人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修二7.1 復(fù)數(shù)的概念（含答案及解析）（人教版2019必修第二冊）

7.1復(fù)數(shù)的概念考法一復(fù)數(shù)的實部與虛部【例1-1】（2023·河北衡水）復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部是（

）A． B． C． D．【例1-2】（2023河南）已知復(fù)數(shù)的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)的值分別是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·浙江舟山）若，則復(fù)數(shù)的實部、虛部分別是（

）A．， B．， C．， D．，2．（2023·河北邢臺）復(fù)數(shù)，則（

）A．的實部為 B．的虛部為C．的實部為 D．的虛部為3．（2023·湖北）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部與實部互為相反數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．2考法二復(fù)數(shù)的分類【例2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)．【例2-2】（2023·上海）若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù).【一隅三反】1．（2023·四川綿陽）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是（

）A．且 B．C．且 D．2．（2023·廣東廣州）已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023·新疆喀什）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），求適合下列條件的實數(shù)m的值；(1)z為實數(shù)；(2)z為虛數(shù)；(3)z為純虛數(shù).考法三復(fù)數(shù)相等【例3】（2023·河南商丘）適合的實數(shù)x、y的值為（

）A．且 B．且C．且 D．且【一隅三反】1．（2024河南）若，是虛數(shù)單位，，則＝（）A． B．C． D．2．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．23．（2024廣西）若，，則復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．考法四復(fù)數(shù)對應(yīng)點的象限【例4-1】（2023·新疆阿克蘇）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例4-2】（2023·云南紅河）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【例4-3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·遼寧沈陽）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023·福建）若（i是虛數(shù)單位，）對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限，則（

）A． B． C． D．或3．（2023·浙江嘉興）已知，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).(1)若，求m的值；(2)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第三象限，求m的取值范圍.考法五復(fù)數(shù)的模長【例5-1】（2023下·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為，則（

）A．3 B．4C．5 D．【例5-2】（2023·廣東韶關(guān)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量和，其中為坐標原點，則（

）A．1 B．5 C． D．【一隅三反】1．（2023·新疆·校聯(lián)考一模）已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．2．（2024·遼寧鐵嶺）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C． D．33．（2023·新疆喀什）設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的模為（

）A．7 B．1 C．5 D．254．（2023·云南）已知，則（

）A．2 B．4 C． D．8考法六虛數(shù)單位及性質(zhì)【例6】（2023·河北張家口）.【一隅三反】1．（2023重慶沙坪壩）i表示虛數(shù)單位，則．2（2023·黑龍江牡丹江）．3．（2023·福建寧德）若是虛數(shù)單位，則.單選題1．（2023·新疆喀什）已知復(fù)數(shù)的實部是（

）A．0 B．2 C．3 D．2．（2023·江蘇徐州）已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．1 D．3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）若，，則復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．4．（2023·四川遂寧）如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)=

(

)A． B． C． D．5．（2024·云南曲靖）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，其中是坐標原點，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（2023·安徽）若，其中a，，是虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C．3 D．57．（2023·遼寧撫順）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，，，若，則z的虛部為（

）A．-3 B．3 C．-4 D．48．（2023山東）設(shè)a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則“ab>0”是“復(fù)數(shù)a－bi對應(yīng)的點位于復(fù)平面上第二象限”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件多選題9．（2024北京）（多選）對于復(fù)數(shù)(，∈R)，下列說法正確的是（

）A．若，則為純虛數(shù) B．若，則，C．若，則為實數(shù) D．的平方等于110（2023江蘇）（多選）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部是2 B．C． D．對應(yīng)的點在第二象限11．（2023·福建福州）的實部與虛部互為相反數(shù)，則的取值可能是（

）A． B． C． D．12．（2023下·重慶萬州·高一?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)的可能取值為（

）A．2 B．0 C． D．1填空題13．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）若，其中是虛數(shù)單位，則．14．（2023·河南?。┮阎獜?fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，寫出關(guān)于復(fù)數(shù)的一個正確結(jié)論：.15．（2023·北京石景山）已知純虛數(shù)滿足，則．16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個模為2的非純虛數(shù).解答題17（2023·廣西）當(dāng)為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)分別是：(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)：(4)0？18．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，作出表示下列各復(fù)數(shù)的點和所對應(yīng)的向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).19（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點Z對應(yīng)，若點Z的位置滿足下列要求，分別求實數(shù)m的取值范圍，并寫出你的求解思路：(1)不在實軸上；(2)在虛軸上；(3)在實軸下方（不包括實軸）；(4)在虛軸右側(cè)（不包括虛軸）；(5)第三象限．20．（2023下·天津·高一統(tǒng)考期末）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，.(1)當(dāng)時，求；(2)若是純虛數(shù)，求的值；(3)若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，求的取值范圍.21．（2023下·陜西商洛·高一統(tǒng)考期末）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限．(1)若的實部與虛部之和為7，且，求；(2)若，且的實部不為0，討論在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第幾象限．22．（2023下·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量為，且A，E，C三點共線.(1)求實數(shù)的值；(2)求的坐標；(3)已知點，若A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標.

7.1復(fù)數(shù)的概念考法一復(fù)數(shù)的實部與虛部【例1-1】（2023·河北衡水）復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，故虛部為.故選：B【例1-2】（2023河南）已知復(fù)數(shù)的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)的值分別是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為復(fù)數(shù)的實部和虛部分別是2和3，所以所以故選：C.【一隅三反】1．（2023·浙江舟山）若，則復(fù)數(shù)的實部、虛部分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【解析】因為，所以復(fù)數(shù)的實部、虛部分別是、.故選：B2．（2023·河北邢臺）復(fù)數(shù)，則（

）A．的實部為 B．的虛部為C．的實部為 D．的虛部為【答案】B【解析】因為，所以，所以與的實部均為1，A，C錯誤；的虛部為，B正確，D錯誤.故選：B.3．（2023·湖北）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部與實部互為相反數(shù)，則實數(shù)（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由題，，則．故選：B考法二復(fù)數(shù)的分類【例2-1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)．【答案】0【解析】復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得．故答案為：0【例2-2】（2023·上海）若復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù).【答案】【解析】復(fù)數(shù)是實數(shù)，則有，解得.故答案為：.【一隅三反】1．（2023·四川綿陽）復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【解析】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，；若，，則是純虛數(shù)，所以復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是且．故選：A．2．（2023·廣東廣州）已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因為為純虛數(shù)，所以，解得，所以復(fù)數(shù)，其復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，故選：D3．（2023·新疆喀什）已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），求適合下列條件的實數(shù)m的值；(1)z為實數(shù)；(2)z為虛數(shù)；(3)z為純虛數(shù).【答案】(1)或；(2)且；(3).【解析】（1）當(dāng)為實數(shù)時，，解得或；（2）當(dāng)為虛數(shù)時，，解得且；（3）當(dāng)為純虛數(shù)時，，解得.考法三復(fù)數(shù)相等【例3】（2023·河南商丘）適合的實數(shù)x、y的值為（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可得，，解得.故選：A．【一隅三反】1．（2024河南）若，是虛數(shù)單位，，則＝（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，所以，，即，，所以．故選：D．2．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】因為，所以，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得，所以.故選：C.3．（2024廣西）若，，則復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得，解得，故．故選：B．考法四復(fù)數(shù)對應(yīng)點的象限【例4-1】（2023·新疆阿克蘇）復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】在復(fù)平面上對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D【例4-2】（2023·云南紅河）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題，，故，故選：D【例4-3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】將整理化簡可得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標為，由點位于第四象限可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A【一隅三反】1．（2023·遼寧沈陽）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】，所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第二象限故選：B.2．（2023·福建）若（i是虛數(shù)單位，）對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限，則（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限則，解得.故選：C.3．（2023·浙江嘉興）已知，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).(1)若，求m的值；(2)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第三象限，求m的取值范圍.【答案】(1)或(2)【解析】（1）由題意得：，解得：或1，經(jīng)檢驗，均滿足題意，故m的值為或.（2）由題意得：，得，解得：，故m的取值范圍是.考法五復(fù)數(shù)的模長【例5-1】（2023下·北京大興·高一統(tǒng)考期末）已知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為，則（

）A．3 B．4C．5 D．【答案】C【解析】因為在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的坐標為，所以，.故選：C.【例5-2】（2023·廣東韶關(guān)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)與分別對應(yīng)向量和，其中為坐標原點，則（

）A．1 B．5 C． D．【答案】D【解析】由復(fù)數(shù)的幾何意義知：，，，∴．故選:D．【一隅三反】1．（2023·新疆·校聯(lián)考一模）已知復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，則，故.故選：B.2．（2024·遼寧鐵嶺）若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C． D．3【答案】C【解析】設(shè)，則，解得，，故，則故選：C3．（2023·新疆喀什）設(shè)復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)的模為（

）A．7 B．1 C．5 D．25【答案】C【解析】復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則其模，故選：C.4．（2023·云南）已知，則（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【解析】因為，所以.故選：C.考法六虛數(shù)單位及性質(zhì)【例6】（2023·河北張家口）.【答案】0【解析】，故答案為：0.【一隅三反】1．（2023重慶沙坪壩）i表示虛數(shù)單位，則．【答案】1【解析】因為，所以且，所以，故答案為：.2（2023·黑龍江牡丹江）．【答案】/【解析】∵，∴，則，故原式．故答案為：.3．（2023·福建寧德）若是虛數(shù)單位，則.【答案】【解析】，故答案為：單選題1．（2023·新疆喀什）已知復(fù)數(shù)的實部是（

）A．0 B．2 C．3 D．【答案】D【解析】依題意，，所以復(fù)數(shù)的實部為.故選：D.2．（2023·江蘇徐州）已知為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】，故選：A3．（2024·全國·高一假期作業(yè)）若，，則復(fù)數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，則，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得，解得，故．故選：B．4．（2023·四川遂寧）如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)=

(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得，解得.故選：C.5．（2024·云南曲靖）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，其中是坐標原點，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，則，所以向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：D6．（2023·安徽）若，其中a，，是虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【解析】若，即，得，解得，所以．故選：B7．（2023·遼寧撫順）已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，，，若，則z的虛部為（

）A．-3 B．3 C．-4 D．4【答案】A【解析】由題意得，所以，解得或，因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，所以舍去，故，虛部為-3．故選：A.8．（2023山東）設(shè)a，b∈R，i為虛數(shù)單位，則“ab>0”是“復(fù)數(shù)a－bi對應(yīng)的點位于復(fù)平面上第二象限”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由題意知，“ab>0”可推出或，當(dāng)a>0，b>0時，a－bi對應(yīng)的點位于復(fù)平面上第四象限，當(dāng)a<0，b<0時，a－bi對應(yīng)的點位于復(fù)平面上第二象限，反之成立；所以“ab>0”是“復(fù)數(shù)a－bi對應(yīng)的點位于復(fù)平面上第二象限”的必要不充分條件；故選：B.多選題9．（2024北京）（多選）對于復(fù)數(shù)(，∈R)，下列說法正確的是（

）A．若，則為純虛數(shù) B．若，則，C．若，則為實數(shù) D．的平方等于1【答案】BC【解析】對于A，當(dāng)時，為實數(shù)，故A錯誤；對于B，若，則解得，故B正確；對于C，若，則為實數(shù)，故C正確；對于D，的平方為，故D錯誤.故選：BC10（2023江蘇）（多選）已知，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的虛部是2 B．C． D．對應(yīng)的點在第二象限【答案】ABC【解析】由復(fù)數(shù)相等可得解得所以，的虛部是2，所以A選項正確；，所以B選項正確；，所以C選項正確；對應(yīng)的點在虛軸上，所以D選項不正確.故選：ABC11．（2023·福建福州）的實部與虛部互為相反數(shù)，則的取值可能是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】由題意得：，，解得：或，，或或，故選：ACD.12．（2023下·重慶萬州·高一?？茧A段練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)的可能取值為（

）A．2 B．0 C． D．1【答案】AD【解析】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為位于第四象限，則，所以符合題意的只有A、D.故選：AD填空題13．（2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模）若，其中是虛數(shù)單位，則．【答案】/【解析】因為，則，即，所以.故答案為：14．（2023·河南省）已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，寫出關(guān)于復(fù)數(shù)的一個正確結(jié)論：.【答案】【解析】由，解得，故.故答案為：15．（2023·北京石景山）已知純虛數(shù)滿足，則．【答案】2【解析】設(shè)，則，則，即舍去或，所以．故答案為：．16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）寫出一個模為2的非純虛數(shù).【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)，則．，又，，如，且為非純虛數(shù)，符合題意．故答案為：（答案不唯一）解答題17（2023·廣西）當(dāng)為何實數(shù)時，復(fù)數(shù)分別是：(1)實數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)：(4)0？【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)是實數(shù)；（2）當(dāng)，即時，復(fù)數(shù)是虛數(shù)；（3）當(dāng)且，即時，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)；（4）當(dāng)且，即時，復(fù)數(shù)．18．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在復(fù)平面內(nèi)，作出表示下列各復(fù)數(shù)的點和所對應(yīng)的向量：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】答案見解析【解析】（1）因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，向量為，如圖：

（2）因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，向量為，如圖：

（3）因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，向量為，如圖：

（4）因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，向量為，如圖：

（5）因為復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，向量為，如圖：

19（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點Z對應(yīng)，若點Z的位置滿足下列要求，分別求實數(shù)m的取值范圍，并寫出你的求解思路：(1)不在實軸上；(2)在虛軸上；(3)在實軸下方（不包括實軸）；(4)在虛軸右側(cè)（不包括虛軸）；(5)第三象限．【答案】(1)且.(2)(3)(4)(5)【解析】（1）由復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的點Z對應(yīng)，因為復(fù)數(shù)不在實軸