第07講 離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第07講離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)字特征（3類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第14題,5分求離散型隨機(jī)變量的均值均值的性質(zhì)計(jì)算古典概型問題的概率2024年新Ⅱ卷，第18題,17分求離散型隨機(jī)變量的均值利用對立事件的概率公式求概率獨(dú)立事件的乘法公式2023年新I卷，第21題,12分求離散型隨機(jī)變量的均值利用全概率公式求概率2022年全國甲卷（理），第19題,12分寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列求離散型隨機(jī)查量的均值/2021年新I卷，第18題,12分寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列求離散型隨機(jī)查量的均值/2021年新Ⅱ卷，第21題,12分求離散型隨機(jī)查量的均值均值的實(shí)際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2020年新I卷，第12題,5分利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題對數(shù)的運(yùn)算2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等或偏難，分值為5-12分【備考策略】1.理解、掌握離散型隨機(jī)變量的定義2.會(huì)表示離散型隨機(jī)變量的分布列3.會(huì)計(jì)算離散型隨機(jī)變量的均值和方差【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般結(jié)合離散型隨機(jī)變量的分布列及均值方差在大題中考查，需重點(diǎn)強(qiáng)化復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．離散型隨機(jī)變量定義隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量，所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列．(2)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)：①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3．離散型隨機(jī)變量均值(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)若Y＝aX＋b，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(3)①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.4．離散型隨機(jī)變量方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相對于均值E(X)的偏離程度．而D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，稱D(X)為隨機(jī)變量X的方差，并稱其算術(shù)平方根eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(3)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝p(1－p)．(4)若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．考點(diǎn)一、離散型隨機(jī)變量分布列1．（23-24高三·階段練習(xí)）在一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)淺色球，其中一個(gè)球的標(biāo)號為1，另一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)深色球，其中兩個(gè)球的標(biāo)號為2，3.(1)若在兩個(gè)箱子中各抽取兩個(gè)球，求抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號為1，2，3的三個(gè)球中至少有兩個(gè)的概率;(2)若在兩個(gè)箱子中共隨機(jī)抽取四個(gè)球，記其中淺色球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）先利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算總抽取方法，再求出抽到至少兩個(gè)有標(biāo)號的球的方法計(jì)算概率即可；（2）利用離散型隨機(jī)變量的分布列公式計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可得共有（種）不同的抽法，抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號為1，2，或1，3的種數(shù)有，標(biāo)號為2，3的種數(shù)有，抽到1,2,3的種數(shù)有，合計(jì)（種）不同的抽法，所以抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號為1，2，3的三個(gè)球中至少有兩個(gè)的概率為.（2）由題意知，的可能取值為0，1，2，3，4.，，，，所以的分布列為X01234P2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）某縣教育局從縣直學(xué)校推薦的6名教師中任選3人去參加進(jìn)修活動(dòng)，這6名教師中，語文、數(shù)學(xué)、英語教師各2人．(1)求選出的數(shù)學(xué)教師人數(shù)多于語文教師人數(shù)的概率；(2)設(shè)X表示選出的3人中數(shù)學(xué)教師的人數(shù)，求X的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）首先計(jì)算出所有基本事件數(shù)，再求出“選出的數(shù)學(xué)老師人數(shù)多于語文老師的人數(shù)”的基本事件數(shù)，利用古典概型計(jì)算公式可求得結(jié)果.（2）根據(jù)題意，列出的所有可能的取值，求出對應(yīng)的概率，即可列出分布列.【詳解】（1）從6名老師中選3人的方法種數(shù)有：.數(shù)學(xué)老師多于語文老師的選法有：①1名數(shù)學(xué)，2名英語的選法：種；②2名數(shù)學(xué)的選法有：種.所以數(shù)學(xué)老師多于語文老師的選法有：種.故數(shù)學(xué)老師多于語文老師的概率為：.（2）由題意，的可能取值為：0，1，2.，，.所以的分布列為：0120.20.60.21．（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）某學(xué)生參加一次考試，已知在備選的10道試題中，能答對其中的6道題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，求該生答對試題數(shù)X的分布列.【答案】答案見解析【分析】根據(jù)分布列的解題步驟計(jì)算即可.【詳解】答對試題數(shù)X的可能取值為：，則，.所以該生答對試題數(shù)X的分布列如下：01232．（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在全國碩士研究生統(tǒng)一招生考試中，甲，乙，丙三名應(yīng)屆本科畢業(yè)生都以優(yōu)秀的成績通過了某重點(diǎn)大學(xué)的初試，即將參加該重點(diǎn)大學(xué)組織的復(fù)試．已知甲，乙，丙三名同學(xué)通過復(fù)試的概率分別為，，p，復(fù)試是否通過互不影響，且甲，乙，丙三名同學(xué)都沒有通過復(fù)試的概率為．(1)求p的值；(2)設(shè)甲，乙，丙三名同學(xué)中通過復(fù)試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的乘法公式結(jié)合對立事件的概率，列式計(jì)算，可得答案.（2）確定隨機(jī)變量X的取值，求得每個(gè)值對應(yīng)的概率，即可得分布列.【詳解】（1）因?yàn)榧?，乙，丙三名同學(xué)都沒有通過復(fù)試的概率為，所以，則．（2）由題意知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3．，，，．所以隨機(jī)變量X的分布列為X0123P考點(diǎn)二、離散型隨機(jī)變量的均值1．（2022·全國·高考真題）甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．【答案】(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，再根據(jù)甲獲得冠軍則至少獲勝兩個(gè)項(xiàng)目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互獨(dú)立事件的乘法公式即可求出；（2）依題可知，的可能取值為，再分別計(jì)算出對應(yīng)的概率，列出分布列，即可求出期望．【詳解】（1）設(shè)甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次記為，所以甲學(xué)校獲得冠軍的概率為．（2）依題可知，的可能取值為，所以，,，，.即的分布列為01020300.160.440.340.06期望.2．（2022·北京·高考真題）在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）【答案】(1)0.4(2)(3)丙【分析】(1)

由頻率估計(jì)概率即可(2)

求解得X的分布列，即可計(jì)算出X的數(shù)學(xué)期望.(3)

計(jì)算出各自獲得最高成績的概率，再根據(jù)其各自的最高成績可判斷丙奪冠的概率估計(jì)值最大.【詳解】（1）由頻率估計(jì)概率可得甲獲得優(yōu)秀的概率為0.4，乙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，丙獲得優(yōu)秀的概率為0.5，故答案為0.4（2）設(shè)甲獲得優(yōu)秀為事件A1,乙獲得優(yōu)秀為事件A2，丙獲得優(yōu)秀為事件A3，，，.∴X的分布列為X0123P∴（3）丙奪冠概率估計(jì)值最大.因?yàn)殂U球比賽無論比賽幾次就取最高成績.比賽一次，丙獲得9.85的概率為，甲獲得9.80的概率為，乙獲得9.78的概率為.并且丙的最高成績是所有成績中最高的，比賽次數(shù)越多，對丙越有利.3．（2021·北京·高考真題）在核酸檢測中,“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行1次檢測,如果這k個(gè)人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時(shí)需對每人再進(jìn)行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進(jìn)行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準(zhǔn)確.（I）將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(II）將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)【答案】（1）①次；②分布列見解析；期望為；（2）．【分析】（1）①由題設(shè)條件還原情境，即可得解；②求出X的取值情況，求出各情況下的概率，進(jìn)而可得分布列，再由期望的公式即可得解；（2）求出兩名感染者在一組的概率，進(jìn)而求出，即可得解.【詳解】（1）①對每組進(jìn)行檢測，需要10次；再對結(jié)果為陽性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測，需要10次；所以總檢測次數(shù)為20次；②由題意，可以取20，30，，，則的分布列:所以；（2）由題意，可以取25，30，兩名感染者在同一組的概率為，不在同一組的概率為，則.4．（2021·全國·高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個(gè)問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個(gè)問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.【答案】（1）見解析；（2）類．【分析】（1）通過題意分析出小明累計(jì)得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．（2）與（1）類似，找出先回答類問題的數(shù)學(xué)期望，比較兩個(gè)期望的大小即可．【詳解】（1）由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為（2）由（1）知，．若小明先回答問題，記為小明的累計(jì)得分，則的所有可能取值為，，．；；．所以．因?yàn)?，所以小明?yīng)選擇先回答類問題．1．（24-25高三上·福建福州·階段練習(xí)）已知籃球比賽中，得分規(guī)則如下：3分線外側(cè)投入可得3分，踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入可得2分，不進(jìn)得0分；經(jīng)過多次試驗(yàn)，某生投籃100次，有20個(gè)是3分線外側(cè)投入，20個(gè)是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨(dú)立事件．(1)求該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率；(2)求該生兩次投籃得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）由已知得該生投投籃3分線外側(cè)投入的概率，踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入的概率，不能入籃的概率，由此能求出該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率．（2）由已知得的可能取值為0，2，3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列及數(shù)學(xué)期望．【詳解】（1）“3分線外側(cè)投入”，“踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入”，“不能入籃”分別記為事件，，，由題意知，，，因?yàn)槊看瓮痘@為相互獨(dú)立事件，故4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率為.（2）兩次投籃后得分的可能取值為0，2，3，4，5，6,由于該生兩次投籃互不影響，是相互獨(dú)立事件，表示兩次投籃都不能入籃，即得分都為0，則；表示一次是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，另一次不能入籃，則；表示一次是3分線外側(cè)投入，另一次不能入籃，則；表示兩次都是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，則；表示一次是3分線外側(cè)投入，另一次是踩線及3分線內(nèi)側(cè)投入，則；表示兩次都是3分線外側(cè)投入，則，故的分布列為023456所以.2．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）良好的用眼習(xí)慣能夠從多方面保護(hù)眼睛的健康，降低近視發(fā)生的可能性，對于保護(hù)青少年的視力具有不可替代的重要作用．某班班主任為了讓本班學(xué)生能夠掌握良好的用眼習(xí)慣，開展了“愛眼護(hù)眼”有獎(jiǎng)知識(shí)競賽活動(dòng)，班主任將競賽題目分為兩組，規(guī)定每名學(xué)生從兩組題目中各隨機(jī)抽取2道題作答．已知該班學(xué)生甲答對組題的概率均為，答對組題的概率均為．假設(shè)學(xué)生甲每道題是否答對相互獨(dú)立．(1)求學(xué)生甲恰好答對3道題的概率；(2)設(shè)學(xué)生甲共答對了道題，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；【分析】（1）轉(zhuǎn)化為“答對組的2道題和組的1道題”與“答對組的l道題和組的2道題”兩個(gè)互斥事件的和事件的概率求解，再分別應(yīng)用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的乘法公式即可得；（2）按照求離散型隨機(jī)變量分布列的一般步驟求解即可.【詳解】（1）學(xué)生甲恰好答對3道題有以下兩種情況：第一種情況是學(xué)生甲答對組的2道題和組的1道題，其概率；第二種情況是學(xué)生甲答對組的l道題和組的2道題，其概率．故學(xué)生甲恰好答對3道題的概率．（2）由題意可知的所有可能取值為．，，，，由（1）可知，則的分布列為01234故．3．（2024·安徽·一模）高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題每小題滿分6分，每小題有4個(gè)選項(xiàng)，其中只有2個(gè)或者3個(gè)選項(xiàng)是正確的.若正確選項(xiàng)有2個(gè)，則選對其中1個(gè)得3分；若正確選項(xiàng)有3個(gè)，則選對其中1個(gè)得2分，選對其中2個(gè)得4分，答案中有錯(cuò)誤選項(xiàng)的得0分.設(shè)一套數(shù)學(xué)試卷的多項(xiàng)選擇題中有2個(gè)選項(xiàng)正確的概率為，有3個(gè)選項(xiàng)正確的概率為.在一次模擬考試中：(1)小明可以確認(rèn)一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，從其余的三個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選擇2個(gè)作為答案，若小明該題得分X的數(shù)學(xué)期望為3，求p；(2)小明可以確認(rèn)另一道多項(xiàng)選擇題的選項(xiàng)A是正確的，其余的選項(xiàng)只能隨機(jī)選擇.小明有三種方案：①只選A不再選擇其他答案；②從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇1個(gè).共選2個(gè)；③從另外三個(gè)選項(xiàng)中再隨機(jī)選擇2個(gè)，共選3個(gè).若，以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇哪個(gè)方案？【答案】(1)(2)②【分析】（1）根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列及期望公式計(jì)算即可，（2）分別求解三種情況下的期望，即可比較期望大小求解.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，，若該題有2個(gè)選項(xiàng)正確，則，若該題有3個(gè)選項(xiàng)正確，則，則分布列如下：X046P所以，解之得；（2）不妨記一道多選題“有2個(gè)選項(xiàng)正確”為事件，“有3個(gè)選項(xiàng)正確”為事件，若小明選擇方案①，記小明該題得分為，則的可能取值為2，3，對應(yīng)概率為：，故；若小明選擇方案②，記小明該題得分為，則的可能取值為，對應(yīng)概率為：，，故，若小明選擇方案③，記小明該題得分為Z，則Z的可能取值為，對應(yīng)概率為：，.故，，故以最后得分的數(shù)學(xué)期望為決策依據(jù)，小明應(yīng)該選擇方案②.4．（2024·湖南邵陽·三模）為創(chuàng)造良好的城市消防安全環(huán)境，某社區(qū)舉行“消防安全”答題活動(dòng)，答題人根據(jù)所獲得的分?jǐn)?shù)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規(guī)定每位答題人共需回答3道題目．現(xiàn)有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類題目；乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規(guī)則答題，每次答對時(shí)，則下一次答A類題目，每次答錯(cuò)時(shí)，則下一次答B(yǎng)類題目．已知A類題目每次答對得40分，答錯(cuò)得0分，B類題目每次答對得30分，答錯(cuò)得0分．若小李每道A類題目能答對的概率均為，每道B類題目能答對的概率均為，且每道題能否答對與回答順序無關(guān)．(1)若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；(2)若想要答題得分的期望值更大，小李應(yīng)該選擇哪種答題方案？【答案】(1)(2)乙方案【分析】（1）由獨(dú)立事件的乘法公式求解即可；（2）由二項(xiàng)分布求出小李采用甲方案答題的期望，若小李采用乙方案答題，則設(shè)他的得分為，求出的可能取值及其對應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望公式求出，由即可得出答案.【詳解】（1）若“小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分”記為事件，則小李至少答對道A類題目，所以.（2）若小李采用甲方案答題，設(shè)他的得分為，則他答對的題數(shù)為，且，所以，則，若小李采用乙方案答題，則設(shè)他的得分為，的可能取值為，，，，，，，所以，因?yàn)?，所以小李想要答題得分的期望值更大，應(yīng)該選擇乙方案答題.考點(diǎn)三、離散型隨機(jī)變量的方差1．（浙江·高考真題）設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)A．增大 B．減小C．先增大后減小 D．先減小后增大【答案】D【分析】研究方差隨變化的增大或減小規(guī)律，常用方法就是將方差用參數(shù)表示，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)求解.本題根據(jù)方差與期望的關(guān)系，將方差表示為的二次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題.題目有一定綜合性，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、運(yùn)算求解能力的考查.【詳解】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大.方法2：則故選D.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有，一是數(shù)學(xué)期望、方差以及二者之間的關(guān)系掌握不熟，無從著手；二是計(jì)算能力差，不能正確得到二次函數(shù)表達(dá)式.2．（浙江·高考真題）設(shè)，隨機(jī)變量的分布列如圖，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，A．減小 B．增大C．先減小后增大 D．先增大后減小【答案】D【分析】先求數(shù)學(xué)期望，再求方差，最后根據(jù)方差函數(shù)確定單調(diào)性.【詳解】，，，∴先增后減，因此選D.【點(diǎn)睛】3．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）某公司擬通過摸球中獎(jiǎng)的方式對員工發(fā)放節(jié)日紅包．在一個(gè)不透明的袋子中裝有個(gè)形狀大小相同的標(biāo)有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機(jī)摸取m個(gè)球，摸完后全部放回袋中，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲得的紅包數(shù)額．(1)若，，當(dāng)袋中的球中有個(gè)所標(biāo)面值為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元時(shí)，在員工所獲得的紅包數(shù)額不低于元的條件下，求取到面值為元的球的概率；(2)若，，當(dāng)袋中的球中有1個(gè)所標(biāo)面值為元，2個(gè)為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元時(shí)，求員工所獲得紅包數(shù)額的數(shù)學(xué)期望與方差．【答案】(1)(2)期望為；方差為【分析】（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，根據(jù)條件先求，再利用條件概率公式，即可求解；（2）由題知可能取值為，再求出對應(yīng)的概率，利用期望和方差的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）記事件：員工所獲得的紅包數(shù)額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，因?yàn)榍蛑杏袀€(gè)所標(biāo)面值為元，1個(gè)為元，1個(gè)為元，且，，，所以，又，所以．（2）設(shè)X為員工取得的紅包數(shù)額，則可能取值為，

所以，，，，

所以，

．4．（2024·湖南·二模）猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來猜歌名，該游戲中有A，B，C三首歌曲.嘉賓甲參加猜歌名游戲，需從三首歌曲中各隨機(jī)選一首，自主選擇猜歌順序，只有猜對當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，并且獲得本歌曲對應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金.假設(shè)甲猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對三首歌曲的概率及猜對時(shí)獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)勵(lì)基金如下表：歌曲猜對的概率0.80.50.5獲得的獎(jiǎng)勵(lì)基金金額/元100020003000(1)求甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名的概率；(2)甲決定按“”或者“”兩種順序猜歌名，請你計(jì)算兩種猜歌順序嘉賓甲獲得獎(jiǎng)勵(lì)基金的期望；為了得到更多的獎(jiǎng)勵(lì)基金，請你給出合理的選擇建議，并說明理由.【答案】(1)0.4(2)期望都是2200，按照“A，B，C”的順序猜歌名，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)互斥事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式即可求解.（2）先根據(jù)題意寫出甲決定按“”的順序猜歌名獲得獎(jiǎng)金數(shù)的所有可能取值，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求得每一個(gè)取值對應(yīng)的概率，由數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法得出；再同理得出甲決定按“”順序猜歌名的數(shù)學(xué)期望；最后可通過計(jì)算、比較方差得出答案或者分析獲得0元的概率得出答案.【詳解】（1）由題意可知甲按“”的順序猜歌名，至少猜對兩首歌名分兩種情況：猜對；猜對，這兩種情況不會(huì)同時(shí)發(fā)生.設(shè)“甲按‘A，B，C’的順序猜歌名至少猜對兩首歌名”為事件E，由甲猜對每首歌曲的歌名相互獨(dú)立可得.（2）甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以；甲決定按“”順序猜歌名，獲得的獎(jiǎng)金數(shù)記為，則的所有可能取值為，所以.參考答案一：由于，由于，所以應(yīng)該按照“”的順序猜歌名.參考答案二：甲按“C，B，A”的順序猜歌名時(shí)，獲得0元的概率為0.5，大于按照“A，B，C”的順序猜歌名時(shí)獲得0元的概率0.2，所以應(yīng)該按照“A，B，C”的順序猜歌名.其他合理答案均給分1．（2024·福建泉州·二模）在一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲中，主持人從編號為1，2，3，4的四個(gè)外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一件獎(jiǎng)品，再將四個(gè)箱子關(guān)閉．主持人知道獎(jiǎng)品在哪個(gè)箱子里．游戲規(guī)則是：主持人請抽獎(jiǎng)人在這四個(gè)箱子中選擇一個(gè)，若獎(jiǎng)品在此箱子里，則獎(jiǎng)品由獲獎(jiǎng)人獲得．現(xiàn)有抽獎(jiǎng)人甲選擇了2號箱，在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個(gè)箱子中的一個(gè)空箱子．按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開甲選擇之外的一個(gè)空箱子，記為X號箱．(1)求的概率；(2)求X的方差；(3)若，現(xiàn)在給抽獎(jiǎng)人甲一次重新選擇的機(jī)會(huì)，請問他是堅(jiān)持選2號箱，還是改選3號或4號箱？【答案】(1)(2)(3)甲應(yīng)該改選4號或3號箱．【分析】（1）利用全概率公式計(jì)算；（2）由X可能的取值，求出相應(yīng)的概率，得分布列，公式法求方差；（3）計(jì)算各箱里有獎(jiǎng)品的概率，由結(jié)果進(jìn)行選擇.【詳解】（1）設(shè)分別表示1，2，3，4號箱子里有獎(jiǎng)品，設(shè)分別表示主持人打開1，2，3，4號箱子，則，且兩兩互斥．由題意可知，事件的概率都是，，．由全概率公式，得．（2）依題意可得，同理可得，故X的分布列為：X134P（3）在主持人打開1號箱的條件下，4號箱、2號箱、3號箱里有獎(jiǎng)品的概率分別為，，，通過概率大小比較，甲應(yīng)該改選4號或3號箱．2．（2024·湖南長沙·三模）開展中小學(xué)生課后服務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生健康成長、幫助家長解決接送學(xué)生困難的重要舉措是進(jìn)一步增強(qiáng)教育服務(wù)能力、使人民群眾具有更多獲得感和幸福感的民生工程.某校為確保學(xué)生課后服務(wù)工作順利開展，制定了兩套工作方案，為了解學(xué)生對這兩個(gè)方案的支持情況，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如表:男女支持方案一2416支持方案二2535假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.(1)從該校支持方案一和支持方案二的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，設(shè)為抽出兩人中女生的個(gè)數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望;(2)在(1)中表示抽出兩人中男生的個(gè)數(shù)，試判斷方差與的大小.【答案】(1)分布列見解析，(2).【分析】（1）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件，根據(jù)已知條件求出，的可能取值為0，1，2，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列與數(shù)學(xué)期望;（2）根據(jù)方差的性質(zhì)判斷即可.【詳解】（1）記從方案一中抽取到女生為事件，從方案二中抽取到女生為事件.則，則的可能取值為.所以，，，所以的分布列為:012所以.（2）依題意可得，所以,即.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）某商場推出購物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：①顧客在商場內(nèi)消費(fèi)每滿100元，可獲得1張抽獎(jiǎng)券；②顧客進(jìn)行一次抽獎(jiǎng)需消耗1張抽獎(jiǎng)券，抽獎(jiǎng)規(guī)則為：從放有5個(gè)白球，1個(gè)紅球的盒子中，隨機(jī)摸取1個(gè)球（每個(gè)球被摸到的可能性相同），若摸到白球，則沒有中獎(jiǎng)，若摸到紅球，則可獲得1份禮品，并得到一次額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)（額外抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)不消耗抽獎(jiǎng)券，抽獎(jiǎng)規(guī)則不變）；③每位顧客獲得的禮品數(shù)不超過3份，若獲得的禮品數(shù)滿3份，則不可繼續(xù)抽獎(jiǎng)；(1)顧客甲通過在商場內(nèi)消費(fèi)獲得了2張抽獎(jiǎng)券，求他通過抽獎(jiǎng)至少獲得1份禮品的概率；(2)顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份，則他在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過程中，獲得禮品的概率是多少？(3)設(shè)顧客在消耗張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份，要獲得張抽獎(jiǎng)券，至少要在商場中消費(fèi)滿元，求的值.（重復(fù)進(jìn)行某個(gè)伯努利試驗(yàn)，且每次試驗(yàn)的成功概率均為.隨機(jī)變量表示當(dāng)恰好出現(xiàn)次失敗時(shí)已經(jīng)成功的試驗(yàn)次數(shù).則服從參數(shù)為和的負(fù)二項(xiàng)分布.記作.它的均值，方差）【答案】(1)；(2)；(3)，.【分析】（1）確定一次摸獎(jiǎng)摸到白球的概率，根據(jù)對立事件的概率計(jì)算，即可得答案；（2）分別求出顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份，以及顧客乙在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過程中，獲得禮品的概率，根據(jù)條件概率的計(jì)算公式，即可求得答案；（3）由題意確定，結(jié)合負(fù)二項(xiàng)分布的均值和方差公式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意可知一次摸獎(jiǎng)摸到紅球的概率為，摸到白球的概率為，故甲至少獲得1份禮品的概率；（2）設(shè)“顧客乙累計(jì)消耗3張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)后，獲得的禮品數(shù)滿3份”，“顧客乙在消耗第2張抽獎(jiǎng)券抽獎(jiǎng)的過程中，獲得禮品”，，；（3）由題意可知?jiǎng)t，.1．（2024·青海海西·模擬預(yù)測）一個(gè)袋中裝有6個(gè)同樣大小的小球，編號分別為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出3個(gè)小球，用X表示取出的3個(gè)小球中最大編號和最小編號的差．(1)求；(2)求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，．【分析】（1）根據(jù)題意，由概率公式代入計(jì)算，即可求解；（2）有題意可得，X的取值分別為2，3，4，5，分別求得其對應(yīng)概率，再由期望的公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，這3個(gè)球的編號分別有兩個(gè)為1和6，另一個(gè)為2或3或4或5，可得；（2）隨機(jī)變量X的取值分別為2，3，4，5，有，，，隨機(jī)變量X的分布列為：X2345P則．2．（21-22高二下·廣東廣州·期中）甲?乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為，.(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求的分布列；(3)求的期望及標(biāo)準(zhǔn)差.【答案】(1)(2)答案見解析(3)，【分析】（1）第三次由乙投籃包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，進(jìn)而結(jié)合概率的乘法公式即可求出結(jié)果；（2）求出ξ的可能取值以及對應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，根據(jù)期望與標(biāo)準(zhǔn)差的概念即可求出結(jié)果；（3）由期望公式、標(biāo)準(zhǔn)差公式可求解.【詳解】（1）因?yàn)榈谌斡梢彝痘@包括第一次甲命中第二次甲未命中和第一次甲未命中第二次乙命中，所以;（2）由題意，可取0，1，2.P(ξ＝0)＝；P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝.故ξ的分布列為：ξ012P（3）由（2）有E(ξ)＝，D(ξ)＝，所以.3．（2024·廣東·二模）某廠有3組生產(chǎn)用設(shè)備，由于設(shè)備使用時(shí)間過長，每組設(shè)備在一個(gè)月內(nèi)均有的故障率．現(xiàn)該廠制定設(shè)備翻新計(jì)劃，每個(gè)月月初有的概率在剩余未改造設(shè)備中隨機(jī)抽取一組并在月底翻新，但月內(nèi)若有設(shè)備發(fā)生故障，則無論本月有無翻新計(jì)劃及是否抽到該設(shè)備，故障的設(shè)備都將立即翻新，且該月內(nèi)不再因?yàn)楣收戏缕渌O(shè)備（但若發(fā)生故障的不是已經(jīng)在送修計(jì)劃內(nèi)的設(shè)備，則計(jì)劃翻新仍將正常進(jìn)行），若再有設(shè)備發(fā)生故障則將會(huì)維修（但暫不翻新）后重新投入生產(chǎn)．(1)求第一個(gè)月恰好翻新一組設(shè)備的概率；(2)設(shè)第一個(gè)月結(jié)束后，已翻新的設(shè)備數(shù)量為隨機(jī)變量X，求X的均值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題列舉所求事件包含的事件情況，結(jié)合分類分步計(jì)數(shù)原理求得概率；（2）先列出隨機(jī)變量的所有可能取值，結(jié)合概率公式求得每個(gè)值所對應(yīng)的概率，最后利用均值的公式計(jì)算的答案；【詳解】（1）由題，“翻新一組設(shè)備”包含“計(jì)劃翻新一組且沒有發(fā)生故障”，“沒有計(jì)劃翻新但出現(xiàn)故障”及“有計(jì)劃翻新且出現(xiàn)了故障，但故障設(shè)備恰好為計(jì)劃翻新的設(shè)備”三種事件．設(shè)“翻新一組設(shè)備”為事件A，“計(jì)劃翻新”為事件B，“出現(xiàn)故障”為事件C，“抽到故障設(shè)備”為事件D則，，，，因此第一個(gè)月恰好翻新一組設(shè)備的概率為．（2）的可能取值為0，1，2，當(dāng)且僅當(dāng)沒有出現(xiàn)故障且沒有計(jì)劃改造，故，由（1），，，故．4．（2024·全國·模擬預(yù)測）某中學(xué)為積極貫徹并落實(shí)教育部提出的“五育并舉”措施，在軍訓(xùn)期間成立了自動(dòng)步槍社團(tuán)來促進(jìn)同學(xué)們德智體美勞全面發(fā)展，在某次軍訓(xùn)課上該自動(dòng)步槍社團(tuán)的某同學(xué)進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知該同學(xué)每次射擊成功的概率均為.(1)求該同學(xué)進(jìn)行三次射擊恰好有兩次射擊成功的概率；(2)若該同學(xué)進(jìn)行三次射擊，第一次射擊成功得2分，第二次射擊成功得2分，第三次射擊成功得4分，記為三次射擊總得分，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望4【分析】（1）由互斥加法、獨(dú)立乘法公式即可求解；（2），求出對應(yīng)的概率即可得分布列，進(jìn)一步即可求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記“該同學(xué)進(jìn)行三次射擊恰好有兩次射擊成功為事件”，則.（2）設(shè)事件分別表示第一次射擊成功，第二次射擊成功，第三次射擊成功，根據(jù)題意可知.故；；；；.所以的分布列為：02468故的數(shù)學(xué)期望.5．（23-24高三上·廣東湛江·期末）已知某公司生產(chǎn)的風(fēng)干牛肉干是按包銷售的，每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且.(1)若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選取3包，求這3包中恰有2包質(zhì)量不小于的概率；(2)若從公司銷售的牛肉干中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）包，記質(zhì)量在內(nèi)的包數(shù)為，且，求的最小值.【答案】(1)(2)2001【分析】（1）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求出的值，再結(jié)合二項(xiàng)分布的概率計(jì)算，即可得答案；（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出的值，確定，結(jié)合正態(tài)分布的方差公式，列出不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意知每包牛肉干的質(zhì)量（單位：g）服從正態(tài)分布，且，所以，則這3包中恰有2包質(zhì)量不小于248g的概率為.（2）因?yàn)椋裕李}意可得，所以，因?yàn)椋?，又為正整?shù)，所以的最小值為2001.6．（2024·黑龍江牡丹江·一模）某高中舉辦詩詞知識(shí)競賽答題活動(dòng)，比賽分兩輪，具體規(guī)則如下：第一輪，參賽選手從類道題中任選道進(jìn)行答題，答完后正確數(shù)超過兩道(否則終止比賽)才能進(jìn)行第二輪答題；第二輪答題從類道題中任選道進(jìn)行答題，直到答完為止．類題每答對一道得10分，類題每答對一道得分，答錯(cuò)不扣分，以兩輪總分和決定優(yōu)勝．總分分或分為三等獎(jiǎng)，分為二等獎(jiǎng)，分為一等獎(jiǎng)．某班小張同學(xué)類題中有5道會(huì)做，類5題中，每題答對的概率均為，且各題答對與否互不影響．(1)求小張同學(xué)被終止比賽的概率；(2)現(xiàn)已知小張同學(xué)第一輪中回答的類題全部正確，求小張同學(xué)第二輪答完題后總得分的分布列及期望；(3)求小張同學(xué)獲得三等獎(jiǎng)的概率．【答案】(1)(2)分布列見解析，(3)【分析】．（1）根據(jù)題意，第一輪中小張只答對2道則被終止比賽，計(jì)算概率即可；（2）分析得的所有可能取值，分別求出概率，即可得出分布列，進(jìn)而得出數(shù)學(xué)期望；（3）分析出小張同學(xué)獲得三等獎(jiǎng)的所有情況，再計(jì)算概率即可．【詳解】（1）從類道題中任選道，其中2道會(huì)做，2道不會(huì)做，則被終止比賽，所以小張同學(xué)被終止比賽的概率為．（2）由題意可知，的所有可能取值為40,60,80,100，則，，，，所以的分布列為：所以．（3）小張獲得三等獎(jiǎng)，共有兩種情況，①第一輪得30分（答對3道），則第二輪得40分（對2道），概率為；②第一輪得40分（答對4道），則第二輪得40分（對2道），概率為，所以小張同學(xué)獲得三等獎(jiǎng)的概率為．7．（2024·全國·模擬預(yù)測）某廠為提高工作效率，將全廠分為甲、乙2個(gè)車間，每個(gè)車間分別設(shè)有A，B，C，D，E5組．下表為該廠某日生產(chǎn)訂單情況統(tǒng)計(jì)表，請據(jù)表解答下列問題：ABCDE甲車間100120150180200乙車間50120200150180(1)求甲、乙2個(gè)車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)與方差，并根據(jù)方差判斷哪一個(gè)車間工作效率比較穩(wěn)定？(2)設(shè)甲車間合格率為0.54，乙車間合格率為0.57，求甲、乙2個(gè)車間都不合格的概率；(3)你認(rèn)為哪個(gè)車間工作效率更高？請從平均數(shù)、方差、合格率的角度分析．【答案】(1)甲車間的平均數(shù)150，乙車間的平均數(shù)140，甲車間的方差1360，乙車間的方差2760，甲車間工作效率比較穩(wěn)定(2)0.1978(3)答案見解析【分析】（1）計(jì)算甲車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)，乙車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)，甲車間該日生產(chǎn)訂單的方差，乙車間該日生產(chǎn)訂單的方差；（2）計(jì)算甲、乙2個(gè)車間都不合格的概率；（3）比較2個(gè)車間的平均數(shù)、方差和合格率.【詳解】（1）甲車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)為，乙車間該日生產(chǎn)訂單的平均數(shù)為，甲車間該日生產(chǎn)訂單的方差為，乙車間該日生產(chǎn)訂單的方差為，因?yàn)榧总囬g該日生產(chǎn)訂單的方差小于乙車間該日生產(chǎn)訂單的方差，所以甲車間工作效率比較穩(wěn)定；（2）甲、乙2個(gè)車間都不合格的概率為；（3）平均數(shù)上甲車間的該日生產(chǎn)訂單更大，方差更小，乙車間合格率更大，但是差別并不大，所以甲車間工作效率更高.8．（2024·新疆烏魯木齊·三模）某學(xué)科測試題有多項(xiàng)選擇題，在每小題給出的A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯(cuò)的得0分，若正確答案為兩項(xiàng)，每對一項(xiàng)得3分；若正確答案為三項(xiàng)，每對一項(xiàng)得2分；…．學(xué)生在作答某題時(shí)，對四個(gè)選項(xiàng)能正確地判斷，判斷不了（不選）和錯(cuò)誤的判斷的概率如下表：選項(xiàng)作出正確的判斷判斷不了（不選）作出錯(cuò)誤的判斷A0.40.20.4B0.20.30.5C0.60.30.1D0.50.30.2已知此題的正確選項(xiàng)為AD．(1)求學(xué)生答此題得6分的概率；(2)求學(xué)生此題得分的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，期望【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；（2）設(shè)學(xué)生此題得分為，則的所有可能取值為，，，根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得到的分布列，再結(jié)合期望公式求解．【詳解】（1）設(shè)事件表示“學(xué)生答此題得6分”，選項(xiàng)A、D作出正確判斷，且選項(xiàng)B、C作出正確判斷或判斷不了，所以；（2）設(shè)學(xué)生此題得分為，則的所有可能取值為，，，所以，，則，所以的分布列為：0360.6850.2250.09所以．9．（2024·湖南益陽·一模）某公園為了提升公園形象，提高游客旅游的體驗(yàn)感，他們更新了部分設(shè)施，調(diào)整了部分旅游線路.為了解游客對新措施是否滿意，隨機(jī)抽取了100名游客進(jìn)行調(diào)查，男游客與女游客的人數(shù)之比為2:3，其中男游客有35名滿意，女游客有15名不滿意.滿意不滿意總計(jì)男游客35女游客15合計(jì)100(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)表中數(shù)據(jù)，以及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為游客對公園新措施滿意與否與性別有關(guān)?(2)從被調(diào)查的游客中按男、女分層抽樣抽取5名游客.再隨機(jī)從這5名游客中抽取3名游客征求他們對公園進(jìn)一步提高服務(wù)質(zhì)量的建議，其中抽取男游客的人數(shù)為.求出的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】(1)聯(lián)表見詳解，不能.(2)分布列見詳解，【分析】（1）根據(jù)男游客與女游客的人數(shù)的比值,結(jié)合卡方計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算求解即可；（2）根據(jù)超幾何分布的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）因?yàn)檎{(diào)查的男游客人數(shù)為：，所以，調(diào)查的女游客人數(shù)為，于是可完成列聯(lián)表如下：滿意不滿意總計(jì)男游客35540女游客451560合計(jì)8020100零假設(shè)為：游客對公園新措施滿意與否與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即游客對公園新措施滿意與否與性別無關(guān)；（2）由（1）可知男游客抽2人，女游客抽3人，依題意可知的可能取值為0，1，2，并且服從超幾何分布，即，，.所以的分布列為：012.10．（2023·陜西西安·一模）某公司計(jì)劃在2023年年初將200萬元用于投資，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇.項(xiàng)目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，也可能虧損，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和；項(xiàng)目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利，可能損失，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為.(1)針對以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由；(2)若市場預(yù)期不變，該投資公司按照（1）中選擇的項(xiàng)目長期投資（每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資），問大約在哪一年的年底總資產(chǎn)（利潤+本金）可以翻兩番？（參考數(shù)據(jù)）【答案】(1)建議該投資公司選擇項(xiàng)目一進(jìn)行投資，理由見解析(2)大約在2030年年底總資產(chǎn)可以翻兩番【分析】（1）分別計(jì)算出兩個(gè)項(xiàng)目的期望和方差，比較后得到結(jié)論；（2）設(shè)年后總資產(chǎn)可以翻兩番，根據(jù)題意列出方程，求出答案.【詳解】（1）若投資項(xiàng)目一，設(shè)獲利為萬元，則的分布列為60-30若投資項(xiàng)目二，設(shè)獲利為萬元，則的分布列為1000-60，，，，，這說明雖然項(xiàng)目一?項(xiàng)目二獲利的均值相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一進(jìn)行投資.（2）假設(shè)年后總資產(chǎn)可以翻兩番，依題意，，即，兩邊取對數(shù)，得，，，大約在2030年年底總資產(chǎn)可以翻兩番.1．（2024·甘肅張掖·三模）春節(jié)期間電影院上映5部影片：賀歲片有《第20條》，《飛馳人生》和《熱辣滾燙》，往期電影《滿江紅》，《流浪地球2》.媽媽有4張電影票給了姐姐和弟弟每人2張，讓他們自己選擇看哪2部電影.(1)求姐姐恰好看了2部賀歲片的概率；(2)求姐弟兩人觀看賀歲片的部數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，期望為2.4.【分析】（1）根據(jù)超幾何分布模型計(jì)算概率即可；（2）利用超幾何分布得到，再根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式寫出對應(yīng)概率，最后計(jì)算期望即可.【詳解】（1）設(shè)事件:姐姐恰好看了2部賀歲片.則，所以姐姐恰好看了2部賀歲片的概率為.（2）設(shè)表示姐姐看了部賀歲片.表示弟弟看了部賀歲片.則知.知.，.隨機(jī)變量表示姐弟二人觀看賀歲片的總數(shù)的取值有0，1，2，3，4.，，，，.從而隨機(jī)變量的分布列為：01234所以的數(shù)學(xué)期望.即姐弟2人觀看賀歲片的部數(shù)的數(shù)學(xué)期望為2.4.2．（2024·四川·一模）甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練數(shù)據(jù)，甲每次投籃命中的概率為，乙每次投籃命中的概率為，各次投籃互不影響、現(xiàn)甲、乙兩人開展多輪次的定點(diǎn)投籃活動(dòng)，每輪次各投個(gè)球，每投進(jìn)一個(gè)球記分，未投進(jìn)記分.(1)求甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于的概率；(2)記甲、乙每輪投籃得分之和為.①求的分布列和數(shù)學(xué)期望；②若，則稱該輪次為一個(gè)“成功輪次”.在連續(xù)輪次的投籃活動(dòng)中，記“成功輪次”為，當(dāng)為何值時(shí)，恒成立？【答案】(1)(2)①分布列見解析，；②或或【分析】（1）將問題轉(zhuǎn)化成甲在一輪投籃中至多命中一次，再利用對立事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，即可求解；（2）①由題知可能取值為，根據(jù)條件，求出相應(yīng)的概率，即可求出分布列，再利用期望公式，即可求解；②根據(jù)條件，得到，再由，即可求解.【詳解】（1）甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于，即甲在一輪投籃中至多命中一次，所以甲在一輪投籃結(jié)束后的得分不大于的概率為.（2）①由題知可能取值為，，，，，，所以的分布列為數(shù)學(xué)期望.②由①知，由題知，所以，由，得到且，整理得到，即，得到，所以，由題有，所以，得到，又，所以或或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在第（2）中的②問，根據(jù)條件得到，從而得到，再將問題轉(zhuǎn)化成求解不等式，即可求解.3．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）中國共產(chǎn)黨第二十屆中央委員會(huì)第三次全體會(huì)議，于2024年7月15日至18日在北京舉行.全會(huì)提出，中國式現(xiàn)代化是物質(zhì)文明和精神文明相協(xié)調(diào)的現(xiàn)代化.必須增強(qiáng)文化自信，發(fā)展社會(huì)主義先進(jìn)文化，弘揚(yáng)革命文化，傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，加快適應(yīng)信息技術(shù)迅猛發(fā)展新形勢，培育形成規(guī)模宏大的優(yōu)秀文化人才隊(duì)伍，激發(fā)全民族文化創(chuàng)新創(chuàng)造活力.為此，某學(xué)校舉辦了“傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”宣傳活動(dòng)，學(xué)校從全體學(xué)生中抽取了100人對該宣傳活動(dòng)的了解情況進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：男女合計(jì)了解20不了解2040合計(jì)(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整；(2)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生對該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別有關(guān)聯(lián)？(3)若把上表中的頻率視作概率，現(xiàn)從了解該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加傳統(tǒng)文化知識(shí)競賽.記抽取的3人中女生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】(1)表格見解析；(2)根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為該校學(xué)生對該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別有關(guān)聯(lián)；(3)分布列見解析；.【分析】（1）由題意以及表格數(shù)據(jù)即可填寫.（2）零假設(shè)該校學(xué)生對該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，再根據(jù)小概率值作出判斷即可.（3）先求隨機(jī)變量，接著依次求各隨機(jī)變量取值相應(yīng)的概率即可得分布列，再由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式去計(jì)算即可得.【詳解】（1）由題得列聯(lián)表如下：男女合計(jì)了解402060不了解202040合計(jì)6040100（2）零假設(shè)該校學(xué)生對該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別無關(guān)，由（1）可得，則根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，即可以認(rèn)為成立，故不能認(rèn)為該校學(xué)生對該宣傳活動(dòng)的了解情況與性別有關(guān)聯(lián).（3）由（1）可知抽取的100名學(xué)生中了解該活動(dòng)的學(xué)生男生和女生分別為40人和20人，所以從了解該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人參加傳統(tǒng)文化知識(shí)競賽，抽取的是女生的概率為，則由題意可知，且，所以，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為0123所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）在某地區(qū)進(jìn)行高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（單位：小時(shí)），得到如下樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖.(1)求的值，估計(jì)該地區(qū)高中學(xué)生每周戶外運(yùn)動(dòng)的平均時(shí)間；（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)為進(jìn)一步了解這名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了人，現(xiàn)從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談，記在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和期望；(3)以頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)的高中學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生，用“”表示這名學(xué)生中恰有名學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的概率，當(dāng)最大時(shí)，求的值.【答案】(1)，平均時(shí)間為小時(shí)(2)分布列見解析，期望(3)【分析】（1）根據(jù)頻率和為，可得，再根據(jù)平均數(shù)公式直接計(jì)算平均數(shù)即可；（2）分別計(jì)算時(shí)間在，的頻數(shù)，結(jié)合分層抽樣可得兩組分別抽取人，根據(jù)超幾何分布的概率公式分別計(jì)算概率，可得分布列與期望；（3）根據(jù)頻率分布直方圖可知運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的頻率，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得，根據(jù)最值可列不等式，解不等式即可.【詳解】（1）由已知，解得，所以平均數(shù)為.（2）這名高中學(xué)生戶外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間分配，在，兩組內(nèi)的學(xué)生分別有人，和人；所以根據(jù)分層抽樣可知人中在的人數(shù)為人，在內(nèi)的人數(shù)為人，所以隨機(jī)變量的可能取值有，，所以，，則分布列為期望；（3）由頻率分布直方圖可知運(yùn)動(dòng)時(shí)間在內(nèi)的頻率為，則，若為最大值，則，即，即，解得，又，且，則.5．（2024·北京門頭溝·一模）2024年1月11日，記者從門頭溝區(qū)兩會(huì)上獲悉，目前國道109新線高速公路（簡稱新高速)全線35坐橋梁主體結(jié)構(gòu)已全部完成，項(xiàng)目整體進(jìn)度已達(dá)到，預(yù)計(jì)今年上半年開始通車，通車后從西六環(huán)到門頭溝區(qū)清水鎮(zhèn)車程將縮短到40分鐘。新高速全線設(shè)頎主線收費(fèi)站兩處（分別位于安家莊和西臺(tái)子)和匝道收費(fèi)站四處(分別位于雁翅、火村、清水和齋堂)。新高速的建成為市民出行帶來了很大便利，為此有關(guān)部門特意從門頭溝某居民小區(qū)中隨機(jī)抽取了200位打算利用新高速出行的居民，對其出行的原因和下高速的出口進(jìn)行了問卷調(diào)查（問卷中每位居民只填寫一種出行原因和對應(yīng)的一個(gè)下高速的出口)，具體情況如下：（假設(shè)該小區(qū)所有打算利用新高速出行的居民的出行相對獨(dú)立，且均選擇上表中的一個(gè)高速出口下高速）。項(xiàng)目齋堂出口清水出口安家莊出口雁翅出口火村出口西臺(tái)子出口上班4082532旅游30201010128探親161010554(1)從被調(diào)查的居民中隨機(jī)選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；(2)用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取2人，從出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，用“”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速：從該小區(qū)所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，用“”表示此人從齋堂出口下高速，“”表示此人不從齋堂出口下高速，寫出方差的大小關(guān)系．(結(jié)論不要求證明）．【答案】(1)(2)見詳解(3)【分析】（1）根據(jù)古典概型在清水出口下高速的人數(shù)比總樣本數(shù)即可得到概論。（2）由題意，隨機(jī)變量的所有可能為0，1，2，3，分別求出概率，即可求出分布列，利用期望公式求出期望。（3）通過對，方差的估算，即可得出。【詳解】（1）解：樣本中被調(diào)查的居民人數(shù)為200，其中利用新高速出行探親且在清水出口下高速的人數(shù)為10，所以該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率為：，（2）解：從樣本中所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為；從樣本中所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為，由題設(shè)，的所有可能取值為0，1，2，3.,，，，所以隨機(jī)變量X的分布列為：0123所以X的數(shù)學(xué)期望.（3）解：6．（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）南昌二中一直有個(gè)優(yōu)秀的傳統(tǒng)“畢業(yè)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分享會(huì)”：每屆高考結(jié)束后，各班推薦優(yōu)秀學(xué)生代表與下一屆學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)分享.2024屆高三年級班號依次為0，1，2，…，27，高三0班推薦2名男生和2名女生，其余各班均推薦1名男生和1名女生參加分享會(huì)；第一場分享會(huì)的4名學(xué)生嘉賓是從高三0班的優(yōu)秀學(xué)生代表中選出的2名和高三1班的2名優(yōu)秀學(xué)生代表共同形成，第二場分享會(huì)的4名學(xué)生嘉賓是從上一場4名嘉賓中選出的2名和高三2班的2名優(yōu)秀學(xué)生代表共同形成，…，按照這樣的方式，依次進(jìn)行到第二十七場分享會(huì).(1)求在第一場分享會(huì)學(xué)生嘉賓中有2名男生的概率；(2)求在第二場分享會(huì)學(xué)生嘉賓中有2名男生的概率；(3)記在第二十七場分享會(huì)學(xué)生嘉賓中男生人數(shù)為，求的分布列和期望.【答案】(1)(2)(3)分布列見解析，期望為【分析】（1）借助組合數(shù)結(jié)合概率定義計(jì)算即可得；（2）借助全概率公式計(jì)算即可得；（3）借助全概率公式與概率之和為，可得出與有關(guān)等式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算即可得，再利用對稱性求出、后，即可由分布列與期望定義得到相應(yīng)分布列與期望.【詳解】（1）設(shè)第場分享會(huì)學(xué)生嘉賓中有1名男生為事件，有2名男生為事件，有3名男生為事件，則；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，，，，由，故，即有，又，則，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即，即，結(jié)合對稱性可知，每次分享會(huì)學(xué)生嘉賓中有1名男生的概率與3名男生的概率相同，故，又，故有，第二十七場分享會(huì)學(xué)生嘉賓中男生人數(shù)的可能取值為、、，，，，則其分布列為：則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于借助，得到，從而可由等比數(shù)列的性質(zhì)解題.7．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）某自然保護(hù)區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展，某種瀕臨滅絕動(dòng)物數(shù)量有大幅度的增加.已知這種動(dòng)物擁有兩個(gè)亞種（分別記為種和種）.為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個(gè)亞種的數(shù)目，某動(dòng)物研究小組計(jì)劃在該區(qū)域中捕捉100個(gè)動(dòng)物，統(tǒng)計(jì)其中種的數(shù)目后，將捕獲的動(dòng)物全部放回，作為一次試驗(yàn)結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個(gè)試驗(yàn)共20次，記第次試驗(yàn)中種的數(shù)目為隨機(jī)變量.設(shè)該區(qū)域中種的數(shù)目為，種的數(shù)目為（，均大于100），每一次試驗(yàn)均相互獨(dú)立.(1)求的分布列；(2)記隨機(jī)變量.已知，（i）證明：，；（ii）該小組完成所有試驗(yàn)后，得到的實(shí)際取值分別為.數(shù)據(jù)的平均值，方差.采用和分別代替和，給出，的估計(jì)值.（已知隨機(jī)變量服從超幾何分布記為：（其中為總數(shù)，為某類元素的個(gè)數(shù)，為抽取的個(gè)數(shù)），則）【答案】(1)見解析(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ），【分析】（1）利用超幾何分布求解即可；（2）（?。├镁岛头讲畹男再|(zhì)求解即可；（ⅱ）利用題目給的方差公式結(jié)合第（?。┲械慕Y(jié)論，求出，，然后列方程求解即可.【詳解】（1）依題意，均服從完全相同的超幾何分布，且，均大于100，故的分布列為.0199100（2）（i）均服從完全相同的超幾何分布，故，，故，（ii）由（?。┛芍木道霉接?jì)算的方差，所以依題意有解得，．所以可以估計(jì)，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于靈活運(yùn)用期望和方差的性質(zhì)，以及超幾何分布的方差公式.8．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）在坐標(biāo)平面內(nèi)的區(qū)域，隨機(jī)生成一個(gè)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的一個(gè)整點(diǎn)，記該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是隨機(jī)變量X相關(guān)公式:(1)當(dāng)時(shí)，寫出X的分布列和期望.(2)記隨機(jī)變量與分別表示的橫縱坐標(biāo).①求出的期望②現(xiàn)在實(shí)際上選取了四個(gè)點(diǎn)嘗試運(yùn)用樣本的平均值去估計(jì)數(shù)學(xué)期望，以此來得到估計(jì)值(四舍五入取整).(3)記方差，試證明.【答案】(1)分布列見解析，期望(2)①，②8(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意寫出的分布列并計(jì)算期望.（2）①根據(jù)期望的性質(zhì)求解；②根據(jù)已知條件求平均數(shù)，然后求解數(shù)據(jù)；（3）根據(jù)方差的計(jì)算公式，進(jìn)行證明求解.【詳解】（1）整點(diǎn)有，故的取值為，則分布列：X012P期望（2）①，所以②，所以平均數(shù)是7.75.所以取，四舍五入?。?）先求,則方差成立9．（2024·安徽·三模）現(xiàn)有甲?乙兩個(gè)不透明盒子，都裝有1個(gè)紅球和1個(gè)白球，這些球的大小?形狀?質(zhì)地完全相同.(1)若從甲?乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，次這樣的操作后，記甲盒子中紅球的個(gè)數(shù)為.求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)現(xiàn)從甲中有放回的抽取次，每次抽取1球，若抽取次數(shù)不超過次的情況下，抽取到2次紅球，則停止抽取，一直抽取不到2次紅球，第次抽取完也停止抽取，令抽取停止時(shí)，抽取的次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望，并證明：.【答案】(1)分布列見解析，(2)證明見解析【分析】（1）由題意可知的所有可能取值為，易求得，可得分布列，計(jì)算可求數(shù)學(xué)期望.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，利用錯(cuò)位相減法可求，進(jìn)而利用單調(diào)性可證明結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知的所有可能取值為，且，的概率分布表如下：012.（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，記，則，兩式相減得，.所以，記，則，當(dāng)時(shí)，，所以，且，所以成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用錯(cuò)位相減法求出，代入得到，再計(jì)算得到其單調(diào)性即可.10．（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）有一個(gè)摸球游戲，在一個(gè)口袋中裝有個(gè)紅球和個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，每次從中摸一個(gè)球，記錄摸出球的顏色，然后再將球放回口袋中．(1)若、，重復(fù)上述摸球試驗(yàn)5次，用X表示5次中摸出紅球的次數(shù)，求X的分布列及方差；(2)若，．①當(dāng)甲在游戲的過程中，又來了乙和丙，他們一起玩摸球游戲，第一次由甲摸球，若甲摸到紅球，則下一次甲繼續(xù)摸球，否則隨機(jī)在另外兩人中等可能地指定一人摸球，被指定的人如果摸到紅球，則下一次還是他自己繼續(xù)摸球，否則也隨機(jī)在另外兩人中等可能地指定一人摸球，如此進(jìn)行下去，記為第n次是甲摸球的概率，求；②第二天，甲獨(dú)自一人繼續(xù)摸球游戲，每次從袋中摸一個(gè)球，記錄摸出球的顏色，然后將球放回口袋中，當(dāng)?shù)?次摸到紅球時(shí)停止游戲，否則游戲一直繼續(xù)進(jìn)行下去，以隨機(jī)變量Y表示所需摸球的次數(shù)，這里Y服從的分布稱作帕斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布．帕斯卡分布的定義如下：在重復(fù)、獨(dú)立的伯努利試驗(yàn)中，若每次試驗(yàn)成功的概率為，失敗的概率為，若將試驗(yàn)進(jìn)行到恰好出現(xiàn)r（r為常數(shù)）次成功時(shí)結(jié)束試驗(yàn)，以隨機(jī)變量Y表示所需試驗(yàn)的次數(shù)，則Y是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，稱Y服從以r、p為參數(shù)的帕斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布，記作．帕斯卡分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)上一種離散概率分布，常用于描述生物群聚性，醫(yī)學(xué)上也用來描述傳染性或非獨(dú)立性疾病的分布和致病生物的分布．根據(jù)定義，我們能夠得到這里的，，．求．【答案】(1)分布列見解析，方差(2)①；②4【分析】（1）由題可得，再由二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式求出各個(gè)概率，從而得到分布列，再由方差公式計(jì)算可得方差；（2）①由題意得到，構(gòu)造等比數(shù)列即可求得；②求出Y的分布列，再由方程公式和極限與組合數(shù)的運(yùn)算計(jì)算即可求得.【詳解】（1）由題意，，且的可能取值為，，，，，所以X的分布列為：X012345P所以方差（2）①在題中，為第n次是甲摸球的概率，又設(shè)為第n次是乙摸球的概率，設(shè)為第n次是乙摸球的概率，則有，且，，，根據(jù)題意，我們還能得到：化簡得：，∴，又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，即∴②∵，∴的可能取值為Y的分布列為：Y2345n，又因?yàn)闀r(shí)，，，．根據(jù)分布列的性質(zhì)有，代入上式得：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問第一小問的關(guān)鍵是構(gòu)造出這樣的等比數(shù)列，從而求出.1．（浙江高考真題）袋子和中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從中摸一個(gè)紅球的概率是，從中摸出一個(gè)紅球的概率為p.（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球則停止.①求恰好摸5次停止的概率；②記5次之內(nèi)（含5次）摸到紅球的次數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.（2）若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1：2，將A、B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求p的值.【答案】（1）①；②分布列見解析；數(shù)學(xué)期望.（2）.【分析】（1）①利用相互獨(dú)立事件的概率公式即可求解；②利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式分別計(jì)算概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)袋子A中有個(gè)球，則袋子B中有個(gè)球，利用古典概型的概率公式求得p.【詳解】（1）①從A中有放回地摸球，屬于獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，所以概率②由題意可得：隨機(jī)變量的取值為0，1，2，3的分布列是：0123（2）設(shè)袋子A中有個(gè)球，則袋子B中有個(gè)球.由，得.2．（山東·高考真題）甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對的概率是，乙每輪猜對的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對與否互不影響．各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：（Ⅰ）“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率；（Ⅱ）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見解析，【詳解】試題分析：（Ⅰ）找出“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語所包含的基本事件，由獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得到的分布列，根據(jù)期望公式求解.試題解析：（Ⅰ）記事件A:“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對3個(gè)成語”.由題意，由事件的獨(dú)立性與互斥性，,所以“星隊(duì)”至少猜對3個(gè)成語的概率為.（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得,,,,,.可得隨機(jī)變量的分布列為012346P所以數(shù)學(xué)期望.【考點(diǎn)】獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，分布列和數(shù)學(xué)期望【名師點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等.3．（安徽·高考真題）本小題滿分13分）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘，如果有一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人．現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率．若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？（2）若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為，其中是的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目的分布列和均值（數(shù)字期望）；（3）假定，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最?。敬鸢浮浚?）不變化；（2）；（3）先派甲,再派乙,最后派丙時(shí),均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小【詳解】（1）按甲在先,乙次之,丙最后的順序派人,任務(wù)能被完成的概率為．若甲在先,丙次之,乙最后的順序派人,任務(wù)能被完成的概率為，發(fā)現(xiàn)任務(wù)能完成的概率是一樣.同理可以驗(yàn)證，不論如何改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率不發(fā)生變化.（2）由題意得可能取值為∴，∴其分布列為:．（3）,∴要使所需派出的人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小,則只能先派甲、乙中的一人.∴若先派甲,再派乙,最后派丙,則；若先派乙,再派甲,最后派丙,則，，∴先派甲,再派乙,最后派丙時(shí),均值（數(shù)字期望）達(dá)到最小．4．（四川·高考真題）本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多.某自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租不超過兩小時(shí)免費(fèi)，超過兩小時(shí)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有人獨(dú)立來該租車點(diǎn)則車騎游.各租一車一次.設(shè)甲、乙不超過兩小時(shí)還車的概率分別為；兩小時(shí)以上且不超過三小時(shí)還車的概率分別為；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過四小時(shí).（Ⅰ）求出甲、乙所付租車費(fèi)用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【詳解】（1）由題意得，甲，乙在三小時(shí)以上且不超過四小時(shí)還車的概率分別為．記甲、乙兩人所付得租車費(fèi)用相同為事件，則．所以甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相同的概率為．（2）的可能取值為0，2，4，6，8，，，，分布列如下表：02468數(shù)學(xué)期望Eξ=×2+×4+×6+×8=考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的分布列及概率．5．（陜西·高考真題）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計(jì)，通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響，所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表：時(shí)間（分鐘）的頻率0.10.20.30.20.2的頻率00.10.40.40.1現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站．（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（Ⅰ）甲應(yīng)選擇乙應(yīng)選擇（Ⅱ）見解析【詳解】（1）會(huì)用頻率估計(jì)概率，然后把問題轉(zhuǎn)化為互斥事件的概率；（2）首先確定X的取值，然后確定有關(guān)概率，注意運(yùn)用對立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行計(jì)算，列出分布列后即可計(jì)算數(shù)學(xué)期望．（1）表示事件“甲選擇路徑時(shí)，40分鐘內(nèi)趕到火車站”，表示事件“甲選擇路徑時(shí)，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，，．用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率，則有：，；∵，∴甲應(yīng)選擇路徑；，；∵，∴乙應(yīng)選擇路徑．（2）用A，B分別表示針對（1）的選擇方案，甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，由（1）知，，又事件A，B相互獨(dú)立，的取值是0，1，2，∴，，∴X的分布列為012P0.040.420.54∴．6．（全國·高考真題）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)