（詳解詳析）2024年河南某鄭州外國語一模·數(shù)學

數(shù)學試卷第頁（共頁）2024年河南某鄭州外國語一?！?shù)學詳解詳析一、選擇題1.B【解析】6是無限不循環(huán)小數(shù)，是無理數(shù).2.B3.C【解析】99.44億＝9944000000＝9.944×109．4.A【解析】如圖，∵AB∥CD，∠4＝90°，∴∠2＝∠3，∠1+∠3＝90°，∵∠1＝28°，∴∠2＝∠3＝90°﹣28°＝62°．5.C【解析】原式=2x?2x?2?2x6.A【解析】如圖，連接OC，OD，∵∠CBD＝35°，∴∠COD＝2∠CBD＝70°，∵

BC?＝DC?，∴∠BOC＝∠COD＝70°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC﹣∠COD＝40°，∴∠ABD

7.D【解析】由題意得，b2﹣4ac＝25﹣28＝﹣3＜0，∴方程沒有實數(shù)根．8.B【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，∵S菱形ABCD=12AC?BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE=9.C【解析】由函數(shù)圖象可知，a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①錯誤；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，∴?b2a=1，即2a+b＝0，故②正確；∵拋物線與x軸的一個交點坐標為（4，0），且對稱軸為直線x＝1，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（﹣2，0），將此點坐標代入函數(shù)表達式得，4a﹣2b+c＝0，故③正確；∵方程ax2+bx+c＝2的實數(shù)根，可看成函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象和直線y＝2交點的橫坐標，顯然函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與直線y＝2有兩個不同的交點，∴方程ax2+bx+c＝2有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，且開口向下，∴當x＝1時，函數(shù)有最大值a+b+c，則對于拋物線上的任意一點A（m，n），其函數(shù)值不大于a+b+c，即am2+bm+c≤a+b+c．故⑤正確；綜上所述，正確的10.B【解析】如圖，BP，BP′是∠ABC的三等分線，根據(jù)函數(shù)圖象可知，AB＝BC＝2，∵∠ABC＝108°，∴∠A＝∠C＝∠ABP′＝∠CBP＝∠PBP′＝36°，∴∠APB＝∠ABP＝72°，∴AB＝AP＝2，同理CP′＝BC＝2，∵∠PBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△PBC∽△BAC，∴BCAC=PCBC，∴

22+PC=PC2，∴PC=5?1或?5?1（負值舍去），∴AB+BC+PC=5+3，AB+BC+CP二、填空題11.3（a+b）【解析】∵輪船在靜水中的速度是akm/h，水流速度是bkm/h，∴輪船順水航行的速度是（a+b）km/h，∴輪船順水航行3h共航行了3（a+b）km．12.1【解析】∵x與y互為相反數(shù)，∴x+y＝0，∴

x+y=0①2x?y=3②，①+②得3x＝3，解得x＝1，∴y＝﹣13.4【解析】由題意畫樹狀圖如下，由圖可知，共有9種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到不同數(shù)字的結(jié)果有4種，∴兩次摸到不同數(shù)字的概率為4914.17【解析】如圖，連接AN，根據(jù)網(wǎng)格，可得AB=12+42=17，

AC=12+42=17，

BC=32+52=34，∴BC2＝AC2+AB2，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠BAC＝90°，∵邊BC與MN?所在的圓相切于點N，15.83或【解析】∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∠B＝60°，當△APD與△ABC相似時，∵點D始終在邊AC上，根據(jù)折疊可知，PB＝PD，設(shè)AP＝x，則PB＝PD＝4﹣x，∴當△APD∽△ABC時，∠ADP＝∠ACB＝90°，∴AP＝2DP，即x＝2（4﹣x），解得x

=83，∴AP

=83；當△APD∽△ACB時，∠APD＝∠ACB＝90°，∴DP＝AP?tan30°

=33AP，即4﹣x

=33x，解得x

=6?23，∴AP

=三、解答題16.解：（1）(=1=1=2（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x﹣1）＝4x2﹣1﹣4x2+4x＝4x﹣1．17.解：（1）5；91；100；【解法提示】∵20-3-4-8=5，∴a＝5；將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序重新排列為81，82，83，86，87，88，89，90，90，90，92，93，96，96，98，99，100，100，100，100，其中位于中間的兩個數(shù)分別是90，92，∴b

=90+922=91，∵在這組數(shù)據(jù)中，100出現(xiàn)（2）估計成績不低于90分的人數(shù)是2700×1320答：估計成績不低于90分的人數(shù)是1755人；（3）中位數(shù)：在統(tǒng)計的問卷的成績中，最中間的兩個分數(shù)的平均數(shù)是91分；眾數(shù)：在統(tǒng)計的問卷的成績中，得100分的人數(shù)最多（答案不唯一，合理即可）．18.解：（1）∵點A（﹣1，﹣3）在反比例函數(shù)y=kx∴k＝3，∴反比例函數(shù)表達式為y=3∵B（3，n）點在y=3x的∴當x=3時，n＝1，∴B（3，1），∵點A（﹣1，﹣3），B（3，1）在一次函數(shù)y＝ax+b的圖象上，∴

?a解得

a=∴一次函數(shù)表達式為y＝x﹣2；（2）如圖，作出垂線如圖所示；點E位于點D右方時，由圖可知m＞1或﹣3＜m＜0．19.（1）證明：如圖，連接OD，∵BC與⊙O相切于點D，∴OD⊥BC，∵BD＝CD，OD＝OD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OD⊥BC，OA⊥AC，∴∠ODC＝∠OAC＝90°，在Rt△AOC與Rt△DOC中，OA∴Rt△AOC≌Rt△DOC（HL），∴∠ACO＝∠DCO，∴∠B＝∠ACO；（2）∵由（1）知，∠B＝∠ACO=∠OCB，∠BAC=90°，∴∠B+∠ACO+∠OCB=90°，∴∠B＝30°，∴

AC=12BC＝CD＝BD＝∴OA

=33AC

∴AE＝2OA＝2

3，∴CE

=AE220.解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE

=H∴∠FHE＝45°，∴籃板底部支架HE與支架AF所成的夾角∠FHE的度數(shù)為45°；（2）如圖，延長FE交CB的延長線于點M，過點A作AG⊥FM于點G，過點H作HN⊥AG于點N，則四邊形ABMG和四邊形HNGE是矩形，∴GM＝AB，HN＝EG，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB

=ABBC，∴AB＝tan60°?BC＝3×1.3=∴GM＝AB＝133在Rt△ANH中，∵sin∠FAN=HNAH，∠FAN＝∠∴HN＝sin45°?AH=2∴EM＝EG+GM

=12答：籃板底部點E到地面的距離大約是2.75m．21.解：（1）設(shè)A，B兩種商品每件的進價分別是x元，y元，根據(jù)題意得，

30x解得

x=∴A，B兩種商品每件的進價分別是30元，50元；（2）設(shè)A商品a件，B商品(1000?a)件，利潤為m元，根據(jù)題意得，

a≥解得800≤a≤1000，m＝(45?30)a+(75?50)(1000?a)＝25000?10a，∵k＝?10＜0，∴m隨a的增大而減小，∴a＝800時，m的最大值為17000元，∴購進A商品800件，B商品200件，最大利潤為17000元．22.解：（1）將點（0，4）和（4，8）代入拋物線C2：y=?18x2+bx得

4=解得

b=∴拋物線C2的函數(shù)表達式為y=?18x2+（2）設(shè)運動員運動的水平距離為m米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得，?18m2

+32m+4

?（?112m2整理得，（m﹣12）（m+4）＝0，解得m1＝12，m2＝?4（舍去），故運動員運動的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米；（3）∵C1：y=?112x2+76x+1=?112（x當x＝7時，運動員到達坡頂，即?18×72+7b+4＞3解得b＞3523.解：（1）菱形；四條邊相等的四邊形是菱形；【解法提示】由作法可知，AC＝AD＝BD＝BC，∴四邊形ADBC是菱形．（2）選小明的思路證明如下：由作圖可知，AC＝BC＝AD＝BD＝DE，∴四邊形ADBC是菱形，∴AC∥BE，AD∥BC，∴∠ACH＝∠DEH，∠CAH＝∠EDH，∴△AHC≌△DHE（ASA）．∴AH∵AD∥BC，∴△AHF∽△BCF，∴AF∴BF=2AF，∴AB＝AF+BF＝AF+2AF＝3AF，∴AF選小亮的思路證明如下：由作圖可知，AC＝BC＝AD＝BD＝DE，∴四邊形ADBC是菱形，BE＝BD+DE＝2AC，∴AC∥BE．∴△ACF∽△BEF，∴

AF∴BF=2AF，∴AB＝AF+BF＝AF+2AF＝3AF，即AF=13（3）當點H′在線段DF上時，如答案圖①，連接CD交AB于點O，作H′G⊥CD于點G，則∠CGH'＝∠DGH'＝90°，∵四邊形ADBC是菱形，AC∴AD=AC=∴CF＝DF，∵∠CAD＝60°，∴△ACD等邊三角形，∴∠B∴CD由（2）中小明的證明思路，可知AH∴CH垂直平分AD，∴AF＝DF，∠AHC＝∠DHC＝90°，∴∠FDA＝∠FAD＝30°，∵∠CDH'＝∠ADC﹣∠FDA＝60°﹣30°＝30°，在Rt△CDH中，CH＝CD·sin∠ADC＝43×3∴CH'＝CH＝6，在Rt△DH′G中，∠CDH'＝30°，∴GH′

=12DH′，DG＝DH′·cos∠∴CG在Rt△CGH′中，GH′2+CG2