概率論與數(shù)理統(tǒng)計試題庫

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題(1)

一、判斷題(本題共15分，每小題3分。正確打“V”,錯誤打“X”)

⑴對任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)()

⑵設(shè)A、B是Q中的隨機(jī)事件，則(AUB)-B=A()

⑶若X服從參數(shù)為X的普哇松分布，則EX=DX()

(4)假設(shè)檢驗基本思想的依據(jù)是小概率事件原理()

1n一

⑸樣本方差S：=—-X)2是母體方差DX的無偏估計()

nM

二、(20分)設(shè)A、B、C是。中的隨機(jī)事件，將下列事件用A、B、C表示出來

(1)僅A發(fā)生，B、C都不發(fā)生；

(2)A,5c中至少有兩個發(fā)生；

(3)A,5c中不多于兩個發(fā)生；

(4)A,5c中恰有兩個發(fā)生；

(5)A,5c中至多有一個發(fā)生。

三、(15分)把長為。的棒任意折成三段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率.

四、(10分)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為

求y=x2的分布列.

五、(10分)設(shè)隨機(jī)變量X具有密度函數(shù)/(x)=geTH,00<X<00,

求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

六、(15分)某保險公司多年的資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%,以X表示在

隨機(jī)抽查100個索賠戶中因被盜而向保險公司索賠的戶數(shù)，求尸(14VX<30).

①

七、(15分)設(shè)X-X2,…,X”是來自幾何分布

p(X=k)=pQ-p)i,k=l,2,…,0<p<l,

的樣本，試求未知參數(shù)p的極大似然估計.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題(1)評分標(biāo)準(zhǔn)

一(1)X；(2)X；(3)V；(4)7；(5)X。

二解(1)ABC

(2)ABUACU3C或ABCIJABeUA5CUZBC；

(3)ZU月U。或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC:

(4)ABC\JABC\JABC；

(5)Z耳耳。或Z耳「UA耳。豆C

每小題4分；

三解設(shè)4='三段可構(gòu)成三角形'，又三段的長分別為—x—y,則

0<%<tz,0<y<Q,0<九+,<a,不等式構(gòu)成平面域S.------------------------5分

A發(fā)生=0<x<3,0<y<—,—<x+y<a

222

不等式確定S的子域A,------------------------10分

所以

-------------------------15分

四解y的分布列為

70149

530530

Y的取值正確得2分，分布列對一組得2分；

五解EX=\+Xx-^Mdx=0,(因為被積函數(shù)為奇函數(shù))-----------------4分

Jf2

=2［一祀一1+J()"*辦］=2.-------------------------10分

六解XXXX

30-2014-20

尸(14<X<30)?①(「)-0(—._)----------------10分

<16V16

=0.927.15分

n~n

七解…,x,;p)=np(l-p)e=p"(y-p)H------5分

i=\

d]nL

W------A0--------------------10分

dp1-P

解似然方程

P1-P

得p的極大似然估計

1八

p--=-o------------------------------------------15分

X

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題(2)與解答

一、填空題(每小題3分，共15分)

1.設(shè)事件A3僅發(fā)生一個的概率為，且P(A)+P(3)=0.5,則A3至少有一個不發(fā)生的

概率為.

2.設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布，且尸(XM1)=4尸(X=2),則P(X=3)=.

3.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,2)上服從均勻分布，則隨機(jī)變量丫=乂2在區(qū)間(0,4)內(nèi)的概率

密度為人(y)=.

4.設(shè)隨機(jī)變量XI相互獨立，且均服從參數(shù)為4的指數(shù)分布，尸(X>l)=e-2,則

2=，P{min(X,r)<1}=.

5.設(shè)總體X的概率密度為

(0+l)x0,0<x<1,

/(x)=,

0,其它

X],X2,…,X”是來自X的樣本，則未知參數(shù)。的極大似然估計量為.

解：1.P(A5+A5)=0.3

即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)

所以P(AB)=0.1

P(AUB)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.

外

2.P(X<1)=P(X=0)+P(X=1)=P(X=2)=~e-A

由P(X<1)=4P(X=2)知e<+QT=2"eT

即242—2—1=0解得2=1,故

p(X=3)=、.

3.設(shè)y的分布函數(shù)為K(y),X的分布函數(shù)為用(x),密度為￡(%)則

因為X~U(0,2),所以&(一挺)=0,即耳(y)=%(6)

故

另解在(0,2)上函數(shù)丁=必嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為/z(y)=J]

所以

4.尸(X>1)=1—P(X<l)=eT=/2,故2=2

=il-e—4.

5.似然函數(shù)為L4,…,七;，)="(。+1)端=(。+1)"(凡「,乙)“

i=l

解似然方程得e的極大似然估計為

二、單項選擇題(每小題3分，共15分)

1.設(shè)A3,C為三個事件，且A3相互獨立，則以下結(jié)論中不正確的是

(A)若P(C)=1,則AC與8C也獨立.

(B)若P(C)=1,則AU。與8也獨立.

(C)若尸(C)=0,則AU。與8也獨立.

(D)若Cu5,則A與C也獨立.()

2.設(shè)隨機(jī)變量X~N(0,l),X的分布函數(shù)為①(x),則P(|X|>2)的值為

(A)2口—①(2)].(B)2①(2)—1.

(C)2—①(2).(D)1-20(2).()

3.設(shè)隨機(jī)變量X和F不相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是

(A)X與F獨立.(B)D(X-Y)=DX+DY.

(C)D(X-Y)=DX-DY.(D)D(XY)=DXDY.()

4.設(shè)離散型隨機(jī)變量X和F的聯(lián)合概率分布為

若XI獨立，則。,尸的值為

2c11c2

(A)CC——,8=—.(A)cc——,P=~.

9999

1/、5

(C)OL——,(D)cc——,/3=—.()

61818

5.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望為〃,X],X2,…,X,,為來自X的樣本，則下列結(jié)論中

正確的是

(A)X]是〃的無偏估計量.(B)X]是〃的極大似然估計量.

(C)&是〃的相合(一致)估計量.(D)X1不是〃的估計量.()

解：1.因為概率為1的事件和概率為0的事件與任何事件獨立，所以(A),(B),(C)

都是正確的，只能選(D).

可見A與C不獨立.

3(|X\<2)=1-P(-2<X<2)

=2[l-O(2)]應(yīng)選(A).

3.由不相關(guān)的等價條件知應(yīng)選(B).

(2)P(B|A)==°-9x0-95=0.9977.

P(A)0.857

四、(12分)從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事

件是相互獨立的，并且概率都是2/5.設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列、分

布函數(shù)、數(shù)學(xué)期望和方差.

解：X的概率分布為

X0123

即

P2/30o

125125125125

X的分布函數(shù)為

…―2318

DX=3x—x—二

5525

五、（10分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,y）在區(qū)域D=｛（x,y）|x20,y>0,x+y<l｝上服從均

勻分布.求（1）（x,y）關(guān)于X的邊緣概率密度；（2）Z=X+F的分布函數(shù)與概率密

或利用分布函數(shù)法

六、（10分）向一目標(biāo)射擊，目標(biāo)中心為坐標(biāo)原點，已知命中點的橫坐標(biāo)X和縱坐標(biāo)F相

互獨立，且均服從N（0,2?）分布.求（1）命中環(huán)形區(qū)域。=｛（%丁）|1<必+：/<2｝的

概率；（2）命中點到目標(biāo)中心距離z=Jx?+y2的數(shù)學(xué)期望.

七、（11分）設(shè)某機(jī)器生產(chǎn)的零件長度（單位：cm）X~N^,a2）,今抽取容量為16的

樣本，測得樣本均值元=10,樣本方差/=016.（1）求〃80

（附注）?0.05（16）=1.746,Z005（15）=1.753,Z0025（15）=2.132,

解：（1）〃的置信度為1—a下的置信區(qū)間為

所以〃

（2）“°：仁2vo.l的拒絕域為％22必（九一1）

15V2

/===15x1.6=24,總。5（15）=24996

因為/=24<24.996=總05（15）,所以接受％.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題（3）與解答

一、填空題（每小題3分，共15分）

（1）設(shè)事件4與8相互獨立，事件8與C互不相容，事件A與。互不相容，且

P（A）=P（B）=0.5,P（C）=0.2,則事件A、B、。中僅。發(fā)生或僅C不發(fā)生的

概率為.

（2）甲盒中有2個白球和3個黑球，乙盒中有3個白球和2個黑球，今從每個盒中各取2

個球，發(fā)現(xiàn)它們是同一顏色的，則這顏色是黑色的概率為.

,,2x,0<%<1,

（3）設(shè)隨機(jī)變量x的概率密度為y（x）={現(xiàn)對x進(jìn)行四次獨立重復(fù)觀

察，用F表示觀察值不大于的次數(shù)，則后/=.

（4）設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（x,y）的分布列為

若￡xr=o.8,則Cov（x,y）=.

（5）設(shè)X],X2,…,X17是總體N（〃,4）的樣本，S2是樣本方差，若P（S2〉a）=0.01,則

(注：/。|(17)=33.4,_/。。5(17)=35.7,7,(16)=32。/.(2=34.2)

解：(1)P(ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)

因為A與C不相容，B與C不相容，所以XnC,耳=)C,故濕C=C

同理ABC=AB.

P(ABC+ABC)=P(C)+尸(AB)=02+0.5x0.5=0.45.

(2)設(shè)4='四個球是同一顏色的'，

4='四個球都是白球'，B2='四個球都是黑球'

則A—Bx+BT，

所求概率為P(B2|A)=P—)=—也也一

-P(A)P(BJ+P(BJ

所以P(B2|A)=1.

(3)7~5(4,p),

f0.521

其中p=P(X<O.5)=Jo2xdx=x\^=-,

1133

Ey=4x-=1,py=4x-x-=-,

4444

EY2=DY+(EY)2--+1=-.

44

（4）（x,y）的分布為

這是因為a+b=OA,由EXy=0.8得0.2+26=0.8

￡X=0.6+2x0.4=1.4,￡7=0.5

故cov(X,r)=￡Xy-￡XEr=0.8-0.7=0.1.

16c?2

(5)P(S2>a)=P{—>4a}=0.01

4

即/.oi(16)=4a,亦即4a=32a=8.

二、單項選擇題（每小題3分，共15分）

(1)設(shè)A、B、C為三個事件，P(AB)>OMP(C|AB)=1,則有

(A)P(C)<P(A)+P(3)—1.(B)P(C)<P(AUB).

(C)P(C)>P(A)+P(B)-1.(D)P(C)>P(AUB).()

(2)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

且y=aX+人~N(0,l),則在下列各組數(shù)中應(yīng)取

(A)?=1/2,b=l.(B)a=-s/2/2,b=y/2.

(C)a=1/2,b=—l.(D)a=A/2/2,b=—^/2.()

（3）設(shè)隨機(jī)變量X與F相互獨立，其概率分布分別為

則有

（A）p（x=y）=o.（B）p（x=y）=o.5.

（Op（x=y）=o.52.（D）p（x=y）=i.()

（4）對任意隨機(jī)變量X,若EX存在，則E［石（EX）］等于

（A）0.（B）X.（C）EX.（D）（EX）3.()

（5）設(shè)石,々,…,凡為正態(tài)總體N（〃,4）的一個樣本，元表示樣本均值，則〃的

置信度為1-。的置信區(qū)間為

4_

(A)(九—“a/2-X+U

y/n

L2_

X+U

(B)(九一%_a/2—/=，

7n

2_

(C)(%—U―~r=,X+W

ay/n

/—2.

(D)=)

(X-l^a/2~f^^〃

解(1)由尸(C|AB)=1知P(ABC)=P(AB),故P(C)NP(AB)

應(yīng)選C.

2

1(尤+2)2[x-(-2)]

]J2(應(yīng)產(chǎn)

(2)/(x)=f—e4

0瘍

27兀

即X~N(-2,0)

1-2

故當(dāng)b-=0時Y=aX+b~Ng,1)

"=萬V2

應(yīng)選B.

(3)p(x=y)=尸(X=o,y=o)+尸(x=i,y=i)

應(yīng)選c.

(4)E[E(EX)]=EX

應(yīng)選C.

(5)因為方差已知，所以〃的置信區(qū)間為

應(yīng)選D.

三、(8分)裝有10件某產(chǎn)品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的

箱子中丟失一件產(chǎn)品，但不知是幾等品，今從箱中任取2件產(chǎn)品，結(jié)果都

是一等品，求丟失的也是一等品的概率。

解：設(shè)4='從箱中任取2件都是一等品‘

4='丟失，等號’i=l,2,3.

則P(A)=P(B1)尸(414)+P?)P(A|約)+P(B3)P(A|B3)

所求概率為P(5"A)「團(tuán)由)=|.

四、(10分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

求(1)常數(shù)。；(2)X的分布函數(shù)歹(x)；(3)P(1<X<3).

解：(1)1=[f{x)dx=f(ax+V)dx=(―%2+X)Q=2?+2

j-ooJo2"

1

??a=—

2

(2)X的分布函數(shù)為

(3)P(1<x<3)=J]f(x)dx=J](1一^)dx=).

五、(12分)設(shè)(X,Y)的概率密度為

求(1)邊緣概率密度片(x),人(y)；(2)P(X+Y<I)；

(3)Z=X+F的概率密度/^z).

IfO,x<0,

=<

x>0.[xe~x,x>0.

i-y_

e~xdxdy

y*

=jj(e~y-ey-/)dy=l-2e+e~l.

p4-00

(3)fz(z)=\/(x,z-x)dx

J—00

z|Z=2x當(dāng)z<0時加z)=0

//7,-xz>0時(z)=j,e~xdx=e-e~z

//所以

六、(12夕/(l)設(shè)X~U[O,1],工~。[0,1]且乂與丫獨立，求E|X—“；

一\Q(2)設(shè)X~N(0,U,丫~陽0,1)且乂與丫獨立，求E|X—y|.

r+oo廣+co

解:(1)E|x-y|=JJ于(X,y}\x-y\dxdy

—00

3

;獨立，所？IZ=X—y~N(0,2)

01I—%

X-Y

E\-=J-,所以E|X—丫|二3.

V71〃

七、（10分）設(shè)總體的概率密度為

試用來自總體的樣本國,4,…,4,求未知參數(shù)。的矩估計和極大似然估計.

解：先求矩估計

故。的矩估計為。=工一

6=-^-

1-〃11-X

再求極大似然估計

所以。的極大似然估計為

0=--------——.

-t^xi

ni=i

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末試題（4）與解答

一、填空題（每小題3分，共15分）

（1）設(shè)P（A）=0.5,P（B）=0.6,P（B|X）=0.8,則A,6至少發(fā)生一個的概率為

（2）設(shè)X服從泊松分布，若EX2=6,則尸（X>1）=.

（3）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為7>（x）=<a（x+l）'0<x<2，今對x進(jìn)行&次

、0,其他.

獨立觀測，以F表示觀測值大于1的觀測次數(shù)，則DF=.

（4）元件的壽命服從參數(shù)為二一的指數(shù)分布，由5個這種元件串聯(lián)而組成的系統(tǒng)，能夠

100

正常工作100小時以上的概率為.

(5)設(shè)測量零件的長度產(chǎn)生的誤差X服從正態(tài)分布N(〃,cr2),今隨機(jī)地測量16個零

1616

件，得XX,=8,XX：=34〃的置信區(qū)間為.

i=lZ=1

解：(1)0.8=/(例4)="麗=P(3)―P(A5)得p(AB)=0.2

l-P(A)0.5

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1.1—02=0.9.

(2)X~P(2),6=EX2=DX+(EX)2=2+22故2=2.

=1-1-21=1-3/2.

215

(3)Y-B(8,p),其中p=P(X>l)=rLz(x+l)辦=可

Dy=8x-x-=—.

888

(4)設(shè)第，件元件的壽命為Xj,則X,~E(‘)，i=l,2,3,4,5.系統(tǒng)的壽命為丫，所

求概率為

(5)〃的置信度1-1下的置信區(qū)間為

所以〃的置信區(qū)間為(—0.2535,1.2535).

二、單項選擇題(下列各題中每題只有一個答案是對的，請將其代號填入()

中，每小題3分，共15分)

(1)A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是

(A)(A—磯5=4股.

(B)(A\JB)-A=B.

(C)(A\JB)-AB^AB\JAB.

(D)(AUB)C=(A-C)U(5-C).()

(2)設(shè)X-X2是隨機(jī)變量，其分布函數(shù)分別為石。)，工(x),為使

Rx)=a耳(6+況乂%)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值

中應(yīng)取

,、3,22,2

(A)a=—,b——.(B)ci——,b——.

5533

1,3

(C)a=——,b=—.(D)ci——,b——.)

2222

(3)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為用(x),則F=3-5X的分布函數(shù)為號(y)=

(A)Fx(5y-3).(B)54(y)-3.

(C)心(q).(D)1—"(『).()

Xj-101

(4)設(shè)隨機(jī)變量X],X2的概率分布為-O―1―ri=l，2.

P一—一

424

且滿足P(X|X2=0)=1,則X],X?的相關(guān)系數(shù)為Px、x,=

(A)0.(B)(C)(D)-1.()

42

(5)設(shè)隨機(jī)變量X?U[O,6],Y?5(12,：)且X,丫相互獨立，根據(jù)切比

雪夫不等式有。(X—3<y<X+3)

(A)<0.25.(B)<—.(C)>0.75.(D)>—.()

1212

解：(1)(A)：成立，(B)：(A\JB)-A=B-A^B應(yīng)選(B)

(2)F(^)=l=a+b.應(yīng)選(C)

(3)FY(y)=P(y<y)=P(3-5X<y)=P(X>(3-y)/5)

=l-P(^^>X)=l-^(^^)應(yīng)選(D)

(4)(X-X2)的分布為

EX]=0,EX2=0,改1*2=0,所以cov(X-X2)=0,

于是pYY=0.應(yīng)選(A)

玉A2

(5)P(X-3<Y<X+3)=P(\Y-X\<3)

由切比雪夫不等式

21

P(\Y-X\<3)>l-^-=—應(yīng)選(D)

三、(8分)在一天中進(jìn)入某超市的顧客人數(shù)服從參數(shù)為丸的泊松分布，而進(jìn)入

超市的每一個人購買4種商品的概率為p,若顧客購買商品是相互獨立的，

求一天中恰有左個顧客購買A種商品的概率。

解：設(shè)3='一天中恰有左個顧客購買4種商品’k=0,1,

C?='一天中有幾個顧客進(jìn)入超市'n=k,k+1,

0000

則P(B)=￡P(guān)(C“B)=EP(C")P(B1C.)

n=kn=k

---------cK—0,1,,,,.

k\

四、(10分)設(shè)考生的外語成績(百分制)X服從正態(tài)分布，平均成績(即參

數(shù)〃

的成績，以y表示成績在60分至84分之間的人數(shù)，求(1)F的分布列.(2)

口和。y.

84-72

解：(1)Y?8(100,p),其中p=P(60<X?84)=(D(---------)

a

96-7224

由0.023=P(X>96)=1—0(--------)=1-0(—)

aa

242412

得①(一)=0.977,即一二2,故一二1

a（Ja

所以p=2①(1)—1=0.6826.

故Y的分布列為P(Y=k)=a*(0.6826)/(0.3174)1°鵬

(2)￡￥=100x0.6826=68.26,￡>7=68.26x0.3174=21.6657.

五、(10分)設(shè)(X,Y)在由直線x=l,x=/,y=0及曲線丁=」所圍成的區(qū)域

X

上服從均勻分布,

(1)求邊緣密度/x（x）和人⑶），并說明X與F是否獨立.

(2)求p（x+y?2）.

fe21,2

區(qū)域。的面積—公=『e

解:SD=J|lnx=2

\v

（x,y）的概率密度為

辦,l<x<e2,

(1)f(y=l/xJy=<

0,其它.

■?x

01

Q2)因/（x,y）w/x（x>4（y），所以x,y不獨立.

(3)P(X+F>2)=l-P(X+y<2)=l-jjf(x,y)dxdy

x+y<2

=1,1—X—1=1,—1=—3=0….75.

2244

六、（8分）二維隨機(jī)變量（x,y）在以（-1,0）,（0,1）,（1,0）為頂點的三角形區(qū)

域上服從均勻分布，求工=乂+卜的概率密度。

y1,(X,y)eD,

解1:（X,y）的概率密度為7（x,y）=<

0,其它.

設(shè)Z的概率密度為人（z）,則

當(dāng)z<-l或z>l時L(z)=0

->x

-1z+l-I

x+y=z1當(dāng)—1v2<1時/2(z)=?！笆?/p>

■y所以Z的密度為

解2：分”,敢法，設(shè)Z的分布函數(shù)為^（z），則

故Z的密度為

七、(9分)已知分子運動的速度X具有概率密度

4%2-(—)2

--~ca,x>0,a>0,

f(x)=<a4TU占，％2,…，X”為X的簡單隨

0,x<0.

機(jī)樣本

(1)求未知參數(shù)a的矩估計和極大似然估計；(2)驗證所求得的矩估計是否為a的

無偏估計。

ft?：(1)先求矩估計

再求極大似然估計

(2)對矩估計

所以矩估計a=晅叉是a的無偏估計.

2

八、(5分)一工人負(fù)責(zé)幾臺同樣機(jī)床的維修，這幾臺機(jī)床自左到右排在一條直

線上，相鄰兩臺機(jī)床的距離為。(米)。假設(shè)每臺機(jī)床發(fā)生故障的概率均為

且相互獨立，若Z表示工人修完一臺后到另一臺需要檢修的機(jī)床所走

n

的路程，求￡Z.

解：設(shè)從左到右的順序?qū)C(jī)床編號為L2,n

X為已經(jīng)修完的機(jī)器編號，y表示將要去修的機(jī)床號碼，則

于是

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題(5)

一、判斷題(每小題3分，本題共15分。正確打“J”，錯誤打“X”)

(1)設(shè)A、B是Q中的隨機(jī)事件，必有P(A-B)=P(A)-P(B)()

⑵設(shè)A、B是Q中的隨機(jī)事件，則AUB=AUABUB()

⑶若X服從二項分布b(k;n,p),則EX=p()

一1n

⑷樣本均值X=nZ7是母體均值EX的一致估計()

⑸X-N(//,o-f),Y-N(//,o-j),貝。X-Y-N(0,o■:cr；)()

二、計算(10分)

(1)教室里有r個學(xué)生，求他們的生日都不相同的概率；

(2)房間里有四個人，求至少兩個人的生日在同一個月的概率.

三、(10分)設(shè)P(A)>0,P(B)>0,證明4、5互不相容與A、8相互獨立不能同時

成立.

四、(15分)某地抽樣結(jié)果表明，考生的外語成績X(百分制)近似服從正態(tài)分布，平均

成績(即參數(shù)〃

①

五、(15分)設(shè)(x,y)的概率密度為

問x,y是否獨立？

六、(20分)設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布，其分布列為

p(X=k)=(l-p)ip,Q<p<l,k=l,2,

求EX與DX

七、(15分)設(shè)總體X服從指數(shù)分布

試?yán)脴颖綳],乂2,…,X“，求參數(shù)。的極大似然估計.

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題(5)評分標(biāo)準(zhǔn)

一(1)X；(2)V；(3)X；(4)J；(5)Xo

二解(1)設(shè)人=’他們的生日都不相同'，則

P(A)=----------------------------------------------------5分

365’

(2)設(shè)3='至少有兩個人的生日在同一個月‘，則

p(B)==41.

12496’

或

_尸44I

P(B)=1-P(B)=1—-底=-----------------------------------------10分

12496

三證若4、8互不相容，則A3=。，于是尸(AB)=0/P(A)P(5)>0

所以A、8不相互獨立.----------------------------------------5分

若A、8相互獨立，則P(A3)=P(A)P(5)>0,于是

即A、8不是互不相容的.------------------------------------------5分

96—7224

四解0.023=P(X>96)=1-0(———)=1—①(一)----------------3分

aa

242412

0(—)=0.977,—=2,—=1.--------------------------------7分

aaa

所求概率為

P(60<X<84)=①產(chǎn)-72)_①(60—72)=①(馬-0(--)--------12分

aaaa

=2①(1)-1=2X

五解邊際密度為

0,x<0,0,x<0,

(

?/xx)=]+"(x,y)dy=<4-00_--5分

J—00e~xe~ydy,x>0;e~x,x>0.

o

0,y<0,

人(y)=<10分

e~y,y>0.

因為/(x,y)=Fx(x>^(y)，所以X,y獨立.------------------------15分

0000f00、

六解，EX=￡kQ-p)ip=p￡kqk-1-8分

二P少

k=\k=lk=\x-q\k=l7x=q

其中q=l-p

由函數(shù)的幕級數(shù)展開有

81

?k=0占i-x

所以

1

EX=p12分

因為

0000

EX2-SKpqk"=px(^xky

=P16分

k=\k=lx=q

所以

DX=EX2-(EX)1=^~-==2.-------------------------------------20分

P~PP

n+n0

七解L(X……,X”；=ei,x,.>9,i=l,2,--；n.

i=l

n

InL=nd-ZXj--------------------------------------------------------------8分

i=l

由極大似然估計的定義，。的極大似然估計為6=()---------------------------15分

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題(6)

、判斷題(本題共15分，每小題3分。正確打“J”，錯誤打“X”)

(1)設(shè)A、B是Q中的隨機(jī)事件，則A—BuA()

⑵對任意事件A與B,則有P(AUB)=P(A)+P(B)()

⑶若X服從二項分布b(k;n,p),則EX=npq()

2

(4)x~N(//,cr),Xi,x2,……Xn是X的樣本，則X~N(〃，er?)()

⑸X為隨機(jī)變量，則DX=Cov(X,X)------------------------------------------------()

二、(10分)一袋中裝有機(jī)枚正品硬幣，〃枚次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽)從袋

中任取一枚，已知將它投擲r次，每次都得到國徽，問這枚硬幣是正品的概率是多少？.

三、(15分)在平面上畫出等距離a(a>0)的一些平行線，向平面上隨機(jī)地投擲一根長

/(/<a)的針，求針與任一平行線相交的概率.

四、（15分）從學(xué)校到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是

2

相互獨立的，并且概率都是,，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、

分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.

五、（15分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X,F）在圓域x2+y2Wa2上服從均勻分布，（1）求X和丫

的相關(guān)系數(shù)o；（2）問x,y是否獨立？

六、（10分）若隨機(jī)變量序列X],X2,…,x“，…滿足條件

試證明｛X“｝服從大數(shù)定律.

七、（io分）設(shè)x-X2,…,x”是來自總體/（x,e）的一個樣本，仇（x「…,x”）是。的一

個估計量，若EOn=0+kn,D0?=仇且limkn=lim成=0

n—>oon-?oo

試證凡是。的相合（一致）估計量。

八、（10分）某種零件的尺寸標(biāo)準(zhǔn)差為。嚏26毫米（a=0.05）.正態(tài)分布表如下

①

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》試題（6）評分標(biāo)準(zhǔn)

一（1）V；（2）X；（3）X；（4）X；（5）Vo

二解設(shè)4='任取一枚硬幣擲r次得r個國徽’，

B='任取一枚硬幣是正品'，

則

A=BA+BA,---------------------------------------5分

所求概率為

m[1丫+nm+n-2'

m+n\2)m+n

三解設(shè)4='針與某平行線相交'，針落在平面上的情況不外乎圖中的幾種,

設(shè)x為針的中點到最近的一條平行線的距離。

仁為針與平行線的夾角，則

0<x<-|^,G<（p<n,不等式確定了平面上

的一個區(qū)域S.------------------------6分

A發(fā)生ox<gsin夕,

不等式確定S的子域A----------------10分

故P(A)-----—sin(pd(p=——

aJo2*▼a兀

—71

--------------------------------------------------15分

四解X~B(3,|),分布律為P(X=Q=0(|y(|)3Mk=0,1,2,3.

即

X0123

P2754368---------------------5分

125125125125

X的分布函數(shù)為

0,x<0,

27八

----,0