人教版高中數(shù)學(xué)精講精練必修一1.5 全稱量詞與存在量詞（精講）（含答案及解析）

1.5全稱量詞與存在量詞（精講）一．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞定義短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞符號(hào)表示?全稱量詞命題定義含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題一般形式對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立(說(shuō)明：M表示變量x的取值范圍)符號(hào)表示?x∈M，p(x)二．存在量詞與存在量詞命題定義短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞存在量詞符號(hào)表示?存在量詞命題定義含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題一般形式存在M中的元素x，p(x)成立(說(shuō)明：M表示變量x的取值范圍)符號(hào)表示?x∈M，p(x)三．含量詞的命題的否定命題類型全稱量詞命題存在量詞命題形式?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定形式?x∈M，?x∈M，結(jié)論全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題一．判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路否定一個(gè)含有量詞的命題的三點(diǎn)注意(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，是正確寫(xiě)出命題否定的關(guān)鍵；(2)注意命題的否定與否命題的區(qū)別；(3)當(dāng)命題否定的真假不易判斷時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為去判斷原命題的真假，當(dāng)原命題為真時(shí)，命題的否定為假，當(dāng)原命題為假時(shí)，命題的否定為真．二．求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍1.對(duì)于全稱量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)．2.對(duì)于存在量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)．三．常見(jiàn)正面詞語(yǔ)的否定正面詞語(yǔ)等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面詞語(yǔ)至少有一個(gè)至多有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)否定一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)某個(gè)某些至少有n＋1個(gè)考點(diǎn)一全稱量詞與存在量詞【例1-1】（2023·河南平頂山）下列語(yǔ)句不是存在量詞命題的是（

）A．至少有一個(gè)x，使成立 B．有的無(wú)理數(shù)的平方不是有理數(shù)C．存在，是偶數(shù) D．梯形有兩邊平行【例1-2】（2023·四川樂(lè)山）下列命題中，不是全稱量詞命題的是（）A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0 B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．實(shí)數(shù)都可以寫(xiě)成小數(shù)形式 D．存在奇數(shù)不是素?cái)?shù)【一隅三反】1．（2023·廣西）下列命題中，含有存在量詞的是（

）A．存在一個(gè)平行四邊形是矩形 B．所有正方形都是平行四邊形C．一切三角形的內(nèi)角和都等于 D．任意兩個(gè)等邊三角形都相似2．（2023·江蘇南京）已知命題：①任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)；②有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角；③每一個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)；④所有數(shù)與0相乘，都等于0.其中，其中含存在量詞的命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023·北京）下列命題中是存在量詞命題的是（

）A．平行四邊形的對(duì)邊相等 B．同位角相等C．任何實(shí)數(shù)都存在相反數(shù) D．存在實(shí)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)考點(diǎn)二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假【例2-1】（2022湖南）下列命題中是真命題的為（

）A．，使B．，使C．，D．，【例2-2】（2023·山東）已知命題；命題，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為存在量詞命題且為假命題，為全稱量詞命題且為假命題B．為全稱量詞命題且為假命題，為存在量詞命題且為假命題C．為存在量詞命題且為真命題，為全稱量詞命題且為假命題D．為全稱量詞命題且為真命題，為存在量詞命題且為真命題【一隅三反】1．（2023·遼寧）關(guān)于命題“，”，下列判斷正確的是（

）A．該命題是全稱量詞命題，且是真命題 B．該命題是存在量詞命題，且是真命題C．該命題是全稱量詞命題，且是假命題 D．該命題是存在量詞命題，且是假命題2．（2023·黑龍江）下列四個(gè)命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（

）A．銳角三角形的內(nèi)角都是銳角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使C．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）命題：，，命題：，，則（

）A．真真 B．假假 C．假真 D．真假考點(diǎn)三命題的否定【例3-1】（2023春·河南）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【例3-2】（2023春·陜西商洛）命題，則是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023春·遼寧）若命題：，，則命題的否定為（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·廣西河池）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·廣西柳州）已知命題的否定為“，”，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．命題為“，”且為真命題B．命題為“，”且為假命題C．命題為“，”且為假命題D．命題為“，”且為真命題考點(diǎn)四根據(jù)命題真假求參數(shù)【例4-1】（2023春·四川宜賓）已知命題p：為真命題，則實(shí)數(shù)a的值不能是（

）A．1 B．2 C．3 D．【例4-2】（2022秋·福建龍巖）已知命題：，，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例4-3】（2023·山西晉城）已知命題，，若命題p是假命題，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023河北）命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．2．（2023·重慶北碚）已知命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．3．（2023河南）命題“，使”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____．4．（2023·福建廈門(mén)）命題“”為假命題的一個(gè)必要不充分條件是（

）A． B．C． D．

1.5全稱量詞與存在量詞（精講）一．全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞定義短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞符號(hào)表示?全稱量詞命題定義含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題一般形式對(duì)M中任意一個(gè)x，p(x)成立(說(shuō)明：M表示變量x的取值范圍)符號(hào)表示?x∈M，p(x)二．存在量詞與存在量詞命題定義短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞存在量詞符號(hào)表示?存在量詞命題定義含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題一般形式存在M中的元素x，p(x)成立(說(shuō)明：M表示變量x的取值范圍)符號(hào)表示?x∈M，p(x)三．含量詞的命題的否定命題類型全稱量詞命題存在量詞命題形式?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)否定形式?x∈M，?x∈M，結(jié)論全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全稱量詞命題一．判斷全稱量詞命題、存在量詞命題真假的思路否定一個(gè)含有量詞的命題的三點(diǎn)注意(1)弄清命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，是正確寫(xiě)出命題否定的關(guān)鍵；(2)注意命題的否定與否命題的區(qū)別；(3)當(dāng)命題否定的真假不易判斷時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為去判斷原命題的真假，當(dāng)原命題為真時(shí)，命題的否定為假，當(dāng)原命題為假時(shí)，命題的否定為真．二．求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍1.對(duì)于全稱量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式恒成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)．2.對(duì)于存在量詞命題“?x∈M，a>y(或a<y)”為真的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是不等式能成立問(wèn)題，通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)．三．常見(jiàn)正面詞語(yǔ)的否定正面詞語(yǔ)等于大于(>)小于(<)是都是否定不等于不大于(≤)不小于(≥)不是不都是正面詞語(yǔ)至少有一個(gè)至多有一個(gè)任意的所有的至多有n個(gè)否定一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)某個(gè)某些至少有n＋1個(gè)考點(diǎn)一全稱量詞與存在量詞【例1-1】（2023·河南平頂山）下列語(yǔ)句不是存在量詞命題的是（

）A．至少有一個(gè)x，使成立 B．有的無(wú)理數(shù)的平方不是有理數(shù)C．存在，是偶數(shù) D．梯形有兩邊平行【答案】D【解析】對(duì)于A，至少有一個(gè)x，使成立，有存在量詞“至少有一個(gè)”，是存在量詞命題；對(duì)于B，有的無(wú)理數(shù)的平方不是有理數(shù)，有存在量詞“有的”，是存在量詞命題；對(duì)于C，存在，是偶數(shù)，有存在量詞“存在”，是存在量詞命題；對(duì)于D，梯形有兩邊平行，為梯形幾何性質(zhì)，省略了全稱量詞“所有”，是全稱量詞命題．故選：D.【例1-2】（2023·四川樂(lè)山）下列命題中，不是全稱量詞命題的是（）A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以0都等于0 B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．實(shí)數(shù)都可以寫(xiě)成小數(shù)形式 D．存在奇數(shù)不是素?cái)?shù)【答案】D【解析】對(duì)A選項(xiàng)，任何是全稱量詞，故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，省略了量詞所有，是全稱量詞，故B錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，省略了量詞所有，是全稱量詞，故C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，存在是存在量詞，故D正確；故選：D.【一隅三反】1．（2023·廣西）下列命題中，含有存在量詞的是（

）A．存在一個(gè)平行四邊形是矩形 B．所有正方形都是平行四邊形C．一切三角形的內(nèi)角和都等于 D．任意兩個(gè)等邊三角形都相似【答案】A【解析】A選項(xiàng)，存在一個(gè)平行四邊形是矩形含有存在量詞；BCD選項(xiàng)，含有全稱量詞，不含存在量詞.故選：A.2．（2023·江蘇南京）已知命題：①任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)；②有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角；③每一個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)；④所有數(shù)與0相乘，都等于0.其中，其中含存在量詞的命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，含全稱量詞“任何”，不符；②有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角，含存在量詞“有些”，符合；③每一個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)，含全稱量詞“每一個(gè)”，不符；④所有數(shù)與0相乘，都等于0，含全稱量詞“所有”，不符；故選：A3．（2023·北京）下列命題中是存在量詞命題的是（

）A．平行四邊形的對(duì)邊相等 B．同位角相等C．任何實(shí)數(shù)都存在相反數(shù) D．存在實(shí)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)【答案】D【解析】根據(jù)全稱量詞和存在量詞的定義可知，A選項(xiàng)，“平行四邊形的對(duì)邊相等”是所有的平行四邊形性質(zhì)，是全稱量詞命題；B選項(xiàng)，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全稱量詞命題；C選項(xiàng)，“任何實(shí)數(shù)都存在相反數(shù)”中的“任意”是全稱量詞，故其為全稱量詞命題；D選項(xiàng)，“存在實(shí)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)”中的“存在”為存在量詞，其為存在量詞命題.故選：D考點(diǎn)二全稱量詞命題與存在量詞命題的真假【例2-1】（2022湖南）下列命題中是真命題的為（

）A．，使B．，使C．，D．，【答案】D【解析】對(duì)于A，由，可得，所以不存在，使成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得，所以不存在，使，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故正確.故選：D.【例2-2】（2023·山東）已知命題；命題，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為存在量詞命題且為假命題，為全稱量詞命題且為假命題B．為全稱量詞命題且為假命題，為存在量詞命題且為假命題C．為存在量詞命題且為真命題，為全稱量詞命題且為假命題D．為全稱量詞命題且為真命題，為存在量詞命題且為真命題【答案】C【解析】對(duì)于命題，是存在量詞命題，取，則，故為真命題；對(duì)于命題，是全稱量詞命題，當(dāng)時(shí)，，故為假命題；所以為存在量詞命題且為真命題，為全稱量詞命題且為假命題.故選：C．【一隅三反】1．（2023·遼寧）關(guān)于命題“，”，下列判斷正確的是（

）A．該命題是全稱量詞命題，且是真命題 B．該命題是存在量詞命題，且是真命題C．該命題是全稱量詞命題，且是假命題 D．該命題是存在量詞命題，且是假命題【答案】B【解析】該命題是存在量詞命題，當(dāng)時(shí)，，所以該命題為真命題.故選:B.2．（2023·黑龍江）下列四個(gè)命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（

）A．銳角三角形的內(nèi)角都是銳角B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使C．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)D．存在一個(gè)負(fù)數(shù)x，使【答案】B【解析】“都是”，“必是”是全稱量詞，故AC錯(cuò)誤，“至少”，“存在”是存在量詞，故B，D是存在量詞命題，存在，使得，不存在負(fù)數(shù)使得，故D是假命題，B是真命題．故選：B3．（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）命題：，，命題：，，則（

）A．真真 B．假假 C．假真 D．真假【答案】D【解析】對(duì)于命題：令，則開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，且，則，所以，，即命題為真命題；對(duì)于命題：因?yàn)椋苑匠虩o(wú)解，即命題為假命題；故選：D.考點(diǎn)三命題的否定【例3-1】（2023春·河南）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】命題“”的否定是“”.故選：C【例3-2】（2023春·陜西商洛）命題，則是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若命題，則是.故選：D【一隅三反】1．（2023春·遼寧）若命題：，，則命題的否定為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】根據(jù)全稱量詞的否定規(guī)則，先改寫(xiě)量詞，再否定結(jié)論，可得原命題的否定為“，”.故選:D2．（2023·廣西河池）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由全稱命題的否定知原命題的否定為．故選：C．3．（2022秋·廣西柳州）已知命題的否定為“，”，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．命題為“，”且為真命題B．命題為“，”且為假命題C．命題為“，”且為假命題D．命題為“，”且為真命題【答案】C【解析】命題的否定為特稱命題，：，，當(dāng)時(shí)，，為假命題，ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.考點(diǎn)四根據(jù)命題真假求參數(shù)【例4-1】（2023春·四川宜賓）已知命題p：為真命題，則實(shí)數(shù)a的值不能是（

）A．1 B．2 C．3 D．【答案】D【解析】因?yàn)槊}p：為真命題，所以解得，結(jié)合選項(xiàng)可得實(shí)數(shù)a的值不能是，故選:D.【例4-2】（2022秋·福建龍巖）已知命題：，，若是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若命題為真命題則，，，即.又是真命題，即命題為假命題，即.故選：D.