2020-2021學(xué)年廣東省廣州市高三（下）2月區(qū)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2020-2021學(xué)年廣東省廣州市高三（下）2月區(qū)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.若P={x|x<1}，Q={x|x>1}，則(

)A.P?Q B.Q?P C.?RP?Q D.Q?

2.設(shè)復(fù)數(shù)z1=i1+i,z2=z1i

，zA.?12 B.0 C.12

3.從3名教師和5名學(xué)生中，選出4人參加“我和我的祖國”快閃活動．要求至少有一名教師入選，且入選教師人數(shù)不多于入選學(xué)生人數(shù)，則不同的選派方案的種數(shù)是(

)A.20 B.40 C.60 D.120

4.已知α∈(0,?π)，sin(α+π3)=3A.2425 B.?2425 C.7

5.《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，成于公元一世紀(jì)左右，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，其中《方田》一章中記載了計算弧田（弧田就是由圓弧和其所對弦所圍成弓形）的面積所用的經(jīng)驗公式：弧田面積=12（弦×矢+矢×矢），公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積與其實際面積之間存在誤差，現(xiàn)有圓心角為2π3，弦長為403米的弧田，其實際面積與按照上述經(jīng)驗公式計算出弧田的面積之間的誤差為(

)平方米（其中π≈3，3A.14 B.16 C.18 D.20

6.已知平面α，β，γ和直線l，則“α?//?β”的充分不必要條件是（）A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行 B.α內(nèi)的任何直線都與β平行

C.γ⊥α且γ⊥β D.l⊥α且l⊥β

7.已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點為F，A，B（其中點A在第一象限）兩點在拋物線C上，且滿足AFA.22 B.?22 C.24

8.函數(shù)fxA.2022 B.2021 C.0 D.以上都不正確二、多選題

函數(shù)fxA.若a=2，則函數(shù)fx在1,5B.若a=?2，則函數(shù)fx在1,5C.若函數(shù)fx在1,5上單調(diào)遞減，則D.若函數(shù)fx在1,5上不單調(diào)，則

對于直線l：t+2x+2t?3y?5t?3=0和圓CA.當(dāng)t=?2時，l與C相交B.?t∈R，l與CC.存在t∈R，使得l與CD.如果l與C相交，則截得的弦長既有最大值，也有最小值

對于三棱錐A?BCD，下列結(jié)論正確的是(

)A.若這個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長分別為1，2，3，則其外接球表面積為14πB.若AB=CD=2，AC=BD=23，BC=4，則三棱錐A?BCD的外接球表面積為C.若這個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長都為2，則其內(nèi)切球半徑為3D.若這個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長都為2，則其內(nèi)切球球心與外接球球心之間的距離為2

已知正數(shù)列an滿足：aA.數(shù)列anB.數(shù)列anC.當(dāng)a2=7D.當(dāng)a3=37三、填空題

函數(shù)fx

若X～Bn,p，且滿足EX=2，D

x2?x?26

雙曲線x2?y27=1的右焦點為F1，點A四、解答題

銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b，c，已知a=21,△ABC的外接圓半徑為7.在①c?b=1，②sinC=32

已知數(shù)列an滿足a1=3，其前n項和為S(1)求數(shù)列an(2)若bn=12n?S3n?1，數(shù)列

習(xí)近平總書記在談到環(huán)境保護問題時，他指出：“我們既要綠水青山，也要金山銀山．寧要綠水青山，不要金山銀山，而且綠水青山就是金山銀山．”這生動形象表達了我們黨和政府大力推進生態(tài)文明建設(shè)的鮮明態(tài)度和堅定決心．在此號召下，某生態(tài)農(nóng)場大力實施綠色生產(chǎn)方案，對某種農(nóng)產(chǎn)品進行改良，為了檢查改良效果，從中隨機抽取1000件作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），其中重量大于215克為優(yōu)秀，重量分組區(qū)間為(165,175],(175,185],(185,195],(195,205],(205,215],(215,225],(225,235]由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）．

(1)求a的值；(2)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計樣本中個體的重量的眾數(shù)與平均值；(3)以樣本數(shù)據(jù)來估計總體數(shù)據(jù)，從改良的農(nóng)產(chǎn)品中隨機抽取4個個體，求抽得優(yōu)秀數(shù)為X的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差．（以直方圖中的頻率作為概率）

如圖所示的一塊五面體的木料中，四邊形ABCD為矩形，且面ABCD⊥面CEFB.

(1)已知點P在平面ADEF內(nèi)，如果要過點P和棱BC將木料切開，請在木料表面作出切割輔助線，并說明作圖理由．(2)若點P在棱DE上，且AB=EF=2,BC=BF=4,CE=23，試確定點P的位置，使得過點P和棱BC切割的木料所得的截面與平面BCEF所成的二面角的平面角為60

已知橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E:x2a(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)橢圓E與x軸的兩個交點分別為A1,A2，左焦點為F，Q為直線x=4上的動點，且Q不在x軸上，QA1與E的另一個交點為M，QA

已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)若fx≥gx對任意x∈

參考答案與試題解析2020-2021學(xué)年廣東省廣州市高三（下）2月區(qū)統(tǒng)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.【答案】D【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【解析】利用集合的補集的定義求出P的補集；利用子集的定義判斷出Q?C【解答】解：∵P={x|x<1}，

∴?RP={x|x≥1}，

∵Q={x|x>1}，

∴Q??RP2.【答案】B【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義平面向量數(shù)量積的運算【解析】

【解答】解：z1=i1+i=i(1?i)1?i2=i?i22=13.【答案】C【考點】排列、組合的應(yīng)用【解析】由題意可分成兩類：一名教師和三名學(xué)生，兩名教師和兩名學(xué)生，分別利用組合公式計算即可．【解答】解：由題意可分成兩類：

1，一名教師和三名學(xué)生，共C31C53=30，

2，兩名教師和兩名學(xué)生，共C32C4.【答案】B【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系誘導(dǎo)公式二倍角的正弦公式【解析】利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行轉(zhuǎn)化．【解答】解：設(shè)θ=α+π3，則sinθ=35，α=θ?π3.

∵α∈(0,?π)，

∴α+π3∈(π3,?4π3)，即θ∈(π3,?4π3).

∵sinθ=355.【答案】B【考點】扇形面積公式【解析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出扇形的面積與三角形的面積，計算弓形的面積，再利用弧長公式計算弧田的面積，求兩者的

差即可．【解答】解：扇形的半徑為r=12×403÷sinπ3=40，

所以扇形的面積為2π32π×π×402=1600π3，

又三角形的面積為12×sin2π3×402=4003,

所以弧田的面積為1600π6.【答案】D【考點】充分條件、必要條件、充要條件空間中直線與平面之間的位置關(guān)系空間中平面與平面之間的位置關(guān)系【解析】由空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及充分必要條件的判定逐一核對四個選項得答案．【解答】解：由α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，不能得到α?//?β，故A不是α?//?β的充分條件；

由α內(nèi)的任何直線都與β平行，可得α?//?β，反之，由α?//?β，可得α內(nèi)的任何直線都與β平行，故B是α?//?β的充分必要條件；

由γ⊥α且γ⊥β，不能得到α?//?β，故C不是α?//?β的充分條件；

由l⊥α且l⊥β，得α?//?β，反之，由α?//?β，不一定有l(wèi)⊥α且l⊥β，故D是α?//?β的充分不必要條件.

故選D.7.【答案】A【考點】拋物線的性質(zhì)直線與拋物線的位置關(guān)系【解析】利用直線與拋物線的位置關(guān)系，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算進行求解即可.【解答】解：由題意可得拋物線的焦點Fp2,0，準(zhǔn)線方程為：x=?p2，

由題意可得直線AB的斜率不為0，

設(shè)直線AB的方程為：

x=my+p2，

設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，

直線與拋物線聯(lián)立y2=2px,x=my+p2,

整理可得：

y2?2mpy?p2=0，

∴y1+y2=2mp①，y1y2=?p2，②

∵AF→8.【答案】A【考點】函數(shù)的零點函數(shù)零點的判定定理根的存在性及根的個數(shù)判斷函數(shù)的圖象【解析】此題暫無解析【解答】解：根據(jù)所學(xué)到的函數(shù)知識畫出如下三種函數(shù)的圖象：

函數(shù)y=1x+1的圖象為：

函數(shù)y=1x+1+1x+2的圖象為：

函數(shù)y=1x+1+1x+2+1x+3的圖象為：

觀察不難發(fā)現(xiàn)項數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的情況下，函數(shù)的性質(zhì)相關(guān)聯(lián)的因素并不完全相同，因為2021是奇數(shù)，所以我們從第三個圖研究就可以解決本題中的函數(shù)fx的圖象及其性質(zhì)．

觀察第三個圖，不難發(fā)現(xiàn)三條垂直于x軸的漸近線中，中間那條直線與x軸的交點?2,0就是其圖象的對稱中心，進而得出圖象向右平移兩個單位后得到的函數(shù)即為奇函數(shù)，而方程fx=mx+2的解的個數(shù)，觀察圖象即可得出當(dāng)m≤0時，有兩個解，當(dāng)m>0時，有四個解．以此類推，對于本題中的函數(shù)二、多選題【答案】B,C,D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，帶入a驗證可判斷出A不正確，B正確，分離參數(shù)再判斷出C,D正確即可得解.【解答】解：因為f(x)=lnx?x?12ax2(a≠0)，函數(shù)的定義域為x|x>0，

所以f′(x)=1x?1?axx>0，

A，當(dāng)a=2時，f′(x)=1x?1?2x，

令f′(x)=0，得x=12或x=?1(舍去)，

當(dāng)x>12時，f′(x)<0，

所以函數(shù)fx在12,+∞上單調(diào)遞減，故A錯誤；

B，當(dāng)a=?2時，f′(x)=1x?1+2x>0恒成立，

所以函數(shù)fx在定義域上單調(diào)遞增，故B正確；

C，若函數(shù)fx在[1,5]上單調(diào)遞減，

令f′(x)=1x?1?ax<0，

則a>1x2?1x,

令gx=1x2?1x，

則g′x=?2x3+1x2,

令g′x=0，

則x=2，

當(dāng)2<x<5時，g【答案】A,B,D【考點】直線與圓的位置關(guān)系【解析】由直線恒經(jīng)過圓內(nèi)一定點，可知AB正確，C錯誤；如果l與C相交，則截得的弦長既有最大值，也有最小值，最長弦為圓的直徑，最短弦為與CP垂直的弦，故D正確.【解答】解：對于直線l：t+2x+2t?3y?5t?3=0，

可化為(x+2y?5)t+(2x?3y?3)=0，

由x+2y?5=0，2x?3y?3=0，可得x=3，y=1，

∴直線恒經(jīng)過定點P3,1，

∵P3,1在圓C：x?12+y+12=9內(nèi)部，

∴直線l與圓C相交，故AB正確，C錯誤；

如果l與【答案】A,B,C,D【考點】球內(nèi)接多面體球的表面積和體積【解析】直接判斷外接球，內(nèi)切球，確定答案即可.【解答】解：A，由題意可知，該三棱錐的外接球半徑r=1212+22+32=1214，

則其外接球表面積為4πr2=4π×12142=14π，故A正確；

B，由題意得，AB2+AC2=BC2，則△ABC為直角三角形，

CD2+BD2=BC2，則△BCD為直角三角形，

則三棱錐的外接球半徑為12BC=12×4=2，

則其外接球的表面積為4πr2=4π×4=16π；

C，三棱錐的體積V=13×12×2×【答案】C,D【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的函數(shù)特性數(shù)列的求和數(shù)列遞推式【解析】此題暫無解析【解答】解：∵an+1=an2?an+1?an+1?an=an?12，∴排除AB，

構(gòu)造數(shù)列1an的可求和的結(jié)構(gòu)，

根據(jù)an+1=an2?an+1?an+1?1=anan?1?1an=an?1三、填空題【答案】π【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法輔助角公式【解析】先利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用y=|sin(ωx+φ)|的最小正周期為【解答】解：∵f(x)=|sinx+cosx|

=|?2sin(x+π4)|，【答案】1【考點】離散型隨機變量的期望與方差【解析】由X～Bn,p，且EX=2，D【解答】解：∵X～Bn,p，且EX=2，DX=43，

∴np=2,np(1?p)=43【答案】252【考點】二項式定理的應(yīng)用二項展開式的特定項與特定系數(shù)【解析】根據(jù)二項式展開式的通項公式的知識解答即可．【解答】解：因為x2?x?26=x?26x+16，

所以x2?x?26的展開式中含x5的項為：

C61x5?【答案】8【考點】雙曲線的定義雙曲線的應(yīng)用【解析】直接利用雙曲線的定義，將三角形的周長轉(zhuǎn)化，即可利用三點共線，得出答案.【解答】解：如圖，

則周長為|AP|+AF1+|PF1|，a=1,b2=7，c=22，

設(shè)左焦點為F2，由雙曲線定義得，PF1?PF2=2，則PF1=2+PF2，

∴周長為|AP|+AF四、解答題【答案】解：由正弦定理asinA=2r

得sinA=32，又A∈0,π2，故A=π3，

若選①，由余弦定理得a2=b2+c2?2b?c?cosA

得

21=b2+b+12?2b?b+1?12，

解得

b=4，故

c=5，

所以S△ABC=12bcsinA=12×4×5×32=53，

若選②，由正弦定理及sinC=32sinB得c=32b【考點】正弦定理余弦定理解三角形【解析】由正弦定理|asinA=2r

得sinA=32，又A∈0,π2，故A=π3，

若選①，由余弦定理得a2=b2+c2?2b?c?cosA

得

21=b2+b+12?2b?b+1?12，

解得

b=4，故

c=5，

所以S△ABC=12bcsinA=12?4.5?32=53，

若選②，由正弦定理及sinC=32sinB得c=3【解答】解：由正弦定理asinA=2r

得sinA=32，又A∈0,π2，故A=π3，

若選①，由余弦定理得a2=b2+c2?2b?c?cosA

得

21=b2+b+12?2b?b+1?12，

解得

b=4，故

c=5，

所以S△ABC=12bcsinA=12×4×5×32=53，

若選②，由正弦定理及sinC=32sinB得c=32b【答案】解：(1)由an+1=Sn+1?Sn，

則Sn+12=an+1Sn+1?3=Sn+1?SnSn+1?3，

化簡得：

Sn+12=Sn+12?3Sn+1?S(2)bn=12n?S3n?1=3n?13?2n=13?3n?112n，

Tn=13[2×(12【考點】數(shù)列遞推式數(shù)列的求和【解析】此題暫無解析【解答】解：(1)由an+1=Sn+1?Sn，

則Sn+12=an+1Sn+1?3=Sn+1?SnSn+1?3，

化簡得：

Sn+12=Sn+12?3Sn+1?S(2)bn=12n?S3n?1=3n?13?2n=13?3n?112n，

Tn=13[2×(12【答案】解：(1)由題意，得0.002+0.009+a+0.033+0.024+0.008+0.002×10=1，解得a=0.022(2)由最高矩形所對應(yīng)區(qū)間中點的橫坐標(biāo)為195+2052=200，

可估計樣本個體重量的眾數(shù)約為200克，

而100件樣本重量的平均值為

x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33

+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，

(3)利用樣本估計總體，該樣本中個體的重量為優(yōu)秀的概率P=0.02+0.08=110，

抽取4次，可以理解為獨立重復(fù)實驗，滿足二項分布則X～B4,110，

X=0,1,2,3,4

PX=0=C40×1?1104=X01234P656172924391即EX=0×656110000+1×729【考點】頻率分布直方圖眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)離散型隨機變量及其分布列離散型隨機變量的期望與方差【解析】此題暫無解析【解答】解：(1)由題意，得0.002+0.009+a+0.033+0.024+0.008+0.002×10=1，解得a=0.022(2)由最高矩形所對應(yīng)區(qū)間中點的橫坐標(biāo)為195+2052=200，

可估計樣本個體重量的眾數(shù)約為200克，

而100件樣本重量的平均值為

x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33

+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，

(3)利用樣本估計總體，該樣本中個體的重量為優(yōu)秀的概率P=0.02+0.08=110，

抽取4次，可以理解為獨立重復(fù)實驗，滿足二項分布則X～B4,110，

X=0,1,2,3,4

PX=0=C40×1?1104=X01234P656172924391即EX=0×656110000+1×729【答案】解：(1)由四邊形ABCD為矩形知，AD//BC，

如圖，過點P作MN//AD，分別交AF于M，DE于N，連接BM，CN，

因為MN//BC，所以點P和棱BC在同一平面內(nèi)．(2)因為AD//BC，BC?面BCEF，所以AD//面BCEF，

又AD?面ADEF，面BCEF∩面ADEF=EF,

所以AD//EF，即AD//EF//BC，

如圖在四邊形BCEF中，過點F作FH//EC，交BC于H，

由于BH=2,HF=23,BF=4知，

BH2+HF2=BF2，即CE⊥BC，

又因為CD⊥BC，CD∩CE=C，CD，CE?面CDE，

所以BC⊥面CDE，進而得BC⊥CP，

則∠PCE為鋸開的截面與面CEFB所成的平面角，

即∠PCE=60°，

又面ABCD⊥面CEFB,CD⊥BC，面ABCD∩面CEFB=BC,CD?面ABCD，

所以CD⊥CE，從而在Rt△DCE【考點】直線與平面所成的角直線與平面平行的判定二面角的平面角及求法【解析】此題暫無解析【解答】解：(1)由四邊形ABCD為矩形知，AD//BC，

如圖，過點P作MN//AD，分別交AF于M，DE于N，連接BM，CN，

因為MN//BC，所以點P和棱BC在同一平面內(nèi)．(2)因為AD//BC，BC?面BCEF，所以AD//面BCEF，

又AD?面ADEF，面BCEF∩面ADEF=EF,

所以AD//EF，即AD//EF//BC，

如圖在四邊形BCEF中，過點F作FH//EC，交BC于H，

由于BH=2,HF=23,BF=4知，

BH2+HF2=BF2，即CE⊥BC，

又因為CD⊥BC，CD∩CE=C，CD，CE?面CDE，

所以BC⊥面CDE，進而得BC⊥CP，

則∠PCE為鋸開的截面與面CEFB所