山東省濟(jì)寧市兗州區(qū)高二上學(xué)期期中質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試題2024.11一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知平面的一個(gè)法向量為，直線的一個(gè)方向向量為，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的垂直關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得．故選:B2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件A，“第二枚硬幣反面朝上”為事件B，則下述正確的是（）.A.A與B對立 B.A與B互斥C. D.A與B相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），則事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），顯然事件，事件都包含“（正，反）”這一結(jié)果，即事件，事件能同時(shí)發(fā)生，所以，事件，事件既不互斥也不對立，故AB錯(cuò)誤.又因?yàn)?，而，，所以，，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D3.已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)在線上及兩點(diǎn)間距離得出，再求出半徑，得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓心的坐標(biāo)為.因?yàn)閳A心在直線上，所以①，因?yàn)槭菆A上兩點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，即②，由①②可得.所以圓心的坐標(biāo)是），圓的半徑.所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選:C.4.甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無平局情況），第一局通過擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負(fù)者先著子，則甲通過前兩局獲得勝利的概率（）A.0.5 B.0.6 C.0.357 D.0.275【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可.【詳解】由題意，第一局甲先著子，甲前兩局獲勝的概率為，第一局乙先著子，甲前兩局獲勝的概率為，故甲前兩局獲勝的概率為.

故選：D.5.在正方體中，是棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的方法求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.【點(diǎn)睛】6.若直線與圓，圓都相切，切點(diǎn)分別、，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線交軸于點(diǎn)，推導(dǎo)出為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，利用勾股定理可求得.【詳解】如下圖所示，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，由于直線與圓，圓都相切，切點(diǎn)分別為、，則，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，由勾股定理可得.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出為的中點(diǎn)，并利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，此外，在直線與圓相切的問題時(shí)，要注意利用圓心與切點(diǎn)的連線與切線垂直這一幾何性質(zhì).7.已知點(diǎn)，．若直線與線段無公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線的點(diǎn)斜式方程求出定點(diǎn)，直線與線段無公共點(diǎn)，結(jié)合圖形可得直線斜率的范圍，利用直線的斜率公式即可求解.【詳解】由，得，所以直線的方程恒過定點(diǎn)，斜率為.因?yàn)?，，所以?如圖所示，由圖象可知，，即時(shí)，直線與線段無公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A.8.在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，則直線到平面的距離為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，所以直線到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，所以直線到平面的距離為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知事件，發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A.B.若與互斥，則C.若與相互獨(dú)立，則D.若，則與相互獨(dú)立【答案】CD【解析】【分析】由交事件的定義可判斷A選項(xiàng)；利用互斥事件的概率公式可判斷B選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判斷C選項(xiàng)；利用獨(dú)立事件的概念可判斷D選項(xiàng)；【詳解】對于A選項(xiàng)，若，則，所以，A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，若與互斥，則，B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，若與相互獨(dú)立，則，所以，，C正確；對于D選項(xiàng)，若，且，所以事件與相互獨(dú)立，則事件與相互獨(dú)立，D正確；故選：CD.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓與圓，分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)作圓M的切線有且只有一條B.若圓和圓恰有3條公切線，則C.若PQ的最小值為1，則D.若，則直線的斜率的最大值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，分別求得圓和圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓與原的位置關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，圓，可得圓心為，半徑為，對于A中，由點(diǎn)在圓外，所以過點(diǎn)的切線有2條，所以A不正確；對于B中，若圓和圓恰有3條公切線，則圓和圓相外切，所以，即，解得，所以B正確；對于C中，當(dāng)圓和圓外離時(shí)，可得PQ的最小值為，此時(shí)；當(dāng)圓和圓內(nèi)含時(shí)，可得PQ的最小值為，此時(shí)，所以C不正確；對于D中，當(dāng)時(shí)，則直線的斜率的最大值是斜率為正的內(nèi)公切線斜率，如圖所示，，且，所以，在直角，可得，所以，即直線PQ的斜率的最大值為，所以D正確.故選：BD.11.已知正方體的棱長為2，如圖，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面，則下列說法正確的是（）A.直線AB與平面所成角的正弦值范圍為B.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大C.當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，若平面經(jīng)過點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面圖形是等腰梯形D.已知為的中點(diǎn)，當(dāng)?shù)暮妥钚r(shí)，則【答案】ACD【解析】【分析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷A選項(xiàng)的正誤；證明出平面，分別取棱,,,,,的中點(diǎn)，比較和六邊形的周長和面積的大小，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點(diǎn)，判斷四邊形的形狀可判斷C選項(xiàng)的正誤；將矩形與矩形延展為一個(gè)平面，利用三點(diǎn)共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得,可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A2,0,0、、設(shè)點(diǎn)，平面，則為平面的一個(gè)法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，當(dāng)與重合時(shí)，連接，在正方體中，平面，平面，，∵四邊形是正方形，則，，平面，平面，平面，，同理可證，，平面，平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.分別取棱,,,,,的中點(diǎn)，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，點(diǎn)，，平面，平面，，即，得，，所以，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，同理可知，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則，，而，，且，由空間中兩點(diǎn)間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，將矩形與矩形沿?cái)偲綖橐粋€(gè)平面，如下圖所示：若最短，則三點(diǎn)共線，，，又，，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查線面角正弦值的取值范圍，同時(shí)也考查了平面截正方體的截面問題以及折線段長的最小值問題，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線（其中k為常數(shù)），圓，直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，則AB長度的最小值為________.【答案】【解析】【分析】求出直線過的定點(diǎn)，求出圓的圓心和半徑，當(dāng)直線與垂直時(shí)弦長最小，求出AB長度的最小值.詳解】由題意得直線過定點(diǎn)，圓圓心為，半徑為，在圓內(nèi)，當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦長最小，此時(shí)，所以AB長度的最小值為.故答案為：.13.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求，再結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，則，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：.14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之比為定值（且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓.后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，當(dāng)、、不共線時(shí)，面積的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，利用已知條件求出點(diǎn)的軌跡方程，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則、，設(shè)，因，所以，兩邊平方并整理得：，即，所以面積的最大值是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個(gè)球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個(gè)球，記下編號，放回后乙再摸一個(gè)球，記下編號，如果兩個(gè)編號的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.（1）求甲贏且編號的和為6的事件發(fā)生的概率；（2）請用甲、乙獲勝的概率說明這種游戲規(guī)則是否公平.【答案】（1）（2）這種游戲規(guī)則不公平【解析】【分析】（1）由古典概率計(jì)算即可；（2）列出甲勝的情況，再有古典概率求出甲勝的概率，然后根據(jù)概率之和為1求出乙勝的概率，再判斷即可；【小問1詳解】設(shè)“甲勝且編號的和為6”為事件．甲編號為，乙編號為，表示一個(gè)基本事件，則兩人摸球結(jié)果包括共25個(gè)基本事件；包括基本事件有共5個(gè)．∴．甲勝且編號的和為6的事件發(fā)生的概率為．【小問2詳解】這種游戲不公平．設(shè)“甲勝”為事件，“乙勝”為事件．甲勝即兩個(gè)編號的和為偶數(shù)所包含基本事件數(shù)為以下13個(gè)：．所以甲勝的概率為，乙勝的概率為，∵，∴這種游戲規(guī)則不公平．16.已知直線過定點(diǎn)（1）若到直線的距離為，求直線的方程；（2）若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，求（為坐標(biāo)原點(diǎn)）面積的最小值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）或（2）最小值為，直線l的方程為.【解析】【分析】（1）就斜率是否存在分類討論后結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求直線方程；（2）設(shè)直線為，則可用斜率表示面積，結(jié)合基本不等式可求面積的最小值，從而可求直線方程.【小問1詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由過得，滿足到的距離為3，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為即，點(diǎn)到直線的距離為，解得.此時(shí)直線的方程為即，綜上所述，所求的直線方程為或.【小問2詳解】若直線分別與軸，軸的負(fù)半軸交于兩點(diǎn)，則設(shè)直線為，，則，.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故面積的最小值為12，此時(shí)直線l的方程為.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）已知點(diǎn)在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，由三角形中位線的性質(zhì)，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立如圖所示坐標(biāo)系，求出平面的法向量和用表示，代入空間向量的線面角公式求解即可；小問1詳解】連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，以向量，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，，，所以平面的法向量，，，，，設(shè)直線與平面的夾角為，則，解得或，又，則或18.已知點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，延長至點(diǎn)使得為的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程．（2）過圓外點(diǎn)向圓引兩條切線，且切點(diǎn)分別為兩點(diǎn)，求最小值．（3）若直線l：與圓交于兩點(diǎn)，且直線的斜率分別為，則是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）的值為定值，且定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)動(dòng)點(diǎn)軌跡方程利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的軌跡方程是；（2）利用數(shù)量積定義以及基本不等式并結(jié)合即可得最小值；（3）聯(lián)立直線和圓方程并利用韋達(dá)定理即可得的表達(dá)式，整理即可得出為定值.【小問1詳解】設(shè)，動(dòng)點(diǎn)，由中點(diǎn)的坐標(biāo)公式解得，，又在圓上，可得，即可得，∴點(diǎn)的軌跡方程是．【小問2詳解】設(shè)．則，，，所以：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以最小值為．【小問3詳解】如下圖所示：聯(lián)立方程組，得，設(shè)，，則，∴，故的值為定值，且定值為．19.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點(diǎn)的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中有兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標(biāo)系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標(biāo)系稱為“斜60°坐標(biāo)系”．我們類比空間直角坐標(biāo)系，定義“空間斜60°坐標(biāo)系”下向量的斜60°坐標(biāo)：分別為“斜60°坐標(biāo)系”下三條數(shù)軸（軸、軸?軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜60°坐標(biāo)為，記作．（1）若，，求的斜60°坐標(biāo)；（2）在平行六面體中，，，N為線段D1C1的中點(diǎn)．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標(biāo)系”．①求的斜60°坐標(biāo)；②若，求與夾角的余弦值．【答案】（1）（