shù)

n

和小針與平行線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

m,蒲豐斷言,投擲次數(shù)愈多,比值

愈接近

的值,即現(xiàn)在討論鐵絲長(zhǎng)為

的情形．當(dāng)投擲次數(shù)

n

增大時(shí),鐵絲跟平行線的交點(diǎn)總數(shù)m應(yīng)當(dāng)與長(zhǎng)度

成正比,即

，

注意到當(dāng)

時(shí),有

．于是

,

,代入

得

,

.由于投擲的小針長(zhǎng)度

,于是得到

,這就是蒲豐的著名結(jié)論.先試想一下,將一根鐵絲彎成直徑為

d的圓圈．將此圓圈隨機(jī)地投往紙上,顯然圓圈與平行線總有兩個(gè)交點(diǎn)．因此,圓圈投下

n次,與平行線的交點(diǎn)總數(shù)就是2n．若把圓圈拉直,變成一條長(zhǎng)為

的鐵絲,這樣的鐵絲投在紙上與平行線的交點(diǎn)可能有4個(gè)、3個(gè)、2個(gè)、1個(gè)或0個(gè),但由于圓圈和直鐵絲的長(zhǎng)度同為,根據(jù)機(jī)會(huì)均等原理,當(dāng)投擲較多相同次數(shù)時(shí),兩者與平行線的交點(diǎn)總數(shù)大致相當(dāng)．這就是說(shuō),當(dāng)長(zhǎng)為

的直鐵絲投下n

次時(shí),與平行線的交點(diǎn)總數(shù)應(yīng)大致為2n．第九章概率論基礎(chǔ)第二節(jié)條件概率與事件的獨(dú)立性情景與問(wèn)題引例1從

中任取一個(gè)數(shù),A

表示:“抽取的數(shù)不大于7”,B表示:“抽取的數(shù)不小于5”.在事件

A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件

B發(fā)生的概率是多少呢?在事件

B已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件A

發(fā)生的概率又如何呢?條件的概率即是接下來(lái)將要討論的條件概率.引例1提出了事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件

B發(fā)生的概率,記做

,引例2肝癌普查中發(fā)現(xiàn),原發(fā)性肝癌患者往往伴隨著甲胎蛋白含量高的情況出現(xiàn).某地區(qū)的常住人口每10萬(wàn)人中,平均有40人患原發(fā)性肝癌,有34人的甲胎蛋白含量高,有32人既患原發(fā)性肝癌又出現(xiàn)甲胎蛋白含量高.可疑肝癌患病確診的情況下，發(fā)現(xiàn)往往伴隨著甲胎蛋白偏高，此時(shí)出現(xiàn)甲胎蛋白偏高的概率是多大呢？這種帶有事件A

表示“抽取的數(shù)不大于7”,即，9.2.1條件概率從

中任取一個(gè)數(shù),其樣本空間為

,而事件B表示“抽取的數(shù)不小于5”,即

,這其中同時(shí)屬于事件B的,即

共有3個(gè)數(shù).計(jì)算

的問(wèn)題等價(jià)于在樣本空間縮小至A的前提下,事件

AB發(fā)生的求條件概率

.易知引例1是個(gè)古典概型.包含了10個(gè)基本事件.包含了7個(gè)基本事件.包含了6個(gè)基本事件.已知事件A發(fā)生,即在抽取的數(shù)字不大于7的條件下,所有可能的數(shù)限定在這7個(gè)數(shù)的范圍內(nèi).求事件B

抽取的數(shù)不小于5的可能性,就是因此概率.同理當(dāng)計(jì)算無(wú)條件概率

時(shí),樣本空間為“該地區(qū)的所有常住居民”,此時(shí)

,而在計(jì)算條件概率

時(shí),

定義9.8

設(shè)A、B

為兩個(gè)隨機(jī)事件,且事件A的概率

,則在事件

A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率稱為條件概率,相應(yīng)地把

稱為無(wú)條件概率.條件概率的定義條件概率問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是樣本空間發(fā)生了縮減.在引例2中,若記A={某地區(qū)原發(fā)性肝癌患者},B={甲胎蛋白含量高}.樣本空間已縮減為事件A

即“原發(fā)性肝癌患者”,此時(shí)事件AB發(fā)生的次數(shù)為32,因此條件概率具有與概率相同的性質(zhì):設(shè)A是一事件,且

,則(1)對(duì)于任一事件B

,

；(2)

；(3)若

互不相容,則

.條件概率的性質(zhì)

例1某種電池可使用80小時(shí)以上的概率為0.9,可使用100小時(shí)以上的概率為0.65．一只電池已使用了80小時(shí),求它還可以使用至少20小時(shí)的概率．解設(shè)事件A={使用80小時(shí)以上},B={使用100小時(shí)以上},由條件概率公式得例2一批同型號(hào)的產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn),產(chǎn)品合格情況如下表

數(shù)量

廠別甲廠乙廠合計(jì)

等級(jí)合格品4756441119次

品255681合

計(jì)5007001200從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地取一件,假設(shè)被告之取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的,那么這件產(chǎn)品為次品的概率是又是多少?如果發(fā)現(xiàn)該產(chǎn)品是次品,那么這件產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率又是多少?解記“取出的產(chǎn)品為次品”這一事件為

A,“取出的產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的”這一事件為

B

.由條件概率公式,取出的是甲廠生產(chǎn)的條件下,產(chǎn)品為次品的概率為

而取出的是次品的條件下,產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn)的概率為9.2.2乘法公式由條件概率公式和變形可以得到上述兩式稱為概率的乘法公式,它可推廣到多個(gè)事件的乘積:兩事件的乘法公式多個(gè)事件的乘法公式

例3某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為

,若第一次落下未打破,第二次落下時(shí)打破的概率為

,若前兩次落下均未打破,第三次落下時(shí)打破的概率為

.求透鏡落下三次未打破的概率.

解設(shè)

{透鏡第次落下打破},

,

B=

{透鏡落下三次未打破}.因?yàn)?故有(1）無(wú)放回地抽取時(shí),在第一次取到白球的條件下,袋中剩下的球?yàn)?個(gè)黑球,3個(gè)白球,第二次取到黑球的概率為9.2.3事件的獨(dú)立性注意到采用無(wú)放回的方式抽取時(shí),第一次有沒有取到白球?qū)Φ诙稳〉胶谇蚋怕实挠?jì)算是有影響的.在條件概率中我們注意到,一般來(lái)說(shuō)

,即A是否發(fā)生對(duì)B

發(fā)生的概率是有影響的.但例外的情形大量存在.例如，袋中有5個(gè)黑球和3個(gè)白球，從袋中取球兩次，設(shè)A={第一次取到白球},B={第二次取到黑球}，討論第一次取到白球的條件下，第二次取到黑球的概率：（2）有放回地抽取時(shí),無(wú)論第一次取到的情況如何,在第二次取球時(shí),仍有5個(gè)黑球3個(gè)白球,故有但在采用有放回的方式時(shí),事件B

發(fā)生的概率不受事件A是否發(fā)生的影響.實(shí)際上,事件

A發(fā)生的概率也與事件B無(wú)關(guān).這就是事件的獨(dú)立性．性質(zhì)1事件

A與B

相互獨(dú)立的充要條件是性質(zhì)2若

,則事件A

與

B相互獨(dú)立的充要條件是

.兩事件的獨(dú)立性相互獨(dú)立的事件有如下性質(zhì)：定義9.9

在兩個(gè)事件

A,B

中,任一事件的發(fā)生與否不影響另一事件的發(fā)生,則稱事件A

與B

是相互獨(dú)立的．(時(shí)有類似的結(jié)論)

性質(zhì)3若事件A與B相互獨(dú)立,則A

與

,

與B

,

與

也都相互獨(dú)立．下面我們來(lái)定義

n個(gè)事件的獨(dú)立性.例如,n=3時(shí),

相互獨(dú)立,當(dāng)且僅當(dāng)以下4個(gè)等式同時(shí)成立:定義9.10

設(shè)

是n個(gè)事件,若其中任意兩個(gè)事件間均相互獨(dú)立,則稱

兩兩獨(dú)立.在實(shí)際中,我們一般不會(huì)借助公式

來(lái)判斷事件間的獨(dú)立性.n個(gè)事件的獨(dú)立性可見

n個(gè)事件兩兩獨(dú)立不能等同于n

個(gè)事件相互獨(dú)立.

n個(gè)事件相互獨(dú)立時(shí)必有事件兩兩獨(dú)立,反之不真.而是根據(jù)獨(dú)立的意義和事件的實(shí)際背景來(lái)進(jìn)行判斷.當(dāng)事件具有獨(dú)立性時(shí),許多概率的計(jì)算就能大大簡(jiǎn)化.如果事件間沒有關(guān)聯(lián)或者關(guān)聯(lián)非常弱,就可以認(rèn)為它們之間是相互獨(dú)立的.(2)設(shè)

C={恰有一人通過(guò)考試},則(1)兩人都能通過(guò)考試概率為由性質(zhì)2可知

A

與

,例4甲、乙二人去考駕照,如果甲通過(guò)考試的概率為0.8,乙通過(guò)考試的概率為0.6,求(1)兩人都能通過(guò)考試的概率；(2)恰有一人通過(guò)考試的概率；（3）至少有一個(gè)人通過(guò)考試的概率．解設(shè)A={甲通過(guò)考試},B={乙通過(guò)考試}.在考試過(guò)程中,由于甲是否通過(guò)不會(huì)影響到乙的通過(guò),于是A與B相互獨(dú)立,與B

,

與

也相互獨(dú)立．所以(3)設(shè)D={至少有一人通過(guò)考試},則D=A+B,所以例5設(shè)口袋里裝有四張形狀相同的卡片,在四張卡片上依次標(biāo)有下列各組數(shù)字:110,101,011,000.從袋中任取一張卡片,記

{取到的卡片第位上的數(shù)字為1}.可見

成立,但,證明:

兩兩獨(dú)立,但

不相互獨(dú)立.證明由題意知,

即

兩兩獨(dú)立.故

不相互獨(dú)立.應(yīng)用與實(shí)踐案例1(系統(tǒng)的可靠性)一個(gè)元件能正常工作的概率稱為元件的可靠性,而元件組成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性.可靠性數(shù)學(xué)理論起源于20世紀(jì)30年代,最早研究的領(lǐng)域包括機(jī)器維修、設(shè)備更新和材料疲勞壽命等問(wèn)題.第二次世界大戰(zhàn)期間,由于研制使用復(fù)雜的軍事裝備和評(píng)定改善系統(tǒng)可靠性的需要,可靠性理論得到重視和發(fā)展,它的應(yīng)用已經(jīng)從軍事部門擴(kuò)展到國(guó)民經(jīng)濟(jì)的許多領(lǐng)域.如圖9-8所示,這是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖,A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.它們下方的數(shù)字是各自的可靠性,求該電路的可靠性.

圖9-8由于各元件的能否正常工作相互獨(dú)立,綜上有于是事件W

發(fā)生等價(jià)于事件A、B、(C+D+E)、(F+G)

、和事件

H同時(shí)發(fā)生.設(shè)電路的可靠性為W

,并用A、B、C、D、E、F、G、H

表示對(duì)應(yīng)元件的可靠性.其中

(C+D+E)

表示C、D、E這三個(gè)元件至少有一個(gè)正常工作,(F+G)表示F、G這兩個(gè)元件至少有一個(gè)正常工作.案例2(保險(xiǎn)賠付問(wèn)題)設(shè)有n

個(gè)人向保險(xiǎn)公司購(gòu)買人身意外險(xiǎn),保期為一年.假定投保人在一年內(nèi)發(fā)生意外的概率為0.01,求:(1)該保險(xiǎn)公司賠付的概率；(2)多大的n

使得以上賠付的概率不低于

.解

(1)設(shè)

表示第

個(gè)投保人出現(xiàn)意外,

A表示保險(xiǎn)公司賠付,則

相互獨(dú)立,(2)若要，即要

,則有且

因此但若重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí),小概率事件至少發(fā)生一次的可能性是不容忽視的.這表明,雖然0.01是概率也就是說(shuō),當(dāng)投保人數(shù)不少于685時(shí),則保險(xiǎn)公司有大于一半的概率需要賠付.很小的事件,第九章概率論基礎(chǔ)第三節(jié)隨機(jī)變量及其分布情景與問(wèn)題引例3將一根長(zhǎng)度為

的桿分成兩段,記X

為較長(zhǎng)一段的桿的長(zhǎng)度.則

表示“截取的較長(zhǎng)一段的桿的長(zhǎng)度在

到

之間”.引例2某人計(jì)劃到外地某城市旅游,他可以選擇坐飛機(jī),乘火車或者自駕前往.花費(fèi)分別是1000元,300元和1200元.而該名旅行者選擇三種交通工具的概率依次為:

.定義函數(shù)X為旅行的費(fèi)用,則“

”等價(jià)于事件“坐火車”,

這一事件的概率記為

.這里“

”等價(jià)于事件“硬幣正面向上”,且

.引例1擲均勻的硬幣一次,結(jié)果為正面向上或反面向上.定義函數(shù)

為

我們注意到,一些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果直接與數(shù)值有關(guān),例如引例2和引例3.在所討論的隨機(jī)試驗(yàn)中,人們通過(guò)引入與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有關(guān)系的變量,以達(dá)到對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)更好的了解,雖然與數(shù)值沒有直接關(guān)系,但通過(guò)引入函數(shù)

X

,其結(jié)果也能與數(shù)值聯(lián)系起來(lái).整體上對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)進(jìn)行準(zhǔn)確刻畫,這樣的變量便稱為隨機(jī)變量.并從本節(jié)重點(diǎn)研究隨機(jī)變量相關(guān)概率及其分布.而引例1中拋硬幣的試驗(yàn)的結(jié)果9.3.1隨機(jī)變量的概念定義9.11

定義在樣本空間上的單值實(shí)函數(shù)

,對(duì)于任意實(shí)數(shù)

x,集合

都是隨機(jī)事件,則稱

X

為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量常用大寫字母

或希臘字母

等表示.隨機(jī)變量的引入,使隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).比如：引例3中,事件{桿正好從中點(diǎn)截開}可用

來(lái)表示.ΩX(ω)Rω2ω1隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生,是概率論發(fā)展史上一次重大的飛躍.對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對(duì)事件及其概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,隨機(jī)變量按其取值情況分為離散型和非離散型.若隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列個(gè),這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量,如引例1、引例2.在非離散隨機(jī)變量中,最常見的是連續(xù)型隨機(jī)變量.隨機(jī)變量的分類使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的探討.連續(xù)型隨機(jī)變量是指按一定的概率規(guī)律在某一個(gè)或若干個(gè)有限或無(wú)限區(qū)間上取值的隨機(jī)變量,如引例3.9.3.2離散型隨機(jī)變量(1)

（k

=1,2,3,…）；定義9.12

設(shè)隨機(jī)變量X的可能取值為

其相應(yīng)的概率(k=1,2,3,…)稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布,或分布律、分布列,簡(jiǎn)稱為分布.隨機(jī)變量X的概率分布常用表格形式表示：其中概率

（k=1,2,3,…）有如下性質(zhì)：(2)

“X=1”表示射擊一次就中靶,則

“X=2”表示第一次射擊未中靶,且第二次射擊中靶,

例1某射擊運(yùn)動(dòng)員每次射擊中靶與否互不影響,每次射擊中靶概率p,X表示射擊直到擊中目標(biāo)為止的射擊次數(shù).求出

X的分布律．解

X為離散型隨機(jī)變量,可能的取值為正整數(shù),相應(yīng)的概率如下

“X=k”表示前k-1次射擊未中靶,且第

k次射擊中靶,由此的到X

的分布律為:k=1,2,3,…解(1)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的性質(zhì),有關(guān)系式:求:(1)常數(shù)

a

；(2)概率

及

.例2設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列是:(2)代入常數(shù)

a

,得

X的分布律為：a+a+2a=1,則a

=.兩點(diǎn)分布的分布律為:拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面或反面,產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)結(jié)果合格或不合格,子彈命中目標(biāo)是與否,這些試驗(yàn)中隨機(jī)變量的共同特點(diǎn)是只有兩個(gè)取值,其分布列為：其中此時(shí)稱

服從參數(shù)為

的兩點(diǎn)分布或0-1分布．常見的離散型隨機(jī)變量有兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布1.兩點(diǎn)分布例3一批種子的不發(fā)芽率為0.05,從中抽取一粒,隨機(jī)變量X

表示發(fā)芽的種子數(shù),則X為服從參數(shù)為0.05的兩點(diǎn)分布.新生兒性別男或女等等,將一枚硬幣連續(xù)拋擲三次,

表示三次試驗(yàn)中,正面出現(xiàn)的次數(shù).如何求

的分布律?(1)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)進(jìn)行

次,如“將一枚硬幣連續(xù)拋擲三次”的試驗(yàn)是的貝努利概型：在

重獨(dú)立試驗(yàn)中,如果每次試驗(yàn)只有

和兩個(gè)結(jié)果,且在每次試驗(yàn)中保持不變,2.二項(xiàng)分布這類問(wèn)題涉及到獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．重獨(dú)立試驗(yàn)是指:(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的.相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型稱為貝努利概型.則稱此類試驗(yàn)為

重貝努利試驗(yàn),“拋骰子三次”的試驗(yàn)仍可視為貝努利概型：試驗(yàn)重復(fù)了三次,每次拋得每次拋擲只有正面和反面兩個(gè)結(jié)果.

的結(jié)果之間相互獨(dú)立,設(shè)

={拋得點(diǎn)數(shù)6}和

={未拋得點(diǎn)數(shù)6},此時(shí)每次拋擲只有

和

兩個(gè)結(jié)果.“三粒骰子拋擲一次”能否視為貝努力概型？記為

在

重貝努利試驗(yàn)中,如果一次試驗(yàn)事件

發(fā)生的概率是

,是二項(xiàng)展開式的第

項(xiàng)而得名.特別地,當(dāng)

時(shí),二項(xiàng)分布就是兩點(diǎn)分布．二項(xiàng)分布是“

重貝努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)”這一隨機(jī)變量的分布列.表示事件

在

次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則的概率為此時(shí),我們則稱

服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布,這時(shí)10個(gè)螺絲中次品的個(gè)數(shù)

.例4某工廠生產(chǎn)的螺絲的次品率為5%,每個(gè)螺絲是否為次品是相互獨(dú)立的.工廠將10個(gè)螺絲包成一包出售,并保證若發(fā)現(xiàn)一包內(nèi)多于一個(gè)次品即可退貨,求某包螺絲次品個(gè)數(shù)的分布律和售出螺絲的退貨率．解對(duì)10個(gè)一包的螺絲進(jìn)行檢驗(yàn),可以看成是獨(dú)立地進(jìn)行了10次試驗(yàn),設(shè)

A={該包螺絲被退回},則由于每個(gè)螺絲為次品的概率是0.05,解9個(gè)工人相互獨(dú)立的工作,可以看成是9重的貝努利概型.故需用電的工人數(shù)

.由于

,事實(shí)上,對(duì)于任意的

n,p

,二項(xiàng)分布都具有以下的性質(zhì):P(X=k)總是隨著k的增大而增大,可以證明,

P(X=k)在[(n+1)p]處取得最大值,此時(shí)的[(n+1)p]稱為二項(xiàng)分布的最可能值.例5在一個(gè)車間里有9個(gè)工人相互獨(dú)立地工作,且他們間歇地用電,若每個(gè)工人在1小時(shí)內(nèi)平均有12分鐘用電,問(wèn)在1小時(shí)內(nèi)最可能有多少工人需要用電？則1小時(shí)內(nèi)最可能需要用電的工人為2人或者3人.由于每個(gè)工人一小時(shí)內(nèi)用電的概率為

,每個(gè)工人只有用電和不用電兩種狀態(tài),直到達(dá)到最大值,然后再隨著

k的增大而減小.如果[(n+1)p]為整數(shù),那么二項(xiàng)分布同時(shí)在[(n+1)p]-1處概率取得最大值.設(shè)X

表示答對(duì)的題目數(shù),則

.例6考試碰運(yùn)氣是否靠譜.大學(xué)英語(yǔ)四六級(jí)是大學(xué)生英語(yǔ)能力水平的一種考試,學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)需完成包括聽力,閱讀,完形填空,翻譯,作文等.其中有大部分的選擇題.現(xiàn)在假設(shè)某次英語(yǔ)考試,除作文15分外,其余85分均為單項(xiàng)選擇題,每題1分,每題有4個(gè)選項(xiàng).考試滿分為100分,及格分?jǐn)?shù)60分.這種考試方式使部分同學(xué)抱有僥幸心理,如果運(yùn)氣不錯(cuò),說(shuō)不定靠猜測(cè)可以通過(guò)考試.真是這樣嗎?解下面我們來(lái)算算靠運(yùn)氣通過(guò)考試的可能性.必須答對(duì)51道以上.考慮作文的15分,按及格分60%的比例計(jì)算,85道選擇題85道選擇題可以看成85重的貝努利試驗(yàn),則及格的概率為所以努力學(xué)習(xí)才是通過(guò)考試的正確途徑!此概率非常的小,相當(dāng)于1000億個(gè)碰運(yùn)氣的考生中,大概有0.874的人能夠通過(guò)考試,這顯然是幾乎不可能發(fā)生的事情.雙色球中頭獎(jiǎng)的概率大概為1700萬(wàn)分之一,頭獎(jiǎng)的概率還要低．也就是說(shuō)憑運(yùn)氣通過(guò)該英語(yǔ)考試的概率比彩票中則稱X

為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱

為隨機(jī)變量

的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱密度函數(shù)或概率密度．9.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量定義9.13對(duì)于隨機(jī)變量

X,若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)

,使得對(duì)任意實(shí)數(shù)a

,b,性質(zhì)1

性質(zhì)2

(a<b)有由密度函數(shù)的定義可知,

具有下列兩個(gè)性質(zhì)：概率密度

的作用類似于離散型隨機(jī)變量的分布列,都是刻畫隨機(jī)變量取值的規(guī)律.

圖9-9圖9-10概率密度的幾何解釋下面從幾何的角度來(lái)解釋密度函數(shù)的意義:密度曲線位于x

軸上方,在直角坐標(biāo)系中畫出密度函數(shù)

的圖像,稱其為密度曲線,X

在任一區(qū)間[a,b]內(nèi)取值的概率等于以[a,b]為底,曲線為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e(如圖9-9),而

與x

軸之間的面積為1(如圖9-10)．由定義可知,對(duì)任意實(shí)數(shù)

a,有

P(X=

a

)=0

,從而有（2）在密度函數(shù)

的連續(xù)點(diǎn)處,分布函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)存在,并且有:（1）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)

,有:定義9.14

設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,x

是任意實(shí)數(shù),函數(shù)性質(zhì)2

,且性質(zhì)3

為右連續(xù)函數(shù).為了對(duì)離散型及連續(xù)型隨機(jī)變量進(jìn)行統(tǒng)一的分析和研究,接下來(lái)進(jìn)一步引入隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念.稱為X

的分布函數(shù).密度函數(shù)

具有以下的基本性質(zhì):性質(zhì)1

單調(diào)不減.解由概率密度函數(shù)的性質(zhì)2,例6

若隨機(jī)變量

X具有概率密度,求

的值,并計(jì)算X

的分布函數(shù).則

是不可能事件,若

,若

,得.

于是則則綜上有若,例6中,隨機(jī)變量

X

的概率密度函數(shù)是，記為我們稱這樣的隨機(jī)變量X均勻分布的密度函數(shù)圖形如圖9-11所示.

圖9-11均勻分布在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，注意：若隨機(jī)變量

X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布,則

A落在區(qū)間

[a,b]內(nèi)任意子區(qū)間

[c,d]上的概率只與[c,d]

的長(zhǎng)度有關(guān),而與

[c,d]的位置無(wú)關(guān).例8還有什么簡(jiǎn)易求解方法？故有例7

設(shè)電阻值R

是一個(gè)隨機(jī)變量,均勻分布在,求

R的概率密度,并計(jì)算R

落在900~1100Ω之間的概率.

解由題意,R的概率密度函數(shù)為則稱隨機(jī)變量

X服從正態(tài)分布,9.3.4正態(tài)分布記作,

其中參數(shù)滿足.

如果隨機(jī)變量X

的概率密度函數(shù)是正態(tài)分布是概率論中最重要的分布.在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中,很多隨機(jī)變量都服從或者近似服從正態(tài)分布.可以認(rèn)為服從正態(tài)分布.例如,測(cè)量誤差、彈著點(diǎn)、人的身高或體重、智商、某教學(xué)班的考試成績(jī)等等都19世紀(jì)前葉德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯促進(jìn)了正態(tài)分布的推廣和應(yīng)用,所以正態(tài)分布也被稱為高斯分布.正態(tài)曲線以

為對(duì)稱軸,當(dāng)

時(shí)，取最大值

.固定

改變

值時(shí),圖9-12正態(tài)曲線正態(tài)分布的密度函數(shù)圖形如圖9-12所示,稱為正態(tài)曲線.正態(tài)分布曲線的形態(tài)取決于密度函數(shù)中的兩個(gè)參數(shù)：曲線沿x

軸平移,而不改變其形狀,即

決定正態(tài)曲線的位置；固定

改變

的值時(shí),圖形的形狀發(fā)生變化而位置不變，越大,圖形會(huì)變得越平坦,而

越小,圖形會(huì)變得越陡峭.故

決定正態(tài)曲線的陡緩程度．●●特別地,當(dāng)

時(shí),稱X

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作

,

分布函數(shù)分別用

和

表示:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)

如圖9-13所示.

圖9-13為偶函數(shù),即

,最大值是

,以

為拐點(diǎn),以x

軸為漸近線.其概率密度函數(shù)為和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布為了便于計(jì)算正態(tài)分布的概率,人們編制了分布函數(shù)

的函數(shù)值表以供查閱.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中只給出了當(dāng)

時(shí)

的值.由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的對(duì)稱性,有隨機(jī)變量X

在區(qū)間[a,b]上的概率為:即因此,當(dāng)x<0時(shí),可利用上式查表計(jì)算.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表例9設(shè)

,求：解(1)(2)(3)(4)一般的正態(tài)分布概率計(jì)算可以證明,若，則，這樣,所有的正態(tài)分布都可以此時(shí)其中線性代換稱為隨機(jī)變量

X的標(biāo)準(zhǔn)化.通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化后查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來(lái)計(jì)算概率.例如：設(shè)求根據(jù)公式解(1)例10設(shè)

,求：(1)

(2)(3)(2)(3)例10的結(jié)果表明：正態(tài)分布隨機(jī)變量的取值落在區(qū)間

之外的可能性是非常小,3σ原則這就是著名的正態(tài)分布“3σ原則”.正態(tài)分布的取值落在區(qū)間

之內(nèi)幾乎是必然的,這在一次試驗(yàn)中這幾乎不會(huì)發(fā)生.例11公共汽車的車門高度是按成年男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)不超過(guò)1%設(shè)計(jì).設(shè)成年男子身高(單位:厘米)服從正態(tài)分布

,求車門的最低高度.查表得

,解設(shè)車門的高度為

a.根據(jù)成年男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)不超過(guò)1%知:即解得按照設(shè)計(jì)要求，公共汽車車門的高度至少為189厘米.應(yīng)用與實(shí)踐案例1(說(shuō)明書的真實(shí)性)某廠家宣稱其生產(chǎn)的成人增高鞋墊有效率在97%以上.小劉得知此消息后立即購(gòu)買了一副這樣的鞋墊．但使用一段時(shí)間之后,發(fā)現(xiàn)自己的身高沒有絲毫變化,很是疑惑.于是他隨機(jī)詢問(wèn)了其他同樣購(gòu)買這款產(chǎn)品的4人,結(jié)果有3人明確表示身高也沒有變化.小劉懷疑遇到黑心廠家,又怕廠家說(shuō)自己只是運(yùn)氣不好,恰恰就是那3%之列.小劉只能自認(rèn)倒霉嗎？對(duì)于小劉及他隨機(jī)詢問(wèn)的人中,有4人明確表示產(chǎn)品沒有效果．由于購(gòu)買者眾多,隨機(jī)選取的這5人相對(duì)人數(shù)較少,可以看成是有放回的抽樣,誤差不會(huì)太大．我們將涉及的5人看成5重貝努利試驗(yàn),則A={5人中有4人沒有療效}這一事件的概率為所以事件

A是小概率事件,且小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎不會(huì)發(fā)生,但現(xiàn)在事件

A竟然發(fā)生了,我們有理由懷疑最初的正品率高達(dá)97%的宣傳,從而認(rèn)為小劉身高沒有變化不是運(yùn)氣欠佳,而是廠家誤導(dǎo)消費(fèi)者所致．案例2(軟件開機(jī)耗時(shí)頁(yè)面)電腦開機(jī)后,各殺毒軟件都會(huì)監(jiān)測(cè)開機(jī)耗時(shí).右圖是大家非常熟悉的開機(jī)界面,告訴用戶開機(jī)所用的時(shí)間,并提示你的開機(jī)所用時(shí)間擊敗了全國(guó)百分之多少的電腦.圖9-14軟件工程師是怎么實(shí)現(xiàn)這個(gè)功能的呢？你可能會(huì)覺得它是這樣設(shè)計(jì)的：第一步：收集所有用戶的開機(jī)時(shí)間的數(shù)據(jù),排好序放在一個(gè)數(shù)據(jù)庫(kù)中；第二步：根據(jù)你的開機(jī)時(shí)間,找出你的排名,除以總用戶數(shù),就是你擊敗電腦占比.聽起來(lái)這樣的設(shè)計(jì)排名算法非常合理,但存在以下幾個(gè)漏洞：那這個(gè)功能究竟是如何設(shè)計(jì)的呢？實(shí)際中，軟件工程師們會(huì)收集盡量多的用戶的開機(jī)時(shí)間,然后查看開機(jī)時(shí)間可能服從的分布.一旦確定數(shù)據(jù)是正態(tài)分布之后,事情就變得非常簡(jiǎn)單了.利用統(tǒng)計(jì)方法可以確定正態(tài)分布模型的參數(shù)，在此基礎(chǔ)上，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)的占比即可.

假設(shè)已經(jīng)確定開機(jī)時(shí)間X

(單位：秒)服從正態(tài)分布，且

.有位用戶開機(jī)時(shí)間為38秒,他的擊敗電腦占比值是多少呢？1.電腦開機(jī)的時(shí)候并沒有連接網(wǎng)絡(luò),那就無(wú)法請(qǐng)求到其他所有用戶的開機(jī)數(shù)據(jù)；2.就算所有用戶的數(shù)據(jù),已經(jīng)下載到你本地,根據(jù)不完全統(tǒng)計(jì),該殺毒軟件的用戶數(shù),估計(jì)在10億以上,超過(guò)10億行的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較統(tǒng)計(jì),放在開機(jī)這個(gè)地方運(yùn)行,恐怕不合乎邏輯,而且做過(guò)軟件開發(fā)的人都知道,這種同步數(shù)據(jù)的方式,非常令人頭疼.這表明該用戶的開機(jī)所用時(shí)間，擊敗了全國(guó)87.5%的電腦.第九章概率論基礎(chǔ)第四節(jié)隨機(jī)變量的數(shù)字特征引例1工人甲生產(chǎn)一種機(jī)器零件,生產(chǎn)過(guò)程中可能會(huì)產(chǎn)生廢品.表9-5為總結(jié)經(jīng)驗(yàn)得到的工人甲的生產(chǎn)記錄表,記錄了甲生產(chǎn)的廢品數(shù)

及出現(xiàn)

個(gè)次品對(duì)應(yīng)的概率

.試問(wèn)長(zhǎng)期來(lái)看,工人甲每周的次品數(shù)平均是多少呢?情景與問(wèn)題廢品數(shù)

0

1

2

3

0.67

0.260.05

0.02現(xiàn)在需要從中選拔一名運(yùn)動(dòng)員去參加比賽,哪位運(yùn)動(dòng)員的訓(xùn)練水平更高呢?引例2射擊運(yùn)動(dòng)員甲和乙,所得的環(huán)數(shù)

和

是隨機(jī)變量,并具有以下的分布律:

7

8

9

0.1

0.8

0.1

6789

100.10.20.40.20.1之前學(xué)習(xí)的密度函數(shù)和分布函數(shù),能夠非常完整的描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征.然而,在很多實(shí)際問(wèn)題中,確定隨機(jī)變量的分布并不容易,往往也不是必要的,我們只要知道它的某些特征即可.例如,評(píng)價(jià)兩個(gè)班級(jí)某門課程成績(jī)的好壞,我們關(guān)心的是哪個(gè)班的平均成績(jī)誰(shuí)更高一些,而對(duì)成績(jī)具體服從什么樣的分布并不在意.引例1中工人甲每周的平均次品數(shù),比具體某次生產(chǎn)記錄更能反映工人的技術(shù)水平.引例2運(yùn)動(dòng)員的選拔中,教練更看重的指標(biāo)是成績(jī)的穩(wěn)定程度,而不是某一次射擊成績(jī)的好壞.這種本質(zhì)上由隨機(jī)變量的分布所確定,能刻畫隨機(jī)變量某些特征的確定的數(shù)值稱為隨機(jī)變量數(shù)字特征.本節(jié)便著手研究隨機(jī)變量最重要的兩個(gè)數(shù)字特征：期望與方差.

定義9.15設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

(k=1,2,3,…),則和數(shù)稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望,簡(jiǎn)稱期望或均值,記作,即9.4.1數(shù)學(xué)期望如在引例1中,工人甲每周平均生產(chǎn)的廢品數(shù)即

的平均值為一般地,如果函數(shù)

的數(shù)學(xué)期望存在,則當(dāng)X

的取值為有限時(shí),計(jì)算和式

即可,此時(shí)數(shù)學(xué)期望一定存在.而當(dāng)X的取值為無(wú)限時(shí),數(shù)學(xué)期望定義中的級(jí)數(shù)

要求絕對(duì)收斂.否則,數(shù)學(xué)期望不存在.數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的加權(quán)平均值，它不在是隨機(jī)變量而是一個(gè)常數(shù).例1設(shè)X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,求.

例2投資總會(huì)伴隨著風(fēng)險(xiǎn).某人有10萬(wàn)元現(xiàn)金,想投資于某項(xiàng)目,預(yù)估成功的機(jī)會(huì)為30%,可得利潤(rùn)8萬(wàn)元；失敗的機(jī)會(huì)為70%,將損失2萬(wàn)元.若存入銀行,同期利潤(rùn)為5%,問(wèn)是否應(yīng)該做此投資呢?解從收益的期望角度看,投資的平均收益高于銀行利息,解設(shè)此人的投資收益為X

,則

(萬(wàn)元).而存入銀行的利息為(萬(wàn)元).應(yīng)當(dāng)選擇投資,當(dāng)然此時(shí)要冒一定的風(fēng)險(xiǎn).例3甲和乙兩人商量的賭博規(guī)則是:拋擲兩粒均勻的骰子,如果同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)六點(diǎn),甲付給乙30元,否則,乙付給甲1元.你認(rèn)為這樣的規(guī)則合理嗎?在一次投擲中,設(shè)甲的收益為X

,乙的收益為Y.

解如果一種規(guī)則公平合理,那凈利潤(rùn)的期望應(yīng)該為零.甲盈利的期望為:乙盈利的期望為:結(jié)果表明,如果賭博36局,平均甲會(huì)贏5元,乙輸5元,顯然結(jié)果對(duì)甲更有利,規(guī)則并不合理.

X

1-30

Y

-130

X和Y的分布律分別為:定義9.16如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

,而積分

絕對(duì)收斂,如果

是隨機(jī)變量X的函數(shù),且積分

絕對(duì)收斂,則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量X的期望（或均值）．且為則

的數(shù)學(xué)期望存在,例4隨機(jī)變量X在

上服從均勻分布,求

和.

本例中的X稱為服從參數(shù)是

的指數(shù)分布.當(dāng)X

表示電子原件壽命時(shí),

就是電子元件的平均壽命.顯然，當(dāng)

越小時(shí)平均壽命越長(zhǎng).解

例5隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為,求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.解因?yàn)閄的密度函數(shù)為

則指數(shù)分布的應(yīng)用很廣,比如電子原件的使用壽命、電話通話時(shí)間、排隊(duì)的等待時(shí)間等都服從指數(shù)分布.推廣性質(zhì)1設(shè)C

為任意常數(shù),則性質(zhì)2設(shè)X是隨機(jī)變量,C為常數(shù),則性質(zhì)3設(shè)

是任意兩個(gè)隨機(jī)變量,則數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)對(duì)于多個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性可以根據(jù)它們的實(shí)際意義來(lái)判斷:當(dāng)每個(gè)隨機(jī)變量在取值時(shí)的概率互不影響時(shí),稱它們相互獨(dú)立.性質(zhì)4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,則推廣設(shè)

相互獨(dú)立,則例6設(shè)

,利用期望的性質(zhì)求由例1知,.

解設(shè)X

表示n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件

A發(fā)生的次數(shù),即則

服從參數(shù)為P

的兩點(diǎn)分布,因?yàn)閯t由期望的性質(zhì)知:9.4.2方差即

的大小.定義

,稱為X

的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差．如果X

是離散型隨機(jī)變量,其分布列為

,如果X

是連續(xù)型隨機(jī)變量