811向量數(shù)量積的概念課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

人教B版

數(shù)學(xué)

必修第三冊(cè)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.1.1向量數(shù)量積的概念課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì),培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、兩個(gè)向量的夾角1.若F1和F2是作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力,則此兩個(gè)力的張角最大是多少?最小是多少?提示:π,0.二、向量數(shù)量積的定義1.作用在物體上的力F所做功的大小,取決于哪些因素?提示:力F的大小,物體在力F作用下位移的大小及F與位移夾角的余弦值.2.(1)向量數(shù)量積的定義:一般地,當(dāng)a與b都是非零向量時(shí),稱|a||b|cos<a,b>為向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.兩個(gè)非零向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).(2)向量數(shù)量積的性質(zhì):a,b都是非零向量.①|(zhì)a·b|≤|a||b|;②a2=a·a=|a|2,即|a|=③a⊥b?a·b=0;④cos<a,b>=3.兩非零向量a,b的數(shù)量積一定是一個(gè)非負(fù)數(shù)嗎?提示:不一定.三、向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義

(2)給定平面上的一個(gè)非零向量b,設(shè)b所在的直線為l,則a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影.(3)一般地,如果a,b都是非零向量,則稱|a|cos<a,b>為向量a在向量b上的投影的數(shù)量.投影的數(shù)量與投影的長(zhǎng)度有關(guān),但投影的數(shù)量既可能是非負(fù)數(shù),也可能是負(fù)數(shù).【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積仍然是向量.(

)(2)若a·b=b·c,則一定有a=c.(

)(3)若向量a,b同向,則a·b=|a||b|.(

)(4)向量a在向量b上的投影的數(shù)量一定不等于向量b在向量a上的投影的數(shù)量.(

)(5)若a·b=0,則必有a⊥b.(

)××√×√合作探究釋疑解惑探究一與數(shù)量積有關(guān)的概念【例1】

以下五種說法正確的是

.(填序號(hào))

①若a·b=0,則a=0或b=0;②若向量a與b滿足a·b<0,則a與b的夾角為鈍角;③

在△ABC中,若

=0,則△ABC為直角三角形;④若向量a與b是兩個(gè)單位向量,則a2=b2;⑤a在b上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù).④正確,∵a,b為單位向量,∴a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,∴a2=b2;⑤錯(cuò),a在b上的投影是一個(gè)向量.答案:③④兩向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),它由|a|,|b|,cos<a,b>共同決定.a在b上的投影是一個(gè)向量,a在b上的投影的數(shù)量為|a|cos<a,b>,是一個(gè)實(shí)數(shù),此實(shí)數(shù)可正、可負(fù),也可以為0.【變式訓(xùn)練1】

給出下列判斷:①若a2+b2=0,則a=b=0;②已知a,b,c是三個(gè)非零向量,若a+b=0,則|a·c|=|b·c|;③a,b共線?a·b=|a||b|;④|a||b|<a·b;⑤若向量a,b滿足a·b>0,則a與b的夾角為銳角;⑥若a,b的夾角為θ,則|b|cosθ表示向量b在向量a方向上的投影長(zhǎng).其中正確的是___________.(填序號(hào))解析:∵a2=|a|2,b2=|b|2,∴a2+b2=|a|2+|b|2=0,∴|a|=|b|=0,∴a=b=0,∴①正確;∵a+b=0,∴a=-b,∴a與b反向.∴|a·c|=|(-b)·c|=|-b|·|c||cos<-b,c>|=|b|·|c|×|cos(π-<b,c>)|=|b||c||cos<b,c>|=|b·c|,∴②正確;當(dāng)a與b方向相反時(shí),③不正確;④|a||b|≥a·b,∴④不正確;⑤不正確,<a,b>可能為0;⑥不正確,|b|cos

θ是b在a上投影的數(shù)量.答案:①②探究二求向量的數(shù)量積【例2】

已知|a|=4,|b|=5,當(dāng)(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a與b的夾角為135°時(shí),分別求a與b的數(shù)量積.分析:根據(jù)兩向量的數(shù)量積的定義式求解即可.解:設(shè)向量a與b的夾角為θ,(1)當(dāng)a∥b時(shí),有兩種情況:①若a與b同向,則θ=0°,a·b=|a||b|=20;②若a與b反向,則θ=180°,a·b=-|a||b|=-20.(2)當(dāng)a⊥b時(shí),θ=90°,∴a·b=0.(3)當(dāng)a與b的夾角為135°時(shí),a·b=|a||b|cos

135°=-10.已知a·b=10,|a|=4,|b|=5,求<a,b>.1.求平面向量數(shù)量積的步驟:(1)求a與b的夾角θ,θ∈[0,π].(2)分別求|a|和|b|.(3)求數(shù)量積,即a·b=|a||b|cos

θ.2.在a·b=|a||b|cos<a,b>中有四個(gè)量a·b,|a|,|b|,cos<a,b>,知道其中三個(gè)的值,可以求另外的一個(gè)值.【變式訓(xùn)練2】

若向量a·b滿足|a|=,|b|=3,a與b的夾角為135°,則a·b+b·b=

.

解析:原式=|a||b|cos

135°+|b|2=6.答案:6探究三求a在b上投影的數(shù)量a在b上的投影是一個(gè)向量,投影的數(shù)量是一個(gè)實(shí)數(shù),此實(shí)數(shù)等于|a|cos<a,b>.【變式訓(xùn)練3】

若|a|=1,|b|=2,<a,b>=60°,求a在b上投影的數(shù)量及b在a上投影的數(shù)量.解:a在b上投影的數(shù)量為|a|cos<a,b>=1×cos

60°=;b在a上投影的數(shù)量為|b|cos<a,b>=2×cos

60°=1.易錯(cuò)辨析因弄錯(cuò)向量的夾角致錯(cuò)以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?你如何防范?提示:產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因在于沒能正確理解向量夾角的概念.題中

兩向量的起點(diǎn)不同,因此∠C不是它們的夾角,而應(yīng)當(dāng)是

∠C的補(bǔ)角,其大小為120°.在求兩向量的夾角時(shí),先將兩向量移到共同起點(diǎn),再確定其夾角.解:a和b的夾角不是∠ABC,而是∠ABC的補(bǔ)角,因此它們的夾角為120°,同理,b與c,c與a的夾角也都是120°.所以a·b+b·c+c·a隨堂練習(xí)1.已知|a|=9,|b|=6,a·b=-54,則a與b的夾角θ為(

)A.45° B.135° C.120° D.150°答案:B2.若|a|=1,|b|=2,則|a·b|不可能等于(

)A.0 B. C.2 D.3解析:由向量數(shù)量積的性質(zhì),可知|a·b|≤|a||b|=2,故選D.答案:D3.若a·b=1,且<a,b>=60°,|b|=1,則|a|=

.

解析:∵a·b=|a||b|cos<a,b>,答案:24.（多選題）設(shè)e1,e2是兩個(gè)平行的單位向量,則下面的結(jié)果正確的是(

)A.e1·e2=1 B.e1·e2=-1