（講評用卷）2024年河南某鄭州外國語四模·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2024年河南某鄭州外國語四?！?shù)學全卷總分:120分考試時間:100分鐘一、選擇題1.下列各數(shù)中，最小的數(shù)是（）A．-5 B．3

C．0 D．-π1.A【解析】∵5＞π，∴-5＜-π，∴-5＜-π＜0

＜3，∴最小的數(shù)是-52.“白日不到處，青春恰自來．苔花如米小，也學牡丹開．”這是清朝袁枚所寫五言絕句《苔》，這首詠物詩啟示我們身處逆境也要努力綻放自己，要和苔花一樣盡自己所能實現(xiàn)人生價值．苔花也被稱為“堅韌之花”．袁枚所寫的“苔花”很可能是苔類孢子體的苞蔭，某孢子體的苞蔭直徑約為0.0000084m，將數(shù)據(jù)0.0000084用科學記數(shù)法表示為（）A．8.4×106 B．8.4×10-6C．84×10-7 D．8.4×10-52.B【解析】0.0000084用科學記數(shù)法表示為8.4×10-6．3.圍棋在古代被列為“琴棋書畫”四藝之一，蘊含著中華文化的豐富內涵，如圖所示是一個無蓋的圍棋罐，其主視圖為（）A．B．C．D．3.B【解析】這個立體圖形的主視圖為.4.下列問題適合全面調查的是（）A．調查市場上某品牌燈泡的使用壽命B．了解全省九年級學生的視力情況C．神舟十七號飛船發(fā)射前對飛船儀器設備的檢查D．了解黃河的水質情況4.C【解析】A.調查市場上某品牌燈泡的使用壽命，適合抽樣調查，故A不符合題意；B.了解全省九年級學生的視力情況，適合抽樣調查，故B不符合題意；C.神舟十七號飛船發(fā)射前對飛船儀器設備的檢查，適合全面調查，故C符合題意；D.了解黃河的水質情況，適合抽樣調查，故D不符合題意.5.下列計算正確的是（）A．a2+a2＝2a4 B．a2?a3＝a5C．（a+1）2＝a2+1 D．a6÷a2＝a35.B【解析】a2+a2＝2a2，則A不符合題意；a2?a3＝a5，則B符合題意；（a+1）2＝a2+2a+1，則C不符合題意；a6÷a2＝a4，則D不符合題意．6.在平面直角坐標系中，把點（2，3）向上平移1個單位，再向左平移2個單位，得到的點的坐標是（）A．（3，1） B．（0，4） C．（4，4） D．（1，1）6.B【解析】點（2，3）向上平移1個單位，再向左平移2個單位，所得到的點的橫坐標是2-2＝0，縱坐標是3+1＝4，∴所得點的坐標是（0，4）．7.若關于x的方程mx2-2x+1＝0有實數(shù)根，則下列m的值中，不符合要求的是（）A．2 B．1 C．0 D．-17.A【解析】當方程mx2-2x+1＝0有實數(shù)根時，

b2?4ac＝（-2）2-4m≥0，

4-4m≥0,m≤18.鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點（AP＞BP），若線段AB的長為4cm，則AP的長為（）cm.A．25?2

B．C．6?25

D8.A【解析】∵P是AB的黃金分割點（AP＞BP），AB＝4cm，∴

AP9.如圖①，漢代的《淮南萬畢術》中記載的“取大鏡高懸，置水盆于其下，則見四鄰矣”，是古人利用光的反射定律改變光路的方法．為了探清一口深井的底部情況，如圖②，在井口放置一面平面鏡可改變光路，當太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC＝50°時，已知∠ABE＝∠FBM，要使太陽光線經反射后剛好垂直于地面射入深井底部，則需要調整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC＝（）A．60° B．70° C．80° D．85°9.B【解析】∵BM⊥CD，∴∠CBM＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠ABE+∠FBM＝180°-90°-50°＝40°，∵∠ABE＝∠FBM，∴∠ABE＝∠FBM＝20°，∴∠EBC＝20°+50°＝70°．10.如圖①，點A、B是⊙O上兩定點，圓上一動點P從圓上一定點B出發(fā)，沿逆時針方向勻速運動到點A，運動時間是x（s），線段AP的長度是y（cm）．圖②是y隨x變化的關系圖象，則圖中m的值是（）A．92

B．4C．5 D．1410.D【解析】從圖②看，當x＝2時，y＝AP＝6，即此時A、O、P三點共線，則圓的半徑為12AP＝3，∴OA=OB=3，當x＝0時，∵OB2+OA2＝AP2，∴△OAB是等腰直角三角形，且OA⊥OB，如圖，點P走過的角度為90°，則點P走過的弧長為14×2π×r

=3π2，∴點P的運動速度是3π2÷2=3π4（cm/s），當x＝m時，AP＝OA＝OP，即△OAP是等邊三角形，∴∠AOP＝60°，∴∠BOP＝360°-90°-60°＝210°，此時點P走過的弧長為二、填空題11.寫出一個比7大的整數(shù)

．11.3（答案不唯一）【解析】∵4＜7＜9，∴2＜7＜3，∴比7大的整數(shù)可以是12.若正多邊形的一個內角等于120°，則這個正多邊形的邊數(shù)是

．12.6【解析】解法一：設所求正n邊形邊數(shù)為n，則120°n＝（n-2）?180°，解得n＝6；解法二：設所求正n邊形邊數(shù)為n，∵正n邊形的每個內角都等于120°，∴正n邊形的每個外角都等于180°-120°＝60°，∵多邊形的外角和為360°，即60°·n＝360°，∴n＝6．13.某校舉辦文藝匯演，在主持人選拔環(huán)節(jié)中，有一名男同學和兩名女同學表現(xiàn)優(yōu)異．若從以上三名同學中隨機抽取兩名同學擔任主持人，則剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率是

．13.2【解析】列表如下：男女女男（男，女）（男，女）女（女，男）（女，女）女（女，男）（女，女）共有6種等可能的結果，其中剛好抽中一名男同學和一名女同學的結果有4種，∴剛好抽中一名男同學和一名女同學的概率為

4614.將透明的三角形紙板按如圖所示的方式放置在量角器上，使點B、C落在量角器所在的半圓上，且點B、C的讀數(shù)分別為30°，170°，若該量角器所在半圓的直徑為8cm，則弧BC的長為

cm．14.28【解析】如圖，連接OB，OC．由題意，∠BOC＝170°-30°＝140°，∵該量角器所在半圓的直徑為8cm，∴OB＝OC＝4cm，∴弧BC的長為

140π×15.在矩形ABCD中，∠ABD＝30°，AD＝6，E為線段CD的中點，動點F從點C出發(fā)，沿C→B→A的方向在CB和BA上運動，將矩形沿EF折疊，點C的對應點為C'，當點C'恰好落在矩形的對角線上時（不與矩形頂點重合），點F運動的距離為

．15.3或6【解析】分兩種情況：①當點C′落在對角線BD上時，如圖①所示，連接CC′，∵將矩形沿EF折疊，點C的對應點為點C′，且點C'恰好落在矩形的對角線上，∴CC′⊥EF，∵點E為線段CD的中點，∴CE＝ED＝EC′，∴∠EDC′=∠EC′D=30°∴∠C′EC=60°，∴∠ECC′=60°，∴∠CC′D＝90°，即CC′⊥BD，∴EF∥BD，∴點F是BC的中點，在矩形ABCD中，AD＝6，∴BC＝AD＝6，∴CF＝3，∴點F運動的距離為3；②當點C′落在對角線AC上時，如圖②所示，作FH⊥CD于H，則CC′⊥EF，四邊形CBFH為矩形，在矩形ABCD中，BC＝AD＝6，∠BAC＝∠ABD＝30°，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB

=3AD＝6

3，AB∥CD，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝60°，∴∠FEH＝60°，∵四邊形CBFH為矩形，∴HF＝BC＝6，∴EH

=HFtan60°=63=2

3，∵EC

=12CD＝3

3，∴BF＝CH＝CE-EH＝3

3?2

3=3，∴點F運動的距離為

答案圖①

答案圖②三、解答題16.（1）計算：2×sin30°?20240+|

?5|；（2）化簡：

(x16.解：（1）原式＝2

×1＝1?1+5＝5；（2）原式

==(＝x（x

?1）＝x2

?x．17.某校為了了解九年級600名同學對共青團知識的掌握情況，對他們進行了共青團知識測試．現(xiàn)隨機抽取甲、乙兩班各15名同學的測試成績（滿分100分）進行整理分析，記分數(shù)為x，過程如下：【收集數(shù)據(jù)】甲班15名學生測試成績分別為：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100乙班15名學生測試成績中90≤x＜95的成績如下：91，92，94，90，93【整理數(shù)據(jù)】班級75≤x＜8080≤x＜8585≤x＜9090≤x＜9595≤x≤100甲11346乙12354【分析數(shù)據(jù)】班級平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)方差甲92a9341.1乙9087b50.2【應用數(shù)據(jù)】（1）根據(jù)以上信息，可以求出：a＝

分，b＝

分；（2）若規(guī)定測試成績90分及以上為優(yōu)秀，請估計參加本次測試的600名學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的有多少人；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為哪個班本次測試的整體成績較好？請說明理由（理由不少于兩條）．17.解：（1）100，91；【解法提示】在78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，92，99，95，100這組數(shù)據(jù)中，100出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴a＝100；乙班15名學生測試成績中，中位數(shù)是第8個數(shù)，即為出現(xiàn)在90≤x＜95這一組中的91，∴b＝91．（2）根據(jù)題意得：600×4+答：估計參加本次測試的600名學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的有380人；（3）甲班本次測試的整體成績較好．理由如下：∵甲班學生測試成績的平均數(shù)92高于乙班學生測試成績的平均數(shù)90，且甲班方差47.3＜乙班方差50.2，∴甲班本次測試的整體成績較好（說法不唯一，合理即可）．18.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y＝mx+n與反比例函數(shù)

y=kx的圖象在第一象限內交于A（a，4）和B（4，2）兩點，直線AB與x軸相交于點C，連（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達式；（2）當x＞0時，請結合函數(shù)圖象，直接寫出關于x的不等式mx（3）請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點B作BD∥x軸，交OA于點D（保留作圖痕跡，不寫作法），若點P是直線BD上的一點，且BP＝AB，請直接寫出點P的坐標．18.解：（1）將點A，B的坐標代入反比例函數(shù)表達式得k＝2×4＝4a，則k＝8，a＝2，即反比例函數(shù)的表達式為y

=8則點A（2，4），將點A，B的坐標代入一次函數(shù)表達式得

4=解得

m=即一次函數(shù)的表達式為y＝-x+6；（2）觀察函數(shù)圖象知，不等式mx+n≥kx的解集（3）如圖，BD即為所求，設點P（b，2），∵BP＝AB，則（b-4）2＝（4-2）2+（2-4）2，解得b＝4±22，即點P（4+22，2）或（4-22，2）．19.閱讀以下材料，并完成相應的任務：定義：頂點在圓上，一邊與圓相交，另一邊與圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．下面是該定理的部分證明過程：已知：如圖，AB與⊙O相切于點A，點C、D在⊙O上，連接AC、CD、AD．求證：∠CAB＝∠D．證明：連接AO并延長，交⊙O于點E，連接CE．∵AB與⊙O相切于點A，∴∠EAB＝90°，（依據(jù)1）∴∠EAC+∠CAB＝90°．∵AE是⊙O的直徑，∴∠ECA＝90°，（依據(jù)2）∴∠E+∠EAC＝90°．任務：（1）上述證明過程中的“依據(jù)1”、“依據(jù)2”分別是指什么？依據(jù)1：

；依據(jù)2：

；（2）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；（3）已知圖中⊙O的半徑2，弦切角∠CAB＝30°，直接寫出AC的長．19.解：（1）圓的切線垂直于過切點的半徑；直徑所對的圓周角是直角；【解法提示】∵AB與⊙O相切于點A，∴∠EAB＝90°（圓的切線垂直于過切點的半徑），∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ECA＝90°.（直徑所對的圓周角是直角）（2）證明：連接AO并延長，交⊙O于點E，連接CE．∵AB與⊙O相切于點A，∴∠EAB＝90°（圓的切線垂直于過切點的半徑），∴∠EAC+∠CAB＝90°，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ECA＝90°，（直徑所對的圓周角是直角）∴∠E+∠EAC=90°，∴∠E＝∠CAB，∵

AC?=

∴∠E＝∠D，∴∠CAB＝∠D；（3）解：2.【解法提示】∵∠CAB＝30°，由（2）可知，∠CAB＝∠D＝30°，∴∠E＝∠D＝30°，∵AE為⊙O直徑，∴∠ACE＝90°，在Rt△AEC中，AE＝2AO＝4，∴

AC20.圭表（如圖①）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖②是一個根據(jù)某市地理位置設計的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC，已知該市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為37°，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為84°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為4米．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求表AC的長（最后結果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos

37°

≈45，tan

37°

≈320.解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，∴∠BAD＝∠ADC-∠ABC＝47°，答：∠BAD的度數(shù)是47°；（2）在Rt△ABC中，tan∠ABC=

tan37∴

BC在Rt△ADC中，

DC∵BD＝4，∴

BC∴

43∴AC≈3.3

m，∴表AC的長是3.3m．21.某學校計劃購買若干臺電腦，現(xiàn)從兩家商場了解到同一種型號的電腦報價均為6000元，并且多買都有一定的優(yōu)惠．各商場的優(yōu)惠條件如下表所示：商場優(yōu)惠條件甲商場第一臺按原價收費，其余的每臺優(yōu)惠25%乙商場每臺優(yōu)惠20%（1）設學校購買x臺電腦，選擇甲商場時，所需費用為y1元，選擇乙商場時，所需費用為y2元，請分別求出y1，y2與x之間的關系式；（2）什么情況下，兩家商場的收費相同？什么情況下，到甲商場購買更優(yōu)惠？什么情況下，到乙商場購買更優(yōu)惠？（3）現(xiàn)在因為急需電腦，計劃從甲乙兩商場一共買入10臺，已知甲商場的運費為每臺50元，乙商場的運費為每臺60元，設總運費為w元，從甲商場購買a臺電腦，在甲商場的庫存只有4臺的情況下，怎樣購買，總運費最少？最少運費是多少？21.解：（1）y1＝6000+(1-25%)×6000(x-1)=4500x+1500；y2＝(1-20%)×6000x=4800x；（2）設學校購買x臺電腦，若兩家商場收費相同，則4500x+1500=4800x，解得x＝5，即當購買5臺電腦時，兩家商場的收費相同；若到甲商場購買更優(yōu)惠，則4500x+1500＜4800x，解得x＞5，即當購買電腦臺數(shù)大于5時，到甲商場購買更優(yōu)惠；若到乙商場購買更優(yōu)惠，則4500x+1500＞4800x，解得x＜5，即當購買電腦臺數(shù)小于5時，到乙商場購買更優(yōu)惠；（3）根據(jù)題意，得w＝50a+(10-a)60＝600-10a，∵-10＜0，當a取最大時，費用最小，∵甲商場只有4臺，∴a取4時，總費用最少，此時w＝600-40＝560，即從甲商場買4臺，從乙商場買6臺時，總運費最少，最少運費是560元．22.【生活情境】為美化校園環(huán)境，某學校根據(jù)地形情況，要對景觀帶中一個長AD＝4m，寬AB＝1m的矩形水池ABCD進行加長改造（如圖①，改造后的水池ABNM仍為矩形，以下簡稱水池1），同時，再建造一個周長為12m的矩形水池EFGH（如圖②，以下簡稱水池2）．【建立模型】如果設水池1的邊AD加長長度DM為x（m）（x＞0），加長后水池1的總面積為1(m2)，則y1關于x的函數(shù)表達式為y1＝x+4（x＞0）；設水池2的邊EF的長為x（m）（0＜x＜6），面積為

2(m2)，則y2關于x的函數(shù)表達式為

y【問題解決】（1）求y2關于x的函數(shù)表達式；（2）在1＜x＜4范圍內，求兩個水池面積差的最大值和此時x的值；（3）假設水池ABCD的邊AD的長度為b（m），其他條件不變（這個加長改造后的新水池簡稱水池3），則水池3的總面積

3(m2)關于x（m）（x＞0）的函數(shù)表達式為y3＝x+b（x＞0）．若水池3與水池2的面積相等時，x（m）有唯一值，求22.解：（1）由圖象得，y1＝x+4（x＞0）經過點C，E，∵點C的橫坐標為1，點E的橫坐標為4，∴當x＝1時，y1＝5，當x＝4時，y1＝8，∴C（1，5），E（4，8），∵

y2=ax2+bx(0＜x＜6將點C、E的坐標代入，得

5=解得

a=∴y2關于x的函數(shù)表達式為y2＝

?x2+6x（0＜x＜6）；（2）如圖，在拋物線上的CE段上任取一點F，過點F作FG∥y軸交線段CE于點G，則線段FG表示兩個水池面積差，設F(m，

?m2+6m)，則G(m，m+4)，1＜m＜4，∴FG＝(

?m2+6m)

?(m+4)＝

?m2+5m

?4＝

?(m

?52)2

∵

?1＜0，∴當m

=52時，F(xiàn)G有最大值，最大值為

∴在1＜x＜4范圍內，兩個水池面積差的最大值為

94，此時x的值為

5（3）∵水池3與水池2的面積相等，∴y3＝y(tǒng)2，即x+b＝?x2+6x，∴x2

?5x+b＝0，∵若水池3與水池2的面積相等時，x（m）有唯一值，∴b2

?4ac＝(-5)2-4×1×b＝0，解得b

=25∴若水池3與水池2的面積相等時，x（m）有唯一值，b的值為

25423.（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，在5×6的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D為格點，AB交CD于點M．為了求∠AMC的度數(shù)，我們可以向右平移線段AB，使得點B與點D