安徽省鼎尖教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年安徽省鼎尖教育聯(lián)盟高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，則M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜5} B．{x|1?x＜5} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|1?x＜2}2．（5分）復(fù)數(shù)z滿足z（1+2i）＝3+i，則＝（）A． B．1﹣i C． D．1+i3．（5分）已知曲線f（x）＝eax﹣1﹣ln（x+1）（x＞﹣1）在點（0，f（0））處的切線與直線x+2y+5＝0垂直，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣34．（5分）已知，，則sin2α＝（）A． B． C． D．5．（5分）已知函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．6．（5分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，O為其外心．若△ABC外接圓半徑為R，且，則m的值為（）A．1 B． C．2 D．7．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法錯誤的是（）A．∠PAB＝90° B．當(dāng)平面PCD⊥平面PAB時，PD＝5 C．M，N分別為AD，PC的中點，則MN∥平面PAB D．四棱錐P﹣ABCD外接球半徑的最小值為8．（5分）函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線．在數(shù)列{cn}中，c1＝1，，記數(shù)列{cn}的前n項積為Tn，數(shù)列{Tn}的前n項和為Sn，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4，則（）A． B． C．a(chǎn)2+2b≥8 D．（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝x（ex﹣e﹣x），?θ∈R，f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）?f（2+sinθ）恒成立，則（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 C．t可以取 D．當(dāng)時，f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）的取值范圍是（多選）11．（6分）如圖，三棱臺ABC﹣A1B1C1中，M是AC上一點，，CC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝CC1＝2A1B1＝2，則（）A．過點M有四條直線與AB，BC所成角均為 B．BB1⊥平面AB1C C．棱A1C1上存在點Q，使平面AB1Q∥平面BMC1 D．若點P在側(cè)面ABB1A1上運動，且CP與平面ABB1A1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知向量＝（x﹣1，1），＝（2，3），若⊥（+），則x＝．13．（5分）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，比如[2.6]＝2，[π]＝3，…，已知等差數(shù)列{an}的通項公式an＝2n+1，其前n項和為Sn，則使成立的最大整數(shù)為．14．（5分）某同學(xué)在同一坐標(biāo)系中分別畫出曲線C：y＝sinr，曲線D：y＝2cosr，曲線E：y＝﹣2cosr，作出直線，，直線x＝α交曲線C、D于M、N兩點，且M在N的上方，測得；直線x＝β交曲線C、E于P、Q兩點，且P在Q上方，測得，則cos（α+β）＝．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin2A＝cos2B，且．（1）求A﹣B的值；（2）若，求△ABC的面積．16．（15分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上的解析式；（2）已知點A（2，﹣1），點M是函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上的圖象上的點，求|MA|的最小值．17．（15分）如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC，PA＝AC＝BC＝3，D為PC的中點，G在線段PB上，且．（1）證明：AD⊥PB；（2）若BG的中點為H，求平面ADG與平面ADH夾角的余弦值．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx﹣1有兩個零點x1，x2（x1＜x2），函數(shù)．（1）解不等式g（x）＞0；（2）求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：．19．（17分）定義數(shù)列{an}為“階梯數(shù)列”：，，，…，．（1）求“階梯數(shù)列”中，an+1與an的遞推關(guān)系；（2）證明：對k∈N*，數(shù)列{a2k﹣1}為遞減數(shù)列；（3）證明：．

2024-2025學(xué)年安徽省鼎尖教育聯(lián)盟高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（5分）已知集合，N＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，則M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜5} B．{x|1?x＜5} C．{x|﹣1＜x＜2} D．{x|1?x＜2}【答案】D【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：由題意可知，M＝{x|1?x＜5}，N＝{x|﹣1＜x＜2}，故M∩N＝{x|1?x＜2}．故選：D．2．（5分）復(fù)數(shù)z滿足z（1+2i）＝3+i，則＝（）A． B．1﹣i C． D．1+i【答案】D【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：∵z（1+2i）＝3+i，∴，∴．故選：D．3．（5分）已知曲線f（x）＝eax﹣1﹣ln（x+1）（x＞﹣1）在點（0，f（0））處的切線與直線x+2y+5＝0垂直，則a的值為（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【答案】C【分析】求出原函數(shù)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)值，再由題意列式求解a值．【解答】解：由f（x）＝eax﹣1﹣ln（x+1），得，則f′（0）＝a﹣1，而直線x+2y+5＝0的斜率為，由題意可得，即a﹣1＝2，解得a＝3．故選：C．4．（5分）已知，，則sin2α＝（）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出三角函數(shù)的值．【解答】解：因為，所以，所以．又，則sinα＞0，cosα＜0，即cosα﹣sinα＜0．所以，因為，所以sin2α＜0．由，可得，即，符合題意．故選：C．5．（5分）已知函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)、對勾函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組求解即可．【解答】解：因為在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以，即，解得．所以a的取值范圍為[，1）．故選：D．6．（5分）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，O為其外心．若△ABC外接圓半徑為R，且，則m的值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形外心性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積運算，得a＝mR，再利用正弦定理，即可求得m．【解答】解：如圖所示，過點O作OD⊥AB交AB于D，OE⊥AC交AC于E，由點O為△ABC的外心，可得D，E分別是AB，AC的中點，則，，由，可得，即，整理得ccosB+bcosC＝mR，即a＝mR，由正弦定理，可得，故．故選：B．7．（5分）在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，平面PAD⊥平面ABCD，則下列說法錯誤的是（）A．∠PAB＝90° B．當(dāng)平面PCD⊥平面PAB時，PD＝5 C．M，N分別為AD，PC的中點，則MN∥平面PAB D．四棱錐P﹣ABCD外接球半徑的最小值為【答案】B【分析】根據(jù)題意易得AB⊥平面PAD，再由線面垂直的性質(zhì)，二面角的概念，線面平行的判定定理，四棱錐的外接球的求法，針對各個選項分別求解即可．【解答】解：因為在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面PAD，又AP?平面PAD，所以AB⊥AP，所以∠PAB＝90°，所以A選項正確；若平面PCD⊥平面PAB，則兩平面所成的二面角為90°，設(shè)平面PCD∩平面PAB＝l，因為AB∥CD，又AB?平面PCD，CD?平面PCD，所以AB∥平面PCD，又AB?平面PAB，且平面PCD∩平面PAB＝l，AB∥l，又AB⊥平面PAD，所以l⊥平面PAD，所以∠APD＝90°，在Rt△PAD中，PA＝3，AD＝4，所以，故B錯誤；取BC中點為Q，則MQ∥AB可得MQ∥平面PAB，NQ∥PB，所以NQ∥平面PAB，所以平面MNQ∥平面PAB，因MN?平面MNQ，所以MN∥平面PAB，故C正確；設(shè)四棱錐P﹣ABCD外接球的球心為O，O在平面PAD、平面ABCD的射影分別為O1、O2，易知四邊形OO1MO2為矩形，OA為外接球半徑，所以，所以，僅當(dāng)O1、M重合時取等，此時∠APD＝90°，，故D正確．故選：B．8．（5分）函數(shù)的圖象猶如兩條飄逸的綢帶而被稱為飄帶函數(shù)，也是兩條優(yōu)美的雙曲線．在數(shù)列{cn}中，c1＝1，，記數(shù)列{cn}的前n項積為Tn，數(shù)列{Tn}的前n項和為Sn，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由數(shù)列的裂項相消求和與數(shù)列的單調(diào)性，計算可得所求取值范圍．【解答】解：在數(shù)列{cn}中，c1＝1，，可得＝n﹣，即有cn＝＝，n≥2，即有Tn＝＝1×××...×＝＝＝2（﹣），則Sn＝T1+T2+...+Tn＝2（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）＝2（1﹣），由于n≥2，{Sn}遞增，可得S2≤Sn＜2，即為≤Sn＜2．故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．（6分）已知a＞0，b＞0，且a+b＝4，則（）A． B． C．a(chǎn)2+2b≥8 D．【答案】AD【分析】由已知結(jié)合基本不等式及相關(guān)結(jié)論檢驗各選項即可判斷．【解答】解：a＞0，b＞0，且a+b＝4，．故A正確；因為＝，當(dāng)前僅當(dāng)a＝b＝1時取等號，所以，B錯誤；因a＞0，b＞0，且a+b＝4，a2+2b＝a2+2（4﹣a）＝（a﹣1）2+7≥7，故C錯誤；因為，令，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性可定，當(dāng)x＝2時，f（x）取得最小值8．所以故D正確．故選：AD．（多選）10．（6分）已知函數(shù)f（x）＝x（ex﹣e﹣x），?θ∈R，f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）?f（2+sinθ）恒成立，則（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增 C．t可以取 D．當(dāng)時，f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）的取值范圍是【答案】ABC【分析】由偶函數(shù)的定義可得A正確；由遞增函數(shù)的定義可得B正確；由函數(shù)為遞增函數(shù)可得，再令，由輔助角公式得到，解出可得C正確；由輔助角公式得到，再畫函數(shù)圖像可得D錯誤；【解答】解：函數(shù)f（x）＝x（ex﹣e﹣x）的定義域為R，且f（﹣x）＝﹣x（e﹣x﹣ex）＝x（ex﹣e﹣x）＝f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，故A正確；設(shè)0＜x1＜x2，則，∴，故，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故B正確；故f（3t+tcosθ﹣2﹣sinθ）?f（2+sinθ）?|3t+tcosθ﹣2﹣sinθ|?|2+sinθ|，令，化為2sinθ﹣ycosθ＝3y﹣4，，故，解得，故，故C正確；∵時，，由圖可知，，故D錯誤．故選：ABC．（多選）11．（6分）如圖，三棱臺ABC﹣A1B1C1中，M是AC上一點，，CC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝CC1＝2A1B1＝2，則（）A．過點M有四條直線與AB，BC所成角均為 B．BB1⊥平面AB1C C．棱A1C1上存在點Q，使平面AB1Q∥平面BMC1 D．若點P在側(cè)面ABB1A1上運動，且CP與平面ABB1A1【答案】ACD【分析】由作直線與AB，BC所成角取值范圍是，判斷A；由CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AB，再由BC⊥AB，得AB⊥平面BCC1B1，從而AB⊥BB1，推導(dǎo)出BB1⊥AB1與AB⊥BB1矛盾，判斷B；在A1C1上取點Q，使，則，連接AQ，得四邊形QC1MA為平行四邊形，由此能推導(dǎo)出平面AB1Q∥平面C1BM，判斷C；點C到面A1AB距離為h，在三棱錐A1﹣ABC中，求出體積，得到點C到面A1AB距離，判斷D．【解答】解：∵過點M作直線與AB，BC所成角取值范圍是，∴過點M有四條直線與AB，BC所成角均為，故A正確；由CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AB，又BC⊥AB，故AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥BB1，若BB1⊥平面AB1C，∴BB1⊥AB1與AB⊥BB1矛盾，故B錯誤；在A1C1上取點Q，使，則，連接AQ，∴四邊形QC1MA為平行四邊形，∴AQ∥C1M，∵C1M?平面C1BM，∴AQ∥平面C1BM，∵AB1∥平面C1BM，∴平面AB1Q∥平面C1BM，故C正確；點C到面A1AB距離為h，在三棱錐A1﹣ABC中，其體積，∴，即點C到面A1AB距離為，設(shè)C在面ABB1A1投影為H，從而，∴，又，，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）已知向量＝（x﹣1，1），＝（2，3），若⊥（+），則x＝﹣7．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示建立方程求解即可．【解答】解：因為＝（x﹣1，1），＝（2，3），所以，因為⊥（+），所i，解得x＝﹣7．故答案為：﹣7．13．（5分）[x]表示不超過x的最大整數(shù)，比如[2.6]＝2，[π]＝3，…，已知等差數(shù)列{an}的通項公式an＝2n+1，其前n項和為Sn，則使成立的最大整數(shù)為63．【答案】63．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式，求出Sn，再結(jié)合取整函數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：等差數(shù)列{an}的通項公式an＝2n+1，則a1＝3，故＝n2+2n，∴，，∴，即，∴n（n+1）?4050，n＝63時，63×64＝4032＜4050；n＝64時，64×65＝4160＞4050．故n的最大值為63．故答案為：63．14．（5分）某同學(xué)在同一坐標(biāo)系中分別畫出曲線C：y＝sinr，曲線D：y＝2cosr，曲線E：y＝﹣2cosr，作出直線，，直線x＝α交曲線C、D于M、N兩點，且M在N的上方，測得；直線x＝β交曲線C、E于P、Q兩點，且P在Q上方，測得，則cos（α+β）＝．【答案】．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果．【解答】解：由于曲線C：y＝sinr，曲線D：y＝2cosr，曲線E：y＝﹣2cosr，作出直線，，直線x＝α交曲線C、D于M、N兩點，且M在N的上方，測得；所以：．則由，得令，則，同理，β∈（0，2）則，cos（α+β）＝cos[（α﹣φ）+（β+φ）]＝cos（α﹣φ）cos（β+φ）﹣sin（α﹣φ）sin（β+φ）＝．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin2A＝cos2B，且．（1）求A﹣B的值；（2）若，求△ABC的面積．【答案】（1）；（2）1．【分析】（1）由誘導(dǎo)公式結(jié)合已知計算即可；（2）由兩角和的正弦展開式和三角形的面積公式計算即可．【解答】解：（1）sin2A＝cos2B＝sin（），故或，當(dāng)時，不合題意，故2A﹣2B+，即A﹣B＝；（2）∵，由正弦定理得sinA＝sinB，即，∴sinB+＝sinB，即sinB＝cosB，則tanB＝1，由B為三角形內(nèi)角得，故，，故．16．（15分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上的解析式；（2）已知點A（2，﹣1），點M是函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上的圖象上的點，求|MA|的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)自變量x﹣3的范圍代入函數(shù)解析式即可；（2）設(shè)出M坐標(biāo)，根據(jù)兩點之間的距離公式列式即可．【解答】解：函數(shù)，（1）由題可知在（0，3）上，f（x）＝f（x﹣3），而﹣3＜x﹣3＜0，所以，即在（0，3）上，；（2）設(shè)M（x0，y0），＝，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得等號，解得，故|MA|的最小值為．17．（15分）如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，且AC⊥BC，PA＝AC＝BC＝3，D為PC的中點，G在線段PB上，且．（1）證明：AD⊥PB；（2）若BG的中點為H，求平面ADG與平面ADH夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析．（2）．【分析】（1）先證AD⊥平面PBC，根據(jù)線面垂直的定義證明線線垂直．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的大?。窘獯稹拷猓海?）證明：由于PA⊥底面ABC，并且BC?底面ABC，因此PA⊥BC，由于PA∩AC＝A，且PA，AC?平面PAC，并且AC⊥BC，因此BC⊥平面PAC，又由于AD?平面PAC，因此BC⊥AD，由于PA＝AC，且D為PC的中點，因此AD⊥PC，又由于PC∩BC＝C，且BC，PC?平面PBC，因此AD⊥平面PBC，由于PB?平面PBC，因此AD⊥PB．（2）根據(jù)題意可知，以點A為原點，以過點A且平行于BC的直線為x軸，AC，AP所在的直線分別為y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則PA＝AC＝BC＝3，可得，C（0，3，0），B（3，3，0），A（0，0，0），P（0，0，3），所以，，由于G在線段PB上，令，且0＜λ＜1，那么，由于，所以，因此，因此H（2，2，1），G（1，1，2），所以，，，設(shè)平面ADH的法向量為，那么令y＝1，可得，z＝﹣1，所以，設(shè)平面ADG的法向量為，那么令y＝1，可得z＝﹣1，x＝1，因此，設(shè)平面ADG與平面ADH的夾角為θ，可得，故平面ADG與平面ADH夾角的余弦值為．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣lnx﹣1有兩個零點x1，x2（x1＜x2），函數(shù)．（1）解不等式g（x）＞0；（2）求實數(shù)a的取值范圍；（3）證明：．【答案】（1）（1，+∞）；（2）{a|0＜a＜1}；（3）證明見解析．【分析】（1）由導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0可知g（x）為（0，+∞）上的增函數(shù)，得出不等式解集；（2）求導(dǎo)函數(shù)，分類討論參數(shù)a，當(dāng)a≤0時，函數(shù)單調(diào)不合題意；當(dāng)a＞0時，函數(shù)不單調(diào)，需要利用零點存在