2024年高考一輪復習精細講義第18講 機械能守恒定律及其應用(原卷版+解析)

第18講機械能守恒定律及其應用

—劃重點之精細講義系列

考點一機械能守恒的理解和判斷

一.重力做功與重力勢能

1.重力做功的特點

(I)重力做功與路徑無關，只與始末位置的高度差有關.

(2)重力做功不引起物體機械能的變化.

2.重力勢能

(1)公式：Er=mgh.

(2)特性：

①矢標性：重力勢能是標量,但有正、負，其意義是表示物體的重力勢能比它在參

考平面上大還是小，這與功的正、負的物理意義不同.

②系統性：重力勢能是物體和地球共有的.

③相對性：重力勢能的大小與參考平面的選取有關.重力勢能的變化是絕對的,與

參考平面的選取上去.

3.重力做功與重力勢能變化的關系

(1)定性關系：重力對物體做正功，重力勢能就減少;重力對物體做負功，重力勢能

就增加.

(2)定量關系：重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量.即1憶=一(62—EpD

=-AEn.

二.彈性勢能

1.大小

彈簧的彈性勢能的大小與彈簧的及變量及勁度系數有關.

2.彈力做功與彈性勢能變化的關系

彈力做正功，彈性勢能減小，彈力做負功，彈性勢能增加.

三.機械能守恒定律

1.機械能

動能和勢能統稱為機械能，其中勢能包括重力勢能和理性勢能.

2.機械能守恒定律

(1)內容：在只有重力或彈力做功的物體系統內,動能和勢能可以互相轉化,而總的

機械能保持丕變.

(2)守恒的條件：只有重力或彈力做功.

吻劃量

1.對機械能守恒條件的理解

(1)只受重力作用，例如不考慮空氣阻力的各種拋體運動，物體的機械能守恒.

(2)除重力外，物體還受其他力，但其他力不做功或做功代數和為零.

(3)除重力外，只有系統內的彈力做功，并且彈力做的功等于彈性勢能減少量，那么

系統的機械能守恒.

注意：并非物體的機械能守恒，如與彈笛相等的小球下擺的過程機械能減少.

2.機械能是否守恒的三種判斷方法

(1)利用機械能的定義判斷：若物體動能、勢能之和不變，則機械能守恒.

(2)用做功判斷：若物體或系統只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他

力不做功，機械能守恒.

(3)利用能量轉化判斷：若物體或系統與外界沒有能量交換，物體或系統內也沒有機

械能與其他形式能的轉化，則機械能守恒.

國典例分而

【典例I】關于機械能是否守恒，下列說法正確的是()

A.做勻速直線運動的物體機械能一定守恒

B.做勻速圓周運動的物體機械能?定守恒

C.做變速運動的物體機械能可能守恒

D.合力對物體做功不為零，機械能一定不守恒

【典例2】(多選)如圖所示，下列關于機械能是否守恒的判斷正確的是()

A.甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，物體人機械能守恒

B.乙圖中.物體A固定，物體8沿斜面勻速下滑,物體區(qū)的機械能守恒

C.丙圖中，不計任何阻力和定滑輪質量時，A加速下落，8加速上升過程中，A、

8組成的系統機械能守恒

D.丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時,，小球的機械能守恒

【典例3】(多選)如圖所示，斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物體由靜

止沿斜面下滑，在物體下滑過程中，下列說法正確的是()

A.物體的重力勢能減少，動能增加，機械能減小

B.斜面的機械能不變

C.斜面對物體的作用力垂直于接觸面，不對物體做功

D.物體和斜面組成的系統機械能守恒

【典例4】(多選)如圖所示，用輕彈簧相連的物塊A和3放在光滑的水平面上，物

塊A緊靠豎直墻壁，一顆子彈沿水平方向射入物塊4后留在其中，由子彈、彈簧和4、

B所組成的系統在下列依次進行的過程中，機械能守恒的是()

/AB

勿力〃〃〃/〃〃//〉〃)〃〃〃〃〃/〃〃//

A.子彈射入物塊B的過程

B.物塊8帶著子彈向左運動，直到彈簧壓縮量最大的過程

C.彈簧推著帶子彈的物塊8向右運動，直到彈簧恢復原長的過程

D.帶著子彈的物塊3因慣性繼續(xù)向右運動，直到彈簧伸長晟達最大的過程

自敲黑靠山

(1)機械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力為零；“只有重力或

彈力做功”不等于“只受重力或彈力作用”.

(2)對于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說明，否則機械能必

定不守恒.

(3)對干系統機械能是否守恒,可以根據能量的轉化進行判斷.

考點二單個物體的機械能守恒定律的應用

1.應用機械能守恒定律的基本思路

(虺個物體

(1)選取研究對象(多個物體組成的系統

［系統內有彈簧

(2)受力分析和各力做功情況分析，確定是否符合機械能守恒條件.

(3)確定初末狀態(tài)的機械能或運動過程中物體機械能的轉化情況.

(4)選擇合適的表達式列出方程，進行求解.

(5)對計算結果進行必要的討論和說明.

2.三種守恒表達式的比較

表達

表達公式表達意義注意事項

應用時應選好重力勢能

系統初狀態(tài)的機械能的

守怛的零勢能面，且初、末

Ek+Ep=Ek'+￡/總和與末狀態(tài)機械能的

觀點狀態(tài)必須用同一零勢能

總和相等

面計算勢能

應用時關鍵在于分清重

表示系統（或物體）機械

力勢能的增加量或減少

轉化能守恒時，系統減少（或

AEk=-AEp量，可不選零勢能面而

觀點增加）的重力勢能等于系

直接計算初、末狀態(tài)的

統增加（或減少）的動能

勢能差

若系統由A、8兩部分組

常用于解決兩個或多個

轉移成，則A部分物體機械

bE*=bE日物體組成的系統的機械

觀點能的增加量與4部分物

能守恒問題

體機械能的減少量相等

n典例分密

【典例1】如圖所示，將一質量為〃?=0.1kg的小球自水平平臺右端0點以初速度

。。水平拋出，小球飛離平臺后由A點沿切線落入豎直光滑圓軌道A8C,并沿軌道恰好

通過最高點C,圓軌道ABC的形狀為半徑R=2.5m的圓截去了左上角127。的圓弧，

為其豎直直徑（sin53。=0.8,cos53。=0.6，重力加速度g取10m/s2,空氣阻力不計），

求：

（1）小球經過C點速度〃'的大小；

（2）小球運動到軌道最低點/3時軌道對小球的支持力大小;

（3）平臺末端O點到4點的豎直高度H.

3

【典例2】（多選）如圖所示，豎直面內光滑的;圓形導軌固定在一水平地面上，半

徑為R.一個質量為〃?的小球從距水平地面正上方h盤處的P點由靜止開始自由下落,

恰好從N點沿切線方向進入圓軌道.不考慮空氣阻力，則下列說法正確的是（）

A.適當調整高度/?,可使小球從軌道最高點M飛出后，恰好落在凱道右端口N處

B.若h=2R,則小球在軌道最低力、對軌道的壓尢為5〃?g

C.只有/?大于等于2.5R時，小球才能到達圓軌道的最高點M

D.若h=R,則小球能上升到圓軌道左側離地高度為R的位置，該過程重力做功

為mgR

【典例3】如圖所示，豎直平面內的一半徑R=0.5()m的光滑圓弧槽8c。，4點

與圓心0等高，一水平面與圓弧槽相接于。點，質量〃?=0.10kg的小球從8點正上方

”=0.95m高處的A點自由下落，由B點進入圓弧軌道，從D點飛出后落在水平面上

的Q點,OQ間的距離文=2.4m,球從。點飛出后的運動過程中相對水平面上升的最大

高度/?=0.80m,g取lOm/s2,不計空氣阻力,求：

(1)小球經過。點時軌道對它的支持力大小FN：

(2)小球經過最高點P的速度大小

(3)。點與圓心。的高度差hoD.

巨就黑根!”

機械能守恒定律的應用技巧

(1)機械能守恒定律是一種“能——能轉化”關系，其守恒是有條件的，因此，應用

時首先要對研究對象在圻研究的過程中機械能是否守恒做出判斷.

(2)如果系統(除地球外)只有一個物體，用守恒式列方程較方便；對于由兩個或兩個

以上物體組成的系統，用轉化式或轉移式列方程較簡便.

。,也考點M熱

考點三輕桿模型中的機械能守恒

1.模型構建

輕桿兩端各固定一個物休，整個系統一起沿斜面運動或繞某點轉動，該系統即為機

械能守恒中的輕桿模型.

2.模型條件

U)忽略空氣阻力和各種摩擦.

(2)平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等.

3.模型特點

(1)桿對物體的作用力并不總是指向桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械

能不守恒.

(2)對于桿和球組成的系統，沒有外力對系統做功，因此系統的總機械能守恒.

【典例I】質量分別為小和2m的兩個小球P和Q,中間用輕質桿固定連接，桿長

為L,在離。球上處有一個光滑固定軸如圖所示.現在把桿置于水平位置后自由釋

放，在Q球順時針擺動到最低點位置時，求:

(1)小球P的速度大??；

(2)在此過程中小球P機械能的變化量.

【典例2】如圖所示，傾角為0的光滑斜面上放有兩個質量均為機的小球A和8,

兩球之間用一根長為L的輕桿相連，卜面的小球B離斜面底端的高度為人兩球從靜止開

始下滑，不計球與地面碰撞時的機械能損失，且地面光滑，

求：

(1)兩球在光滑水平面上運動時的速度大??；

(2)整個運動過程中桿對A球所做的功.

【典例3］如圖所示，質量分別為2加、3〃?的小球A和小球B分別固定在由輕質桿

構成的直角尺的兩端，直角尺的定點0處有光滑的固定轉動軸，A。、BO的長分別為

2L和乙開始時直角尺的A。桿部分處于水平位置而8在。的正下方，讓該系統在靜

止開始自由轉動，求：

j2，旦

L

(1)當小球A到達最低點時，小球A的速度大小和小球A對A0桿作用力的大??；

(2)小球人由初始位置到達最低點的過程中，桿4。和桿B0分別對小球人和小球B

所做的功；

(3)B球能上升的最大高度力.

【典例4】如圖所示，固定的幅直光滑長桿上套有質量為〃?的小圓環(huán)，圓環(huán)與水平

狀態(tài)的輕質彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，且處于原長狀態(tài).現讓圓環(huán)由靜

止開始下滑，已知彈簧京長為L,圓環(huán)下滑到最大距離時彈簧的長度變?yōu)?〃未超過彈

性限度)，則在圓環(huán)下滑到最大距離的過程中()

1L

：j)WVW<

A.圓環(huán)的機械能守恒

B.彈簧彈性勢能變化了小〃?gL

C.圓環(huán)下滑到最大距離時，所受合力為零

D.圓環(huán)重力勢能與彈簧彈性勢能之和保持不變

【典例5】如圖所示，跨過同一高度處的定滑輪的細線連接著質量相同的物體A和

B，人套在光滑水平桿上，定滑輪離水平桿的高度/z=0.2m,開始時讓連著A的細線與

水平桿的夾角a=37。，由靜止釋放從當細線與水平桿的夾角優(yōu)=53。時，八的速度為

多大？在以后的運動過程中,4所獲得的最大速度為多大？(設B不會碰到水平桿,sin37。

=0.6,sin53°=0.8,?g=10m/s2)

鼓黑送!”

巨

在利用輕桿模型求解問題時應注意以下兩點：

(1)本類題目易誤認為兩球的線速度相等，還易誤認為單個小球的機械能守恒.

(2)桿對球的作用力方向不再沿著桿，桿對小球尸做正功從而使它的機械能增加,

同時桿對小球Q做負功，使小球Q的機械能減少，系統的機械能守恒.

考點四用機械能守恒定律解決非質點問題

在應用機械能守恒定律處理實際問題時，經常遇到像“鏈條”“液柱”類的物體,

其在運動過程中將發(fā)生形變，其重心位置相對物體也發(fā)生變化，因此這類物體不能再看

成質點來處理.

物體雖然不能看成質點來處理，但因只有重力做功，物體整體機械能守恒.一般情

況下，可將物體分段處理，確定質量分布均勻的規(guī)則：物體各部分的重心位置，根據初

末狀態(tài)物體重力勢能的變化列式求解.

【典例I］如圖所示，4A為光滑的水平面，是傾角為。的足夠長的光滑斜面,

斜面體固定不動.AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連.一條長為力的均勻柔軟鏈條

開始時靜止的放在A3C面上，其?端。至3的距離為L—a現自由釋放鏈條，則：

(I)鏈條下滑過程中，系統的機械能是否守恒？簡述理由；

(2)鏈條的D端滑到8點時，鏈條的速率為多大？

【典例2】如圖所示，粗細均勻，兩端開口的U形管內裝有同種液體，開始時兩邊

液面高度差為/?,管中液柱總長度為4人，后來讓液體自由流動，當兩液面高度相等時,

右側液面下降的速度為()

A.B.

c.D

【典例3】如圖所示，長為L的均勻鏈條放在光滑水平桌面上，且使長度的;垂在

桌邊，松手后鏈條從靜止開始沿桌邊下滑，則鏈條滑至剛剛離開桌邊時的速度大小為

R亞L

B.4

D.4而

現國綽與

，基礎篇

1.下列關于機械能守恒的說法中，正確的是（）

A.若只有重力做功，則物體機械能一定守恒

B.若物體的機械能守恒，一定是只受重力

C.做勻變速運動的物體機械能一定守恒

D.物體所受合力K為零，機械能一定守恒

2.不計空氣阻力，下列運動的物體中機械能不守恒的是（）

A.起重機吊起物體勻速上升

B.物體做平拋運動

C.圓錐擺球在水平面內做勻速圓周運動

D.一個輕質彈簧上端固定，下端系一個重物，重物在豎直方向上下振動（以物體和

彈簧整體為研究對象）

3.在一次課外趣味游戲中，有四位同學分別將匹個質量不同的光滑小球沿豎直放

置的內壁光滑的半球形碗的碗口內側同時由靜止釋放，碗口水平，如圖所示.他們分別

記下了這四個小球下滑速率為。時的位置，則這些位置應該在同一個（）

A.球面B.拋物面

C.水平面D.橢圓面

4.如圖所示，在離水平地面一定高處水平固定一內壁光滑的圓筒，筒內固定一輕

質彈簧，彈簧處于自然長度.現將一小球從地面以某一初速度斜向上拋出，剛好能水平

進入圓筒中，不計空氣阻力.下列說法中正確的是（）

-T：IWW

A.彈簧獲得的最大彈性勢能小于小球拋出時的幻能

B.彈簧獲得的最大彈性勢能等于小球拋出時的動能

C.小球從拋出到籽彈簧壓縮到最短的過程中機械能守恒

D.小球拋出的初速度大小僅與圓筒離地面的高度有關

5.有一豎直放置的“T”形架，表面光滑，滑塊A、B分別套在水平桿與豎直桿上,

A、8用一根不可伸長的輕細繩相連，A、8質量相等，且可看做質點，如圖所示，開始

時細繩水平伸直，A、8靜止.由靜止釋放8后，已知當細繩與豎直方向的夾角為60。

時，滑塊4沿著豎直桿下滑的速度為小則連接A、8的繩長為（）

ay

4P23V2

A.-B.一

Sg

2ir4v2

C.至D.石

6.離心軌道是研究機械能守恒和向心力效果的一套較好的器材.如圖甲所示，某

課外研究小組將一個壓力傳感器安裝在軌道圓周部分的最低點B處，他們把一個鋼球從

軌道上的不同高處由靜止釋放.得到多組壓力傳感器示數F和對應的釋放點的高度h

的數據后，作出了如圖乙所示的盡力圖象.不計各處摩擦，取g=10m/s2.

（1）求該研究小組用的離心軌道圓周部分的半徑；

⑵當〃=0.6m,小球到達圓周上最高點C點時，軌道對小球的壓力多大？

7.如圖所示，在傾角夕=30。的光滑固定斜面上，放有兩個質量分別為1kg和2kg

的可視為質點的小球A和氏兩球之間用一根長L=0.2m的輕桿相連，小球8距水平

面的高度兩球由靜止開始下滑到光滑地面上，不計球與地面碰撞時的機械能

損失，g取10m/s?.則下列說法中正確的是（）

A.整個下滑過程口A球機械能守恒

B.整個下滑過程中8球機械能守恒

C.整個下滑過程中4球機械能的增加量為專J

2

D.整個下滑過程口8球機械能的增加量為，J

8.（多選汝1圖所示，質量分別為機和2〃?的兩個小球。和兒中間用輕質桿相連，

在桿的中點。處有一固定轉動軸，把桿置于水平位置后釋放，在》球順時針擺動到最

低位置的過程中（）

A.〃球的重力勢能減少,動能增加，。球機械能守恒

B.。球的重力勢能增加,動能也增加，。球機械能不守恒

C.4球、〃球組成的系統機械能守恒

D.。球、。球組成的系統機械能不守恒

9.（多選）如圖所示，有一光滑軌道48C,AB部分為半徑為R的;圓弧，8c部分水

平，質量均為〃?的小球。、〃固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長為R，不計小球大小.開

始時。球處在圓弧上端A點，由靜止釋放小球和輕桿，使其沿光滑軌道下滑，下列說法

正確的是（）

A,。球下滑過程中機械能保持不變

B.公少兩球和輕桿組成的系統在下滑過程中機械能保持不變

C.。、“滑到水平軌道上時速度為歷^

D.從釋放到八力滑到水平軌道上，整個過程中輕桿對〃球做的功為等

10.（多選）如圖所示，一根長為L不可伸長的輕繩跨過光滑的水平軸。，兩端分別

連接質量為2〃?的小球八和質量為加的物塊8,由圖示位置釋放后，當小球轉動到水平

軸正下方時輕繩的中點正好在水平軸。點，且此時物塊8的速度剛好為零，則下列說

法中正確的是（）

A.物塊8一直處于靜止狀態(tài)

B.小球人從圖示位置運動到水平軸正下方的過程中機械能守恒

C.小球人運動到水平軸正下方時的速度大于如

D.小球A從圖示位置運動到水平軸正下方的過程中，小球A與物塊8組成的系統

機械能守恒

11.（多選）重I0N的滑塊在傾角為30。的光滑斜面上，從〃點由靜止下滑，到〃點

接觸到一個輕彈簧，滑決壓縮彈簧到c點開始彈回，運回〃點離開彈簧，最后又回到。

點，已知ab=lm,bc=0.2m,那么在整個過程中（）

A.滑塊動能的最大值是6J

B.彈簧彈性勢能的最大值是6J

C.從。到人彈簧的彈力對滑塊做的功是6J

D.整個過程系統機械能守恒

12.如圖所示，質量分別為機、2/〃、的三個物體A、B、C通過輕繩與勁度系數

為女的輕彈簧相連接，并均處于靜止狀態(tài)?，F在將B、C之間的細繩剪斷，彈簧始終在

彈性限度內，不考慮一切阻力，下列說法正確的是（）

A.在C落地前，A、B、C三者組成的系統機械能守恒

B.剪斷細繩前，彈簧的伸長量為工=?

K

C.剪斷細繩后，當B的速度最大時B增加的重力勢能為冽支

k

D.剪斷細繩瞬間，A、B的加速度大小為5

13.如圖所示，質量為〃?的小球，用輕軟細繩系在邊長為。的正方形截面木柱的邊

A處（木柱水平放置，圖中畫斜線部分為其豎直橫截面），軟繩長4a,質晟不計，它所

能承受的最大拉力為6〃吆。開始繩呈水平狀態(tài)，若以豎直向下的初速度場拋出小球，為

使繩能繞在木柱上，且小球始終沿圓弧運動，最后擊中A點，則小球允許的初速度總范

圍為（

B

A.B.yfAga<v0</fga

C.y/Aga<v0<y]\OgaD.JlOga

14.如圖所示，某一斜面與水平面平滑連接，一小木塊從斜面由靜止開始滑下，已

知小木塊與斜面、水平面間的動摩擦因數相同，取水平面為參考平面，重力勢能多、

動能反、機械能E和產生的內能Q與水平位移x的關系圖線錯誤的是（）

15.如圖所示，小滑塊P、Q的質量均為機，P套在固定光滑豎直桿上，Q放在光

滑水平面上。P、Q間通過較鏈用長為L的輕桿連接，輕桿與豎直桿的夾角為。，一水

平輕彈簧左端與Q相連，右端固定在豎直桿上。當a=30。時，彈簧處于原長，P由靜

止釋放，下降到最低點時。變?yōu)?0。，整個運動過程中，P、Q始終在同一豎直平面內,

彈簧在彈性限度內，忽略一切摩擦，重力加速度為g。則P下降過程中（）

A.P、Q組成的系統機械能守恒

B.彈簧彈性勢能最大值為與1加艱

C.豎直桿對滑塊P的彈力始終大于彈簧彈力

D.滑塊P的動能達到最大時，Q受到地面的支持力大于2〃火

16.（多選）如圖，輕質彈簧一端與垂直固定在斜面上的板C相連，另一端與物體

A相連。物體A置于光滑固定斜面上，斜面的傾角。=30。。A上端連接一輕質細線，細

線繞過光滑的定滑輪與物體B相連且始終與斜面平行。開始時托住B,A靜止且細線恰

好伸直，然后由靜止釋放Be已知物體A、B的質量均為加，彈簧的勁度系數為上當地

重力加速度為g,B始終未與地面接觸。從釋放B到B第一次卜落至最低點的過程中，

A.剛釋放物體B時，物體A受到細線的拉力大小為等

B.物體A到最高點時，A所受合力大小為/〃g

C.物體B下落至最低點時，A和彈簧組成系統的機械能最大

D.物體A的最大速度為

17.（多選）如圖，長為L=1.0m的不可伸長輕繩一端系于固定點。。另一端系一

質量〃?=O.5kg的小球，將小球從。點左側與。點等高的A點以一定初速度%水平向右

拋出，經一段時間后小球運動到O點有下方的8點時，輕繩剛好被拉直，此后小球以。

為圓心在豎直平面內做圓周運動。已知0、A的距離為4M=0.2m,輕繩剛被拉直時與

豎直方向的夾角為37。。重力加速度取g=l（）m/s2。sin37o=0.6,不計空氣阻力。下列

說法正確的是（）

B'、」

A.小球拋出時的初速度大小％=2m/s

B.輕繩被拉直前瞬間小球的速度為2gm/s

C.小球做圓周運動擺到最低點時的動能為6J

D.小球做圓周運動擺到最低點時，輕絕對小球的拉力大小為7.32N

18.（多選）如圖所示，有兩條位于同一豎直平面內的光滑水平軌道，相距為〃.

軌道上有兩個物體A和B,質量均為〃?，它們通過一根繞過定滑輪。的不可伸長的輕繩

相連接。在軌道間的繩子與軌道成45。角的瞬間，物體A在下面的軌道上的運動速率為L

此時繩子80段的中點處有一與繩相對靜止的小水滴尸與繩子分離。設繩長BO遠大于

滑輪直徑，不計輕繩與滑輪間的摩擦，下列說法正確的是（）

A.位于圖示位置.時物體B的速度大小為

B.小水滴P與繩子分離的瞬間做平拋運動

C.在之后的運動過程中當輕繩08與水平軌道成90角時，物體B的動能為:〃?/

D.小水滴。脫離繩子時速度的大小為V

19.如圖所示，一個半徑為及的;圓周的軌道，。點為圓心，B為軌道上的一點，

OB與水平方向的夾角為37。.軌道的左側與一固定光滑平臺相連，在平臺上一輕質彈簧

左端與豎直擋板相連，彈簧原長時右端在A點.現用一質量為機的小球（與彈簧不連接）

壓縮彈簧至0點后釋放.已知重力加速度為g,不計空氣阻力.

0

〃/7〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃/

⑴若小球恰能擊中B點，求剛釋放小球時彈簧的彈性勢能;

（2）試通過計算判斷小球落到軌道時速度能否與圓弧垂直；

（3）改變釋放點的位置，求小球落到軌道時動能的最小值.

20.如圖所示，豎直固定的四分之一粗糙圓軌道下端8點水平，半徑R/=lm,質量

M=lkg的長薄板靜置于頃角小37。的粗糙斜面CD上，其最上端剛好在斜面頂端C點。

一質量為小=l.5kg的滑塊（可看做質點）從圓軌道A點由靜止滑下，運動至3點時對軌

道的壓力大小為小=39N,接著從4點水平拋出，恰好以平行于斜面的速度落到薄板最

上端，并在薄板上開始向下運動；當小物體落到薄板最上端時，薄板無初速度釋放并開

始沿斜面向下運動，其運動至斜面底端時與豎直固定的光滑半圓軌道底端粘接在一

起。已知斜面8長L=7.875m,薄板長L尸2.5m,厚度忽略不計,其與斜面的動摩擦

因數〃尸0.25,滑塊與長薄板間的動摩擦因數為“2=05滑塊在斜面底端的能量損失和

運動過程中空氣阻力均忽略不計，g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,試求：

（1）滑塊運動至B點時速度大小v及滑塊由A到8運動過程中克服摩擦力做的功

（2）滑塊運動到。點時的速度大小；

（3）如果要使滑塊不會中途脫離豎直半圓軌道。石，其半徑上需要滿足什么條件？

71.如圖所示,四分之一光滑圓弧軌道和水平傳送帶固定在同一豎直平面內,顯弧

軌道半徑R=5.0m,其底端切線水平且通過一段光滑水平軌道與傳送帶連接，傳送帶長

度為L,離地高度為4=L5m,沿逆時針方向轉動的速度為v=6.0m/s,在距傳送帶右

側水平距離d=1.0m處有一離地高度為=L3m的平臺。一質量〃?=2.0kg的小物塊（可

視為質點）從圓弧頂點處由靜止釋放，物塊與傳送帶間的動摩擦因數〃=。5,不計物

塊經過軌道連接處時的動能損失，且傳送帶轉動輪足夠小，g取lOm/sh求：

（1）若傳送帶長度為乙=6.4m,請通過計算判斷物塊能否到達右側平臺；

（2）若傳送帶長度為4=12m,物塊能否返回圓弧軌道？若能，求物塊在圓弧軌道能

22.如圖所示，傾角0=37。的斜面固定在水平面上，斜面頂點8處固定一個厚度不

計的擋板，擋板與斜面垂直，擋板上端固定著光滑圓瓠軌道￡/，。點為圓心，尸在0

點正上方，OF二R,。￡垂直斜面。在斜面下端A點靜置著一塊長為2R、質量為機的木

板，木板的厚度與斜面上端擋板的高度相同，在木板左端靜置著一可視為質點的、質量

也為〃?的木塊。若同時給木板和木塊一個沿斜面向上的相同的初速度%=￡至，木

板和木塊將保持相對靜止沿斜面減速上滑，木板上端恰好能運動到8點；現對靜止的木

板施加沿斜面向上的恒力F=2"?g,同時給木塊一初速度vo,木板運動到斜面上端與擋板

相撞后粘在一起的同時撤去F,木塊恰好能運動到木板上端邊緣。已知木板與斜面間的

動摩擦因數〃/=0.5,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g,5吊37。=0.6。求：

（1）斜面長度s；

（2）木塊與木板間的動摩擦因數42；

（3）如果$的大小可以改變，要使木板能在與木塊共速前到達3端且木塊進入圓弧E/

后不脫離圓弧，試確定s的取值范圍。

第18講機械能守恒定律及其應用

劃重點之精細講義系列

考點一機械能守恒的理解和判斷

重力做功與重力勢能

1.重力做功的特點

(1)重力做功與路徑無關，只與始末位置的高度差有關.

(2)重力做功不引起物體機械能的變化.

2.重力勢能

(1)公式：Ev=mgh.

(2)特性:

①矢標性：重力勢能是標量,但有正、負，其意義是表示物體的重力勢能比它在參考平

面上大還是小，這與功的正、負的物理意義不同.

②系統性：重力勢能是物體和地琰共有的.

③相對性：重力勢能的大小與參考平面的選取有關.重力勢能的變化是絕對的,與參考

平面的選取無關.

3.重力做功與重力勢能變化的關系

(I)定性關系：重力對物體做正功，重力勢能就減少;重力對物體做負功，重力勢能就

增力口.

(2)定量關系：重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少量.即WG=一(&2—Epi)=二

AEp.

彈性勢能

1.大小

彈簧的彈性勢能的大小與彈簧的形變量及勁度系數有關.

2.彈力做功與彈性勢能變化的關系

彈力做正功,彈性勢能減小，彈力做負功，彈性勢能增加.

三.機械能守恒定律

1.機械能

動能和勢能統稱為機械能,其中勢能包括重力勢能和彈性勢能.

2.機械能守恒定律

(1)內容：在只有重力或彈力做功的物體系統內,動能和勢能可以互相轉化,而總的機

械能保持不變.

(2)守恒的條件：只有重力或彈力做功.

1.對機械能守恒條件的理解

(1)只受重力作用，例如不考慮空氣阻力的各種拋體運動，物體的機械能守恒.

(2)除重力外，物體還受其他力，但其他力不做功或做功代數和為零.

(3)除重力外，只有系統內的彈力做功，并且彈力做的功等于彈性勢能減少量，那么系

統的機械能守恒.

注意：并非物體的機械能守恒，如與彈簧相連的小球下擺的過程機械能減少.

2.機械能是否守恒的三種判斷方法

(1)利用機械能的定義判斷：若物體動能、勢能之和不變，則機械能守恒.

(2)用做功判斷：若物體或系統只有重力(或彈簧的彈力)做功，雖受其他力，但其他力不

做功，機械能守恒.

(3)利用能量轉化判斷：若物體或系統與外界沒有能量交換，物體或系統內也沒有機械

能與其他形式能的轉化，則機械能守恒.

【典例1】關于機械能是否守恒，下列說法正確的是()

A.做勻速直線運動的物體機械能一定守恒

B.做勻速圓周運動的物體機械能一定守恒

C.做變速運動的物體機械能可能守恒

D.合力對物體做功不為零，機械能一定不守恒

解析：選C.做勻速直線運動的物體與做勻速圓周運動的物體，如果是在豎直平面內則

機械能不守恒，A、B錯誤；合力做功不為零，機械能可能守恒，如自由落體運動，D錯誤，

C正確.

【典例2】(多選)如圖所示，下列關于機械能是否守恒的判斷正確的是()

A.甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過程中，物體A機械能守恒

B.乙圖中，物體A固定，物體8沿斜面勻速下滑，物體8的機械能守恒

C.丙圖中，不計任何阻力和定滑輪質量時，A加速下落，6加速上升過程中，A、3組

成的系統機械能守恒

D.丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運動時，小球的機械能守恒

解析：選CD.甲圖中重力和彈力做功，物體A和彈簧組成的系統機械能守恒，但物體A

機械能不守恒，A錯.乙圖中物體B除受重力外，還受到彈力和摩擦力作用，彈力不做功，

但摩擦力做負功，物體8的機械能不守恒，B錯.丙圖中繩子張力對A做負功，對8做正

功，代數和為零，A、8組成的系統機械能守恒，C對.丁圖中小球的動能不變，勢能不變，

機械能守恒，D對.

【典例3】（多選）如圖所示，斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物體由靜止沿

斜面下滑，在物體下滑過程中，下列說法正確的是（）

A.物體的重力勢能減少，動能增加，機械能減小

B.斜面的機械能不變

C.斜面對物體的作用力垂直于接觸面，不對物體做功

D.物體和斜面組成的系統機械能守恒

解析：選AD.物體由靜止開始下滑的過程其重力勢能減少，動能增加，A正確；物體在

下滑過程中，斜面做加速運動，其機械能增加，B錯誤；物體沿斜面下滑時，既沿斜面向下

運動，又隨斜面向右運動，其合速度方向與彈力方向不叁直，彈力方向垂直于接觸面，但與

速度方向之間的夾角大于90。，所以斜面對物體的作用力對物體做負功，C錯誤；對物體與

斜面組成的系統，只有物體的重力和物體與斜面間的彈力做功，機械能守恒，D正確.

【典例4】（多選）如圖所示，用輕彈簧相連的物塊4和8放在光滑的水平面上，物塊4

緊靠豎直墻壁，一顆子彈沿水平方向射入物塊8后留在其中，由子彈、彈簧和A、4所組成

的系統在下列依次進行的過程中，機械能守恒的是（）

/AB

）〃）〃〃〃〃〃〃/〉〃）〃〃〃〃〃〃〃〃,

A.子彈射入物塊4的過程

B.物塊8帶著子彈向左運動，直到彈簧壓縮量最大的過程

C.彈簧推著帶子彈的物塊8向右運動，直到彈簧恢復原長的過程

D.帶著子彈的物塊B因慣性繼續(xù)向右運動，直到彈簧伸長量達最大的過程

解析：選BCD.子彈射入物塊8的過程中，子彈和物塊8組成的系統，由于要克服子彈

與物塊之間的滑動摩擦力做功，一部分機械能轉化成了內能，所以機械能不守恒.在子彈與

物塊8獲得了共同速度后一起向左壓縮彈簧的過程中，升于A、仄彈黃和子彈組成的系統，

由于墻壁給A一個推力作用，系統的外力之和不為零，但這一過程中墻壁的彈力不做功，

只有系統內的彈力做功，動能和彈性勢能發(fā)生轉化，系統機械能守恒，這一情形持續(xù)到彈簧

恢復原長為止.當彈簧恢復原長后，整個系統將向右運動，墻壁不再有力作用在4上，這

時物塊的動能和彈簧的彈性勢能相互轉化，故系統的機械能守恒，綜上所述，B、C、D正

確.

鼓黑送!”

巨

(1)機械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力為零；”只有重力或彈

力做功”不等于“只受重力或彈力作用”.

(2)對于一些繩子突然繃緊、物體間碰撞等情況，除非題目特別說明，否則機械能必定

不守恒.

(3)對于系統機械能是否守恒，可以根據能量的轉化進行判斷.

0.出身點〈善

考點二單個物體的機械能守恒定律的應用

1.應用機械能守恒定律的基本思路

(單個物體

(1)選取研究對象《多個物體組成的系統

I系統內有彈簧

(2)受力分析和各力做功情況分析，確定是否符合機械能守恒條件.

(3)確定初末狀態(tài)的機械能或運動過程中物體機械能的轉化情況.

(4)選擇合適的表達式列出方程，進行求解.

(5)對計算結果進行必要的討論和說明.

2.三種守恒表達式的比較

表達

表達公式表達意義注意事項

應用時應選好重力勢能

系統初狀態(tài)的機械能的

守恒的零勢能面，且初、末

Ek+Ep=?'+弓’總和與末狀態(tài)機械能的

觀點狀態(tài)必須用同一零勢能

總和相等

面計算勢能

應用時關鍵在于分清重

表示系統（或物體）機械

力勢能的增加量或減少

轉化能守恒時，系統減少（或

△4=一嶼量，可不選零勢能面而

觀點增加）的重力勢能等于系

直接計算初、末狀態(tài)的

統增加（或減少）的動能

勢能差

若系統由A、8兩部分組

常用于解決兩個或多個

轉移成，則A部分物體機械

XE旄=AEn物體組成的系統的機械

觀點能的增加量與4部分物

能守恒問題

體機械能的減少量相等

El典例分市

【典例I）如圖所示，將一質量為m=0.1kg的小球自水平平臺右端O點以初速度如

水平拋出，小球飛離平臺后由A點沿切線落入豎直光滑圓軌道A8C,并沿軌道恰好通過最

高點C,圓軌道ABC的形狀為半徑R=2.5m的圓截去了左上角127。的圓弧，C4為其豎直

直徑（sin53。=0.8,cos53。=0.6,重力加速度g取10m/s2,空氣阻力不計）,求：

（1）小球經過C點速度0c的大小：

（2）小球運動到軌道最低點B時軌道對小球的支持力大??；

（3）平臺末端O點到A點的豎直高度H.

解析（1）小球恰好運動到C點時，重力提供向心力，由牛頓第二定律知

虎

解得“：=立元=5m/s

⑵從B點到C點，由機械能守恒定律有

在8點對小球進行受力分析，由牛頓第二定律有

vi

&一"吆="仄

聯立解得功?=5小m/s,FN=6.0N

（3）從A到B由機械能守恒定律有

；"忌+〃吆/?(I-cos53。)=%?蘇

所以刈=、105m/s

在4點對小球進行速度的分解如圖所示,

有。).=0心由53°

次

所以”=5=3.36m

答案(1)5m/s(2)60N(3)3.36m

3

【典例2】(多選)如圖所示，豎直面內光滑的;圓形導軌固定在一水平地面上，半徑為

R.一個質量為，〃的小球從距水平地面正上方h高處的P點由靜止開始自由下落，恰好從N

點沿切線方向進入圓軌道,不考慮空氣阻力，則下列說法正確的是()

A.適當調整高度/?,可使小球從軌道最高點M飛巴后，恰好落在軌道右端口N處

B.若h=2R,則小球在軌道最低點對軌道的壓力為5〃?g

C.只有人大J?等卜2.5R時，小球才能到達圓凱道的最高點M

D.若人=R,則小球能上升到圓軌道左側離地高度為R的位置，該過程重力做功為〃?gR

7,2

解析：選BC.球到達最高點時速度至少應滿足解得0=而，小球離開最高

點后做平拋運動，下落高度為R時，運動的水平距離為x=vf=y［還、1^=巾R,故A錯

I爐

誤；從。到最低點過程由機械能守恒可得2〃吆《=5〃/，由向心力公式得公一"吆=〃?，解

41\

得心=5〃@由牛頓第三定律可知小球對㈱道的壓力為5〃?g,故B正確：由機械能守恒得

mg(h-2R)=^mv2,代入0=病，解得仁2.5尺故C正確；若h=R,則小球能上升到圓

軌道左側離地高度為R的位置，該過程重力做功為0,D錯誤.

【典例3】如圖所示，豎直平面內的一半徑R=().5Om的光滑圓弧槽8CQ,6點與圓

心O等高，一水平面與圓弧槽相接于。點，質量=0.1()kg的小球從8點正上方〃=0.95m

高處的A點自由下落，由8點進入圓弧軌道，從。點飛出后落在水平面上的。點，乃Q間

的距離x=2.4m,球從。點飛出后的運動過程中相對水平面上升的最人高度〃=0.80m,g

MX10nVs2,不計空氣阻力,求:

/!?

(1)小球經過C點時軌道對它的支持力大小FN；

(2)小球經過最高點P的速度大小。尸；

(3)。點與圓心O的高度差hoD.

解析：(I)設經過C點時速度為S,由機械能守恒有

mg(H-}-R)=^rnvy

由牛頓第二定律有幾一〃吆=借^

代入數據解得FN=6.8N

(2)P到Q做平拋運動有

h=]g「,2=vpt

代入數據解得%=3.0m/s.

(3)由機械能守恒定律,有

；〃蘇+nigh=mg(H+hOD),

代入數據，解得%8=0.30m.

答案：(1)6.8N(2)3.0m/s(3)0.30m

巨鼠遙”！

機械能守恒定律的應月技巧

(1)機械能守恒定律是一種“能一能轉化”關系，其守恒是有條件的，因此，應用時

首先要對研究對象在所研究的過程中機械能是否守恒做出判斷.

(2)如果系統(除地球外)只有一個物體，用守恒式列方程較方便；對于由兩個或兩個以上

物體組成的系統，用轉化式或轉移式列方程較簡便.