《數(shù)字信號處理實驗》課件第15章

1.1市場與市場營銷1.2我國汽車市場的發(fā)展與現(xiàn)狀復(fù)習(xí)思考題實驗15時域抽樣與信號的重建一、實驗?zāi)康?/p>

(1)了解用MATLAB語言進行時域抽樣與信號重建的方法。

(2)進一步加深對時域信號抽樣與恢復(fù)的基本原理的理解。

(3)觀察信號抽樣與恢復(fù)的圖形，掌握采樣頻率的確定方法和內(nèi)插公式的編程方法。二、實驗原理

離散時間信號大多由連續(xù)時間信號(模擬信號)抽樣獲得。在模擬信號進行數(shù)字化處理的過程中，主要經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換、數(shù)字信號處理、D/A轉(zhuǎn)換和低通濾波等過程，如圖15-1所示。其中，A/D轉(zhuǎn)換器的作用是將模擬信號進行抽樣、量化、編碼，變成數(shù)字信號。經(jīng)過處理后的數(shù)字信號則由D/A轉(zhuǎn)換器重新恢復(fù)成模擬信號。

圖15-1對模擬信號進行數(shù)字化處理的過程如果A/D轉(zhuǎn)換電路輸出的信號頻譜已經(jīng)發(fā)生了混疊現(xiàn)象，則信號再經(jīng)過后面的數(shù)字信號處理電路和D/A轉(zhuǎn)換電路就沒有實際使用的意義了。因此，信號進行A/D轉(zhuǎn)換時，采樣頻率的確定是非常重要的。

圖15-2表示了一個連續(xù)時間信號xa(t)、對應(yīng)的抽樣后獲得的信號 以及對應(yīng)的頻譜。在信號進行處理的過程中，要使有限帶寬信號xa(t)被抽樣后能夠不失真地還原出原模擬信號，抽樣信號p(t)的周期Ts及抽樣頻率Fs的取值必須符合奈奎斯特(Nyquist)定理。假定xa(t)的最高頻率為fm，則應(yīng)有Fs≥2fm，即Ws≥2Wm。

圖15-2連續(xù)時間信號的抽樣及其對應(yīng)的頻譜從圖15-2中我們可以看出，由于Fs的取值符合大于兩倍的信號最高頻率fm，因此只要經(jīng)過一個低通濾波器，抽樣信號 就能不失真地還原出原模擬信號。反之，如果Fs的取值小于兩倍的信號最高頻率fm，則頻譜

將發(fā)生混疊，抽樣信號 將無法不失真地還原出原模擬信號。

下面，我們用MATLAB程序來仿真演示信號從抽樣到恢復(fù)的全過程。1.對連續(xù)信號進行采樣

在實際使用中，絕大多數(shù)信號都不是嚴(yán)格意義上的帶限信號。為了研究問題的方便，我們選擇兩個正弦頻率疊加的信號作為研究對象。

例15-1

已知一個連續(xù)時間信號

，f0＝1Hz，取最高有限帶寬頻率fm＝5f0。分別顯示原連續(xù)時間信號波形和Fs>2fm、Fs＝2fm、Fs<2fm三種情況下抽樣信號的波形。

解分別取Fs＝fm、Fs＝2fm和Fs＝3fm來研究問題。MATLAB程序如下：

dt＝0.1；f0＝1；T0＝1/f0；

fm＝5*f0；Tm＝1/fm；

t＝－2：dt：2；

f＝sin(2*pi*f0*t)＋1/3*sin(6*pi*f0*t)；%建立原連續(xù)信 號

subplot(4，1，1)，plot(t，f)；

axis(［min(t)max(t)1.1*min(f)1.1*max(f)］)；

title(￠原連續(xù)信號和抽樣信號￠)；

fori＝1：3；

fs＝i*fm；Ts＝1/fs；%確定采樣頻率和周期

n＝－2：Ts：2；

f＝sin(2*pi*f0*n)＋1/3*sin(6*pi*f0*n)；%生成抽樣信號

subplot(4，1，i＋1)，stem(n，f，￠filled￠)；

axis(［min(n)max(n)1.1*min(f)1.1*max(f)］)；

end

結(jié)果如圖15-3所示。

圖15-3連續(xù)信號及其抽樣信號波形

2.連續(xù)信號和抽樣信號的頻譜

根據(jù)理論分析已知，信號的頻譜圖可以很直觀地反映出抽樣信號能否恢復(fù)還原模擬信號波形。因此，我們對上述三種情況下的時域信號波形求振幅頻譜，來進一步分析和證明時域抽樣定理。

例15-2

求解例15-1中原連續(xù)信號波形和Fs<2fm、Fs＝2fm、Fs>2fm三種情況下的抽樣信號波形所對應(yīng)的幅度譜。

解圖15-4依次表示原連續(xù)信號和Fs<2fm、Fs＝2fm、Fs>2fm抽樣信號的頻譜，與圖15-3上各時域信號一一對應(yīng)。由圖可見，當(dāng)滿足Fs≥2fm條件時，抽樣信號的頻譜沒有混疊現(xiàn)象；當(dāng)不滿足Fs≥2fm條件時，抽樣信號的頻譜發(fā)生了混疊，即圖15-4第2行Fs<2fm的頻譜圖，在fm＝5f0的范圍內(nèi)，頻譜出現(xiàn)了鏡像對稱的部分。

圖15-4連續(xù)信號及其抽樣信號的振幅頻譜抽樣信號波形所對應(yīng)的幅度譜MATLAB程序如下：

dt＝0.1；f0＝1；T0＝1/f0；%輸入基波的頻率、計 算周期

t＝－2：dt：2；

N＝length(t)；%求時間軸上采樣點數(shù)

f＝sin(2*pi*f0*t)＋1/3*sin(6*pi*f0*t)；%建立原連續(xù) 信號

fm＝5*f0；Tm＝1/fm；%最高頻率取基波的5倍頻

wm＝2*pi*fm；

k＝0：N－1；

w1＝k*wm/N；%在頻率軸上生成N個采樣頻率點

F1＝f*exp(－j*t￠*w1)*dt；%對原信號進行傅里葉變換

subplot(4，1，1)，plot(w1/(2*pi)，abs(F1))；

axis(［0max(4*fm)1.1*min(abs(F1))1.1*max(abs(F1))］)；

%生成fs<2fm，fs＝2fm，fs>2fm三種抽樣信號的振幅頻譜

fori＝1：3；

ifi<＝2c＝0，elsec＝1，end

fs＝(i＋c)*fm；Ts＝1/fs；%確定采樣頻率和周期

n＝－2：Ts：2；

f＝sin(2*pi*f0*n)＋1/3*sin(6*pi*f0*n)；%生成抽樣信號

N＝length(n)；%求時間軸上采樣點數(shù)

wm＝2*pi*fs；

k＝0：N－1；

w＝k*wm/N；

F＝f*exp(－j*n￠*w)*Ts；%對抽樣信號進行傅里葉變換

subplot(4，1，i＋1)，plot(w/(2*pi)，abs(F))；

axis(［0max(4*fm)1.1*min(abs(F))1.1*max(abs(F))］)；

end

3.由內(nèi)插公式重建信號

滿足奈奎斯特(Nyquist)抽樣定理的信號 ，只要經(jīng)過一個理想的低通濾波器，將原信號有限帶寬以外的頻率部分濾除，就可以重建xa(t)信號，如圖15-5(a)所示。

信號重建一般采用兩種方法：一是用時域信號與理想濾波器系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)進行卷積積分來求解；二是設(shè)計實際的模擬低通濾波器對信號進行濾波。我們首先來討論第一種方法。

圖15-5抽樣信號經(jīng)過理想低通濾波器重建xa(t)信號理想低通濾波器的頻域特性為一矩形，如圖15-5(b)所示，其單位沖激響應(yīng)為

信號 通過濾波器輸出，其結(jié)果應(yīng)為 與h(t)的卷積積分：

(15-1)

式(15-1)稱為內(nèi)插公式。由式可見，xa(t)信號可以由其抽樣值xa(nT)及內(nèi)插函數(shù)重構(gòu)。MATLAB中提供了sinc函數(shù)，可以很方便地使用內(nèi)插公式。

例15-3

用時域卷積推導(dǎo)出的內(nèi)插公式重建例15-1給定的信號。

解MATLAB程序如下：

f0＝1；T0＝1/f0；dt＝0.01；%輸入基波的頻率、周期

fm＝5*f0；Tm＝1/fm；%最高頻率為基波的5倍頻

t＝0：dt：3*T0；

x＝sin(2*pi*f0*t)＋1/3*sin(6*pi*f0*t)；%建立原連續(xù)信號

subplot(4，1，1)，plot(t，x)；

axis(［min(t)max(t)1.1*min(x)1.1*max(x)］)；

title(￠用時域卷積重建抽樣信號￠)；

fori＝1：3；

fs＝i*fm；Ts＝1/fs；%確定采樣頻率和周期

n＝0：(3*T0)/Ts

%生成n序列

t1＝0：Ts：3*T0；%生成t序列

x1＝sin(2*pi*n*f0/fs)＋1/3*sin(6*pi*n*f0/fs)；%生成 抽樣信號

T－N＝ones(length(n)，1)*t1－n￠*Ts*ones(1，length(t1))； %生成t－nT矩陣

xa＝x1*sinc(fs*pi*T－N)；%內(nèi)插公式

subplot(4，1，i＋1)，plot(t1，xa)；

axis(［min(t1)max(t1)1.1*min(xa)1.1*max(xa)］)；

end

原信號與重建信號的結(jié)果如圖15-6所示。

圖15-6用時域卷積內(nèi)插公式重建信號

*4.由模擬濾波器重建信號

圖15-5(a)所示電路中的濾波器也可以選擇實際設(shè)計的模擬濾波器(參考實驗22)。此時須注意的問題是，實際設(shè)計的模擬濾波器一般與理想濾波器的幅頻特性有一定的差別，設(shè)計時應(yīng)盡量選擇幅頻響應(yīng)接近理想曲線的實際濾波器。

例15-4

由例15-2原信號頻譜圖可見，xa(t)信號的基波頻率為f0＝1Hz，有限帶寬取fm＝5Hz，假定模擬低通濾波器的3dB截止頻率fc＝fm，電路階數(shù)N＝6，通帶波動RP≤1dB，阻帶衰減AS≥20dB。試用圖形表示理想的低通濾波器和實際模擬低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線。

解分別設(shè)計巴特沃斯和切比雪夫Ⅰ型、切比雪夫Ⅱ型低通濾波器并描繪曲線，進行比較。

MATLAB程序如下：

fm＝1；N＝6；rp＝1；as＝20；

Wp＝2*pi*fm；%計算截止角頻率

dw＝(2*Wp)/399；%確定頻率軸上采樣點間的間隔

w＝0：dw：2*Wp；%在頻率軸上生成采樣序列

h0＝［ones(1，201)，zeros(1，199)］；%建立理想低 通濾波頻響特性

%設(shè)計巴特沃斯低通濾波器［b，a］＝butter(N，Wp，￠s￠)；

h＝freqs(b，a，w)；

subplot(3，1，1)，plot(w/(2*pi)，abs(h)，w/(2*pi)，abs(h0))；grid

axis(［0max(2*fm)1.1*min(abs(h))1.1*max(abs(h))］)；

%設(shè)計切比雪夫Ⅰ型低通濾波器

［b，a］＝cheby1(N，rp，Wp，￠s￠)；

h＝freqs(b，a，w)；

subplot(3，1，2)，plot(w/(2*pi)，abs(h)，w/(2*pi)，abs(h0))；grid

axis(［0max(2*fm)1.1*min(abs(h))1.1*max(abs(h))］)；

%設(shè)計切比雪夫Ⅱ型低通濾波器

［b，a］＝cheby2(N，as，Wp，￠s￠)；

h＝freqs(b，a，w)；

subplot(3，1，3)，plot(w/(2*pi)，abs(h)，w/(2*pi)，abs(h0))；grid

axis(［0max(2*fm)1.1*min(abs(h))1.1*max(abs(h))］)；

圖15-7分別表示了設(shè)計出的巴特沃斯和切比雪夫Ⅰ型、Ⅱ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)曲線，同時用較細的線條標(biāo)出了理想低通濾波器曲線。

由曲線觀察可見，切比雪夫Ⅰ型的幅頻曲線與理想濾波器曲線最為接近。

圖15-7巴特沃斯和切比雪夫Ⅰ型、Ⅱ型低通濾波器的幅頻響應(yīng)

例15-5選定使用切比雪夫Ⅰ型濾波器對Fs<2fm、Fs＝2fm、Fs>2fm抽樣信號進行濾波，重建xa(t)信號，由此驗證奈奎斯特定理。

解用切比雪夫Ⅰ型低通濾波器濾波，MATLAB程序如下：

f0＝1；T0＝1/f0；%輸入基波的頻率、周期

fm＝5*f0；Tm＝1/fm；%最高頻率為基波的5倍頻

t＝－2：0.1：2；

f＝sin(2*pi*f0*t)＋1/3*sin(6*pi*f0*t)；%建立原連續(xù)信號

subplot(4，1，1)，plot(t，f)；grid

title(￠原信號與重建的信號￠)；

axis(［min(t)max(t)1.1*min(f)1.1*max(f)］)；

%對fs<2fm.fs＝2fm.fs>2fm三種抽樣信號進行濾波

N＝6；rp＝1；as＝20；

fori＝1：3；

fs＝i*fm；Ts＝1/fs；%確定采樣頻率和周期

n＝－2：Ts：2；

f＝sin(2*pi*f0*n)＋1/3*sin(6*pi*f0*n)；%生成抽樣信 號

st＝length(n)；%求時間軸上采樣點數(shù)

%設(shè)計低通濾波器

Wp＝2*pi*fm；

dw＝(2*Wp)/(st－1)；

w＝0：dw：2*Wp；

［b，a］＝cheby1(N，rp，Wp，￠s￠)；%切比雪夫Ⅰ型

%［b，a］＝butter(N，Wp，￠s￠)；%巴特沃