初中數(shù)學(xué)《圓》重難點(diǎn)四大題型匯編含答案解析

PAGE2PAGE2考 歸圓的重難點(diǎn)模型匯編二考 歸題型 點(diǎn)圓最值問題題型 定弦定角題型 圓題型 瓜豆原理考 精講考 精講題型 點(diǎn)圓最值問題A點(diǎn)坐標(biāo)為,于點(diǎn)Q則當(dāng)Q最小時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為( )

⊙A的半徑為1P為xQ切⊙A.A

B.

C.

或

.30PQAP短的性質(zhì)進(jìn)行分析求解．QP．根據(jù)切線的性質(zhì)定理PQ=2-2∴2-2P⊥x軸于P此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是40．故選A．段最短的性質(zhì)進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．如圖正方形ABD的邊長為4E是邊D的中點(diǎn)F是邊AD上一動點(diǎn)連接BF將△ABF沿BF翻折得到△GBF連接GE．當(dāng)GE的長最小時(shí)的長為( )A.25-2 B.25-4 C.45-6 D.6-25【答案】DBGBG=A=4G在以B4為GEB最?。驹斀狻拷猓骸哒叫蜛BCD的邊長為4，∴∠C=∠A=90°BC=D=4，∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，∴CE=DE=2，∴BE=BC2+CE2=25，∵將△ABF沿BF翻折得到△GBF，∴BG=BA=4，∴點(diǎn)G在以B為圓心，4為半徑的圓上運(yùn)動，GEBDFx，∵S梯形ABED=S△EDF+S△ABF+S△EBF，∴1(2+4)×4=1×2×x+1×4×(4-x)+1(4-x)×252 2 2 2x625GEB三點(diǎn)共線時(shí)，GE最小是解題的關(guān)鍵，同時(shí)注意運(yùn)用面積法求垂線段的長度．變式1-如圖在矩形紙片BD中B=2D=3點(diǎn)E是B的中點(diǎn)點(diǎn)F是D邊上的一個動點(diǎn)將沿所在直線翻折得到△A'EF則A'C的長的最小值是( )A．132D

B．3 C．13-1 D．10-1ECEA'CE'E=1RtBE中利用勾股定理可求出EE-'E即可求出結(jié)論．ECEACE示，根據(jù)折疊可知：A'E=AE=1AB=1．2在RtBEBE=1B=1BC=3∠B=90°，2∴CE=BE2+BC2=10，∴A'C的最小值=CE-A'E=10-1．故選D．A'CA的位置是解題的關(guān)鍵．ABD的邊長為8G是邊DE是邊BCAE△ABE沿AE翻折得到△AE連接GF．當(dāng)GF最小時(shí)BE的長是 ．【答案】45-4/-4+45GFA最由翻折知F=A=8F在以B8GFAF最小，連接GE，再勾股定理求出AG的長，然后利用等面積法即可求出BE．【詳解】解：∵正方形ABCD的邊長為8，∴∠C=90°B=D=BC=8，△ABEAEAE，∴AF=BA=8，∴點(diǎn)F在以B為圓心，8為半徑的圓上運(yùn)動，GFAGE∵點(diǎn)G是邊CD的中點(diǎn)，∴DG=CG=1CD=4，2由勾股定理得，AG=AD2+DG2=82+42=45，∵S正方形ABCD=S△AGD+S△ABE+S△AEG+S△GCE∴AB?AD=1AD?DG+1AB?BE+1AG?BE+1GC?CE2 2 2 2∴8×8=2

×8×4+2

×8BE+2

×45BE+12

×4×8-BEBE454．54．⊙OAB=4AB至CBC=OBD在⊙ODD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE連接OE則線段OE的最大為 ．【答案】42+2C作CF=OFE≌△DE=DE的最大值轉(zhuǎn)化為求DC作CF=OF，∴∠DCE=∠OCF=90°，∴∠OCE=∠FCD，∵CD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，∴CD=CE，在△OCE和△FCD中，CD∠OCE=∠FCD，CF=CO∴△OCE≌△FCDSAS，∴OE=FD，連接OO交圓于點(diǎn)HH即為D最大值，∵B=4BC=B，∴CF=CO=4，∴OF=42，∴FH=OH+OF=42+2，∴OE最大值=DF最大值=FH=42+2，故答案為：42+2．OE轉(zhuǎn)化為其他線段進(jìn)而求最大值．一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉．把墻面梯子貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)模型如圖∠ABC=90°點(diǎn)M，N分別在射線ABC上N長度始終保持不變N=52E為N的中點(diǎn)點(diǎn)D到ABC的距離分別為4和3．在此滑動過程中貓與老鼠的距離的最小值為 ．【答案】2.4BEBBDBEEBDBEB∵點(diǎn)D到ABC的距離分別為4和3BD=32+42=5，Rt△MBNEMN的中點(diǎn)，∴BE=1MN=2.6，2∴點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以B為圓心，2.6為半徑的弧上，∴根據(jù)點(diǎn)圓模型的最值情況可知，當(dāng)點(diǎn)E落在線段BD上時(shí)，DE的值最小，BE52.62.4，E的位置．題型 定弦定角一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系呢？如圖1AB是⊙OAOB=100°12分別是優(yōu)弧AB和劣弧ABAB= °AB= °．如圖2AB是⊙OAOB=mm<180°P是⊙O上不與AB弦AB所對的圓周角∠APB的度數(shù)(用m的代數(shù)式表示) ．【問題解決】如圖3ABC在ABAB=135°C()．【實(shí)際應(yīng)用】如圖4在邊長為12的等邊三角形ABC中點(diǎn)EF分別是邊ACBC上的動點(diǎn)連接AFBE交于點(diǎn)P若始終保持AE=F當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動的路徑長是 ．50302

或180°-m2見詳解(4)833π【分析】(1)根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可得到答案；根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)即可得到答案；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可得對角為45°90°心角即可得到圓心與半徑再畫圓弧即可得到答案；根據(jù)題意易得ΔBE≌ΔF∠B=20°【詳解】(1)解：∵∠AOB=100°，1∴∠APB=1∠AOB=50°，12∵四邊形AP1BP2是圓內(nèi)接四邊形，∴∠2B=80°∠B=30°，5030；2)P在優(yōu)弧B上點(diǎn)為1B上的點(diǎn)為2，∵∠AOB=m°m<180°，∴∠AP1B=1∠AOB=m，2 2∵四邊形AP1BP2是圓內(nèi)接四邊形，2∴∠2B=80°∠B=80°-m，2AB∠APB的度數(shù)為2

或180°-m；2(3)解：∵∠ACB=135°，∴B所在直線的下方點(diǎn)M∠B=80°-35°=45°，ABPM四點(diǎn)共圓，作AB垂直平分線交AB于點(diǎn)N，NANOOOA為半徑畫圓??；?如圖所示，滿足條件的點(diǎn)C所組成的圖形為以O(shè)為圓心、OA為半徑的AB．(4)解：由題意可，∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠C=∠B=60°B=C=BC，∵AE=CF，∴ΔABE≌ΔCAF(SAS)，∴∠EBA=∠FAC，∴∠B=80°-60°=20°，∴點(diǎn)P的路徑是以AB為弦的圓弧，∴弦B所對圓周角為60°圓心角為20°半徑為 6 =43，sin60°∴Pπ×4180°

=83π．3ABD的邊長為4EF分別從點(diǎn)ADE從點(diǎn)A向點(diǎn)DF從點(diǎn)D向點(diǎn)CE運(yùn)動到DEF停止運(yùn)動．連接BEAF相交于點(diǎn)GCGDGS()A.4+455

B.8+85

5 C.6+455

D.7+2 55【答案】ARtΔF?RtΔES)BE⊥FG點(diǎn)軌跡為以B中點(diǎn)OBGODDGGMNADADMNRtΔOADRtΔGMDMGNG【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠F=∠E=90°B=D．EFAD以相同速度同時(shí)出發(fā)，∴AE=DF，∴RtΔADF?RtΔBAE(SAS)，∴∠AFD=∠AEB．∵∠AFD+=90°，∴∠AEG+∠GAE=90°，AGE90°，BEAF，∴∠AGB=90°，GABOGODDG最?。瓽MNADADMBCN點(diǎn)，∵RtΔDD=4O=1B=2，2∴OD=AD2+AO2=25，∵OG=OA=2，∴DG=-OG=25-2，∵∠D=∠D=90°∠O=∠G，∴RtΔOAD～RtΔGMD，∴MGAO2

=DG，OD=25-2，25255解得=2- 255∴N=N-G=4-2

=10+25，2555255∴SΔBCG=1BC?GN=

×4×10+25

=4+45．2 2 5 599故答案為：A．G的軌跡是解題關(guān)鍵．△ABCD為ACE為BCAD=EAEBD，

S△ABF的長度最小時(shí)，S△ABC

的值為 ．【答案】13ABC為等邊三角形，∴AB=CA,∠BAD=∠ACE=60°，AB∵∠BAD=∠ACE=60°，AD=CE∴△BAD≌△ACESAS∴∠ABD=∠CAE，∵∠BFE=∠ABD+∠BAF，∴∠BFE=∠BAE+∠CAE=∠BAC=60°，∴∠AFB=120°，作B∠BO=30°O，F(xiàn)OBOCOH，當(dāng)F與點(diǎn)H重合時(shí)，CF最小，∵OA=OB,CA=CB，OCABQ，∠HQB90°,∠HBQ30°，設(shè)QH=x則BH=2BQ= BH2-QH2=3x，∴AB=2BQ=23x，∴CQ=3x，∴

1AB·QH2 2 21AB·CQ 2

=1，3故答案為：1．3PAGE20PAGE20定弦定角問題，熟練掌握三角形的全等的證明是解題的關(guān)鍵．如圖在Rt△ABCAB⊥BCAB=6BC=4P是△ABCC=∠PBC過點(diǎn)P作PD⊥BC交BC于點(diǎn)D當(dāng)線段CP最短時(shí)的面積為 ．【答案】125∠B=80°-P+

=90°P在以BB的中點(diǎn)為OC⊙O于PPP=B=1B=32C=B2+BC2=5C=2D∽△DD=6S△BCP=1BC×D5 2算求解即可．【詳解】解：由題意知，∠ABP+∠PBC=∠ABC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠ABP+∠PAB=90°，∴∠B=80°-∠BP+∠B=90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上運(yùn)動，B的中點(diǎn)為OC⊙O于PP最短，OB=1AB3，2由勾股定理得，OC=OB2+BC2=5，∴PC=2，∵∠D=∠D∠C=90°=∠BC，∴△PCD∽△OCB，∴PD

=PC

=2，OB OC 3 5解得，PD=6，5∴S△BCP=1BC×PD=

×4×

=12，2故答案為：12．5

2 5 5P的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．D在半圓OOB=5AD=4C在弧BDACH⊥ACH連接BH點(diǎn)C在移動的過程中的最小值是 ．【答案】222-2HBHHADEEAED=1AD=1

×4=22 2由題意得，點(diǎn)H的運(yùn)動軌跡在以點(diǎn)E為圓心，EA為半徑的圓上BEEHBH2BD∵AB為半圓O的直徑∴∠ADB=90°∴BD=B2-D2= 5+52-42=221∴BE=BD2+ED2= (221)2+22=222∴BH=BE-EH=222-2故答案為：222-2．H的運(yùn)動軌跡，BHH的位置是解題關(guān)鍵．y=ax2+bx-3交x軸于點(diǎn)A(-1,0)B(3,0)DP是拋物線上的動P的橫坐標(biāo)為m(0≤m≤3)AE?D交直線ly=1x+2于點(diǎn)EAP交E于點(diǎn)Fy軸2于點(diǎn)Q．求拋物線的表達(dá)式；設(shè)△F的面積為S1△AF的面積為S2S1=S2P的坐標(biāo)；連接BQM在拋物線的對稱軸上(位于第一象限內(nèi))BQ=45°P從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C的過程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動，直接寫出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．y=2-2x-32P5,-7322≤t≤3+7．2 4 2)運(yùn)用待定系數(shù)法將-0)B30)代入y=x2+x-3利用配方法可求得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D,-4)E?D得F∽△FF與PDFFAPEDEe1e+22

Pmm2-2m-3)tP與點(diǎn)BQ與點(diǎn)Ot的值最大，如圖2B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角O'BO'O'為半徑作⊙O'M)O'作O'H⊥y軸于點(diǎn)HP與點(diǎn)CQ與點(diǎn)Ct3BCOB為半徑作⊙O交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，xE)∵拋物線y=x2+x-3交x軸于點(diǎn)-10)B30)，A

a-b-3=0，9a+3b-3=0解得：{a=1，b=-2∴拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x-3；如圖，∵D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x-3=(x-1)2-4，∴D,-4)，∵AE?PD交直線l：y=1x+2于點(diǎn)E，P是拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(0≤m≤3)，2AEFPDFEe1e+22

Pmm2-2m-3)，又∵△F的面積為S1F的面積為S2S1=S2，∴△AEF≌△PDF，AFPFDFFAPED的中點(diǎn)，又∵-10)Pmm2-2m-3)Ee,1e+22

D,-4)，m-1=e+1∴由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得： 2 2 ，2 m2-m-3+0=1e+2-2 2 22m1=0E?)m2=5，22∴e=1，22∴P5,-

，E1,9；2 4 24PBQOt2，OB△O'OB，則O'3,3O'=O'B=32，22 2以O(shè)'O'為半徑作⊙O'M)，過點(diǎn)O'作O'H⊥y軸于點(diǎn)H∠O'HM=90°O'H=1O'M=O'=32，∴H=M2-H2

322-

2 22=17，222∴t=222

+2

=3+17，2PCQCt3，BCOOM，∵OB=OC=3，OC，xE則M=B=3E=1，∵∠MEO=90°，∴E=M2-E2=32-2=22，∴t=22，3+172綜上所述2≤t≤3+172次方程的解及圓的相關(guān)知識題型 圓ABDAB=BCBD平分ACAC⊥DAC=AB．(1)證明：∠BAD+∠BCD=180°；(2)若AB=30°AD+D=43BD的長．【答案】(1)見解析(2)BD=4)由題意推出∠BA=∠BABCD2)首先根據(jù)已知信息求出DRtBD中求解BD即可．【詳解】(1)證：∵AB=BC，∴=∠BCA，∵=∠ADB，∴∠BCA=∠ADB，ABCD四點(diǎn)共圓，∴∠BAD+∠BCD=180°；(2)解：∵AC⊥CD，∴∠ACD=90°，∵∠B=30°BD平分∠C，∴∠C=60°∠D=30°∴在Rt△ACD中，AD=2CD，∵AD+CD=43，833433∴AD= =833433ABCD四點(diǎn)共圓，∴∠ACD=∠ABD=90°，Rt△ABDAD·cos∠ADB833

×cos30°=83

×32

=4，∴BD=4．1A,B,C,EAE,BCDBCAD⊥BC則tan∠AED的值是( )A.255D

B.2 C.55

D.12A,D,B,EOtan∠AEDtan∠ABD．O1為半徑作⊙OD．∵A,B,C,E在格點(diǎn)上．∴AC=OA=OE=OB=1∴A,B,E在⊙O上∵AD⊥BC∴∠ADB=90°又∵⊙O的直徑是AB∴AB=2∵OA=OB∴OD=1AB=12∴點(diǎn)D在⊙O上∴∠AED=∠ABD∴tan∠AED=tan∠ABD=AC=1AB 2故選：D．DA,D,B,EO為半徑的同圓上．如圖已知AB=AC=ADAD=20°則BD的度數(shù)是( )A.10° B.15° C.20° D.25°【答案】A【詳解】如圖，AB=AC=AD∵∠CAD=20°∴∠CBD=1∠CAD=

×20°=10°，2 2故選A．如圖等邊△ABC中在BC上在AC上=CE連BEAD交于F在上且DT=EAF=50TE=16則FT= ．【答案】17BD≌△BE∠E=60°E至點(diǎn)GG=AGT，得到GABDTT≌△EA)【詳解】∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，AB∠ABD=∠BCE=60°，BD=CE∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；延長E至點(diǎn)GG=AGT，∵∠AFE=60°，∴△AFG是等邊三角形，∴G=F=G=50∠F=∠G=60°，∵∠BAF+∠EAF=∠CAG+∠EAF=60°，∴∠BAF=∠CAG，∵DT=CE，∴=∠BTD，∵=∠CBE，∴=∠BTD，ABDT四點(diǎn)共圓，∴=，∴=∠GAE，在△FAT和△GAE中，∠FAT=∠GAEF=G ∠AFG=∠AGF=60°∴△FAT≌△GAE(ASA)，∴FT=GE，∵G=50TE=6，∴FT=1(FG-TE)=17．2故答案為：17．GAE是解本題的關(guān)鍵．題型 瓜豆原理Rt△ABCBC22PABPC的中PABM運(yùn)動的路徑長．【答案】點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長為π．ABOACEBCFOCOPOEOF直角三角形的性質(zhì)得到B=2BC=4C=1B=2P=1B=22 2得M⊥C∠O=90°M在以CP點(diǎn)在A點(diǎn)M點(diǎn)在EP點(diǎn)在BM點(diǎn)在FF為正方得到F=C=2M點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長．B的中點(diǎn)OC的中點(diǎn)EBC的中點(diǎn)FCPMEFF，∵在等腰Rt△ABC中，AC=BC=22，∴AB=2BC=4．∴OC=OP=1AB=2．2∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC．∴∠CMO=90°．∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，PAMEPBMF為正OC2，∴點(diǎn)M運(yùn)動的路徑為以EF為直徑的半圓．M2

?2π?1=π．M為直徑的半圓．如圖A是⊙B上任意一點(diǎn)點(diǎn)C在⊙B外已知AB=2BC=4△AD是等邊三角形則△BD的面積的最大值為( )A.43+4 B.4 C.43+8 D.6【答案】ABCBCMDM△DCMACB得到M=B=2D的運(yùn)動軌跡是以點(diǎn)MM長為半徑的圓，DBC【詳解】解：如圖，以BC為邊向上作等邊三角形BCM，連接DM，∵∠DCA=∠MCB=60°，DCA∠ACM∠MCB∠ACM∠DCM∠ACB，△DCM△ACB中，DC∠DCM=∠ACB，MC=BC∴△DCM≌△ACBSAS，∴DM=AB=2，DM△BCDD的最大距離，∵△BCM是邊長為4的等邊三角形，∴點(diǎn)M到BC的距離為23，∴點(diǎn)D到BC的最大距離為23+2，BCD2

×4×23+2

=43+4，故選A．D求出圓上一點(diǎn)到定線段距離的最大值．如圖正方形ABD的邊長為4E為BC上一點(diǎn)且BE=1F為AB邊