第04講 橢圓方程及其性質(zhì)（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第04講橢圓方程及其性質(zhì)（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第16題,15分根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的離心率橢圓中三角形(四邊形)的面積根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)2024年新Ⅱ卷，第5題,5分求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程軌跡方程2023年新I卷，第5題,5分求橢圓的離心率或離心率的取值范圍由橢圓的離心率求參數(shù)的取值范圍無(wú)2023年新Ⅱ卷，第5題,5分根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍求橢圓中的參數(shù)及范圍圓中三角形(四邊形)的面積2022年新I卷，第16題,5分求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題2022年新Ⅱ卷，第16題,5分根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)由中點(diǎn)弦求弦方程2021年新I卷，第5題,5分橢圓定義及辨析基本不等式求積的最大值2021年新Ⅱ卷，第20題,12分根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓中的弦長(zhǎng)橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)2020年新I卷，第9題,5分判斷方程是否表示橢圓二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示雙曲線2020年新I卷，第22題,12分根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件問(wèn)題橢圓中的定值問(wèn)題2020年新Ⅱ卷，第10題,5分判斷方程是否表示橢圓二元二次方程表示的曲線與圓的關(guān)系判斷方程是否表示雙曲線2020年新Ⅱ卷，第21題,12分根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的切線方程橢圓中三角形(四邊形)的面積求橢圓中的最值問(wèn)題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.熟練掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)基本量的求解2.熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)，并會(huì)相關(guān)計(jì)算3.能熟練計(jì)算橢圓的離心率4.會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)橢圓方程簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用5.會(huì)求橢圓中的相關(guān)最值【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，常?？疾闃?biāo)準(zhǔn)方程的求解、基本量的計(jì)算及離心率的求解，需重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練知識(shí)講解橢圓的定義數(shù)學(xué)表達(dá)式橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：橢圓中，，的基本關(guān)系橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在軸上焦點(diǎn)在軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)坐標(biāo)，，，，長(zhǎng)軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)短軸短軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)焦點(diǎn)，，焦距焦距，半焦距對(duì)稱性對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心為離心率離心率對(duì)橢圓的影響越大，橢圓越扁越小，橢圓越圓，圓通徑（過(guò)橢圓焦點(diǎn)與坐標(biāo)軸垂直的直線截得的弦長(zhǎng)）通徑長(zhǎng)：，半通徑長(zhǎng)：橢圓中的兩個(gè)周長(zhǎng)問(wèn)題考點(diǎn)一、橢圓的定義及其應(yīng)用1．（2024·廣西南寧·二模）已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，則（

）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，求解即可.【詳解】由橢圓，可得，所以，因?yàn)榉謩e是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，所以，又，所以.故選：C.2．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用橢圓的定義及基本不等式可求答案.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值.故選：D.3．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，直線與交于、兩點(diǎn)，則周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得AB經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，結(jié)合橢圓定義計(jì)算即可得.【詳解】由，故AB經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，故的周長(zhǎng).故選：D.1．（2024·河北保定·三模）已知是橢圓：上一點(diǎn)，，分別為的左、右焦點(diǎn)，則（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】A【分析】直接根據(jù)橢圓的定義可求得答案.【詳解】由橢圓的定義可知，.故選：A.2．（2024·寧夏銀川·二模）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【分析】先根據(jù)條件得，再利用基本不等式求最值.【詳解】由已知可得為橢圓的焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.3．（24-25高三上·河北秦皇島·開學(xué)考試）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，線段的中垂線與交于兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．【答案】【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，，依題意可得為等邊三角形，從而得到直線過(guò)，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)及橢圓的定義計(jì)算可得.【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，連接，，，依題意可得長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，且，所以為等邊三角形，則直線過(guò)，所以，即的周長(zhǎng)為.故答案為：考點(diǎn)二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1．（2024·湖北荊州·三模）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則k的值為（

）A．4 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與焦點(diǎn)位置即可得解.【詳解】由題意得，，，，所以．故選：D．2．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)方程表示橢圓列不等式組，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知表示橢圓，則，解得.故選：A.3．（23-24高二上·廣東汕頭·期末）命題方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則使命題成立的充分必要條件是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出當(dāng)命題為真命題時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍，再結(jié)合充要條件的定義可得出結(jié)論.【詳解】若命題為真命題，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，所以，，解得，因此，使命題成立的充分必要條件是.故選：B．4．（2024·海南?？凇ざ＃┮阎獧E圓：的2個(gè)焦點(diǎn)與橢圓：的2個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，則（

）A． B． C．7 D．5【答案】A【分析】根據(jù)題意求出橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，列式求出的值.【詳解】根據(jù)題意，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，，且，解得.故選：A.5．（22-23高二上·江蘇連云港·階段練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長(zhǎng)為4；(2)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出，再由焦點(diǎn)位置得出橢圓方程；（2）由題意求出，根據(jù)焦點(diǎn)在x軸寫出方程.【詳解】（1）由題意得：，，故，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，故橢圓方程為.（2）如圖，

由題意得：，，所以，，結(jié)合焦點(diǎn)在軸上，故橢圓方程為：.1．（23-24高二下·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)焦點(diǎn)位置，列出不等式組，解之即得.【詳解】將橢圓方程變形為，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，所以，解得．故選：B.2．（2024·遼寧·二模）已知方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中分母都大于且不能相等即可求解.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎镜那€是橢圓，所以，解得且，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：D.3．（23-24高二上·福建龍巖·期中）（多選）已知曲線，則（

）A．當(dāng)時(shí)，是圓B．當(dāng)時(shí)，是焦距為4的橢圓C．當(dāng)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓時(shí)，D．當(dāng)是焦點(diǎn)在軸上的橢圓時(shí)，【答案】AB【分析】根據(jù)條件，利用圓、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的性質(zhì)，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，曲線為，此時(shí)曲線表示圓，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，曲線為，此時(shí)曲線為橢圓且橢圓的焦距為，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，解得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB.4．（2024·廣東肇慶·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知曲線的方程為，則（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線表示雙曲線B．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．當(dāng)時(shí)，曲線表示圓D．當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線，橢圓以及圓的性質(zhì)即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，表示焦點(diǎn)在軸雙曲線，故A正確，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B錯(cuò)誤，對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，,表示圓，C正確，對(duì)于D,當(dāng)時(shí)，曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，D錯(cuò)誤，故選：AC5．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)一個(gè)焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，焦點(diǎn)在x軸上；(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程組，求解即可；(2)根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列出方程組，求解即可；(3)若橢圓過(guò)兩點(diǎn)坐標(biāo)，可把標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)為的形式，再把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可.【詳解】（1）根據(jù)題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以由題設(shè)有：，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）根據(jù)題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以由題設(shè)有：，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（3）根據(jù)題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以由題設(shè)有：，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.考點(diǎn)三、橢圓的幾何性質(zhì)1．（23-24高二上·海南省直轄縣級(jí)單位·期中）（多選）關(guān)于橢圓，下列結(jié)論正確的是（）A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 B．短軸長(zhǎng)為1C．焦距為 D．離心率為【答案】ACD【分析】結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)依次判斷即可.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以，，.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，故A正確；短軸長(zhǎng)為，故B錯(cuò)誤；焦距為，故C正確；，故D正確.故選：ACD.2．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知橢圓（）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則（

）A． B． C．3 D．4【答案】B【分析】依題意可得，解得即可.【詳解】因?yàn)闄E圓（）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以，解得或（舍去）.故選：B3．（23-24高二下·河北張家口·開學(xué)考試）已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，若，且，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助橢圓定義與勾股定理計(jì)算即可得.【詳解】由，結(jié)合題設(shè)有，，由，則，化簡(jiǎn)得，故的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與焦距的比值為.故選：D.1．（24-25高三上·江西南昌·開學(xué)考試）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，則上滿足的點(diǎn)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由求出點(diǎn)的軌跡方程，與橢圓方程聯(lián)立求解判斷即可.【詳解】橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)，由，得，由消去得，，而，解得，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的值有2個(gè)，所以上滿足的點(diǎn)有2個(gè).故選：B2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程確定焦點(diǎn)位置，求出值，依題得到的值，利用二倍角公式計(jì)算即得的值.【詳解】由題意，橢圓焦點(diǎn)在軸上，且，則，即，于是，.故選：B.3．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)與上頂點(diǎn)，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意知，且圓在橢圓內(nèi)，則確定與圓相切時(shí)取得最小值，即可求解.【詳解】由題意知，，且圓在橢圓內(nèi)，當(dāng)與圓相切時(shí)，取得最小值，此時(shí)，所以，所以的最小值為.故選：A考點(diǎn)四、橢圓的離心率1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓的短軸長(zhǎng)為2，則其離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】由橢圓的短軸長(zhǎng)為2，知，，即，，因此，又橢圓的離心率，故選：A.2．（2024·陜西西安·三模）已知橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率的定義以及橢圓中三者的關(guān)系即可求解.【詳解】由題可知離心率，則，又，所以，即，所以.故選：D.3．（2024·山東煙臺(tái)·三模）若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則實(shí)數(shù)b的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率相等列出關(guān)于的方程求解即可.【詳解】若橢圓與橢圓（）的離心率相同，則，解得滿足題意.故選：A.4．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)A，B在上，直線傾斜角為，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由橢圓焦半徑公式求出，結(jié)合條件列式運(yùn)算得解.【詳解】根據(jù)題意，，所以直線的傾斜角為，由橢圓焦半徑公式得，，，，即，化簡(jiǎn)得，.故選：D.5．（2024·陜西銅川·三模）已知原點(diǎn)為，橢圓與直線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，由點(diǎn)差法求解離心率即可.【詳解】設(shè)，則，則，兩式相減可得，，即，即，，故.故選：B6．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，已知點(diǎn)在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的定義，求得的面積為，結(jié)合，求得，進(jìn)而得到，代入橢圓的方程，得到，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由橢圓E:x2a不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓的定義知，因?yàn)椋傻?，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因?yàn)?，可得，即，將點(diǎn)代入橢圓的方程，可得，整理得，因?yàn)?，可得，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.1．（2024·廣西·二模）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于焦距的4倍，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)離心率定義與基本量關(guān)系求解即可.【詳解】設(shè)橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，則2a=4×2c，即ca=1故選：C2．（2024·浙江紹興·二模）已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則該橢圓的短軸長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由離心率得到的關(guān)系式，代入的值，即可求得短軸長(zhǎng).【詳解】由可得（*），因，即，代入（*）解得，故短軸長(zhǎng)為故選：B.3．（2024·西藏拉薩·二模）若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】由橢圓的幾何性質(zhì)求解．【詳解】依題意，得，解得，又離心率，整理，得，解得（舍去）或.故選：D.4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，線段，分別交于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交于，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，由題意可是，利用橢圓在處的切線方程為，可得，求解即可.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)，且，設(shè)，則有，解得，由，所以，又，所以，又橢圓在處的切線方程為，所以，所以，所以，所以，所以，解得,所以橢圓的離心率為.故選：B.5．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，，根據(jù)橢圓的定義及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出與的關(guān)系，即可求出離心率.【詳解】不妨設(shè)，，，則，．又，所以，化簡(jiǎn)得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的離心率為．故選：D考點(diǎn)五、橢圓中的最值問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，M是橢圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一：由題意可得，，，設(shè).表示出，然后根據(jù)橢圓的范圍即可求出范圍；解法二：由題意可得，，，設(shè)，取線段AF的中點(diǎn)，可推得，然后根據(jù)橢圓的范圍即可求出范圍.【詳解】解法一：由題意知，，設(shè).則.因?yàn)椋?，所以，所以．解法二：由題意知，．設(shè)，取線段AF的中點(diǎn)N，則，連接MN.則.因?yàn)?，所以，所以，所以．故選：D．2．（2023·全國(guó)·二模）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)為C內(nèi)一點(diǎn)，若在C上存在一點(diǎn)P，使得，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合點(diǎn)A在橢圓內(nèi)的條件，列出不等式組求解作答.【詳解】依題意，，設(shè)C的左焦點(diǎn)為，則，因?yàn)?，且，則，即，于是，解得，而，點(diǎn)為橢圓C內(nèi)一點(diǎn)，即有，，整理得，又，解得，所以a的取值范圍是.故選：D3．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知為橢圓的兩焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，若的最大值為3，且焦距為2，則橢圓C的方程為【答案】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)，即可列式求解.【詳解】設(shè)橢圓C的焦距為2c，由題意知，從而又因?yàn)榈淖畲笾禐椋?，解得，則，從而橢圓C的方程為故答案為：4．（2023·海南?？凇つM預(yù)測(cè)）已知、是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，且，若為的內(nèi)心，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑的表達(dá)式，代入三角形的面積公式，可得所求的三角形的面積．【詳解】由橢圓的方程可得，，，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，可得，而，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即．故選：C．1．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的方程為，過(guò)橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合橢圓定義可得的周長(zhǎng)為，結(jié)合橢圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】橢圓的方程為，則，，，連接，，則由橢圓的中心對(duì)稱性可知，可知為平行四邊形，則，可得的周長(zhǎng)為，當(dāng)AB位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，AB取最小值，最小值為，所以周長(zhǎng)為．故選：C.2．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓，P為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作與直線和平行的直線，分別交，交于M，N兩點(diǎn)，則MN的最大值為.【答案】3【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，可得四邊形為平行四邊形，設(shè)，，，根據(jù)與的中點(diǎn)相同，換算出關(guān)系式，再由兩點(diǎn)間的距離公式，結(jié)合橢圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)P分別作直線，由題意，畫示意圖如下：設(shè)，，.則，，由題意可知四邊形為平行四邊形，所以，即，又因P為橢圓上任意一點(diǎn)，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以由函?shù)性質(zhì)知：當(dāng)時(shí)，有.故答案為：3【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式考查橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查理解辨析能力與運(yùn)算求解能力，解題的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)找到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系.3．（2024·山東濰坊·三模）已知，分別為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若大于，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可知，的坐標(biāo)和模，由向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)運(yùn)算可得關(guān)于的不等關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)闄E圓：，所以，，所以，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)Px0,y0在上，所以，所以，又，，所以，又，，所以，因?yàn)榇笥?，所以，所以，解得，所以的取值范圍?故選：.4．（2024·青海海南·二模）已知曲線，圓，若A，B分別是M，N上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得曲線M的方程為，設(shè)出，利用兩點(diǎn)間距離公式并由二次函數(shù)性質(zhì)可求得，進(jìn)而利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】根據(jù)題意，曲線，則曲線M上的點(diǎn)到點(diǎn)和距離之和為，根據(jù)橢圓定義知曲線M的是以和為焦點(diǎn)的橢圓，其中，則，所以曲線M的的方程為，設(shè)點(diǎn)Ax0,y0滿足且圓的圓心為，半徑為1，則，又函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，所以AB的最小值是.故選：C考點(diǎn)六、橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)在2022年完成了天宮空間站的建設(shè)，根據(jù)開普勒第一定律，天宮空間站的運(yùn)行軌道可以近似為橢圓，地球處于該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．已知某次變軌任務(wù)前后，天宮空間站的近地距離（天宮空間站與地球距離的最小值）不變，遠(yuǎn)地距離（天宮空間站與地球距離的最大值）擴(kuò)大為變軌前的3倍，橢圓軌道的離心率擴(kuò)大為變軌前的2倍，則此次變軌任務(wù)前的橢圓軌道的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，列出變軌前后橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和離心率的關(guān)系等式，即可求解得答案.【詳解】設(shè)變軌前橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和離心率分別為，則半焦距為，設(shè)變軌后橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，顯然變軌后橢圓離心率為，半焦距為，依題意，，整理得，即，而，解得，此次變軌任務(wù)前的橢圓軌道的離心率為.故選：C2．（23-24高二上·山東濰坊·階段練習(xí)）開普勒第一定律指出，所有行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.若某行星距太陽(yáng)表面的最大距離為，最小距離，太陽(yáng)半徑為，則該行星運(yùn)行軌跡橢圓的離心率為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)橢圓的焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，根據(jù)題意得到，計(jì)算可得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則由已知可得，兩式相加可得，兩式相減可得，則，，所以離心率.故選：A.3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面的題目：已知曲線C的方程為，其左、右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且，過(guò)點(diǎn)P且與直線l垂直的直線與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)M，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓定義和光的反射定理，以及角平分線定理可得【詳解】由已知得，，由橢圓定義可得，根據(jù)光的反射定理可得為的角平分線，由正弦定理，所以，，又所以即.故選：D.1．（2024·重慶·三模）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用和分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用和分別表示橢圓軌道I和II的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖象可知可判斷A；根據(jù)圖象可知，結(jié)合由不等式的性質(zhì)可判斷B，C；對(duì)兩邊同時(shí)平方化簡(jiǎn)可判斷D.【詳解】如圖可知，，，，A不正確；，，；B不正確；由，可知，C不正確；，可得，故，即，，，即，D正確，故選:D.2．（2024·黑龍江·三模）（多選）加斯帕爾?蒙日（如圖1）是18~19世紀(jì)法國(guó)著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓則被稱為“蒙日?qǐng)A”（如圖2）.已知矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)C．橢圓的蒙日?qǐng)A方程為D．矩形的面積最大值為50【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，利用橢圓的幾何性質(zhì)，可判定A、B正確，結(jié)合橢圓的性質(zhì)和蒙日?qǐng)A的方程，可判定C錯(cuò)誤，結(jié)合基本不等式和圓的性質(zhì)，可得判定D錯(cuò)誤.【詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的離心率為，所以A正確；由橢圓，可得，則，故橢圓的焦點(diǎn)與橢圓相同，所以B正確；因?yàn)榫匦蔚乃倪吘c橢圓相切，所以點(diǎn)，即在蒙日?qǐng)A上，可得半徑，可得橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，所以錯(cuò)誤；設(shè)矩形的邊長(zhǎng)分別為和，則有，所以矩形的面積等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以D正確.故選：ABD.3．（2024·新疆·一模）從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓T與雙曲線S構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)S與T反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)T兩次反射后又回到了點(diǎn)歷時(shí)秒.已知，則T的離心率與S的離心率之比.【答案】/0.5【分析】由題意得到，由橢圓定義和雙曲線定義得到方程，求出，進(jìn)而求出離心率的比值.【詳解】由得，由橢圓定義可得，由橢圓和雙曲線定義得，，故，故，解得，設(shè)橢圓T與雙曲線S的公共焦點(diǎn)為，故，所以故答案為：1一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·二模）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，求出c，即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：B2．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知橢圓的離心率為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合離心率的定義和求法，列出方程，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，，則，所以，解得.故選：B.3．（2024·福建泉州·二模）若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】分焦點(diǎn)在軸或軸兩種情況，求橢圓的離心率，求解參數(shù)，再求橢圓的焦距.【詳解】若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時(shí)焦距，若橢圓的焦點(diǎn)在軸，則離心率，得，此時(shí)焦距，所以該橢圓的焦距為或.故選：D4．（22-23高二上·全國(guó)·期中）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由橢圓方程特點(diǎn)可求范圍.【詳解】由題意得，，解得.故選：D.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓的離心率是橢圓的離心率的倍，則的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)離心率公式求得橢圓和橢圓離心率，列式求解求得，進(jìn)而可得解.【詳解】因?yàn)闄E圓，所以橢圓離心率為，橢圓的離心率，則由題意可知，解得.所以的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：D.6．（2024·貴州安順·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，且．，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合垂直關(guān)系列式求解即得.【詳解】依題意，，令橢圓的半焦距為c，由，得，即，因此，即，所以，即.故選：B7．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,過(guò)且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點(diǎn).若線段的中點(diǎn)在軸上,的面積為,則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，,

,設(shè)，其它邊全部用t表示,運(yùn)用面積為構(gòu)造方程求出t.再用橢圓定義求出a,進(jìn)而求出c,b即可.【詳解】如圖,為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),,又軸,軸.在中,,設(shè),則的面積為,,,則C的方程為.故選：D.二、填空題8．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：的焦距為，則的離心率為.【答案】【分析】根據(jù)焦距定義得到，再利用橢圓離心率公式即可得到答案.【詳解】因?yàn)榻咕?，所以，所以，離心率為.故答案為：.9．（2024·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）橢圓（）的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若直線與以為圓心半徑為的圓相切，則橢圓離心率等于.【答案】【分析】求出直線的方程為：，根據(jù)點(diǎn)到直線距離得到方程，求出，求出離心率.【詳解】依題意，，，，所以直線的方程為：，又直線與以為圓心半徑為的圓相切，故，即，，方程兩邊同除以得，解得或，又橢圓的離心率，所以.故答案為：三、解答題10．（2024·廣東梅州·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程：(2)求橢圓C上的點(diǎn)到直線l：的距離的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的離心率可得，的關(guān)系，設(shè)橢圓的方程，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得參數(shù)的值，即可得，的值，求出橢圓的方程；（2）設(shè)與平行的直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由判別式為0，可得參數(shù)的值，進(jìn)而求出兩條直線的距離，即求出橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離．【詳解】（1）由橢圓的離心率為，可得，可得，設(shè)橢圓的方程為：，，又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的方程為：；（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為，聯(lián)立，整理可得：，，可得，則，所以直線到直線的距離．所以橢圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為．一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)為,，一個(gè)短軸頂點(diǎn)為，則（

）A．40° B．50° C．80° D．100°【答案】D【分析】由題可得，可得，即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的中心為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為，，，則在等腰三角形中，，，．因?yàn)闄E圓的離心率為，所以在直角三角形中，，故，．故選：D2．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，兩點(diǎn)在上，且關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】利用對(duì)稱性可判斷為平行四邊形，在中利用余弦定理，結(jié)合橢圓定義聯(lián)立求解可得，然后在中利用余弦定理可解.【詳解】由題知，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，焦距等于，如圖，由橢圓的對(duì)稱性可知，，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)椋?，記，在中，由余弦定理得：，由橢圓定義得，聯(lián)立求解可得，在中，由余弦定理得，所以.故選：C3．（2024·江西九江·二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為，過(guò)其左焦點(diǎn)傾斜角為30°的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為16，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓的離心率得，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得直線的斜率及直線的方程，求出得直線的方程，聯(lián)立兩條直線的方程，可得交點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中垂線的性質(zhì)可得，，將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為，由橢圓的定義可得的周長(zhǎng)為，即可求解．【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率，可得，所以，即，可得，則點(diǎn)，右焦點(diǎn)，所以，由題意可得直線的斜率，所以，即，由題意設(shè)直線的方程為，直線的方程為，設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，聯(lián)立，可得，，則，可得為的中點(diǎn)，所以直線為線段的中垂線，即，，的周長(zhǎng)為，可得，所以，，所以橢圓的方程為：.故選：C．4．（2024·浙江金華·三模）已知，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，的角平分線與的交點(diǎn)恰好在軸上，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)題意畫出圖象，由角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)到直線與的距離相等，進(jìn)而利用直線的方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后列方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得.【詳解】由題意可知，點(diǎn)只能在第一、四象限，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖所示：

設(shè)，又，由題意可知，直線的斜率一定存在，所以，直線，即，則點(diǎn)，直線，化為一般形式得，因?yàn)辄c(diǎn)在的角平分線上，所以點(diǎn)到直線與的距離相等，點(diǎn)到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離，于是，化簡(jiǎn)得，即，又點(diǎn)在橢圓上，所以，得，因此，，即，解得或，點(diǎn)在第一象限，所以，，則點(diǎn)，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：首先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線，直線的表達(dá)式以及點(diǎn)的坐標(biāo)，最后再根據(jù)點(diǎn)到角兩邊的距離相等以及點(diǎn)在橢圓上，解出點(diǎn)的坐標(biāo)，最后再求線段的長(zhǎng)度.5．（2024·四川·三模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，若的內(nèi)心為，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，且，則橢圓的短軸長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】合理構(gòu)建圖形，利用角平分線定理和等比定理得到，再求短軸長(zhǎng)度即可.【詳解】如圖，連接在和中，利用角平分線定理可得由等比定理可得從而.故橢圓的短軸長(zhǎng)為，故B正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查解析幾何，解題關(guān)鍵是合理構(gòu)建圖形，然后利用角平分線定理和等比定理得到，再求解短軸長(zhǎng)度即可．6．（2024·湖南·三模）已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)作直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若，且的面積為，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，首先證明，結(jié)合題意算得解得，即可得三角形為等邊三角形，進(jìn)一步結(jié)合橢圓定義可得，，，即是的中點(diǎn)，結(jié)合勾股定理、離心率公式即可求解.【詳解】我們首先來(lái)證明一個(gè)引理：若，則，證明如下：設(shè)，則由余弦定理有，即，所以，所以，從而引理得證；根據(jù)題意可得，，解得，因?yàn)椋?，解得，由，，可得三角形為等邊三角形，所以，所以，所以，所以是的中點(diǎn)，所以，所以，即，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于得出三角形為等邊三角形，進(jìn)一步得出的齊次式關(guān)系即可求解.7．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，的三個(gè)頂點(diǎn)均在上，分別落在線段上且軸，若，則（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖象，由題意可知，從而可得，在和中，分別求得，從而可得，即有，，過(guò)作于，可得，為中點(diǎn)，即可得解.【詳解】如圖所示：由題意可知，設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為，則，在中，，在中，，所以，整理得：，即解得：或，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，故舍去；當(dāng)時(shí)，，滿足題意，且，過(guò)作于，則，所以,所以，故為中點(diǎn)，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是在和中，分別求得，建立等量關(guān)系，求得.二、多選題8．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，以為直徑的圓與在第一象限交于點(diǎn)，延長(zhǎng)線段交于點(diǎn).若，則（

）A． B．的面積為C．橢圓的離心率為 D．直線的斜率為【答案】ACD【分析】對(duì)于A，結(jié)合橢圓的定義即可得解；對(duì)于B，設(shè)，結(jié)合橢圓定義，和直角三角形中勾股定理，得出，從而得出面積；對(duì)于C，在中，利用勾股定理得出a與c的齊次方程，從而得解；對(duì)于D，在中，求得，在中，求得，結(jié)合兩角差的正切公式可以求得，從而得到直線的斜率.【詳解】對(duì)于A，由橢圓的定義可得，，，又，所以，故A正確；對(duì)于B，如圖，連接，，設(shè)（x>0），則.因?yàn)?，，所以?因?yàn)闉閳A的直徑，所以，在中，，即，整理得，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在中，，.所以，即，解得；，即，故C正確；對(duì)于D，在中，在中，所以，所以直線的斜率為．故D正確；故選：ACD9．（2024·廣東·三模）已知橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)分別為?兩個(gè)焦點(diǎn)分別為是上任意一點(diǎn)，則（

）A．的離心率為 B．的周長(zhǎng)為C．面積的最大值為 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)及半焦距，再逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，半焦距，對(duì)于A，的離心率為，A正確；對(duì)于B，的周長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，，設(shè)，，則面積的最大值為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，因此，D正確.故選：ABD

10．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓的左、右頂點(diǎn)，在橢圓上與關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，則（

）A．若，則橢圓的離心率為B．若，則橢圓的離心率為C．D．若直線平行于x軸，則【答案】ACD【分析】對(duì)于A，則，故，則利用與離心率公式即可得解；對(duì)于B，設(shè)Ax0,y0，，接著利用和結(jié)合離心率公式直接計(jì)算即可求解；對(duì)于C，根據(jù)三角形中位線即可得解；對(duì)于D，設(shè)，則，根據(jù)已知條件求出和中點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的理論列式求出即可得解.【詳解】如圖，直線l與交于G，對(duì)于A，若，則，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，設(shè)Ax0,y0，則，且所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可知是中位線，故，故C正確；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，則直線，因?yàn)橹本€平行于x軸，所以點(diǎn)的中點(diǎn)，所以由點(diǎn)G在直線l上且得，解得，即，因此，故D正確.故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的計(jì)算求解步驟：（1）設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)，（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出中點(diǎn)坐標(biāo)，（3）利用中點(diǎn)坐標(biāo)在直線上和兩點(diǎn)所在直線與已知直線垂直則斜率乘積為這兩個(gè)條件建立關(guān)于所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，利用該方程組即可求解.（4）遇特殊直線如或一般直接得解.1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，由題意，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，即，又在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：A2．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.【詳解】由，得，因此，而，所以.故選：A3．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)?，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因?yàn)椋?，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.4．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出OP的值；方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．【詳解】方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．方法二：因?yàn)棰?，，即②，?lián)立①②，解得：，而，所以，即．故選：B．方法三：因?yàn)棰伲?，即②，?lián)立①②，解得：，由中線定理可知，，易知，解得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問(wèn)題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗?，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.6．（2022·全國(guó)·高考真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.【詳解】[方法一]：設(shè)而不求設(shè)，則則由得：，由，得，所以，即，所以橢圓的離心率，故選A.[方法二]：第三定義設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：故，由橢圓第三定義得：，故所以橢圓的離心率，故選A.7．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，利用弦長(zhǎng)公式求得，得，根據(jù)對(duì)稱性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.故答案為：13.8．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立．故選：C．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．9．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本題通過(guò)利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，則，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．故選：C．【點(diǎn)睛】10．（2021·浙江·高考真題）已知橢圓，焦點(diǎn)，，若過(guò)的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點(diǎn)P，且軸，則該直線的斜率是，橢圓的離心率是.【答案】【分析】不妨假設(shè)，根據(jù)圖形可知，，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求出；再根據(jù)橢圓的定義求出，即可求得離心率．【詳解】如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點(diǎn)為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案為：；．11．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．【答案】(1)(2)直線的方程為或.【分析】（1）代入兩點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）方法一：以為底，求出三角形的高，即點(diǎn)到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，則得到直線的方程；方法二：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，再設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離和點(diǎn)在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況，再設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線斜率不存在的情況，再設(shè)，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案；法六：設(shè)線法與法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘表達(dá)面積即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn).綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則，解得，此時(shí)，則得到此時(shí)，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，令，則，聯(lián)立，則有，，其中，且，則，則，解的或，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.則直線為或，即或.12．（2024·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)Fc,0，根據(jù)的坐標(biāo)及軸可求基本量，故可求橢圓方程.（2）設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2【詳解】（1）設(shè)Fc,0，由題設(shè)有且，故，故，故，故橢圓方程為.（2）直線的斜率必定存在，設(shè)，Ax1,y1由可得，故，故，又，而，故直線，故，所以，故，即軸.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.13．（2023·天津·高考真題）已知橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知．(1)求橢圓的方程和離心率；(2)點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【答案】(1)橢圓的方程為，離心率為.(2).【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【詳解】（1）如圖，

由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以,,，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.14．（2023·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為.（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去y得：，則，解得，可得，因?yàn)?，則直線，令，解得，即,同理可得，則，所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問(wèn)題的三個(gè)步驟（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無(wú)關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；（3）得出結(jié)論．15．（2023·北京·高考真題）已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點(diǎn)，B，D分別是的左、右頂點(diǎn)，．(1)求的方程；(2)設(shè)為第一象限內(nèi)E上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)．求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【詳解】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，

易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.16．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），