第13講 圓錐曲線中的定點、定直線問題（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫

Page圓錐曲線中的定點、定直線問題（2類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新Ⅱ卷，第21題,12分雙曲線中的定直線問題直線的點斜式方程及辨析根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2023年全國乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的定點問題根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2022年全國乙卷（文科），第21題,12分橢圓中的直線過定點問題根據(jù)圓過的點求標(biāo)準(zhǔn)方程2021年新Ⅱ卷，第20題,12分橢圓中的直線過定點問題根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓中的弦長根據(jù)弦長求參數(shù)2023年全國甲卷（理科），第20題,12分橢圓中的直線過定點問題無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的定點問題及其相關(guān)計算2.理解、掌握圓錐曲線的定直線問題及其相關(guān)計算【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，小題和大題都會作為載體命題，同學(xué)們要會結(jié)合公式運算，需強(qiáng)化訓(xùn)練復(fù)習(xí)考點一、圓錐曲線中的定點問題1．（2022·全國·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過兩點．(1)求E的方程；(2)設(shè)過點的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．證明：直線HN過定點．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過點的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點【點睛】求定點、定值問題常見的方法有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.2．（2020·全國·高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標(biāo)為，同理可得點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當(dāng)時，直線：，直線過點，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：

由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點的坐標(biāo)為.同理可得：點的坐標(biāo)為當(dāng)時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點．當(dāng)時，直線：，直線過點．故直線CD過定點．[方法二]【最優(yōu)解】：數(shù)形結(jié)合設(shè)，則直線的方程為，即．同理，可求直線的方程為．則經(jīng)過直線和直線的方程可寫為．可化為．④易知A，B，C，D四個點滿足上述方程，同時A，B，C，D又在橢圓上，則有，代入④式可得．故，可得或．其中表示直線，則表示直線．令，得，即直線恒過點．【整體點評】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)及方程思想，還考查了計算能力及轉(zhuǎn)化思想、推理論證能力，屬于難題.第二問的方法一最直接，但對運算能力要求嚴(yán)格；方法二曲線系的應(yīng)用更多的體現(xiàn)了幾何與代數(shù)結(jié)合的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計算更為簡單.3．（2019·全國·高考真題）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點：（2）若以E(0，)為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.【答案】(1)見詳解；(2)3或.【分析】（1）可設(shè)，，然后求出A，B兩點處的切線方程，比如：，又因為也有類似的形式，從而求出帶參數(shù)直線方程，最后求出它所過的定點.（2）由(1)得帶參數(shù)的直線方程和拋物線方程聯(lián)立，再通過為線段的中點，得出的值，從而求出坐標(biāo)和的值，分別為點到直線的距離，則，結(jié)合弦長公式和韋達(dá)定理代入求解即可.【詳解】(1)證明：設(shè),,則．又因為，所以.則切線DA的斜率為，故，整理得.設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點，而兩個不同的點確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時等式恒成立．所以直線恒過定點.（2）[方法一]【最優(yōu)解：利用公共邊結(jié)合韋達(dá)定理求面積】設(shè)的中點為G，,則，，．由，得，將代入上式并整理得，因為，所以或．由（1）知，所以軸，則（設(shè)）．當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，．綜上，四邊形的面積為3或．[方法二]【利用弦長公式結(jié)合面積公式求面積】設(shè)，由（1）知拋物線的焦點F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．由拋物線的定義，得．線段的中點為．當(dāng)時，軸，，；當(dāng)時，，由，得，即．所以，直線的方程為．根據(jù)對稱性考慮點和直線的方程即可．E到直線的距離為，D到直線的距離為．所以．綜上，四邊形的面積為3或．[方法三]【結(jié)合拋物線的光學(xué)性質(zhì)求面積】圖5中，由拋物線的光學(xué)性質(zhì)易得，又，所以．因為，，所以，所以．同理，所以，即點D為中點．圖6中已去掉坐標(biāo)系和拋物線，并延長于點H．因為，所以．又因為G，D分別為的中點，所以，故為平行四邊形，從而．因為且，所以I為的中點，從而．．當(dāng)直線平行于準(zhǔn)線時，易得．綜上，四邊形的面積為3或．

[方法四]【結(jié)合弦長公式和向量的運算求面積】由（1）得直線的方程為.由，可得，于是.設(shè)分別為點到直線的距離，則.因此，四邊形ADBE的面積.設(shè)M為線段AB的中點，則，由于，而，與向量平行，所以，解得或.當(dāng)時，；當(dāng)時因此，四邊形的面積為3或.【整體點評】(2)方法一：利用公共邊將一個三角形的面積分割為兩個三角形的面積進(jìn)行計算是一種常用且有效的方法；方法二：面積公式是計算三角形面積的最基本方法；方法三：平穩(wěn)的光學(xué)性質(zhì)和相似、全等三角形的應(yīng)用要求幾何技巧比較高，計算量較少；方法四：弦長公式結(jié)合向量體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的綜合運用.4．（2019·北京·高考真題）已知橢圓的右焦點為，且經(jīng)過點.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)O為原點，直線與橢圓C交于兩個不同點P，Q，直線AP與x軸交于點M，直線AQ與x軸交于點N，若|OM|·|ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【分析】(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理確定t的值即可證明直線恒過定點.【詳解】（Ⅰ）因為橢圓的右焦點為，所以；因為橢圓經(jīng)過點,所以，所以，故橢圓的方程為.（Ⅱ）設(shè)聯(lián)立得，，，.直線，令得，即；同理可得.因為,所以；，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．5．（山東·高考真題）已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有.當(dāng)點的橫坐標(biāo)為時，為正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直線，且和有且只有一個公共點，（?。┳C明直線過定點，并求出定點坐標(biāo)；（ⅱ）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.【答案】（I）.（II）（?。┲本€AE過定點.（ⅱ）的面積的最小值為16.【詳解】試題分析：（I）由拋物線的定義知，解得或（舍去）.得.拋物線C的方程為.（II）（?。┯桑↖）知，設(shè)，可得，即，直線AB的斜率為，根據(jù)直線和直線AB平行，可設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，整理可得，直線AE恒過點.注意當(dāng)時，直線AE的方程為，過點，得到結(jié)論：直線AE過定點.（ⅱ）由（?。┲本€AE過焦點，得到，設(shè)直線AE的方程為，根據(jù)點在直線AE上，得到，再設(shè)，直線AB的方程為，可得，代入拋物線方程得，可求得，，應(yīng)用點B到直線AE的距離為.從而得到三角形面積表達(dá)式，應(yīng)用基本不等式得到其最小值.試題解析：（I）由題意知設(shè)，則FD的中點為，因為，由拋物線的定義知：，解得或（舍去）.由，解得.所以拋物線C的方程為.（II）（?。┯桑↖）知，設(shè)，因為，則，由得，故，故直線AB的斜率為，因為直線和直線AB平行，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，由題意，得.設(shè)，則，.當(dāng)時，，可得直線AE的方程為，由，整理可得，直線AE恒過點.當(dāng)時，直線AE的方程為，過點，所以直線AE過定點.（ⅱ）由（?。┲本€AE過焦點，所以，設(shè)直線AE的方程為，因為點在直線AE上，故，設(shè)，直線AB的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得，所以，可求得，，所以點B到直線AE的距離為.則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.所以的面積的最小值為16.考點：拋物線的定義及其幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，基本不等式的應(yīng)用.1．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）已知橢圓：，左右頂點分別是，，橢圓的離心率是.點是直線上的點，直線與分別交橢圓于另外兩點，.(1)求橢圓的方程.(2)若，求出的值.(3)試證明：直線過定點.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意結(jié)合計算即可得；（2）設(shè)出點坐標(biāo)，借助斜率公式計算即可得；（3）設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線方程，借助韋達(dá)定理與（2）中所得計算即可得.【詳解】（1）由題意可得，，即，所以，則橢圓；（2）設(shè)，由于，則；（3）顯然MN斜率不為0，設(shè)：，Mx1,y1聯(lián)立方程，則有，，則有，，由于，則，因為，故，即，解得或，當(dāng)時，，故舍去，即，適合題意，故:，則直線過定點.2．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別是，，且橢圓過點．(1)求橢圓C的方程；(2)過的左焦點作弦，這兩條弦的中點分別為，若，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意得出，再根據(jù)橢圓定義得出，再根據(jù)，即可求得橢圓方程；（2）分類討論，當(dāng)直線的斜率都存在時，設(shè)直線為，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理得出點坐標(biāo)，由同理得出點坐標(biāo)，得出直線方程分類討論的值，即可得出定點；再補(bǔ)充斜率不存在時的情況即可．【詳解】（1）由題設(shè)，因為點在橢圓上，所以，即，所以，，所以橢圓C的方程為：．（2）證明：設(shè)點的坐標(biāo)為，當(dāng)直線的斜率都存在時，令為，代入，整理得：，且，所以，則，故．由，即，故為，代入，所以，有，則，故．當(dāng)時，所以，則為，整理得，所以過定點．當(dāng)時，，，過點，當(dāng)時，，，過點，當(dāng)一條直線斜率不存在時，對應(yīng)，，故即為x軸，也過點；綜上，直線過定點．3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知橢圓：的離心率為，左、右焦點分別為，，焦距為2，點為橢圓上的點.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點A，B在橢圓上，直線PA，PB均與圓：相切，證明：直線AB過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）結(jié)合題意，可得關(guān)于的方程，解之可得橢圓C的方程；（2）先由直線與圓相切可得，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理分別求出，，，，代入可得的關(guān)系式，進(jìn)而可得直線AB過定點.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意，，

且直線和直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由題知，所以，所以，同理，，所以是方程的兩根，所以.設(shè)Ax1,y1將代入，得，所以，①，②所以，③，④又因為，⑤將①②③④代入⑤，化簡得，所以，若，則直線，此時過點，舍去.若，則直線，此時恒過點，所以直線過定點.4．（2024·湖南邵陽·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最大值．【答案】(1)；(2)（i）證明見解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.（2）（i）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數(shù)關(guān)系，再求出最大值.【詳解】（1）令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，由三角形面積為，得，則，，所以的方程是.（2）（i）由（1）知，點，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去x得：，則，直線與的斜率分別為，，于是，整理得，解得或，當(dāng)時，直線過點，不符合題意，因此，直線：恒過定點.（ii）由（i）知，，則，因此的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以面積的最大值為.

【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.5．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知橢圓的焦距為2，不經(jīng)過坐標(biāo)原點且斜率為1的直線與交于P，Q兩點，為線段PQ的中點，直線的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)，直線PB與的另一個交點為，直線QB與的另一個交點為，其中，均不為橢圓的頂點，證明：直線MN過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦距求出，再設(shè)Px1,y1，Qx2,y2，A（2）設(shè)直線的方程為，，，表示直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元求出，即可求出點坐標(biāo)，同理得到點坐標(biāo)，根據(jù)的斜率為得到，即可求出直線過定點坐標(biāo).【詳解】（1）由橢圓的焦距為得，，則.設(shè)Px1,y1，Qx2兩式作差得，，所以，即，所以，所以，所以，則，解得，.故橢圓的方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，直線的方程為，將其代入得，，顯然，則，所以，將代入直線的方程，解得，所以，同理得，所以，得，即，整理得，所以，因此直線的方程為，令，即，則，所以直線過定點.【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.6．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，點在上.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線交橢圓于兩點（異于點），過點作軸的垂線與直線交于點，設(shè)直線的斜率分別為.證明：（i）為定值；（ii）直線過線段的中點.【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組求出得解；（2）（i）當(dāng)直線斜率為0時，.當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，計算的值，化簡后結(jié)果為，由此證明結(jié)論成立.（ii）設(shè)線段的中點為，求出直線的方程，直線的方程，結(jié)合，可得，可證點在直線上.【詳解】（1）由題可知：，解得，所以橢圓的方程為.（2）（i）①當(dāng)直線的斜率為0時，則不妨設(shè)，，所以為定值.②當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線，Px1,y1聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去整理得，則，，，所以，所以.綜上，為定值.

（ii）設(shè)線段的中點為，易得，可得直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以，由（i）知，，所以，又直線的方程為，所以點在直線上，即直線過線段的中點.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第二問證明為定值，解題的關(guān)鍵是設(shè)直線與橢圓的方程，解得，代入的式子化簡得解.考點二、圓錐曲線中的定直線問題1．（2023·全國·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計算可得，即交點的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點在定直線上運動.【點睛】關(guān)鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運算，是解題的關(guān)鍵.2．（安徽·高考真題）設(shè)橢圓過點，且左焦點為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交與兩不同點時，在線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【詳解】(1)由題意：，解得，所求橢圓方程為(2)方法一設(shè)點Q、A、B的坐標(biāo)分別為．由題設(shè)知均不為零，記,則且又A，P，B，Q四點共線，從而于是，，從而，（1），（2）又點A、B在橢圓C上，即（1）+（2）×2并結(jié)合（3），（4）得即點總在定直線上方法二設(shè)點，由題設(shè)，均不為零．且又四點共線，可設(shè),于是（1）（2）由于在橢圓C上，將（1），（2）分別代入C的方程整理得（3）(4)(4)－(3)得即點總在定直線上3．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知橢圓C：的右頂點為，離心率為，過點的直線l與C交于M，N兩點．(1)若C的上頂點為B，直線BM，BN的斜率分別為，，求的值；(2)過點M且垂直于x軸的直線交直線AN于點Q，證明：線段MQ的中點在定直線上．【答案】(1)-3(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率和，待定系數(shù)法求出，，，得到橢圓方程，設(shè)直線l的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，，代入兩根之和，兩根之積，求出的值；（2）設(shè)線段MQ的中點為，又Mx1,y1，故，根據(jù)三點共線，得到，計算出，故，得到線段MQ的中點在定直線上.【詳解】（1）由題意知，解得，，，所以C的方程為，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為：，Mx1,y由，得，由方程的判別式，可得，所以，，易得，所以，，所以，（2）證明：設(shè)線段MQ的中點為，又Mx1,y所以，，即，又A，N，Q三點共線，所以，即，所以，又，又所以，所以，即線段MQ的中點在定直線上．【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.4．（2024·北京·三模）已知橢圓的短軸長為，左、右頂點分別為，過右焦點的直線交橢圓于兩點（不與重合），直線與直線交于點．(1)求橢圓的方程；(2)求證：點在定直線上.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出即可得解.（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，再求出直線與直線的交點橫坐標(biāo)，并結(jié)合韋達(dá)定理計算即得.【詳解】（1）依題意，，半焦距，則，所以橢圓的方程為.（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線，由消去x并整理得，，設(shè)Ax1則，且有，直線，直線，聯(lián)立消去y得，即，整理得，即，于是，而，則，因此，所以點在定直線上.5．（2024·山西臨汾·二模）已知橢圓的離心率為，點在上．(1)求的方程；(2)過點的直線交于P，Q兩點，過點作垂直于軸的直線與直線AQ相交于點，證明：線段PM的中點在定直線上．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由題意聯(lián)立方程組解出，代入即可求解；（2）設(shè)點直曲聯(lián)立，解法一利用整體法求出中點坐標(biāo)與的關(guān)系，進(jìn)而得出結(jié)論；解法二利用根與系數(shù)的關(guān)系尋求與的關(guān)系，進(jìn)而確定與的函數(shù)關(guān)系得以證明.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以的方程為．（2）如圖：設(shè)的中點，則直線AQ方程為，所以，于是，由題可知直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ的方程為，聯(lián)立，解法一：消去得，所以，，即．則有，又因為，所以，于是，即，即，即，即點在直線上．解法二：，，即故點的縱坐標(biāo)為：，即，，即，又因為，即，所以，故，同理，所以即，即點在直線上．【點睛】方法點睛：整體思想在圓錐曲線的定直線和定點問題中有時可發(fā)揮出巨大的作用.1．（2024·貴州畢節(jié)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，，動點P滿足，設(shè)點P的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點的直線l與曲線在y軸右側(cè)交于不同的兩點M，N，在線段MN上取異于點M，N的點D，滿足．證明：點D在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，根據(jù)斜率乘積為定值化簡即可；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，化簡弦長得，代入韋達(dá)定理式計算即可.【詳解】（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為，由得，化簡整理得，所以曲線的方程為.（2）若直線l的斜率不存在，則直線l與曲線只有一個交點，不符合題意，所以直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為，設(shè)點，聯(lián)立方程組，整理得，易知，，解得，，解得或，綜上或，因為，同理由得，化簡整理得，所以，化簡整理得，代入，化簡整理得，所以點D在定直線上．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法聯(lián)立雙曲線方程得到韋達(dá)定理式，再對化簡得，代入韋達(dá)定理式計算即可.2．（2024高三下·河南·專題練習(xí)）動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是2，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過的直線與交于兩點，且，若點滿足，證明：點在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意列等式，然后化簡即可得到的方程；（2）分斜率為0和不為0兩種情況考慮，當(dāng)直線的斜率為0時得到，當(dāng)直線的斜率不為0時，聯(lián)立直線和雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理和得到點在定直線上，又也在直線上，即可證明點在一條定直線上.【詳解】（1）由題意知，所以，所以，化簡得，的方程為.（2）依題意，設(shè)，①當(dāng)直線的斜率為0時，則，因為，所以，所以，從而，則，即，解得，即.②當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)的方程為，由消去，得，則且，因為，所以，消去，得，所以，從而，又也在直線上.綜上，點在直線上.【點睛】方法點睛：求解動點在定直線上的方法：（1）先猜后證：現(xiàn)根據(jù)特殊情況猜想，然后證明；（2）參數(shù)法：用題目中參數(shù)表示動點的橫縱坐標(biāo)，然后消參，即可得到直線方程.3．（2024·貴州遵義·一模）已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，直線與的左、右兩支分別交于，兩點，四邊形為矩形，且面積為．(1)求四邊形的外接圓方程；(2)設(shè)，為的左、右頂點，直線過點與交于，兩點（異于，），直線與交于點，證明：點在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得，且，由求出點，再根據(jù)矩形面積及求出、、，即可得到雙曲線方程及、點坐標(biāo)，再求出線段的中點及線段長，最后求出外接圓的方程；（2）設(shè)直線為，Px1,y1，Qx2,y【詳解】（1）由雙曲線的左、右焦點分別為F1?c,0，，直線與的左、右兩支分別交于，兩點，且四邊形為矩形，所以，且，由，解得或，即，則，又，，解得，，，所以雙曲線的方程為，所以，，，，所以的中點為，又，所以矩形的外接圓的方程為.（2）由（1）知，，依題意知直線的斜率不為零，設(shè)直線為，Px1,y1，Q由，得.當(dāng)且，所以，，所以，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩方程可得，所以，，所以，解得，故點在定直線上.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.4．（2024·湖南長沙·三模）已知拋物線，過點的直線與交于不同的兩點.當(dāng)直線的傾斜角為時，.(1)求的方程；(2)在線段上取異于點的點，且滿足，試問是否存在一條定直線，使得點恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)點恒在直線上.【分析】（1）先求直線的方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達(dá)定理及兩點距離公式，求弦的長即可；（2）設(shè)直線方程，再與拋物線聯(lián)立組成方程組，利用韋達(dá)定理及相似三角形求解即可.【詳解】（1）設(shè)Ax若直線的傾斜角為，則直線的方程為.聯(lián)立得，則，且，所以.因為，所以，故的方程為.（2）存在，定直線為.由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，.聯(lián)立得.由，得且，.不妨設(shè)，則，過點向軸作垂線，垂足分別為點，如圖所示，則，.因為，所以，整理得，所以.代入直線的方程得.因為，所以點恒在直線上.5．（2024·河北保定·二模）已知拋物線的焦點為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點（A，D在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角等于時，四邊形的面積為．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線AD與BE交于點Q，證明：點在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由拋物線的對稱性知，由四邊形的面積求出，又的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及焦點弦公式求出，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為，設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2【詳解】（1）當(dāng)直線的傾斜角等于時，直線的傾斜角等于，直線的方程為，由拋物線的對稱性知，所以，得．聯(lián)立方程組，消去得．設(shè)兩點的橫坐標(biāo)分別為，則，．又，所以，所以的方程為．（2）由（1）知F1,0，依題意，可設(shè)直線的方程為y=kx?1，則直線的方程為．聯(lián)立方程組消去得，顯然，設(shè)Ax1,y設(shè)，同理可得，所以，同理可得．直線的方程為，即．同理，直線的方程為．兩直線方程聯(lián)立得，解得，即直線與的交點在定直線上．【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為x1,y（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.1．（2024·江西九江·二模）已知雙曲線的離心率為，點在上．(1)求雙曲線的方程；(2)直線與雙曲線交于不同的兩點，，若直線，的斜率互為倒數(shù)，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率及，，的平方關(guān)系得出，再由點在上，可求解，，進(jìn)而可得雙曲線的方程；（2）當(dāng)斜率不存在時，顯然不滿足條件．當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，可得根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線，的斜率，，由，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得與的關(guān)系，從而可證得直線過定點．【詳解】（1）由已知得，，所以，又點在上，故，解得，，所以雙曲線的方程為：．（2）當(dāng)斜率不存在時，顯然不滿足條件．當(dāng)斜率存在時，設(shè)其方程為，與方程聯(lián)立聯(lián)立，消去得，由已知得，且，設(shè)，，則，，直線，的斜率分別為，，由已知，故，即，所以，化簡得，又已知不過點，故，所以，即，故直線的方程為，所以直線過定點．2．（2024·浙江杭州·二模）已知是橢圓的左，右頂點，點與橢圓上的點的距離的最小值為1.(1)求點的坐標(biāo).(2)過點作直線交橢圓于兩點（與不重合），連接，交于點.（?。┳C明：點在定直線上；（ⅱ）是否存在點使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）設(shè)Px0,y0（2）（ⅰ）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得，寫出直線，的方程，進(jìn)而求解即可；（ⅱ）由題意點在以為直徑的圓上，代入圓的方程求得，寫出直線的方程，與橢圓聯(lián)立，求得點C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案.【詳解】（1）設(shè)Px0,因為，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，所以點的坐標(biāo)位.（2）（?。┰O(shè)直線，由，得，所以，所以，①由，得或，易知直線的方程為y=y1直線的方程為，③聯(lián)立②③，消去，得，④聯(lián)立①④，消去，則，解得，即點在直線上；（ⅱ）由圖可知，，即，所以點在以為直徑的圓上，設(shè)，則，所以，即.故直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得，因為,所以，所以,故.3．（2024·遼寧·二模）平面直角坐標(biāo)系xOy中，面積為9的正方形的頂點分別在x軸和y軸上滑動，且，記動點P的軌跡為曲線．(1)求的方程；(2)過點的動直線l與曲線交于不同的兩點時，在線段上取點Q，滿足．試探究點Q是否在某條定直線上？若是，求出定直線方程；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)點Q在定直線上，定直線方程為【分析】（1）設(shè)點的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)表示消參得，結(jié)合正方形面積得的方程；（2）設(shè)，的坐標(biāo)，與橢圓聯(lián)立并根據(jù)韋達(dá)定理得橫坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)線段乘積關(guān)系化為比值關(guān)系得，化簡得，代入直線方程即可，從而求出定直線方程.【詳解】（1）設(shè)，由，得，所以，因為正方形ABCD的面積為，即，所以，整理可得，因此C的軌跡方程為．（2）依題意，直線l存在斜率，設(shè)l：，即，設(shè)點，Mx1,y1由，消y得，即，由，可以得到，所以，可得，，由，得，所以，可得，所以，因為，所以點Q在定直線上，定直線方程為．

4．（2024·江西·二模）已知橢圓的左、右焦點分別為，，右頂點為，且，離心率為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，是上兩點（點，不同于點），直線，分別交直線于，兩點，若，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明過程見解析【分析】（1）由題意列出關(guān)于的方程組，解之即可得解；（2）顯然斜率不為0且不過點，從而可設(shè)的方程為，，將其與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理可用表示出，由三點共線、三點共線可用表示出的坐標(biāo)，從而由可得一個關(guān)于的條件等式，化簡即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）

由（1）知F1?1,0，由題意可知直線的斜率不為0，否則位于軸同側(cè)，，不符合題意；設(shè)的方程為，代入，得，由，設(shè)，則，所以，，直線的方程為，令，得，故，同理可得，

所以，由，得，即，所以，所以，解得或（舍去），所以直線的方程為，故直線過定點.5．（2024·廣西·二模）已知拋物線，過點作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B兩點分別作拋物線C的切線交于點P．(1)證明：P在定直線上；(2)若F為拋物線C的焦點，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)出Ax1,x12，Bx（2）要證．即證FA?FP【詳解】（1）證明：設(shè)Ax1,x1直線的方程為y?x12=又因為直線過點E0,2，所以，即，設(shè)直線的方程為y?x12=kx?x1，與拋物線方程又因為直線與拋物線相切，所以，即，所以直線的方程為y?x12=2同理直線的方程為，由y=2xx1?x1故點P在直線上．（2）證明：∵cos∠PFA=FA?注意到兩角都在0,π內(nèi)，可知要證．即證FA?而FA=x1所以FA?又|FA所以FA?FPFA即有FA?FPFA6．（2024·湖南婁底·一模）若拋物線的方程為，焦點為，設(shè)是拋物線上兩個不同的動點.(1)若，求直線的斜率；(2)設(shè)中點為，若直線斜率為，證明在一條定直線上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦半徑公式得到，求出，從而求出斜率；（2）法一：，聯(lián)立拋物線方程，設(shè)，得到兩根之和，兩根之積，得到，求出答案；法二：設(shè)，得到，從而確定，得到，得到答案.【詳解】（1），，將代入得，，所以；（2）法一：設(shè)，，即，代入，得，由韋達(dá)定理，有，故，在定直線上.法二：設(shè)，由題意，，故，故，在定直線上.7．（2024·山東濰坊·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，為直線上一點，動點滿足，.(1)求動點的軌跡的方程;(2)若過點作直線與交于不同的兩點，點，過點作軸的垂線分別與直線交于點.證明：為線段的中點.【答案】(1)(2)證明見詳解.【分析】（1）設(shè)動點的坐標(biāo)為，直接利用題中的條件列式并化簡，從而求出動點的軌跡方程；（2）要證為線段的中點，只需證即可，設(shè)直線的方程為，設(shè)點Mx1,y1，Nx2,y2，，，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達(dá)定理，由直線，可求得點，計算即可證.【詳解】（1）設(shè)點，則，因為，所以，所以，即，所以動點的軌跡方程為：；（2）因為軸，所以設(shè)Mx1,y1，N若要證為線段的中點，只需證即可，當(dāng)直線斜率不存在或斜率為0時，與拋物線只有一個交點，不滿足題意，所以直線斜率存在且不為0，，設(shè)直線：，，由得，，由題意可知，直線與拋物線有兩個交點，所以，即，所以，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，由題意得，直線方程，所以，直線方程，所以，所以，所以為線段的中點.8．（2024·山西太原·二模）已知拋物線C：（）的焦點為F，過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F．(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M（異于坐標(biāo)原點O），使得當(dāng)直線AB經(jīng)過點M時，滿足？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)點斜式求解直線方程，即可求解焦點坐標(biāo)，進(jìn)而可得，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運算，即可求解.【詳解】（1）由題意過點且斜率為1的直線方程為，即，令，則，∴點F的坐標(biāo)為1,0，∴，∴．拋物線C的方程為．（2）由（1）得拋物線C：，假設(shè)存在定點，設(shè)直線AB的方程為（），Ax1,y1由，得，∴，，，∵，∴，∴，∴或（舍去），當(dāng)時，點M的坐標(biāo)為，滿足，，∴存在定點．9．（2024·山西·一模）已知雙曲線經(jīng)過點，其右焦點為，且直線是的一條漸近線.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是上任意一點，直線.證明：與雙曲線相切于點；(3)設(shè)直線與相切于點，且，證明：點在定直線上.【答案】(1)(2)證明過程見解析(3)證明過程見解析【分析】（1）由題意得，解出的值即可；（2）一方面是上任意一點，從而可得出它也在直線上面，聯(lián)立橢圓方程，消元后得到一個一元二次方程，證明判別式等于0即可；（3）由（2）中結(jié)論，設(shè)出點的坐標(biāo)，可得，由向量數(shù)量積公式化簡得，說明即可得證.【詳解】（1）因為雙曲線經(jīng)過點A3,2，且直線是的一條漸近線，所以，解得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）首先設(shè)是上任意一點，所以有，這表明了點也在直線上，也可以得到，聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程有，化簡并整理得，而，且，這也就是說與雙曲線相切于點；（3）不妨設(shè)，由（2）可知過點的直線的方程為，因為點在直線上，所以，即有，又，從而，所以，若，則，整理得，因為，所以，也就是說，從而，所以點在定直線上上.10．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知雙曲線的左?右頂點分別是，直線與交于兩點（不與重合），設(shè)直線的斜率分別為，且.(1)判斷直線是否過軸上的定點.若過，求出該定點；若不過，請說明理由.(2)若分別在第一和第四象限內(nèi)，證明：直線與的交點在定直線上.【答案】(1)過定點.(2)證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得出韋達(dá)定理的等式，再通過斜率之間的關(guān)系即可得出，即可得出定點坐標(biāo).（2）根據(jù)題意得出兩條直線方程，再聯(lián)立化簡得到關(guān)于的等式，從而得到定直線方程.【詳解】（1）由題意可知，設(shè)直線的方程為.由消去，可得，則，，即，.因為，所以，故直線的方程為，恒過點.（2）由題可知，直線的方程為，直線的方程為，因為，所以，故點在定直線上.

11．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）已知雙曲線的離心率為，點是上一點.(1)求的方程；(2)設(shè)是直線上的動點，分別是的左?右頂點，且直線分別與的右支交于兩點（均異于點），證明：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，，計算可求的方程；（2）設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立方程組可得，利用點共線可得，，消去，得，計算可得或，進(jìn)而判斷可得，可得直線過定點.【詳解】（1）易知，所以，則①，將點代入的方程，得②，聯(lián)立①②，解得，則的方程為.（2）如圖，由（1）知，，設(shè)，根據(jù)題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線，聯(lián)立，消去得，有，則，于是，由三點共線得直線的斜率滿足，同理，由三點共線得，消去，得，即，整理得，即，則，因此或，若，又，得，結(jié)合，從而，即，不成立，即，因此，滿足，所以直線過定點.12．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知雙曲線的焦距為，點在C上．(1)求C的方程；(2)直線與C的右支交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，點在軸上的投影為.①求的取值范圍；②求證：直線過點．【答案】(1)(2)①；②證明見解析【分析】（1）由題可得，解方程即可得到答案；（2）①設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，聯(lián)立，消去得，由于與的右支交于，兩點，雙曲線的漸近線方程為，可得，以及，解不等式可得的取值范圍；②由①得，，由題可得，利用向量關(guān)系可得，從而可得，，三點共線，即可證明.【詳解】（1）由已知得，解得，所以的方程為.（2）①設(shè)Ax1,y1聯(lián)立，消去得，則，，解得，且.又與的右支交于，兩點，的漸近線方程為，則，即，所以的取值范圍為.②由①得，，又點在軸上的投影為，所以，，所以，，所以，又，有公共點，所以，，三點共線，所以直線過點.【點睛】關(guān)鍵點睛：（1）直線與雙曲線一支相交于兩點，可利用韋達(dá)定理、根的判別式以及直線斜率與漸近線斜率的關(guān)系進(jìn)行求解；（2）證明直線過定點，可利用向量平行關(guān)系進(jìn)行證明.13．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為的上頂點和右頂點分別為，點的面積為2．(1)求的方程；(2)過點且斜率存在的直線與交于兩點，過點且與直線平行的直線與直線的交點為，證明：直線過定點．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，即可求解；（2）設(shè)出直線并與橢圓聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，再根據(jù)題意求出的方程，直線的方程，進(jìn)而令，利用韋達(dá)定理計算即可得定點.【詳解】（1）設(shè)的半焦距為，由題意知，所以①．因為的面積為2，所以②，又③，由①②③解得，所以的方程為；（2）設(shè)，直線，由，得，則，所以．由，得，令，解得，所以．所以直線的方程為，令，得，將代入，得，所以，故直線過定點．【點睛】方法點睛：在圓錐曲線解答題中遇到涉及的不同系數(shù)的代數(shù)式的應(yīng)算，比如求，就相對較難地轉(zhuǎn)化到應(yīng)用韋達(dá)定理來處理了，可以利用進(jìn)行代換后化簡.14．（2024·河南鄭州·三模）已知橢圓的左右頂點分別為和，離心率為，且經(jīng)過點，過點作垂直軸于點．在軸上存在一點（異于），使得．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)過點作一條垂直于軸的直線，在上任取一點，直線和直線分別交橢圓于兩點，證明：直線經(jīng)過定點．【答案】(1)(2)相切，證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由題意列出含的方程組解出即可.（2）設(shè)，由題意解出值，聯(lián)立方程組求出只有唯一一組解即可.（3）設(shè)，由三點共線得出，設(shè)出直線方程，得到，直線方程和橢圓方程聯(lián)立得出代入即可.【詳解】（1）由題意得，將代入橢圓方程得，聯(lián)立方程組，解得，所以橢圓的方程為.（2）直線與橢圓相切.理由如下：設(shè)，由，得，解得，此時，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓:消得，，解得.由方程組只有一組解，直線與橢圓相切．（3）如圖：設(shè)，由三點共線，得，由三點共線，得，得，又，得，得，即．設(shè)直線的方程為，即，①聯(lián)立直線與橢圓：，消得，則有，②將②式代入①式，得，解得（舍）或.直線經(jīng)過定點．【點睛】方法點睛：三點共線得出關(guān)系式，直線曲線聯(lián)立完善關(guān)系式并得出結(jié)論是圓錐曲線的一種重要解題方法.15．（2024·河北邯鄲·模擬預(yù)測）動點M到定點的距離與它到直線的距離之比為，記點M的軌跡為曲線.若為上的點，且.(1)求曲線的軌跡方程；(2)已知，，直線交曲線于兩點，點在軸上方.①求證：為定值；②若，直線是否過定點，若是，求出該定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.【答案】(1)(2)①證明見解析；②定點【分析】（1）根據(jù)求軌跡方程的方法列式化簡即可求得.（2）①根據(jù)兩點間的斜率公式，結(jié)合Px0,②直線：，根據(jù)兩點間的斜率公式和條件，結(jié)合韋達(dá)定理，求得的值，從而確定定點坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)Mx,y，動點M到定點F1,0的距離與它到直線的距離之比為，則，化簡得，所以M的軌跡曲線的軌跡方程.（2）①Px0,y0為上的點，則因為A?2,0，，則（定值），所以為定值.②直線恒過定點1,0，理由如下：由①知，，因為，所以，設(shè)直線：，，，將直線與曲線聯(lián)立方程得，則，，，因為A?2,0，，，，所以，即，所以，由題知，，所以.即直線恒過定點.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.1．（陜西·高考真題）已知動圓過定點A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長為8.(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡C的方程;(Ⅱ)已知點B(－1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P,Q,若x軸是的角平分線,證明直線l過定點.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析【詳解】(Ⅰ)設(shè)動圓圓心C的坐標(biāo)為（x,y）則所以，所求動圓圓心的軌跡C的方程為(Ⅱ)證明：設(shè)直線l方程為，聯(lián)立得（其中）設(shè),若x軸是的角平分線，則，即故直線l方程為，直線l過定點.（1,0）本題考查軌跡方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關(guān)系及直線過定點問題.第一問曲線軌跡方程的求解問題是高考的熱點題型之一，準(zhǔn)確去除不滿足條件的點是關(guān)鍵.第二問對角平分線的性質(zhì)運用是關(guān)鍵，對求定值問題的解決要控制好運算量，同時注意好判別式的條件，以防多出結(jié)果.圓錐曲線問題經(jīng)常與向量、三角函數(shù)結(jié)合，在訓(xùn)練中要注意.本題無論是求圓心的軌跡方程，還是求證直線過定點，計算量都不太大，對思維的要求挺高；設(shè)計問題背景，彰顯應(yīng)用魅力.【考點定位】本題考查跡曲線方程求法、直線方程、圓方程、直線與圓的位置關(guān)系及直線過定點問題，屬于中檔題.2．（山東·高考真題）已知動圓過定點，且與直線相切，其中．(1)求動圓圓心的軌跡的方程；(2)設(shè)、是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)、變化且，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)證明見解析，定點【分析】（1）設(shè)動圓圓心為，則，由此能導(dǎo)出所求動圓圓心的軌跡的方程．（2）設(shè)，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由得，由此能求出直線過定點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：設(shè)動圓圓心為，依題意可得，整理得，所求動圓圓心的軌跡的方程是.（2）證明：設(shè)，，由題意得（否則，且，，所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，．即，，把代入得，由韋達(dá)定理知，，①，由得把①代入上式，整理化簡得，，此時，直線的方程可表示為：，即，令，解得，直線恒過定點．3．（廣東·高考真題）已知橢圓的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于A，B兩點，點C在右準(zhǔn)線l上，且軸，求證：直線經(jīng)過線段的中點．【答案】見解析【分析】欲證直線經(jīng)過線段的中點，分兩類討論：①若垂直于軸，②若不垂直于軸，對于第一種特殊情況比較簡單，直接驗證即可；對于第二種情況，記，和，，求出直線，的斜率看它們是不是相等，若相等，則可得、、三點共線．即可證得直線經(jīng)過線段的中點．【詳解】由知，，故右焦點為，故右準(zhǔn)線方程為，點的坐標(biāo)為，的中點為，若垂直于軸，則，，，中點為，，即