考點(diǎn)8 計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)-五年（2020-2024）高考數(shù)學(xué)真題專(zhuān)項(xiàng)分類(lèi)匯編

五年（2020-2024）高考真題專(zhuān)項(xiàng)分類(lèi)匯編PAGEPAGE4考點(diǎn)8計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)——五年（2020—2024）高考數(shù)學(xué)真題專(zhuān)項(xiàng)分類(lèi)匯編一、選擇題1．[2022新高考Ⅰ卷]從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為()A. B. C. D.2．[2020年新高考Ⅱ卷]要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有()A.2種 B.3種 C.6種 D.8種3．[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有().A.種 B.種 C.種 D.種4．[2022年新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種5．[2021新高考Ⅰ卷]有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()

A.甲與丙相互獨(dú)立 B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立 D.丙與丁相互獨(dú)立6．[2020年新高考Ⅰ卷]6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去一個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有()A.120種 B.90種 C.60種 D.30種7．[2021年新高考Ⅱ卷]某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論中不正確的是()A.越小，該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大B.該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10的概率是0.5C.該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D.該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率與落在內(nèi)的概率相等8．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：）并部分整理如下表所示.畝產(chǎn)量頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是()A.100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于B.100塊稻田中畝產(chǎn)量低于的稻田所占比例超過(guò)C.100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于到之間D.100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于到之間二、多項(xiàng)選擇題9．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差.已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布，則（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則）()A. B. C. D.10．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]有一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其中是最小值，是最大值，則()A.，，，的平均數(shù)等于，，…，的平均數(shù)B.，，，的中位數(shù)等于，，…，的中位數(shù)C.，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不小于，，…，的標(biāo)準(zhǔn)差D.，，，的極差不大于，，…，的極差11．[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次，收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）()A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D.當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率三、填空題12．[2022年新高考Ⅱ卷]已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則__________.13．[2022年新高考Ⅰ卷]的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）.14．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有__________種（用數(shù)字作答）.15．[2024年新課標(biāo)Ⅰ卷]甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8.兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為_(kāi)__________.16．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]在如圖的的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有__________種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是__________.四、解答題17．[2023年新課標(biāo)Ⅱ卷]某研究小組經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過(guò)大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖： 利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽(yáng)性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽(yáng)性的概率，記為.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）當(dāng)漏診率時(shí)，求臨界值c和誤診率；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求的解析式，并求在區(qū)間的最小值.18．[2022年新高考Ⅱ卷]在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；（3）已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.19．[2021年新高考Ⅰ卷]某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).（1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列.（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.20.[2022年新高考Ⅰ卷]一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類(lèi)）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例（稱(chēng)為病例組），同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人（稱(chēng)為對(duì)照組），得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對(duì)照組1090（1）能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對(duì)患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.（ⅰ）證明：；（ⅱ）利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出，的估計(jì)值，并利用（ⅰ）的結(jié)果給出R的估計(jì)值.附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821．[2023年新課標(biāo)Ⅰ卷]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8，由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.（1）求第2次投籃的人是乙的概率.（2）求第i次投籃的人是甲的概率.（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，則，記前n次（即從第1次到第n次投籃）中甲投籃的次數(shù)為Y，求.22．[2024年新課標(biāo)Ⅱ卷]某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成.比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中1次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分，該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立.（1）若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率.（2）假設(shè).（ⅰ）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？（ⅱ）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？

——★參考答案★——1．答案：D解析：從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，，，，，，共7種，故所求概率.故選D.2．答案：C解析：方法共有種.故選C.3．答案：D解析：根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取人，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理，則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選D.4．答案：B解析：法一：丙和丁相鄰共有種站法，甲站在兩端且丙和丁相鄰共有種站法，所以甲不站在兩端且丙和丁相鄰共有種站法.法二：因?yàn)楸投∠噜?，所以先把丙和丁捆綁，看成一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列，有種排列方式；又甲不站在兩端，所以甲只需在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙和丁兩人的順序可交換，有2種排列方式.故共有種不同的排列方式，故選B.5．答案：B解析：本題考查獨(dú)立事件的概念.由于有放回的取球，則，，，，，，，，其中，故甲與丁相互獨(dú)立.6．答案：C解析：第一步：安排甲場(chǎng)館的志愿者，則甲場(chǎng)館的安排方法有種，第二步：安排乙場(chǎng)館的志愿者，則乙場(chǎng)館的安排方法有種，第三步：安排丙場(chǎng)館的志愿者，則丙場(chǎng)館的安排方法有種.所以共有種不同的安排方法.故選C.7．答案：D解析：對(duì)于A，越小，代表正態(tài)曲線越陡，故A正確；對(duì)于B，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，則正態(tài)曲線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，故B正確；對(duì)于C，結(jié)合正態(tài)曲線可知與關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸（直線）對(duì)稱(chēng)，故C正確；對(duì)于D，結(jié)合正態(tài)曲線可知，區(qū)間與不關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸（直線）對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤.故選D.8．答案：C解析：對(duì)于A，因?yàn)榍?組的頻率之和，前4組的頻率之和，所以100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)所在的區(qū)間為，故A不正確；對(duì)于B，100塊稻田中畝產(chǎn)量低于的稻田所占比例為，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所?00塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于至之間，故C正確；對(duì)于D，100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值為，故D不正確.故選C.9．答案：BC解析：由題意可知，，所以，，所以，所以A錯(cuò)誤，B正確.因?yàn)?，所以，，所以，所以，（另解：）所以C正確，D錯(cuò)誤.故選BC.10．答案：BD解析：對(duì)于選項(xiàng)A：，不確定，，，…，的平均數(shù)不確定，如1，2，2，2，2，4的平均數(shù)不等于2，2，2，2的平均數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：不妨設(shè)，則，，，的中位數(shù)為，，，，，，的中位數(shù)為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，，，，，的波動(dòng)性不小于，，，的波動(dòng)性，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差不大于，，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：不妨設(shè)，則，，即，，，的極差不大于，，，，，的極差，故D正確.故選BD.11．答案：ABD解析：對(duì)于A選項(xiàng)，采用單次傳輸方案，依次發(fā)送1，0，1，依次收到1，0，1的概率為，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，依次收到1，0，1的概率為，所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，采用三次傳輸方案，發(fā)送1，依次收到1，1，1（即譯碼為1）的概率為；發(fā)送1，依次收到1，0，1（即譯碼為1），0，1，1（即譯碼為1），1，1，0（即譯碼為1）的概率為，于是譯碼為1的概率為，所以C選項(xiàng)不正確.對(duì)于D選項(xiàng)，采用三次傳輸方案，發(fā)送0，依次收到0，0，0（即譯碼為0）的概率為；發(fā)送0，依次收到0，0，1（即譯碼為0），0，1，0（即譯碼為0），1，0，0（即譯碼為0）的概率為，于是譯碼為0的概率為.采用單次傳輸方案，發(fā)送0，譯碼為0的概率為.依題意，有，，即，.令函數(shù)，，則在上恒成立，所以D選項(xiàng)正確.故選ABD.12．答案：0.14解析：隨機(jī)變量X的均值為2，所以由對(duì)稱(chēng)性，可得，因此.13．答案：-28解析：展開(kāi)式的通項(xiàng)，.令，得，令，得，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.14．答案：64解析：法一：由題意，可分三類(lèi)：第一類(lèi)，體育類(lèi)選修課和藝術(shù)類(lèi)選修課各選修1門(mén)，有種方案；第二類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修1門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修2門(mén)，有種方案；第三類(lèi)，在體育類(lèi)選修課中選修2門(mén)，在藝術(shù)類(lèi)選修課中選修1門(mén)，有種方案.綜上，不同的選課方案共有（種）.法二：若學(xué)生從這8門(mén)課中選修2門(mén)課，則有（種）選課方案；若學(xué)生從這8門(mén)課中選修3門(mén)課，則有（種）選課方案.綜上，不同的選課方案共有（種）.15．答案：解析：因?yàn)榧壮隹ㄆ?一定輸，出其他卡片有可能贏，所以四輪比賽后，甲的總得分最多為3.若甲的總得分為3，則甲出卡片3，5，7時(shí)都贏，所以只有1種組合：，，，.若甲的總得分為2，有以下三類(lèi)情況：第一類(lèi)，當(dāng)甲出卡片3和5時(shí)贏，只有1種組合，為，，，；第二類(lèi)，當(dāng)甲出卡片3和7時(shí)贏，有，，，或，，，或，，，，共3種組合；第三類(lèi)，當(dāng)甲出卡片5和7時(shí)贏，有，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，或，，，，共7種組合.綜上，甲的總得分不小于2共有12種組合，而所有不同的組合共有（種），所以甲的總得分不小于2的概率.16．答案：24；112解析：第一步，從第一行任選一個(gè)數(shù)，共有4種不同的選法；第二步，從第二行選一個(gè)與第一個(gè)數(shù)不同列的數(shù)，共有3種不同的選法；第三步，從第三行選一個(gè)與第一、二個(gè)數(shù)均不同列的數(shù)，共有2種不同的選法；第四步，從第四行選一個(gè)與第一、二、三個(gè)數(shù)均不同列的數(shù)，只有1種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為.先按列分析，每列必選出一個(gè)數(shù)，故所選4個(gè)數(shù)的十位上的數(shù)字分別為1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行個(gè)位上的數(shù)字的最大值分別為1，3，3，5，故從第一行選21，從第二行選33，從第三行選43，從第4行選15，此時(shí)個(gè)位上的數(shù)字之和最大.故選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值為.17．答案：（1）；（2）；0.02解析：（1）依題可知，左邊圖形第一個(gè)小矩形的面積為，所以，所以，解得，.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故所以在區(qū)間的最小值為0.02.18．答案：（1）47.9歲（2）0.89（3）0.0014解析：（1）估計(jì)該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡為歲.（2）估計(jì)該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率.（3）設(shè)事件A：此人患這種疾病，事件B：此人年齡位于區(qū)間，則由題意知，，所以若此人年齡位于，則此人患這種疾病的概率.19．答案：（1）X的分布列見(jiàn)解析（2）小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題解析：（1）由題知，X的所有可能取值為0，20，100，則，，，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48（2）小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題，理由如下：由（1