第05講 古典概率及概率的基本性質(zhì)（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第05講古典概率及概率的基本性質(zhì)（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第14題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率求離散型隨機(jī)變量的均值均值的性質(zhì)2024年新Ⅱ卷，第18題,17分利用對(duì)立事件的概率公式求概率獨(dú)立事件的乘法公式求離散型隨機(jī)變量的均值2023年新Ⅱ卷，第12題,5分利用互斥事件的概率公式求概率獨(dú)立事件的乘法公式獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題2022年新I卷，第5題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題2022年新Ⅱ卷，第19題,12分利用對(duì)立事件的概率公式求概率頻率分布直方圖的實(shí)際應(yīng)用由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)計(jì)算條件概率2022年全國(guó)甲卷（理），第15題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率組合計(jì)數(shù)問(wèn)題2022年全國(guó)乙卷（理），第10題,5分利用互斥事件的概率公式求概率獨(dú)立事件的乘法公式2022年全國(guó)乙卷（理），第13題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題2021年全國(guó)甲卷（理），第10題,5分計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率不相鄰排列問(wèn)題2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低或中等，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握古典概型的定義，并會(huì)相關(guān)計(jì)算2.理解并掌握概率的基本性質(zhì)3.會(huì)計(jì)算互斥事件及對(duì)立事件的概率【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，一般考查古典概型的概率計(jì)算及互斥、對(duì)立事件的辨析及計(jì)算，需強(qiáng)化訓(xùn)練知識(shí)講解1．古典概型特點(diǎn)(1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)，即有限性．(2)每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性．2．古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))＝eq\f(m,n).求古典概型概率的步驟(1)判斷試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；(2)分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；(3)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.3．概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝1.(3)不可能事件的概率P(F)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)．概率加法公式的推廣當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果且各個(gè)結(jié)果彼此互斥時(shí)，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．判斷互斥、對(duì)立事件的兩種方法(1)定義法判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．(2)集合法①若各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．考點(diǎn)一、古典概型的概率計(jì)算1．（2024·全國(guó)·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解法一：畫出樹(shù)狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.【詳解】解法一：畫出樹(shù)狀圖，如圖，由樹(shù)狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，故所求概率.解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)6個(gè)主題編號(hào)，利用列舉列出甲、乙抽取的所有結(jié)果，并求出抽到不同主題的結(jié)果，再利用古典概率求解作答.【詳解】用1，2，3，4，5，6表示6個(gè)主題，甲、乙二人每人抽取1個(gè)主題的所有結(jié)果如下表：乙甲123456123456共有36個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，其中甲乙抽到相同結(jié)果有，共6個(gè)，因此甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的結(jié)果有30個(gè)，概率.故選：A3．（2023·全國(guó)·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.【詳解】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.故選：D.1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【答案】/0.3【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為.故選：C.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為．【答案】.【分析】根據(jù)古典概型的概率公式即可求出．【詳解】從正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)，有個(gè)結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的有個(gè)，故所求概率．故答案為：．5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先列舉出所有情況，再?gòu)闹刑舫鰯?shù)字之積是4的倍數(shù)的情況，由古典概型求概率即可.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】無(wú)序從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有15種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)的有6種情況，故概率為.[方法二]：有序從6張卡片中無(wú)放回抽取2張，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30種情況，其中數(shù)字之積為4的倍數(shù)有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12種情況，故概率為.故選：C.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：將抽出的卡片看成一個(gè)組合，再利用古典概型的概率公式解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：將抽出的卡片看成一個(gè)排列，再利用古典概型的概率公式解出；考點(diǎn)二、有無(wú)放回抽樣的概率1．（浙江·高考真題）在三張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各一張，另一張無(wú)獎(jiǎng)，甲乙兩人各抽取一張（不放回），兩人都中獎(jiǎng)的概率為．【答案】【詳解】試題分析：設(shè)一、二等獎(jiǎng)各用表示，另張無(wú)獎(jiǎng)用表示，甲、乙兩人各抽取張的基本事件有共個(gè)，其中兩人都中獎(jiǎng)的有共個(gè)，故所求的概率．所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：互斥事件的概率加法公式．2．（浙江·高考真題）盒子里有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球，從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則；．【答案】【分析】先確定對(duì)應(yīng)事件，再求對(duì)應(yīng)概率得結(jié)果；第二空，先確定隨機(jī)變量，再求對(duì)應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷?duì)應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機(jī)變量，，，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、數(shù)學(xué)期望，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3．（2024·全國(guó)·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為．【答案】【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對(duì)值不超過(guò)12時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）盒中裝有1，2，3，4四個(gè)標(biāo)號(hào)的小球．小明在盒中隨機(jī)抽取兩次（不放回），則抽中的兩次小球號(hào)碼均為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由古典概率公式求解．【詳解】由于抽取兩次是不放回的，且盒子里有2個(gè)奇數(shù)球，2個(gè)偶數(shù)球，則抽中的兩次小球號(hào)碼均為偶數(shù)的概率為：，故選：D2．（2024·山東日照·三模）從標(biāo)有1，2，3，4，5的5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，則出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出5張卡片中有放回地抽取三次的基本事件，再算出三次都不重復(fù)的基本事件，利用間接法以及古典概型即可求解.【詳解】5張卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一張，共有種取法，三次都不重復(fù)的取法有種，由加法原理和乘法原理，出現(xiàn)重復(fù)編號(hào)卡片的概率.故選：B.3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）袋子里有四張卡片，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從袋子中有放回地依次隨機(jī)抽取四張卡片并記下卡片上數(shù)字，則有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是.【答案】【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，將兩張卡片數(shù)字之和不為5的分為5種情況有：即可根據(jù)組合數(shù)求解,結(jié)合對(duì)立事件的概率公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知：有放回地依次隨機(jī)抽取四張卡片可得所有情況有種，任意兩張卡片數(shù)字之和不為5的情況有：①1111，2222，3333，4444，都各有1種，②1112，1122，1222，有種，③1113，1133，1333，有種，④2224，2244，2444有種，⑤3334，3344，3444有種，故總的情況有，故有兩張卡片數(shù)字之和為5的概率是，故答案為：考點(diǎn)三、判斷互斥事件與對(duì)立事件1．若干人站成一排，其中為互斥事件的是（

）A．“甲站排頭”與“乙站排頭” B．“甲站排頭”與“乙站排尾”C．“甲站排頭”與“乙不站排頭” D．“甲不站排頭”與“乙不站排頭”【答案】A【分析】利用互斥事件的概念，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙站排頭”不能同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙站排尾”可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)B不正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)椤凹渍九蓬^”與“乙不站排頭”可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)C不正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椤凹撞徽九蓬^”與“乙不站排頭”可以同時(shí)發(fā)生，所以選項(xiàng)D不正確，故選：A.2．（2023·四川宜賓·三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件2表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3”，事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3”則（

）A．事件1與事件3互斥 B．事件1與事件2互為對(duì)立事件C．事件2與事件3互斥 D．事件3與事件4互為對(duì)立事件【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件定義判斷求解.【詳解】由題可知，事件1可表示為：,事件2可表示為：,事件3可表示為：,事件4可表示為：,因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，A錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录瑸楸厝皇录?，所以事?與事件2互為對(duì)立事件，B正確；因?yàn)?，所以事?與事件3不互斥，C錯(cuò)誤；因?yàn)闉椴豢赡苁录?，不為必然事件，所以事?與事件4不互為對(duì)立事件，D錯(cuò)誤；故選：B.3．（2023·山東聊城·模擬預(yù)測(cè)）（多選）某個(gè)家庭中有若干個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，設(shè)M=“該家庭中有男孩、又有女孩”，N=“該家庭中最多有一個(gè)女孩”，則下列結(jié)論正確的是()A．若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N互斥B．若該家庭中有兩個(gè)小孩，則M與N不相互獨(dú)立C．若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N不互斥D．若該家庭中有三個(gè)小孩，則M與N相互獨(dú)立【答案】BCD【分析】若該家庭中有兩個(gè)小孩，寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間即可判斷A和B;若該家庭中有三個(gè)小孩，寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間，即可判斷C和D.【詳解】若該家庭中有兩個(gè)小孩，樣本空間為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，則M與N不互斥，，，，于是，所以M與N不相互獨(dú)立，則A錯(cuò)誤、B正確；若該家庭中有三個(gè)小孩，樣本空間為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，則M與N不互斥，，，，于是，所以M與N相互獨(dú)立，則C和D均正確．故選：BCD．1．袋中裝有紅球3個(gè)、白球2個(gè)、黑球1個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有一個(gè)白球；都是白球 B．至少有一個(gè)白球；至少有一個(gè)紅球C．至少有一個(gè)白球；紅?黑球各一個(gè) D．恰有一個(gè)白球；一個(gè)白球一個(gè)黑球【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對(duì)立事件的定義逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】對(duì)于A，至少有一個(gè)白球和都是白球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A不是；對(duì)于B，至少有一個(gè)白球和至少有一個(gè)紅球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，B不是；對(duì)于C，至少有一個(gè)白球和紅、黑球各一個(gè)的兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生但能同時(shí)不發(fā)生，是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件，C是；對(duì)于D，恰有一個(gè)白球和一個(gè)白球一個(gè)黑球的兩個(gè)事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，D不是.故選：C2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）分別擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，“第一枚為正面”記為事件，“第二枚為正面”記為事件，“兩枚結(jié)果相同”記為事件，那么事件與，與間的關(guān)系是（

）A．與，與均相互獨(dú)立 B．與相互獨(dú)立，與互斥C．與，與均互斥 D．與互斥，與相互獨(dú)立【答案】A【分析】利用互斥事件，獨(dú)立事件的定義即得.【詳解】由題意得，，所以.所以與，與均相互獨(dú)立，與，與均不互斥.故選：A.3．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學(xué)同時(shí)到三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)至少分配一名同學(xué).設(shè)事件“恰有兩人在同一個(gè)社區(qū)”，事件“甲同學(xué)和乙同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，事件“丙同學(xué)和丁同學(xué)在同一個(gè)社區(qū)”，則下面說(shuō)法正確的是（

）A．事件與相互獨(dú)立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨(dú)立 D．事件與是對(duì)立事件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨(dú)立事件、互斥事件、對(duì)立事件的意義逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件是必然事件，，顯然，，因此事件與相互獨(dú)立，A正確；對(duì)于B，由，得事件與不是互斥事件，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，顯然事件事件與不可能同時(shí)發(fā)生，即，而，事件與相互不獨(dú)立，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然事件與可以同時(shí)不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件與不是對(duì)立事件，D錯(cuò)誤.故選：A考點(diǎn)四、互斥事件的概率加法公式1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在古典概型中，若，為互斥但不對(duì)立事件，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，即可求解.【詳解】由題意，事件若，為互斥事件，但不對(duì)立事件，根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義，可得，所以A正確.故選：A.2．（天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿锳． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：甲不輸概率為選A.【考點(diǎn)】概率【名師點(diǎn)睛】概率問(wèn)題的考查，側(cè)重于對(duì)古典概型和對(duì)立事件的概率考查，屬于簡(jiǎn)單題.運(yùn)用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法公式.對(duì)古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化計(jì)數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后利用枚舉法、樹(shù)形圖解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，而當(dāng)正面問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，往往采取計(jì)數(shù)其對(duì)立事件.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知事件A，B，C兩兩互斥，若，，，則（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)事件A，，兩兩互斥，求出，進(jìn)而利用求出答案.【詳解】因?yàn)槭录嗀，，兩兩互斥，所以，所以.故選：B．1．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)事件，互斥，且，，則.【答案】0.5【分析】根據(jù)兩個(gè)事件是互斥事件，得到兩個(gè)事件的和事件的概率等于兩個(gè)事件的概率的和，根據(jù)所給的兩個(gè)事件的概率，相減即可得到結(jié)果.【詳解】隨機(jī)事件，互斥，,.故答案為：0.5.【點(diǎn)睛】本題主要考查互斥事件的概率加法公式，屬于基礎(chǔ)題型.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）①對(duì)立事件一定是互斥事件；②若，為兩個(gè)事件，則；③若事件，，兩兩互斥，則．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】互斥不一定對(duì)立，但對(duì)立必互斥，①正確；只有A與B是互斥事件時(shí)，才有，②錯(cuò)誤；若事件A，B，C兩兩互斥，則，但不一定是必然事件，例如，設(shè)樣本點(diǎn)空間是由兩兩互斥的事件A，B，C，D組成且事件D與為對(duì)立事件，當(dāng)時(shí)，，③錯(cuò)誤．故選：C.3．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎录嗀與事件B是互斥事件，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件、必然事件的概念可得答案.【詳解】因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，則不一定是互斥事件，所以不一定為0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，所以，則，而不一定為0，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，不一定是對(duì)立事件，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)槭录嗀與事件B是互斥事件，是必然事件，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：D.考點(diǎn)五、利用互斥事件概率公式求概率1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）某單位電話總機(jī)室內(nèi)有兩部外線電話和，在同一時(shí)間內(nèi)，打入電話的概率是0.3，打入電話的概率是0.4，兩部同時(shí)打入電話的概率是0.1，則至少有一部電話打入的概率是．【答案】0.6/【分析】根據(jù)隨機(jī)事件的概率計(jì)算可得答案.【詳解】所求的概率為.故答案為：.2．（22-23高一下·江西南昌·階段練習(xí)）已知事件兩兩互斥，若，，，則（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)互斥事件定義、并事件概率公式直接求解即可.【詳解】?jī)蓛苫コ猓?，，?故選：B.3．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙三人參加一次考試，考試的結(jié)果相互獨(dú)立，他們合格的概率分別為，，，則三人中恰有兩人合格的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出基本事件，將所求事件表示出來(lái)，利用互斥事件的概率加法公式和獨(dú)立事件的積的概率公式求解即得.【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人參加考試合格的事件分別為，則,而三人中恰有兩人合格記為：,因考試的結(jié)果相互獨(dú)立，且，，兩兩互斥，故得三人中恰有兩人合格的概率為：.故選：B．1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個(gè)，從中摸出1個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.75【答案】D【分析】由題意可知摸出黑球的概率，再根據(jù)摸出黑球，摸出紅球?yàn)榛コ馐录鶕?jù)互斥事件的和即可求解.【詳解】因?yàn)閺闹忻?個(gè)球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因?yàn)閺暮凶又忻?個(gè)球?yàn)楹谇蚧蚣t球?yàn)榛コ馐录悦龊谇蚧蚣t球的概率，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩個(gè)互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.2．（2023春·新疆烏魯木齊·高三?？茧A段練習(xí)）某家庭電話,打進(jìn)的電話響第一聲時(shí)被接的概率為,響第二聲時(shí)被接的概率為,響第三聲時(shí)被接的概率為,響第四聲時(shí)被接的概率為,則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為()A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)“電話響第一聲被接”為事件A,“電話響第二聲被接”為事件B,“電話響第三聲被接”為事件C,“電話響第四聲被接”為事件D,則A,B,C,D兩兩互斥,從而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故選B.點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于把電話在響前四聲內(nèi)被接這個(gè)事件分解為哪幾個(gè)互斥事件，根據(jù)題意，它可以分解為四個(gè)互斥事件,P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).考點(diǎn)六、利用對(duì)立事件的概率公式求概率1．（2024·陜西·二模）從甲、乙、丙、丁4名同學(xué)中任選2人，則甲未被選中的概率為．【答案】/【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求出甲被選中的概率，結(jié)合對(duì)立事件的概念即可求解.【詳解】甲被選中，只需從其余3人中，再選1人，即有種方法，從4人中選2人，共有種方法，所以甲被選中的概率為，所以甲未被選中的概率為.故答案為：12．（23-24高二上·河北石家莊·期中）將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意確定出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率，可得沒(méi)有一次6點(diǎn)向上的概率，利用對(duì)立事件的概率關(guān)系求解即可.【詳解】將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲一次，出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率為，所以先后拋擲2次，沒(méi)有一次6點(diǎn)向上的概率為，所以至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率為.故選：B.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是隨機(jī)事件，且，則．【答案】/0.125【分析】求出，從而根據(jù)事件的運(yùn)算關(guān)系求出概率.【詳解】因?yàn)?，所以，故．故答案為?．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知事件A，B是互斥事件，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先計(jì)算出，利用互斥事件概率加法公式求出答案.【詳解】∵，，∴，∵事件A，B是互斥事件，∴．故選：C2．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）某醫(yī)院需要從4名女醫(yī)生和2名男醫(yī)生中抽調(diào)3人參加社區(qū)的老年義診活動(dòng)，則至少有1名男醫(yī)生參加的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)古典概率模型以及組合數(shù)的運(yùn)算公式求解.【詳解】設(shè)事件表示：至少有1名男醫(yī)生參加，則事件表示：沒(méi)有1名男醫(yī)生參加，即三名都是女醫(yī)生，所以,所以,故選:C.3．（2024·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）由于天氣原因，夏季相關(guān)部門加大對(duì)水果儲(chǔ)運(yùn)環(huán)節(jié)的抽檢力度，堅(jiān)決杜絕腐爛變質(zhì)的水果流入市場(chǎng)，下表是對(duì)運(yùn)到倉(cāng)儲(chǔ)點(diǎn)的某種水果進(jìn)行抽檢后得到的數(shù)據(jù)．車輛甲乙丙丁抽檢數(shù)量/個(gè)35605055合格數(shù)量/個(gè)32564753若從運(yùn)到倉(cāng)儲(chǔ)點(diǎn)的四車水果中隨機(jī)抽出一個(gè)，則估計(jì)這個(gè)水果不能上市的概率為（

）A．0.06 B．0.08 C．0.1 D．0.12【答案】A【分析】根據(jù)古典概型的概率計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算，再結(jié)合對(duì)立事件概率可求問(wèn)題的答案.【詳解】由題意可知，該水果合格的概率為，則隨機(jī)抽出一個(gè)，估計(jì)其不能上市的概率為0.06．故選：A1．（已知隨機(jī)事件，，中，與互斥，與對(duì)立，且，，則（

）A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8【答案】C【分析】由對(duì)立事件概率關(guān)系得到發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計(jì)算公式求P(A+B).【詳解】因?yàn)?，事件與對(duì)立，所以，又，與互斥，所以.故選：C.2．（2024·山西太原·一模）甲，乙兩名同學(xué)要從A、B、C、D四個(gè)科目中每人選取三科進(jìn)行學(xué)習(xí)，則兩人選取的科目不完全相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用分步乘法原理，結(jié)合古典概型和對(duì)立事件概率公式求解.【詳解】?jī)扇诉x取科目的方法共有種，科目完全相同的方法共有種，科目不完全相同方法共有12種，故所求概率為.故選：D.3．（23-24高二下·安徽·期中）現(xiàn)有一批產(chǎn)品共9件，已知其中5件正品和4件次品，現(xiàn)從中選4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，則下列事件中互為對(duì)立事件的是（

）A．恰好兩件正品與恰好四件正品B．至少三件正品與全部正品C．至少一件正品與全部次品D．至少一件正品與至少一件次品【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)立事件的定義判斷各選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，選項(xiàng)A中事件為互斥事件，不是對(duì)立事件；選項(xiàng)B、D中事件可能同時(shí)發(fā)生，全部正品是至少三件正品的子事件；選項(xiàng)C中事件為對(duì)立事件，全部次品不能存在有正品的事件.故選：C.4．（24-25高三上·遼寧鞍山·開(kāi)學(xué)考試）若為隨機(jī)事件，且，則（

）A．若為互斥事件，則B．若為互斥事件，C．若為相互獨(dú)立事件，D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件、條件概率、全概率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若為互斥事件，則，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，若為互斥事件，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若為相互獨(dú)立事件，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，即，解得，所以D選項(xiàng)正確.故選：D5．（24-25高三上·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩球至少有一個(gè)白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】B【分析】寫出事件的全部基本事件，再根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義判斷即可.【詳解】解：設(shè)事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個(gè)白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個(gè)白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對(duì)立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對(duì)立的事件.故選：B6．（24-25高三上·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）已知事件與事件是互斥事件，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】舉反例排除ABC，再結(jié)合互斥事件定義，事件運(yùn)算，概率性質(zhì)證明D.【詳解】若隨機(jī)試驗(yàn)為拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件，，則事件與事件是互斥事件，此時(shí)，，，所以，A錯(cuò)誤；，，，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；因?yàn)槭录c事件是互斥事件，所以，所以為必然事件，所以，D正確.故選：D.7．（23-24高一上·廣東佛山·階段練習(xí)）（多選）一個(gè)人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說(shuō)法正確的是（

）A．事件“兩次均擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件B．事件“最少一次擊中”與事件“最多一次擊中”為互斥事件C．事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”為互斥事件D．事件“兩次均未擊中”與事件“至多一次擊中”互為對(duì)立事件【答案】AC【分析】寫出事件包含的基本事件，再根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念作出判斷.【詳解】對(duì)于A，事件“至多一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均未擊中“，與事件“兩次均擊中”是對(duì)立事件，故A正確；對(duì)于B，事件“最少一次擊中”包含“一次擊中”與“二次擊中”，事件“最多次擊中”包含“一次擊中”與“0次擊中”，故兩事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故B不正確；對(duì)于C，事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故C正確；對(duì)于D，事件“兩次均未擊中”的對(duì)立事件是“至少一次擊中”，故D錯(cuò)誤.故選：AC8．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）從A，B等5處水樣監(jiān)測(cè)點(diǎn)中隨機(jī)選3處進(jìn)行水樣檢測(cè)，則A，B不同時(shí)入選的概率為．【答案】/0.7【分析】對(duì)另外3處水樣監(jiān)測(cè)點(diǎn)編號(hào)，利用列舉法結(jié)合古典概率求解作答.【詳解】設(shè)5處水樣監(jiān)測(cè)點(diǎn)分別為,,,,，從中隨機(jī)選擇3處的結(jié)果有：，共10種情況，其中,同時(shí)入選的有，共3種情況，所以,不同時(shí)入選的概率.故答案為：一、單選題1．（23-24高二上·湖北武漢·階段練習(xí)）從甲、乙等7名同學(xué)中隨機(jī)選2名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙至少一人入選的概率為.【答案】【分析】考慮甲、乙均沒(méi)有入選的情況，利用組合數(shù)求解出對(duì)應(yīng)概率即可.【詳解】設(shè)“甲、乙至少一人入選”為事件，則“甲、乙均沒(méi)有入選”為事件，所以，故答案為：.2．（23-24高二下·新疆·期中）某校開(kāi)設(shè)美術(shù)、書法、籃球、足球和象棋興趣班．已知該校的學(xué)生小明和小華每人報(bào)名參加其中的兩種興趣班，且小明至少參加一種球類的興趣班，則小明和小華至少參加同一個(gè)興趣班的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運(yùn)用古典概型，結(jié)合組合和對(duì)立事件概率知識(shí)求解即可.【詳解】小明和小華參加興趣班的方案有種，其中小明和小華參加的興趣班都不同的情況有種，故所求概率．故選：D.3．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）下列有關(guān)事件的說(shuō)法正確的是（

）A．若，則事件A，B為對(duì)立事件B．事件A，B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大C．若A，B為互斥事件，則D．若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的定義，條件概率的定義判斷．【詳解】對(duì)于A，若在不同試驗(yàn)下，雖然有，但事件和不對(duì)立．若在同一試驗(yàn)下，說(shuō)明事件和對(duì)立．所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若事件和都為不可能事件，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，互斥，若對(duì)立，則，若不對(duì)立，則，C正確；對(duì)于D，若事件A，B，C滿足條件，和為互斥事件，則，則D錯(cuò)誤，故選：C．4．（2023·福建廈門·廈門一中?？寄M預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，箱子里有10個(gè)大小一樣的小球，其中紅色的5個(gè)，黃色的3個(gè)，藍(lán)色的2個(gè)，現(xiàn)從中任意取出3個(gè)，則其中至少含有兩種不同顏色的小球的概率為.【答案】【分析】應(yīng)用組合數(shù)求取出3個(gè)為同一種顏色的取法、任取3個(gè)球的取法，應(yīng)用古典概型、對(duì)立事件概率求法求至少含有兩種不同顏色的小球的概率.【詳解】由題意，取出3個(gè)為同一種顏色有種取法，10個(gè)大小一樣的小球任取3個(gè)球有種取法，所以至少含有兩種不同顏色的小球的概率為.故答案為：5．（24-25高二上·江西宜春·階段練習(xí)）有一種珍惜物種，對(duì)于其每個(gè)個(gè)體，每天都會(huì)發(fā)生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不變，有的概率分裂成兩個(gè)，對(duì)所有新產(chǎn)生的生物每天也會(huì)發(fā)生上述事件，假設(shè)開(kāi)始只有一個(gè)這樣的珍惜生物，若希望最終這種生物滅絕的概率不超過(guò)，則的最大值為．【答案】15/【分析】若開(kāi)始有個(gè)珍稀生物、最終滅絕的概率則為，由題知，由于，則，解之可得.【詳解】設(shè)開(kāi)始有一個(gè)珍稀生物、最終滅絕的概率為，那么若開(kāi)始有個(gè)珍稀生物、最終滅絕的概率則為，由題意知，從而可得，即，因?yàn)?，所以，所以。解之可得，故的最大值?故答案為：1．（全國(guó)·高考真題）從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是A． B． C． D．【答案】B【詳解】解法一：由排列組合知識(shí)可知，所求概率；解法二：任取兩個(gè)數(shù)可能出現(xiàn)的情況為（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合條件的情況為（1,3）、（2,4），故.【考點(diǎn)定位】本題考查古典概型的概率運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力.2．（山東·統(tǒng)考高考真題）甲、乙、丙三位同窗打算利用假期外出游覽，約定每人從泰山、孔府這兩處景點(diǎn)中任選一處，那么甲、乙兩位同學(xué)恰好選取同一處景點(diǎn)的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用古典概型的概率求法，求甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率即可.【詳解】甲、乙兩位同窗選取景點(diǎn)的種數(shù)為，其中甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的種數(shù)為2，∴甲、乙兩位同窗恰好選取同一處景點(diǎn)的概率為．故選：D3．（遼寧·高考真題）4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】:取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的抽取方法是一奇一偶，CC÷C=4．（重慶·高考真題）鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同．從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榭偟奶戏ǘ笫录娜》ǚ譃槿?，即芝麻餡湯圓、花生餡湯圓．豆沙餡湯圓取得個(gè)數(shù)分別按1.1.2；1，2，1；2，1，1三類，故所求概率為．5．（廣東·高考真題）在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】從五個(gè)球中任取兩個(gè)，共有種取法，其中1，2；1，5；2，4，三種取法數(shù)字之和為3或6，利用古典概型可得取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是，故選C.【點(diǎn)睛】在求解有關(guān)古典概型概率的問(wèn)題時(shí)，首先求出樣本空間中基本事件的總數(shù)，其次求出概率事件中含有多少個(gè)基本事件，然后根據(jù)公式求得概率.6．（全國(guó)·高考真題）生物實(shí)驗(yàn)室有5只兔子，其中只有3只測(cè)量過(guò)某項(xiàng)指標(biāo)，若從這5只兔子中隨機(jī)取出3只，則恰有2只測(cè)量過(guò)該指標(biāo)的概率為A． B．C． D．【答案】B【分析】本題首先用列舉法寫出所有基本事件，從中確定符合條件的基本事件數(shù)，應(yīng)用古典概率的計(jì)算公式求解．【詳解】設(shè)其中做過(guò)測(cè)試的3只兔子為，剩余的2只為，則從這5只中任取3只的所有取法有，共10種．其中恰有2只做過(guò)測(cè)試的取法有共6種，所以恰有2只做過(guò)測(cè)試的概率為，選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概率的求解，題目較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．應(yīng)用列舉法寫出所有基本事件過(guò)程中易于出現(xiàn)遺漏或重復(fù)，將兔子標(biāo)注字母，利用“樹(shù)圖法”，可最大限度的避免出錯(cuò)．7．（全國(guó)·高考真題）兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是A． B． C． D．【答案】D【解析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進(jìn)而得解.【詳解】?jī)晌荒型瑢W(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查常見(jiàn)背景中的古典概型，滲透了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想解題．8．（重慶·高考真題）從5張100元，3張200元，2張300元的奧運(yùn)預(yù)賽門票中任取3張，則所取3張中至少有2張價(jià)格相同的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知，本題是一個(gè)古典概型，滿足條件的事件包含的結(jié)果比較多，可以從它的對(duì)立事件來(lái)考慮，取出三張門票的價(jià)格均不相同，共有種取法，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件總的取法有種，用對(duì)立事件概率得到結(jié)果.【詳解】由題意知本題是一個(gè)古典概型，滿足條件的事件包含的結(jié)果比較多，可以從它的對(duì)立事件來(lái)考慮，取出的三張門票的價(jià)格均不相同，共有種取法，試驗(yàn)發(fā)生的所有事件總的取法有種，三張門票的價(jià)格均不相同的概率是，至少有2張價(jià)格相同的概率為故答案選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型和對(duì)立事件，正難則反是解題時(shí)要時(shí)刻注意的，屬于基礎(chǔ)題.9．（遼寧·高考真題）甲、乙兩人獨(dú)立地解同一問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是，乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是，那么恰好有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是A． B．C． D．【答案】B【詳解】分析：先分成兩個(gè)互斥事件：甲解決問(wèn)題乙未解決問(wèn)題和甲解決問(wèn)題乙未解決問(wèn)題，再分別求概率，最后用加法計(jì)算.詳解：因?yàn)榧捉鉀Q問(wèn)題乙未解決問(wèn)題的概率為p1(1－p2)，甲未解決問(wèn)題乙解決問(wèn)題的概率為p2(1－p1)，則恰有一人解決問(wèn)題的概率為p1(1－p2)＋p2(1－p1)．故選B.點(diǎn)睛：本題考查互斥事件概率加法公式，考查基本求解能力.10．（福建·高考真題）在一個(gè)口袋中裝有5個(gè)白球和3個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從中摸出3個(gè)球，至少摸到2個(gè)黑球的概率等于A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：包含恰摸到兩個(gè)黑球，一個(gè)白球，或是恰好三個(gè)黑球，為互斥事件，所以概率是．考點(diǎn)：1．互斥事件和的概率；2．古典概型．11．（天津·高考真題）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿锳． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：甲不輸概率為選A.【考點(diǎn)】概率【名師點(diǎn)睛】概率問(wèn)題的考查，側(cè)重于對(duì)古典概型和對(duì)立事件的概率考查，屬于簡(jiǎn)單題.運(yùn)用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法公式.對(duì)古典概型概率的考查，注重事件本身的理解，淡化計(jì)數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后利用枚舉法、樹(shù)形圖解決計(jì)數(shù)問(wèn)題，而當(dāng)正面問(wèn)題比較復(fù)雜時(shí)，往往采取計(jì)數(shù)其對(duì)立事件.12．（湖北·高考真題）甲：、是互斥事件；乙：、是對(duì)立事件，那么A．甲是乙的充要條件 B．甲是乙的充分但不必要條件C．甲是乙的必要但不充分條件 D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件【答案】C【詳解】分析:根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念，根據(jù)充分條件和必要條件的概念分析解答.詳解：當(dāng)、是互斥事件時(shí)，、不一定是對(duì)立事件，所以甲是乙的非充分條件.當(dāng)、是對(duì)立事件時(shí)，、一定是互斥事件，所以甲是乙的必要條件.所以甲是乙的必要非充分條件.故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查互斥事件和對(duì)立事件的聯(lián)系和區(qū)別，考查充分條件和必要條件的概念.甲乙互斥，但是甲乙不一定對(duì)立，甲乙對(duì)立，則甲乙一定互斥.13．（安徽·高考真題）袋中共有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：由題意．故選B．14．（陜西·高考真題）從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：5點(diǎn)中任選2點(diǎn)的選法有，距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的選法有考點(diǎn)：古典概型概率15．（重慶·高考真題）從編號(hào)為1，2，…，10的10個(gè)大小相同的球中任取4個(gè)，則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6，則編號(hào)為6的球必選，再?gòu)木幪?hào)為1，2，3，4，5的球中選3個(gè)，從而求出其概率.【詳解】所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6，則編號(hào)為6的球必選，再?gòu)木幪?hào)為1，2，3，4，5的球中選3個(gè)，則所取4個(gè)球的最大號(hào)碼是6的概率為，故選：B．16．（江西·高考真題）將1，2，...，9這9個(gè)數(shù)平均分成三組，則每組的三個(gè)數(shù)都成等差數(shù)列的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先把9個(gè)數(shù)分成3組，根據(jù)排列組合的性質(zhì)可求得所有的組的數(shù)，然后把三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的組，分別枚舉出來(lái)，可知共有5組，然后利用概率的性質(zhì)求得答案．【詳解】解：9個(gè)數(shù)分成三組，共有組，其中每組的三個(gè)數(shù)均成等差數(shù)列，有，2，，，5，，，8，；，2，，，6，，，7，；，3，，，4，，，8，；，4，，，5，，，6，；，5，，，3，，，7，，共5組．所求概率為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和概率的性質(zhì)．對(duì)于數(shù)量比較小的問(wèn)題中，可以用枚舉的方法解決問(wèn)題直接，屬于中檔題．17．（江蘇·高考真題）如圖中有一個(gè)信號(hào)源和五個(gè)接收器．接收器與信號(hào)源在同一個(gè)串聯(lián)線路中時(shí)，就能接收到信號(hào)，否則就不能接收到信號(hào)．若將圖中左端的六個(gè)接線點(diǎn)隨機(jī)地平均分成三