黑龍江省雞西市東方紅林業(yè)局中學2023-2024學年高三(高補班)下學期期中考試數學試題_第1頁
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黑龍江省雞西市東方紅林業(yè)局中學2023-2024學年高三(高補班)下學期期中考試數學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知非零向量滿足,,且與的夾角為,則()A.6 B. C. D.32.已知函數若函數在上零點最多,則實數的取值范圍是()A. B. C. D.3.已知集合,則集合的非空子集個數是()A.2 B.3 C.7 D.84.已知,,分別為內角,,的對邊,,,的面積為,則()A. B.4 C.5 D.5.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點,若線段中點的橫坐標為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積等于()cm3A. B. C. D.7.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.68.如圖所示,三國時代數學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖,給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形(陰影),設直角三角形有一內角為,若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒(米粒大小忽略不計,取),則落在小正方形(陰影)內的米粒數大約為()A.134 B.67 C.182 D.1089.在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中,P為A1D1的中點,若三棱錐P?ABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為()A.12 B. C. D.1010.三棱錐中,側棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.11.已知復數(為虛數單位,),則在復平面內對應的點所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12.下圖所示函數圖象經過何種變換可以得到的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數的極大值為______.14.兩光滑的曲線相切,那么它們在公共點處的切線方向相同.如圖所示,一列圓(an>0,rn>0,n=1,2…)逐個外切,且均與曲線y=x2相切,若r1=1,則a1=___,rn=______15.已知雙曲線的左、右焦點分別為為雙曲線上任一點,且的最小值為,則該雙曲線的離心率是__________.16.已知平面向量、的夾角為,且,則的最大值是_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知實數x,y,z滿足,證明:.18.(12分)在平面直角坐標系中,橢圓:的右焦點為(,為常數),離心率等于0.8,過焦點、傾斜角為的直線交橢圓于、兩點.⑴求橢圓的標準方程;⑵若時,,求實數;⑶試問的值是否與的大小無關,并證明你的結論.19.(12分)已知在平面直角坐標系中,橢圓的焦點為為橢圓上任意一點,且.(1)求橢圓的標準方程;(2)若直線交橢圓于兩點,且滿足(分別為直線的斜率),求的面積為時直線的方程.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,,點、分別為,的中點,且平面平面.(1)求證:平面.(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)某早餐店對一款新口味的酸奶進行了一段時間試銷,定價為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應,每天的銷售數據按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質期短,當天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計算時每個分組取中間值作為代表,比如銷量為時看作銷量為瓶).①設早餐店批發(fā)一大箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量,批發(fā)一小箱時,當天這款酸奶的利潤為隨機變量,求和的分布列和數學期望;②以利潤作為決策依據,該早餐店應每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價;利潤=銷售額-批發(fā)成本.22.(10分)已知A是拋物線E:y2=2px(p>0)上的一點,以點A和點B(2,0)為直徑兩端點的圓C交直線x=1于M,N兩點.(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程;(2)若0<p<1,拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點為P,Q,點G為PQ的中點,O為坐標原點,求直線OG斜率的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則,判斷四邊形的形狀,推出結果即可.【詳解】解:非零向量,滿足,可知兩個向量垂直,,且與的夾角為,說明以向量,為鄰邊,為對角線的平行四邊形是正方形,所以則.故選:.【點睛】本題考查向量的幾何意義,向量加法的平行四邊形法則的應用,考查分析問題解決問題的能力,屬于基礎題.2、D【解析】

將函數的零點個數問題轉化為函數與直線的交點的個數問題,畫出函數的圖象,易知直線過定點,故與在時的圖象必有兩個交點,故只需與在時的圖象有兩個交點,再與切線問題相結合,即可求解.【詳解】由圖知與有個公共點即可,即,當設切點,則,.故選:D.【點睛】本題考查了函數的零點個數的問題,曲線的切線問題,注意運用轉化思想和數形結合思想,屬于較難的壓軸題.3、C【解析】

先確定集合中元素,可得非空子集個數.【詳解】由題意,共3個元素,其子集個數為,非空子集有7個.故選:C.【點睛】本題考查集合的概念,考查子集的概念,含有個元素的集合其子集個數為,非空子集有個.4、D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出,結合余弦定理即可求出的值.【詳解】解:,即,即.,則.,解得.,故選:D.【點睛】本題考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面積公式,考查同角三角函數的基本關系.本題的關鍵是通過正弦定理結合已知條件,得到角的正弦值余弦值.5、B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設拋物線的焦點為F,設點,由拋物線的定義可知,線段AB中點的橫坐標為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點睛】本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質的應用,利用拋物線的定義是解題的關鍵.6、D【解析】解:根據幾何體的三視圖知,該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結合圖中數據,計算它的體積為:V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=(6+1.5π)cm1.故答案為6+1.5π.點睛:根據幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體,結合圖中數據計算它的體積即可.7、A【解析】

由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關系,屬于基礎題.8、B【解析】

根據幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結論.【詳解】解:設大正方形的邊長為1,則小直角三角形的邊長為,

則小正方形的邊長為,小正方形的面積,

則落在小正方形(陰影)內的米粒數大約為,

故選:B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應用,求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.9、C【解析】

取B1C1的中點Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,此直三棱柱和三棱錐P?ABC有相同的外接球,求出等腰三角形的外接圓半徑,然后利用勾股定理可求出外接球的半徑【詳解】如圖,取B1C1的中點Q,連接PQ,BQ,CQ,PD,則三棱柱BCQ?ADP為直三棱柱,所以該直三棱柱的六個頂點都在球O的球面上,的外接圓直徑為,球O的半徑R滿足,所以球O的表面積S=4πR2=,故選:C.【點睛】此題考查三棱錐的外接球半徑與棱長的關系,及球的表面積公式,解題時要注意審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),屬于中檔題.10、B【解析】由題,側棱底面,,,,則根據余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點睛:本題考查的知識點是球內接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關鍵.11、B【解析】

分別比較復數的實部、虛部與0的大小關系,可判斷出在復平面內對應的點所在的象限.【詳解】因為時,所以,,所以復數在復平面內對應的點位于第二象限.故選:B.【點睛】本題考查復數的幾何意義,考查學生的計算求解能力,屬于基礎題.12、D【解析】

根據函數圖像得到函數的一個解析式為,再根據平移法則得到答案.【詳解】設函數解析式為,根據圖像:,,故,即,,,取,得到,函數向右平移個單位得到.故選:.【點睛】本題考查了根據函數圖像求函數解析式,三角函數平移,意在考查學生對于三角函數知識的綜合應用.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

先求函的定義域,再對函數進行求導,再解不等式得單調區(qū)間,進而求得極值點,即可求出函數的極大值.【詳解】函數,,,令得,,當時,,函數單調遞增;當時,,函數單調遞減,當時,函數取到極大值,極大值為.故答案為:.【點睛】本題考查利用導數研究函數的極值,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查運算求解能力,求解時注意定義域優(yōu)先法則的應用.14、【解析】

第一空:將圓與聯立,利用計算即可;第二空:找到兩外切的圓的圓心與半徑的關系,再將與聯立,得到,與結合可得為等差數列,進而可得.【詳解】當r1=1時,圓,與聯立消去得,則,解得;由圖可知當時,①,將與聯立消去得,則,整理得,代入①得,整理得,則.故答案為:;.【點睛】本題是拋物線與圓的關系背景下的數列題,關鍵是找到圓心和半徑的關系,建立遞推式,由遞推式求通項公式,綜合性較強,是一道難度較大的題目.15、【解析】

根據雙曲線方程,設及,將代入雙曲線方程并化簡可得,由題意的最小值為,結合平面向量數量積的坐標運算化簡,即可求得的值,進而求得離心率即可.【詳解】設點,,則,即,∵,,,當時,等號成立,∴,∴,∴.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線與向量的綜合應用,由平面向量數量積的最值求離心率,屬于中檔題.16、【解析】

建立平面直角坐標系,設,可得,進而可得出,,由此將轉化為以為自變量的三角函數,利用三角恒等變換思想以及正弦函數的有界性可得出結果.【詳解】根據題意建立平面直角坐標系如圖所示,設,,以、為鄰邊作平行四邊形,則,設,則,,且,在中,由正弦定理,得,即,在中,由正弦定理,得,即.,,則,當時,取最大值.故答案為:.【點睛】本題考查了向量的數量積最值的計算,將問題轉化為角的三角函數的最值問題是解答的關鍵,考查計算能力,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】

已知條件,需要證明的是,要想利用柯西不等式,需要的值,發(fā)現,則可以用柯西不等式.【詳解】,.由柯西不等式得,...【點睛】本題考查柯西不等式的應用,屬于基礎題.18、(1)(2)(3)為定值【解析】試題分析:(1)利用待定系數法可得,橢圓方程為;(2)我們要知道=的條件應用,在于直線交橢圓兩交點M,N的橫坐標為,這樣代入橢圓方程,容易得到,從而解得;(3)需討論斜率是否存在.一方面斜率不存在即=時,由(2)得;另一方面,當斜率存在即時,可設直線的斜率為,得直線MN:,聯立直線與橢圓方程,利用韋達定理和焦半徑公式,就能得到,所以為定值,與直線的傾斜角的大小無關試題解析:(1),得:,橢圓方程為(2)當時,,得:,于是當=時,,于是,得到(3)①當=時,由(2)知②當時,設直線的斜率為,,則直線MN:聯立橢圓方程有,,,=+==得綜上,為定值,與直線的傾斜角的大小無關考點:(1)待定系數求橢圓方程;(2)橢圓簡單的幾何性質;(3)直線與圓錐曲線19、(1)(2)或【解析】

(1)根據橢圓定義求得,得橢圓方程;(2)設,由得,應用韋達定理得,代入已知條件可得,再由橢圓中弦長公式求得弦長,原點到直線的距離,得三角形面積,從而可求得,得直線方程.【詳解】解:(1)據題意設橢圓的方程為則橢圓的標準方程為.(2)據得設,則又原點到直線的距離解得或所求直線的方程為或【點睛】本題考查求橢圓標準方程,考查直線與橢圓相交問題.解題時采取設而不求思想,即設交點坐標為,直線方程與橢圓方程聯立消元后應用韋達定理得,把這個結論代入題中條件求得參數,用它求弦長等等,從而解決問題.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)首先可得,再面面垂直的性質可得平面,即可得到,再由,即可得到線面垂直;(2)過點做平面的垂線,以為原點,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,利用空間向量法求出線面角;【詳解】解:(1)∵,點為的中點,∴,又∵平面平面,平面平面,平面,∴平面,又平面,∴,又∵,分別為,的中點,∴,∴,又平面,平面,,∴平面.(2)過點做平面的垂線,以為原點,分別以,,為,,軸建立空間直角坐標系,∵,∴,,,,∴,,,設平面的法向量為,由,得,令,得,∴,∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質定理的應用,利用空間向量法求線面角,屬于中檔題.21、;①詳見解析;②應該批發(fā)一大箱.【解析】

酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為,設“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況,分別求出相應概率,列出分布列,求出的數學期望,若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況,分別求出相應概率,由此求出的分布列和數學期望;②根據①中的計算結果,,從而早餐應該批發(fā)一大箱.【詳解】解:根據圖中數據,酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為.設“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況.當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元;當銷量為瓶時,利潤為元

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