決策理論3-效用函數(shù)課件

決策理論3-效用函數(shù)3效用函數(shù)3.1引言3.2效用的定義和公理系統(tǒng)3.3效用函數(shù)的構(gòu)造3.4風(fēng)險與效用3.5貨幣的效用3.6阿萊斯悖論(Allais’sparadox)決策理論3-效用函數(shù)3.1引言在定量評價可能的行動的各種后果時,會遇到兩個主要問題:(1)后果本身是用語言表述,可能沒有任何合適的直接測量標度。(2)即使有一個明確的標度可以測量后果,按這個標度測得的量也可能并不反映后果對決策人的真正價值。決策理論3-效用函數(shù)3.1引言這個例子說明:即使是數(shù)值量表示的后果，它對決策人的實際價值仍有待確定。0實際價值100錢100100100000例3.1考慮錢對同一個人的價值。假設(shè)一個學(xué)生手頭緊張,正好有機會掙100元錢,但是所要做的是他相當(dāng)討厭的工作。（1）如他經(jīng)濟情況差,他會認為100元錢的實際價值足夠大,所要做的工作即使是相當(dāng)討厭的,他仍會去干；（2）如他先有了10000元,要為100元錢去干這份讓他討厭的工作,他就很可能不干了。

決策理論3-效用函數(shù)3.1引言例3.2決策人面臨圖3.1中決策樹所示的選擇:①確定收入禮品1000元；②參與一次抽獎:有50%的機會得0元，50%的機會得2500元。有人選確定性的1000元的收入。抽獎的期望值雖大,風(fēng)險也大,實際價值還不如保險的1000元。而有人認為禮品不如抽獎,因為抽獎提供了獲得2500元的機會。這個例子說明:決策人的風(fēng)險態(tài)度影響其對后果的實際價值判斷。決策理論3-效用函數(shù)圣彼得堡悖論

(St.PetersburgParadox/game)圣彼得堡悖論是數(shù)學(xué)家丹尼爾·伯努利（DanielBernoulli）的表兄尼古拉·伯努利(NicolausBernoulli)在1738提出的一個概率期望值悖論,它來自于一種擲幣游戲,即圣彼得堡游戲(表1)。問題：你愿意花100元來參加一次圣彼得堡游戲嗎？決策理論3-效用函數(shù)圣彼得堡悖論的解釋1:(一)邊際效用遞減論DanielBernoulli在提出這個問題的時候就給出一種解決辦法。他認為游戲的期望值計算不應(yīng)該是金錢,而應(yīng)該是金錢的期望效用,即利用眾所周知的“期望效用遞減律”,將金錢的效用測度函數(shù)用貨幣值的對數(shù)來表示:效用=log(貨幣值),如表2所示。所有結(jié)果的效用期望值之和將為一個有限值log(4)≈0.60206,如果這里的效用函數(shù)符合實際,則理性決策應(yīng)以4元為界。決策理論3-效用函數(shù)圣彼得堡悖論的解釋2:(二)風(fēng)險厭惡論圣彼得堡悖論對于獎金額大小沒有限制。比如連續(xù)投擲40次才成功的話，獎金為1.1萬億元。但是這一獎金出現(xiàn)的概率極小，1.1萬億次才可能出現(xiàn)一次。實際上，游戲有一半的機會，其獎金為2元，四分之三的機會得獎4元和2元。獎金越少，機會越大，獎金越大，機會越小。Hacking（1980）所說:花25元的費用冒險參與游戲?qū)⑹欠浅Ｓ薮赖?，雖有得大獎的機會，但是風(fēng)險太大。因此，考慮采用風(fēng)險厭惡因素的方法可以消解矛盾。PualWeirich就提出在期望值計算中加人一種風(fēng)險厭惡因子，并得出了游戲費用的有限期望值，認為這種方法實際上解決了該悖論。決策理論3-效用函數(shù)圣彼得堡悖論的解釋3:(三)效用上限論也有一種觀點認為獎金的效用可能有一個上限,這樣,期望效用之和就有了一個極限值。Menger認為效用上限是惟一能消解該悖論的方法。設(shè)效用值等于貨幣值,上限為100單位,則游戲的期望效用為7.56l25,如表3所示。決策理論3-效用函數(shù)圣彼得堡悖論的解釋4:(四)結(jié)果有限論Gustason認為,要避免矛盾,必須對期望值概念進行限制,其一是限制其結(jié)果的數(shù)目；其二是把其結(jié)果值的大小限制在一定的范圍內(nèi)。這是典型的結(jié)果有限論,這一觀點是從實際出發(fā)的。因為實際上,游戲的投擲次數(shù)總是有限的數(shù)。比如對游戲設(shè)定某一個投擲的上限數(shù)L,在投擲到這個數(shù)的時候,如果仍然沒有成功,也結(jié)束游戲,不管你還能再投多少,就按照L付錢。因為你即便不設(shè)定L,實際上也總有投到頭的時候,人的壽命總是有限的,任何原因都可以使得游戲中止?，F(xiàn)在設(shè)定了上限,期望值自然也就可以計算了。決策理論3-效用函數(shù)3.1引言由上面例子可知:在進行決策分析時，存在如何描述或表達后果對決策人的實際價值，以便反映決策的人心目中各種后果的偏好次序（preferenceorder）的問題。偏好次序是決策人的個性與價值觀的反映，它與決策人所處的社會地位、經(jīng)濟地位、文化素養(yǎng)、心理和生理（身體）狀態(tài)有關(guān)。決策理論3-效用函數(shù)3.2效用的定義和公理系統(tǒng)3.2.1效用的定義3.2.2效用存在性公理3.2.3效用的公理化定義和效用的存在性3.2.4基數(shù)效用與序數(shù)效用決策理論3-效用函數(shù)3.2.1效用的定義效用（utility）:消費者從消費商品中得到的滿足程度。效用完全是消費者的一種主觀心理感受。滿足程度越高，效用越大；滿足程度越低，效用越小。決策理論3-效用函數(shù)對效用的理解:《最好吃的東西》兔子和貓爭論，世界上什么東西最好吃。兔子說，“世界上蘿卜最好吃。蘿卜又甜又脆又解渴，我一想起蘿卜就要流口水?！必埐煌猓f，“世界上最好吃的東西是老鼠。老鼠的肉非常嫩，嚼起來又酥又松，味道美極了！”兔子和貓爭論不休、相持不下，跑去請猴子評理。猴子聽了，不由得大笑起來：“瞧你們這兩個傻瓜蛋，連這點兒常識都不懂！世界上最好吃的東西是什么？是桃子！桃子不但美味可口，而且長得漂亮。我每天做夢都夢見吃桃子。”兔子和貓聽了，全都直搖頭。那么，世界上到底什么東西最好吃？以上的故事說明效用完全是個人的心理感覺。不同的偏好決定了對同一種商品效用大小的不同評價。決策理論3-效用函數(shù)3.2.1效用的定義在決策理論中，后果對決策人的實際價值，即決策人對后果的偏好次序是用效用(utility)來描述的。效用就是偏好的量化，是數(shù)(實值函數(shù))。1738年，DanielBernoulli就指出:若一個人面臨從給定行動集(風(fēng)險性展望集)中作選擇的決策問題，如果他知道與給定行動有關(guān)的將來的自然狀態(tài)，且這些狀態(tài)出現(xiàn)的概率已知或可以估計，則他應(yīng)選擇對各種可能后果的偏好的期望值最高的行動。決策理論3-效用函數(shù)一、效用的基本概念與符號(1)嚴格序“”ab(或者記作aPb)的含義是“a優(yōu)于b”(aispreferredtob)；也就是說,若非外界因素的強迫,決策人只會選擇a而不會選擇b。決策理論3-效用函數(shù)一、效用的基本概念與符號(2)無差異“～”a～b(或記作aIb)的含義是“a無差異于b”(aisindifferencetob)；也就是說,決策人對選擇或同樣滿意。決策理論3-效用函數(shù)一、效用的基本概念與符號(3)弱序“≥”記作aRb,含義是“a不劣于b”,亦即a優(yōu)于或者無差異于b。決策理論3-效用函數(shù)一、效用的基本概念與符號(4)展望(prospect)展望指決策的可能的前景,即各種后果及后果出現(xiàn)的概率的組合,記作P=<p1,c1;p2,c2;…;pr,cr;>.在例3.2的決策問題中,后果集C={1000,2500,0},采取行動a1和a2時的展望分別是:P1=<1.0,1000;0,2500;0,0>P2=<0,1000;0.5,2500;0.5,0>決策理論3-效用函數(shù)

(4)展望(prospect)

展望既考慮各種后果Ci,又考慮了各種后果出現(xiàn)的概率(客觀概率pi或主觀概率πi),全面地描述了在決策問題中采取某種行動的可能前景。決策理論3-效用函數(shù)復(fù)合展望決策理論3-效用函數(shù)一、效用的基本概念與符號(5)抽獎與確定當(dāng)量由機會點和該機會點發(fā)出的n個機會枝的概率及相應(yīng)后果構(gòu)成的圖形稱為抽獎（lottery）,抽獎又稱彩票。若C1~(p,C2;(1-P),C3),

則稱確定性后果C1為抽獎(p,C2;(1-P),C3)的確定當(dāng)量（certaintyequivalent）。決策理論3-效用函數(shù)二、效用的定義根據(jù)上述討論和記號，可以初步給出效用函數(shù)的定義如下。定義3.1在集合P上的實值函數(shù)u，若它和P上的優(yōu)先關(guān)系≥一致，即:若P1,P2屬于P，P1≥P2當(dāng)且僅當(dāng)u(P1)≥u(P2)，則稱u為效用函數(shù)。把效用函數(shù)定義在展望集P上而不是定義在后果集C上，是為了使效用函數(shù)能夠反映決策人對風(fēng)險的態(tài)度。決策理論3-效用函數(shù)3.2.2效用存在性公理定義3.1給出了效用函數(shù)的最基本性質(zhì),這就是可以根據(jù)它的大小來判斷展望P的優(yōu)劣。但是這樣的效用函數(shù)是否一定存在呢?回答是不一定。至于決策人的價值判斷在滿足什么條件時存在與之一致的效用函數(shù),vonNeumann-Morgenstern(1944)給出了效用的存在性公理,又稱理性行為公理。決策理論3-效用函數(shù)3.2.2效用存在性公理決策理論3-效用函數(shù)式(3.3)推導(dǎo):P1P2αP1+(1-α)P1αP2+(1-α)P2αP1+(1-α)P3αP2+(1-α)P3

公理3.3表明兩個有序的展望各有相同的比例被相等的量替代后,優(yōu)先關(guān)系不變.決策理論3-效用函數(shù)例3.3橫過馬路問題:效用有界性證明決策理論3-效用函數(shù)3.2.3效用的公理化定義和效用的存在性決策理論3-效用函數(shù)3.2.3效用函數(shù)的存在性決策理論3-效用函數(shù)3.2.4基數(shù)效用與序數(shù)效用基數(shù):為實數(shù)，如1，2，3,π序數(shù):如第一，二，…，4，3，2，1基數(shù)性效用函數(shù)與序數(shù)效用函數(shù)區(qū)別:基數(shù)效用定義在展望集P上(考慮后果及其概率分布),是實數(shù)；序數(shù)效用定義在后果集C上，不涉及概率，可以是整正數(shù).基數(shù)效用反映偏好強度(正線性變換下唯一，即原數(shù)列可變換為:b+c,2b+c,3b+c,100b+c;其中b,c∈R1,b＞0.）序數(shù)效用不反映偏好強度，(保序變換下唯一),原序數(shù)列可變換為16,9,4,1；或8,6,4,2,或10,7,6,1等.決策理論3-效用函數(shù)3.2.4基數(shù)效用與序數(shù)效用基數(shù)(cardinalnumber)效用:邊際效用分析方法總效用（TOTALUTILITY，TU）:消費者在一定時間內(nèi)從一定數(shù)量商品的消費中所得到的效用量的總和;邊際效用（MARGINALUTILITY，MU）:消費者在一定時間內(nèi)增加一單位商品的消費所得到的效用量的增量.序數(shù)(ordinalnumber)效用:無差異曲線分析方法?？怂拐J為，效用的數(shù)值表現(xiàn)只是為了表達偏好的順序，并非效用的絕對數(shù)值。現(xiàn)在比較通用的是序數(shù)效用。決策理論3-效用函數(shù)3.3效用函數(shù)的構(gòu)造1.估計效用函數(shù)值的方法2.離散型后果的效用設(shè)定3.連續(xù)型后果的效用函數(shù)構(gòu)造4.用解析函數(shù)近似效用曲線決策理論3-效用函數(shù)1.估計效用函數(shù)值的方法⑴概率當(dāng)量法⑵確定當(dāng)量法⑶增益當(dāng)量法⑷損失當(dāng)量法

從純理論角度看,這四種方法并沒有實質(zhì)性的區(qū)別；但是實驗結(jié)果表明,使用確定當(dāng)量法時決策人對最優(yōu)后果（增益）的保守性和對損失的冒險性都比概率當(dāng)量法嚴重(Hershey,1982）；采用增益當(dāng)量法與損失當(dāng)量法時產(chǎn)生的誤差也比用概率當(dāng)量法大,因此只要有可能,應(yīng)該盡可能使用概率當(dāng)量法。決策理論3-效用函數(shù)⑴概率當(dāng)量法決策理論3-效用函數(shù)2.離散型后果的效用設(shè)定后果為離散型隨機變量時,后果集C中元素為有限個,構(gòu)造后果集上的效用函數(shù)有兩方面的內(nèi)容:(1)確定各后果之間的優(yōu)先序;(2)確定后果之間的優(yōu)先程度。離散型后果效用值的設(shè)定可以采用概率當(dāng)量法,簡稱NM法。決策理論3-效用函數(shù)NM法步驟如下:決策理論3-效用函數(shù)例3.6例3.6天氣預(yù)報說球賽時可能有雨,一個足球愛好者要決定是否去球場看球。首先作該問題的決策樹如圖所示。由題意可知決策人對四種后果優(yōu)劣的排序是:c2c3c4c1。決策理論3-效用函數(shù)步驟:第一步:令u(c1)=0,u(c2)=1。第二步:詢問決策人,下雨在家看電視這種后果與去球場看球有多大概率下雨被淋相當(dāng),若決策人的回答是0.3,則c30.7c2+0.3c1,u(c3)＝0.7u(c2)＝0.7。第三步:詢問決策人,無雨看電視這種后果與去球場看球有多大概率下雨被淋相當(dāng),若決策人的回答是0.6,則c40.4c2+0.6c1,得u(c4)＝0.4c2＝0.4。第四步:進行一致性校驗。c30.4c2+0.6c4,則u’(c3)=0.64≠0.7。重復(fù)二、三,若u(c3)不變,則調(diào)整u(c4)=0.5,決策人仍認為c30.4c2+0.6c4,則通過校驗。決策理論3-效用函數(shù)3.連續(xù)型后果的效用函數(shù)構(gòu)造當(dāng)后果c為連續(xù)變量時,上述方法就不再適用。但是如果能通過分析找到u(c)的若干特征值,求特征點的效用后,再連成光滑曲線；或者u(c)是連續(xù)、光滑的,則可以分段構(gòu)造u(c)。決策理論3-效用函數(shù)每天學(xué)習(xí)時間與效用隨著學(xué)習(xí)時間的增加,效用值也會有所增加但是由于進入狀態(tài)需要一定的時間,所以在t較小時,效用的增加較慢；過了一小段時間后,效用與所化時間基本上是線性關(guān)系；隨著學(xué)習(xí)時間的不斷增加,人會疲勞,效率會下降；時間太長,這時的效果不如時間適度,即存在效用值最大的點tm；再增加學(xué)習(xí)時間又會從效用最大值處下降。其中與效用最大值對應(yīng)的tm是因人而異。由于效用函數(shù)的惟一性(即在正線性變換下惟一,見效用的公理化定義),效用的值域可以是整個實軸,而不必限于[0,1]區(qū)間。決策理論3-效用函數(shù)4.用解析函數(shù)近似效用曲線為了分析和運算方便,分析人員通常希望能夠用某種解析函數(shù)式u(x)來近似地表達效用。常用的函數(shù)有冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù).決策理論3-效用函數(shù)3.4風(fēng)險與效用3.4.1風(fēng)險的含義3.4.2效用函數(shù)包含的內(nèi)容3.4.3相對風(fēng)險態(tài)度決策理論3-效用函數(shù)3.4.1風(fēng)險的含義風(fēng)險包含有兩個方面的內(nèi)容:(1)后果的損失嚴重程度;(2)出現(xiàn)損失的可能性的大小.一般的,可以用以下幾種指標來度量風(fēng)險。決策理論3-效用函數(shù)(1)方差決策理論3-效用函數(shù)(2)自方差決策理論3-效用函數(shù)(3)臨界概率決策理論3-效用函數(shù)(4)Fishburn的風(fēng)險定義決策理論3-效用函數(shù)3.4.2效用函數(shù)包含的內(nèi)容1.對風(fēng)險的態(tài)度2.對后果的偏好強度3.可測價值函數(shù)決策理論3-效用函數(shù)1.對風(fēng)險的態(tài)度如圖所示為幾種典型的效用函數(shù)曲線。曲線A是下凹的，曲線N是線性的，曲線P是凸函數(shù)。這三種形狀的曲線分別反映了決策人的三種風(fēng)險態(tài)度:風(fēng)險厭惡(riskaversion)、風(fēng)險中立(riskneutralness)和風(fēng)險追求(riskproneness)。決策理論3-效用函數(shù)風(fēng)險酬金決策理論3-效用函數(shù)2.對后果的偏好強度考察一下錢的邊緣價值:設(shè)某人現(xiàn)有積蓄為0，增加1000元對此人的作用(價值)與有了1000元后再加1500元相等,則此人的財富的價值函數(shù)是凹函數(shù)，如右圖。若詢問貨幣后果對這個決策人的實際價值即效用時，決策人認為1000元(0.5,0;0.5,2500),則與其說此人是風(fēng)險厭惡不如說他是相對風(fēng)險中立。為此有必要對確定性后果的偏好強度加以量化，這就是可測價值函數(shù)。決策理論3-效用函數(shù)3.可測價值函數(shù)——確定性后果偏好強度的量化定義:在后果空間X上的實值函數(shù)v，對w，x，y，z∈X有I、(w→x)>(y→z)當(dāng)且僅當(dāng)v(w)－v(x)≥v(y)－v(z),II、v對正線性變換是唯一確定的。則稱v為可測價值函數(shù)?？蓽y價值函數(shù)的示意圖如右。決策理論3-效用函數(shù)3.可測價值函數(shù)決策理論3-效用函數(shù)3.4.3相對風(fēng)險態(tài)度決策人的真實的風(fēng)險態(tài)度被稱作相對風(fēng)險態(tài)度(relativeriskattitude)。設(shè)效用函數(shù)和測價值函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，且連續(xù)二次可微。1.效用函數(shù)反映的風(fēng)險的局部測度>0u在x處凹,風(fēng)險厭惡r(x)=-u”(x)/u’(x)=0u在x處線性,風(fēng)險中立<0u在x處凸,風(fēng)險追求2.可測價值函數(shù)反映的偏好強度的局部測度>0在x處有遞減的邊緣價值m(x)=-v”(x)/v’(x)=0在x處有不變的邊緣價值<0在x處有遞增的邊緣價值3.決策人真正的風(fēng)險態(tài)度若r(x)>m(x)，稱為在x處相對風(fēng)險厭惡r(x)＝m(x)，稱為在x處相對風(fēng)險中立r(x)＜m(x)，稱為在x處相對風(fēng)險追求決策理論3-效用函數(shù)3.5貨幣的效用決策理論3-效用函數(shù)3.6阿萊斯悖論(Allais’sparadox)法國經(jīng)濟學(xué)家、諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲得者阿萊斯（Allais，1953）進行了彩票選擇實驗。實驗中，被試者被要求在兩組彩票組合中分別進行選擇:決策理論3-效用函數(shù)推導(dǎo)（1）:假設(shè):u($5m)=1,u($0m)=0。如果決策人選擇X，則有:0.9u($0)+0.1u($5m)>0.89u($0)+0.11u($1m)0.1>0.11u($1m)0.1/0.11>u($1m)

u($1m)<0.1/0.11決策理論3-效用函數(shù)推導(dǎo)（2）:假設(shè):u($5m)=1,u($0m)=0。如果決策人選擇A，則有:u($1m)>0.89u($1m)+0.1u($5m)+0.01u($0m)u($1m)>0.89u($1m)+0.1u($1m)>0.1/0.11決策理論3-效用函數(shù)“阿萊斯悖論”的啟示:“阿萊斯悖論”的解釋:人們偏好確定性的結(jié)果，而厭惡不確定性的結(jié)果。（即人的效用函數(shù)往往低估一些只具有可能性的結(jié)果，而相對高估確定性的結(jié)果。）“阿萊斯悖論”說明了真實的個體決策行為會系統(tǒng)地違反期望效用理論中的期望效用最大化原理，從而動搖了決策科學(xué)的理論基石。決策理論3-效用函數(shù)效用理論的最新成果:卡尼曼和特沃斯基（KahnemanandTversky，1979）提出的展望理論（prospecttheory）。他們對促使人們無法做出符合傳統(tǒng)理性決策模型的因素歸納出三個效果:決策理論3-效用函數(shù)1)確定效果(certaintyeffect)

在下命兩個博彩間進行選擇:博彩A:33%的機會得到2500元，66%的機會得到2400元，1%的機會什么也得不到；博彩B:100%的機會得到2400元。現(xiàn)在考慮下面兩個博彩:博彩C:33%的機會得到2500元，67%的機會什么也得不到；博彩D:34%的機會得到2400元，66%的機會什么也得不到。決策理論3-效用函數(shù)1)確定效果(certaintyeffect)在A和B中，問卷的結(jié)果顯示有82%的受訪者選擇博彩B。在C和D中問卷顯示有83%的人選擇了博彩C。根據(jù)期望效用理論，在第一個博彩中:0.33U(2500)+0.66U(2400)<U(2400)，即0.33U(2500)<0.34U(2400)；但是在第二個博彩中卻有0.33U(2500)>0.34U(2400)，兩者在邏輯上矛盾。產(chǎn)生矛盾的原因是，人們在面臨不確定性時的選擇表現(xiàn)出一些與傳統(tǒng)的效用理論不符的特征，人的效用函數(shù)低估一些只具有可能性的結(jié)果，而相對高估確定性的結(jié)果，稱之為確定效果。決策理論3-效用函數(shù)2)反射效果(reflectioneffect)

在下命兩個博彩間進行選擇:博彩A:80%的機會得到4000元；博彩B:100%的機會得到3000元。現(xiàn)在考慮下面兩個博彩:博彩C:80%的機會損失4000元；博彩D:100%的機會損失3000元。決策理論3-效用函數(shù)2)反射效果(reflectioneffect)在A和B中,問卷的結(jié)果顯示有80%的受訪者選擇博彩B。在A和B中,問卷