2024-2025學(xué)年湖北省宜昌市協(xié)作體高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

宜昌市協(xié)作體高二期中考試數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚。3.考生作答時，請將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效。4.本卷命題范圍：人教A版必修第二冊第十章，選擇性必修第一冊第一章~第二章第3節(jié)。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線l:x2y30和直線m:2xy30的位置關(guān)系為A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直2.已知向量a(2x，b2)，且ab，則x=A.-3B.-1C.1D.03.已知直線l的一個方向向量為3)，則直線l的傾斜角為A.0B.C.D.6434.袋子中有一些大小質(zhì)地完全相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一球，摸出的球是紅球或白球的概率為0.56，摸出的球是紅球或黑球的概率為0.68，則摸出的球是白球或黑球的概率為A.0.645.如圖，已知,B,C是邊長為1的小正方形網(wǎng)格上不共線的三個格點，點P為平面ABC外一點，且B.0.72C.0.76D.0.82AP,ABAP,AC120，|AP3，若AOABAC，則|A.210B.C.6D.6.已知向量a(2,0)，b(0,4)，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為182713131827,,02736,,,0,A.B.1313C.D.25253557.若平面內(nèi)兩條平行直線1:x(ay20與l:ax2y102間的距離為，則實數(shù)a=A.1B.2C.1或2D.2或18.在正三棱錐P-ABC中，AB2PA2，且該三棱錐的各個頂點均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點O到m平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則n323A.B.3C.D.333二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.已知直線l:2x3y10，則1A.l不過原點C.l的斜率為B.l在x軸上的截距為2231D.l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1210.甲、乙兩個口袋中裝有除了編號不同外其余完全相同的號簽.其中甲袋中有編號為1,2,3的三個號簽；乙袋中有編號為1,2,3,4,5,6的六個號簽.現(xiàn)從甲、乙兩袋中各抽取1個號簽，從甲、乙兩袋抽取號簽的過程互不影響.記事件A：從甲袋中抽取號簽1；事件B：從乙袋中抽取號簽5；事件C：抽取的兩個號簽和為4；事件D：抽取的兩個號簽編號不同，則下列說法正確的是1A.P()2P(B)B.PC)6C.事件C與D互斥D.事件A與事件D相互獨立11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是DD，AB，CD，BC的中點，則1111111下列說法正確的有A.E，F(xiàn)，G，H四點共面B.BD與EF所成角的大小為3C.在線段BD上存在點M，使得MC1⊥平面EFGD.在線段A1B上任取一點N，三棱錐N-EFG的體積為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。xy12.已知直線l的方程為1，則坐標(biāo)原點到直線l的距離為________.4313.在長方體ABCD-ABCD中，若22，則直線BD1與CD之間的距離為________.1111114.九宮格數(shù)獨游戲是一種訓(xùn)練推理能力的數(shù)字謎題游戲.九宮格分為九個小宮格，某小九宮格如圖所示，小明需要在9個小格子中填上1~9中不重復(fù)的整數(shù)，小明通過推理已經(jīng)得到了4個小格子中的準(zhǔn)確數(shù)字，a,b,c,d,e這5個數(shù)字未知，且b,d為偶數(shù)，則cd8的概率為________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的頂點，B，B，C關(guān)于原點O對稱.（1）求BC邊上的高所在直線的一般式方程；（2）已知過點B的直線l平分△ABC的面積，求直線l的方程.16.（本小題滿分15分）CD2DC.如圖，在三棱柱ABC-ABC中，a，ACb，c，點D滿足11111（1）用a,b,c表示BD；1（2）若三棱錐A-ABC的所有棱長均為2，求|BD|及ACBD.111117.（本小題滿分15分）在菱形ABCD中，，AB=2，將菱形ABCD沿著BD翻折，得到三棱錐A-BCD如圖所示，此時36.（1）求證：平面ABD⊥平面BCD；（2）若點E是CD的中點，求直線BE與平面ABC所成角的正弦值.18.（本小題滿分17分）為培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學(xué)科綜合能力，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，某校數(shù)學(xué)組舉行了數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關(guān)形式.現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問題2312的概率分別是和.假設(shè)兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響.（1）若乙回答了4個問題，求乙至少有1個回答正確的概率；（2）若甲、乙兩人各回答了3個問題，求甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率；（3）假設(shè)某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答5次被退出比賽的概率.19.（本小題滿分17分）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，定義：過點(x,y,z)，且方向向量為m(a,b,c)（abc0）的直線的點方000xxyyzz0c，且法向量為向式方程為00；過點(x,y,z)m(a,b,c)（a2b2c20）的平面000ab的點法向式方程為a(xx)b(yy)c(zz)0，將其整理為一般式方程為axby0d0，其中00daxby.000（1）求經(jīng)過(4)，B(2,的直線的點方向式方程；:2x3yz10，1:xy2z40，（2）已知平面平面平面，1:(mx(2my(m2)z50，若l，l，證明：l//；11111P((，（3）已知斜三棱柱ABC-ABC中，側(cè)面ABBA所在平面經(jīng)過三點111112H，側(cè)面BCCB所在平面的一般式方程為yz40，側(cè)面ACCA所在平面的一般式方111122程為2x(2mz10，求平面ABBA與平面ACCA的夾角大小.1111宜昌市協(xié)作體高二期中考試·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則111.A直線l:x2y30和直線m:2xy30的斜率分別為，-2，因為(2)1，所以lm.故22選A.2.C因為ab，故ab2x420，即x1.故選C.3.D因為直線l的一個方向向量為3)，所以l的斜率k3，又ktan，所以tan3，因為[0,)，所以.故選D.34.C設(shè)摸出紅球的概率為P()，摸出白球的概率為P(B)，摸出黑球的概率為PC)，所以P()P(B)0.56，P()PC)0.68，且P()P(B)PC)1，所以PC)1P()P(B)0.44，P(B)1P()PC)0.32，所以P(B)PC)0.76，即摸出的球是白球或黑球的概率為0.76.故選C.5.B因為AOABAC，所以，則以(AP)2||222112222223232022323337，所22|37.故選B.abb9b96.D依題意，向量a在向量b上的投影向量為b，所以投影|b||b|022420224225927362525b,.故選D.向量的坐標(biāo)為251027.A①當(dāng)a1時，可得l:x20，l:x2y10，由，則此時不符合題意；②當(dāng)a1時，可12111aa11aa得直線l1的斜率1，直線l2的斜率k2，由，整理可得2aa20，則22(a2)(a0，解得a2或1，當(dāng)a2時，可得l:xy20，l:2x2y10，整理l的方程可212122123235得xy0，由兩平行直線之間的距離，所以此時不符合題意：當(dāng)a1時，可得1145l:x2y20，l:x2y10，整理l的方程可得x2y10，由兩平行直線之間的距離212|21|35，所以此時符合題意.綜上可得a1.故選A.1458.B在正三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，又PA=1，AB2，所以PA2PB2AB，所以PA⊥PB，同2理可得PA⊥PC，PC⊥PB，即PA，PB，PC兩兩垂直，把該三棱錐補成一個正方體，則三棱錐的外接球就1是正方體的外接球，正方體的體對角線就是外接球的直徑，易得m，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則2111111222，B，C，O,,，所以(0)，AC(，AO,,，設(shè)平222sxy面ABC的法向量為s(x,y,z)，則令x1，則yz1，所以s，則點O到平sxz|s|3mn面ABC的距離n，所以3.故選B.|s|619.ACD因為203010，所以l不過原點，所以A正確；令y0，得x，所以l在x軸上的2123133，所以B錯誤；把2x3y10化為yx，所以l的斜率為，所以C正確；把截距為22xy131121312x3y10化為1，所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，所以D正確.12122故選ACD.10.ABD樣本點有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，613316(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18種可能的結(jié)果，則P()包含的樣本點有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3種可能的結(jié)果，則PC)，P(B)，A正確；事件C181831，B正確；事件D包含的樣本點186有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，可能的結(jié)果，故事件C與D不互斥，C錯誤：P(D)A，D相互獨立，D正確.故選ABD.，由P(AD)P()P(D)，得183611.AD以A為原點，以AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，B，C，，B(2,2)，D(0,2)，E，F(xiàn)2)，11G0)，H，設(shè)xAEyAFz，則xyz，所以xyz12x2z解得y,故xyz1，即E，F(xiàn)，G，H四點共面，故A正確；因為BD(0)，23x2yz,2||63，所以|BD,|，所以BD與EF所成角的大小為，故B||||8626錯誤；假設(shè)在線段BD上存在點M，符合題意.設(shè)BD(0??，則(2,22,2)，若MC⊥平面EFG，則MCEF0，MCEG0.因為111111244222，EG，所以此方程組無解，所以在線段BD上不存在點M，使得MC⊥平面EFG，故C錯誤；因為AB(2,0,2)2，所以AB//EG，又AB1平面EFG，平111面EFG，所以AB//平面EFG，故AB上的所有點到平面EFG的距離即為B到平面EFG的距離，是定值，11又△EFG的面積是定值，所以在線段A1B上任取一點N，三棱錐N-EFG的體積為定值，故D正確.故選AD.12方法一：直線l過點與B，記到直線l的距離為d，則在△AOB中，12.51112△AOB|OA||||d，而|OA4，|OB3，|AB5，所以d.225方法二：直線l的方程改寫為3x4y120，由點到直線的距離公式，原點到直線l的距離為|304012|12.32(4)2525513.以AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸建立空間直線坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則(2)，1CD(0)，0)，設(shè)與BD，CD都垂直的一個向量n(x,y,z)，且n0，CDn0，11|n|2255取z1，則x0，y2，所以n(0,，所以直線BD與CD之間的距離為.1|n|51214.這個試驗的等可能結(jié)果用下表表示：abcde123851258332581321855218352381118523385213558321832581258123612共有12種等可能的結(jié)果，其中cd8的結(jié)果有6種，所以cd8的概率為.1215.解：（1）因為B，C關(guān)于原點O對稱，所以C(，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????1分1(12kBC，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分2(2)所以BC邊上高所在直線的斜率為2，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3分因為，所以BC邊上高所在直線的方程為y32(x，所以BC邊上高所在直線的一般式方程為2xy90.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5分（2）因為過點B的直線l平分△ABC的面積，1所以直線l經(jīng)過邊AC的中點,1，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7分2又B，所以直線l的方程y1.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????13分16.解：（1）因為GD2DC，123所以CDCC，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分1123所以BDBCCDCC1111122abc.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????7分133（2）因為三棱錐A1-ABC的所有棱長均為2，所以|a|b|c2，abbcac,,,，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分31abbcac222，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????11分243224943|BDabca2b2c22abbcac又131683832133444.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????13分9532223所以ACBDbcabcbcabbcac()211381010422.?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????15分33317.（1）證明：因為四邊形ABCD是菱形，，所以△BAD與△BCD均為正三角形，3取BD的中點O，連結(jié)OA，OC，則OA⊥BD，???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2分因為AB=2，所以3，因為2262，所以O(shè)A⊥OC，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????4分又BDOCO，BD，OC平面BCD，所以O(shè)A⊥平面BCD.????????????????????????????????????????????????????????????????????5分因為平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCD.????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6分（2）解：由（1）可知，OA，OB，OC兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OB，OC，OA所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則(0,3)，B，C3,0)，(，1333因為E是CD的中點，所以E,,0，所以(3)BC(3,0),,0，，，??2222?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9分mx3z設(shè)m(x,y,z)為平面ABC的一個法向量，則mx3y令y1，得x3，z1，所以m(3.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????11分332353m52cosBE,m，??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????13分|||m|55設(shè)直線BE與平面ABC所成角為，則sin|BE,m，所以直線BE與平面ABC所成角的正弦55值為.???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????15分518.解：（1）記“乙至少有1個回答正確”為事件M，111115222216所以P(M)1P(M)11111，15即乙至少有1個回答正確的概率是.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5分16（2）記“甲答對第i個問題”為事件Ai2,3)，“乙答對第i個問題”為事件Bi2,3)，則甲回答正確的ii個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個為事件AAABBBAAABBBAAABBBAAABBB123123123123123123123123AAABBBAAABBB，123123123123232所以P(AAABBBAAABBBAAABBBAAABBBAAABBBAAABBB)312312312312312312312312312312312312321112232321112323211111232211111113322232223321122211122333222232211133222161111111111，1即甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率是.?????????????????????????????????????????????????????????????11分6（3）記“甲答對第i個問題”為事件ii2,3,4,5)，則甲恰好回答5次被退出比賽為事件AAAAAAAA12345123AAAAAAA，4512345所以P(AAAAAAAAAAAAAAA)P(AAAAA)P(AAAAA)P(AAAAA)5123451234512345123451234123452323222333232222222221611111，11133333333324316即甲恰好回答5次被退出比賽的概率是.??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????17分243m，?????????????????????????????1分19.（1）解：由(4)，B得，直線AB的方向向量為x1y2z4x2若答案寫為：y2z13也正確故直線AB的點方向式方程為.???????????????????????3分3233（2）證明：由平面:2x3yz10可知，平面的法向量為m(2,，???????????????????????????????????4分111由平面:xy2z40可知，平面的法向量為m2)，??????????????????????????????????????????????????????????5分112，n(x,y,z)，則mn0mn0設(shè)交線l的方向向量為2x3yz，????????????????????????????????????????????????????????????????6分00012000z1x1y1n，故，???????????????????????????????