江西鷹潭市第一中學2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析_第1頁
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江西鷹潭市第一中學2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設集合,,則集合A. B. C. D.2.集合,,則=()A. B.C. D.3.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.4.在復平面內,復數(shù)z=i對應的點為Z,將向量繞原點O按逆時針方向旋轉,所得向量對應的復數(shù)是()A. B. C. D.5.已知函數(shù)是偶函數(shù),當時,函數(shù)單調遞減,設,,,則的大小關系為()A. B. C. D.6.若不等式對于一切恒成立,則的最小值是()A.0 B. C. D.7.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE.,異面直線SC與OE所成角的正切值為()A. B. C. D.8.已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)9.設拋物線的焦點為F,拋物線C與圓交于M,N兩點,若,則的面積為()A. B. C. D.10.直線與拋物線C:交于A,B兩點,直線,且l與C相切,切點為P,記的面積為S,則的最小值為A. B. C. D.11.設全集集合,則()A. B. C. D.12.函數(shù)的大致圖象是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.根據如圖所示的偽代碼,若輸出的的值為,則輸入的的值為_______.14.等差數(shù)列(公差不為0),其中,,成等比數(shù)列,則這個等比數(shù)列的公比為_____.15.在數(shù)列中,,,曲線在點處的切線經過點,下列四個結論:①;②;③;④數(shù)列是等比數(shù)列;其中所有正確結論的編號是______.16.在中,為定長,,若的面積的最大值為,則邊的長為____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在三棱錐中,是邊長為的正三角形,平面平面,,M、N分別為、的中點.?(1)證明:;(2)求三棱錐的體積.18.(12分)第7屆世界軍人運動會于2019年10月18日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項,329個小項.共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運會順利召開,武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動,努力讓大家更多的了解軍運會的相關知識,并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況,在全市開展了網上問卷調查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據,統(tǒng)計結果如下:組別頻數(shù)5304050452010(1)若此次問卷調查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計總體,設,分別為這200人得分的平均值和標準差(同一組數(shù)據用該區(qū)間中點值作為代表),求,的值(,的值四舍五入取整數(shù)),并計算;(2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動,市體育局還對參加問卷調查的幸運市民制定如下獎勵方案:得分低于的可以獲得1次抽獎機會,得分不低于的可獲得2次抽獎機會,在一次抽獎中,抽中價值為15元的紀念品A的概率為,抽中價值為30元的紀念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調查并成為幸運參與者,記Y為他參加活動獲得紀念品的總價值,求Y的分布列和數(shù)學期望,并估算此次紀念品所需要的總金額.(參考數(shù)據:;;.)19.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當時,求證:.20.(12分)已知函數(shù).若在定義域內存在,使得成立,則稱為函數(shù)的局部對稱點.(1)若a,且a≠0,證明:函數(shù)有局部對稱點;(2)若函數(shù)在定義域內有局部對稱點,求實數(shù)c的取值范圍;(3)若函數(shù)在R上有局部對稱點,求實數(shù)m的取值范圍.21.(12分)已知矩陣,二階矩陣滿足.(1)求矩陣;(2)求矩陣的特征值.22.(10分)一張邊長為的正方形薄鋁板(圖甲),點,分別在,上,且(單位:).現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開,再將沿折疊,沿折疊,使,重合,且重合于點,制作成一個無蓋的三棱錐形容器(圖乙),記該容器的容積為(單位:),(注:薄鋁板的厚度忽略不計)(1)若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋,求,的值;(2)試確定的值,使得無蓋三棱錐容器的容積最大.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先求出集合和它的補集,然后求得集合的解集,最后取它們的交集得出結果.【詳解】對于集合A,,解得或,故.對于集合B,,解得.故.故選B.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查對數(shù)不等式的解法,考查集合的補集和交集的運算.對于有兩個根的一元二次不等式的解法是:先將二次項系數(shù)化為正數(shù),且不等號的另一邊化為,然后通過因式分解,求得對應的一元二次方程的兩個根,再利用“大于在兩邊,小于在中間”來求得一元二次不等式的解集.2、C【解析】

先化簡集合A,B,結合并集計算方法,求解,即可.【詳解】解得集合,所以,故選C.【點睛】本道題考查了集合的運算,考查了一元二次不等式解法,關鍵化簡集合A,B,難度較?。?、C【解析】

令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據正弦函數(shù)的性質可知,將以上各式相加得:故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.4、A【解析】

由復數(shù)z求得點Z的坐標,得到向量的坐標,逆時針旋轉,得到向量的坐標,則對應的復數(shù)可求.【詳解】解:∵復數(shù)z=i(i為虛數(shù)單位)在復平面中對應點Z(0,1),

∴=(0,1),將繞原點O逆時針旋轉得到,

設=(a,b),,則,即,

又,解得:,∴,對應復數(shù)為.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,是基礎題.5、A【解析】

根據圖象關于軸對稱可知關于對稱,從而得到在上單調遞增且;再根據自變量的大小關系得到函數(shù)值的大小關系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關于軸對稱圖象關于對稱時,單調遞減時,單調遞增又且,即本題正確選項:【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調性比較函數(shù)值的大小關系問題,關鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調性,通過自變量的大小關系求得結果.6、C【解析】

試題分析:將參數(shù)a與變量x分離,將不等式恒成立問題轉化為求函數(shù)最值問題,即可得到結論.解:不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0,]成立,等價于a≥-x-對于一切成立,∵y=-x-在區(qū)間上是增函數(shù)∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C.考點:不等式的應用點評:本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉化思想,屬于中檔題7、D【解析】

可過點S作SF∥OE,交AB于點F,并連接CF,從而可得出∠CSF(或補角)為異面直線SC與OE所成的角,根據條件即可求出,這樣即可得出tan∠CSF的值.【詳解】如圖,過點S作SF∥OE,交AB于點F,連接CF,則∠CSF(或補角)即為異面直線SC與OE所成的角,∵,∴,又OB=3,∴,SO⊥OC,SO=OC=3,∴;SO⊥OF,SO=3,OF=1,∴;OC⊥OF,OC=3,OF=1,∴,∴等腰△SCF中,.故選:D.【點睛】本題考查了異面直線所成角的定義及求法,直角三角形的邊角的關系,平行線分線段成比例的定理,考查了計算能力,屬于基礎題.8、C【解析】

由奇函數(shù)的性質可得,進而可知在R上為增函數(shù),轉化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因為是定義在R上的奇函數(shù),所以,即,解得,即,易知在R上為增函數(shù).又,所以,解得.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)單調性和奇偶性的應用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.9、B【解析】

由圓過原點,知中有一點與原點重合,作出圖形,由,,得,從而直線傾斜角為,寫出點坐標,代入拋物線方程求出參數(shù),可得點坐標,從而得三角形面積.【詳解】由題意圓過原點,所以原點是圓與拋物線的一個交點,不妨設為,如圖,由于,,∴,∴,,∴點坐標為,代入拋物線方程得,,∴,.故選:B.【點睛】本題考查拋物線與圓相交問題,解題關鍵是發(fā)現(xiàn)原點是其中一個交點,從而是等腰直角三角形,于是可得點坐標,問題可解,如果僅從方程組角度研究兩曲線交點,恐怕難度會大大增加,甚至沒法求解.10、D【解析】

設出坐標,聯(lián)立直線方程與拋物線方程,利用弦長公式求得,再由點到直線的距離公式求得到的距離,得到的面積為,作差后利用導數(shù)求最值.【詳解】設,,聯(lián)立,得則,則由,得設,則,則點到直線的距離從而.令當時,;當時,故,即的最小值為本題正確選項:【點睛】本題考查直線與拋物線位置關系的應用,考查利用導數(shù)求最值的問題.解決圓錐曲線中的面積類最值問題,通常采用構造函數(shù)關系的方式,然后結合導數(shù)或者利用函數(shù)值域的方法來求解最值.11、A【解析】

先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.【點睛】本題考查集合的基本運算,涉及到補集、交集運算,是一道容易題.12、A【解析】

用排除B,C;用排除;可得正確答案.【詳解】解:當時,,,所以,故可排除B,C;當時,,故可排除D.故選:A.【點睛】本題考查了函數(shù)圖象,屬基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

算法的功能是求的值,根據輸出的值,分別求出當時和當時的值即可得解.【詳解】解:由程序語句知:算法的功能是求的值,當時,,可得:,或(舍去);當時,,可得:(舍去).綜上的值為:.故答案為:.【點睛】本題考查了選擇結構的程序語句,根據語句判斷算法的功能是解題的關鍵,屬于基礎題.14、4【解析】

根據等差數(shù)列關系,用首項和公差表示出,解出首項和公差的關系,即可得解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為,由題意得:,則整理得,,所以故答案為:4【點睛】此題考查等差數(shù)列基本量的計算,涉及等比中項,考查基本計算能力.15、①③④【解析】

先利用導數(shù)求得曲線在點處的切線方程,由此求得與的遞推關系式,進而證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此判斷出四個結論中正確的結論編號.【詳解】∵,∴曲線在點處的切線方程為,則.∵,∴,則是首項為1,公比為的等比數(shù)列,從而,,.故所有正確結論的編號是①③④.故答案為:①③④【點睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法,考查根據遞推關系式證明等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項公式和前項和公式,屬于基礎題.16、【解析】

設,以為原點,為軸建系,則,,設,,,利用求向量模的公式,可得,根據三角形面積公式進一步求出的值即為所求.【詳解】解:設,以為原點,為軸建系,則,,設,,則,即,由,可得.則.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,建系是關鍵,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)取中點,連接,,證明平面,由線面垂直的性質可得;(2)由,即可求得三棱錐的體積.【詳解】解:(1)證明:取中點D,連接,.因為,,所以且,因為,平面,平面,所以平面.又平面,所以;(2)解:因為平面,平面,所以平面平面,過N作于E,則平面,因為平面平面,,平面平面,平面,所以平面,又因為平面,所以,由于,所以所以,所以.【點睛】本題考查線面垂直,考查三棱錐體積的計算,解題的關鍵是掌握線面垂直的判定與性質,屬于中檔題.18、(1),,;(2)詳見解析.【解析】

(1)根據頻率分布表計算出平均數(shù),進而計算方差,從而X~N(65,142),計算P(51<X<93)即可;(2)列出Y所有可能的取值,分布求出每個取值對應的概率,列出分布列,計算期望,進而可得需要的總金額.【詳解】解:(1)由已知頻數(shù)表得:,,由,則,而,所以,則X服從正態(tài)分布,所以;(2)顯然,,所以所有Y的取值為15,30,45,60,,,,,所以Y的分布列為:Y15304560P所以,需要的總金額為:.【點睛】本題考查了利用頻率分布表計算平均數(shù),方差,考查了正態(tài)分布,考查了離散型隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望,主要考查數(shù)據分析能力和計算能力,屬于中檔題.19、(1)的極小值為,無極大值.(2)見解析.【解析】

(1)對求導,確定函數(shù)單調性,得到函數(shù)極值.(2)構造函數(shù),證明恒成立,得到,,得證.【詳解】(1)由題意知,,令,得,令,得.則在上單調遞減,在上單調遞增,所以的極小值為,無極大值.(2)當時,要證,即證.令,則,令,得,令,得,則在上單調遞減,在上單調遞增,所以當時,,所以,即.因為時,,所以當時,,所以當時,不等式成立.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調性,極值,不等式的證明,構造函數(shù)是解題的關鍵.20、(1)見解析(2)(3)【解析】

(1)若函數(shù)有局部對稱點,則,即有解,即可求證;(2)由題可得在內有解,即方程在區(qū)間上有解,則,設,利用導函數(shù)求得的范圍,即可求得的范圍;(3)由題可得在上有解,即在上有解,設,則可變形為方程在區(qū)間內有解,進而求解即可.【詳解】(1)證明:由得,代入得,則得到關于x的方程,由于且,所以,所以函數(shù)必有局部對稱點(2)解:由題,因為函數(shù)在定義域內有局部對稱點所以在內有解,即方程在區(qū)間上有解,所以,設,則,所以令,則,當時,,故函數(shù)在區(qū)間上單調遞減,

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