山西省太原市高一上學(xué)期11月期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024~2025學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：上午7:30－9:00）說(shuō)明：本試卷為閉卷筆答，答題時(shí)間90分鐘，滿分100分.一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)榧?，，則.故選：B.2.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)A舉反例即可判斷；對(duì)BD舉反例，即可；對(duì)C，利用不等式性質(zhì)即可判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，由，得，故A錯(cuò)誤；B.，時(shí)，不成立，故B錯(cuò)誤；C.，則，故C正確.D.舉例，時(shí)，則，故D錯(cuò)誤；故選：C3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式有意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得原函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，有，解得，故函數(shù)定義域?yàn)?故選：D.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)必要性和充分性判斷.【詳解】因?yàn)?，所以或或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.5.函數(shù)（，且的圖象必經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)確定指數(shù)型函數(shù)圖象恒過(guò)的定點(diǎn).【詳解】令，得x=1，代入解析式，得到圖象必經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是.故選：A.6.已知不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】討論二次項(xiàng)系數(shù)為0和小于0，再結(jié)合判別式小于0，就可以求解的取值范圍.【詳解】由不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)時(shí)，則需滿足，解得：，綜上可得：實(shí)數(shù)取值范圍是，故選：B.7.已知函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算得出，結(jié)合可得解.【詳解】因?yàn)?，則，，則.故選：D.8.已知，且滿足，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先將已知等式變形，然后利用基本不等式求出的最小值，再根據(jù)不等式恒成立求出的取值范圍.【詳解】由，因?yàn)?，等式兩邊同時(shí)除以可得.，根據(jù)基本不等式則，所以，即的最小值是.因?yàn)楹愠闪ⅲ?，即，解?故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.增函數(shù)C.是偶函數(shù) D.不等式的解集為【答案】BD【解析】【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的定義設(shè)出冪函數(shù)的表達(dá)式，再將已知點(diǎn)代入求出冪函數(shù)的具體形式.然后根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)依次分析每個(gè)選項(xiàng).【詳解】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)閳D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以將點(diǎn)代入中，可得，那么，即.分析選項(xiàng)A,，定義域?yàn)?，所以不在定義域內(nèi)，無(wú)意義，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.分析選項(xiàng)B,冪函數(shù)，因?yàn)椋鶕?jù)冪函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，B選項(xiàng)正確.分析選項(xiàng)C,，無(wú)意義，不滿足，不是偶函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.分析選項(xiàng)D,由，即，解不等式，，又因?yàn)槎x域?yàn)?，所以不等式的解集為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，fx=x2?2xA. B.是函數(shù)的最大值C.當(dāng)時(shí)， D.不等式的解集是【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)判斷A；舉例判斷B；根據(jù)時(shí)函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷C；寫出函數(shù)的完整解析式為一個(gè)分段函數(shù)，分兩種情況解不等式就可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以時(shí)，函數(shù)有意義，所以，A正確；因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以，而，所以不是函數(shù)的最大值，B錯(cuò)誤；設(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，，所以，所以時(shí)，，C錯(cuò)誤；根據(jù)以上結(jié)果，有，所以，有，解得，或，解得，所以不等式的解集是，D正確.故選：AD11.已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)，都有，當(dāng)時(shí)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.若，則C.是增函數(shù) D.【答案】AD【解析】【分析】令，，結(jié)合可求得，可判斷A；令，可判斷B；令，由可判斷C.令，由可判斷D；【詳解】對(duì)于A，令，，則；由時(shí)，得：，，A正確；對(duì)于B，令，得，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，設(shè)，；，，即，又，，∴fx在R上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則；當(dāng)時(shí)，，，，對(duì)于任意x∈R，，D正確；故選：AD三、填空題（本題共3小題，每小題3分，共9分）12.命題“，”的否定是___________.【答案】，【解析】【分析】利用特稱命題否定可出結(jié)論.【詳解】由特稱命題的否定可知，命題“，”的否定是“，”.故答案為：，.13.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性得到不等式組，解出即可.【詳解】由題意得，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.對(duì)實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“◎”：，設(shè)函數(shù)，.若函數(shù)的圖象與軸恰有個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)新定義可得，作出函數(shù)圖象即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)運(yùn)算“◎”的定義可得，即可得，畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示：若函數(shù)圖象與軸恰有個(gè)公共點(diǎn)，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，當(dāng)處在圖中長(zhǎng)虛線位置以及軸處時(shí)滿足題意，此時(shí)或或.因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共49分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.計(jì)算下列各式的值（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】；【小問(wèn)2詳解】.16.已知全集，，，.（1）求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）先求得集合A，B再由集合的補(bǔ)集運(yùn)算和交集運(yùn)算可求得答案；（2）根據(jù)集合之間的關(guān)系建立不等式（組），可求得所求的范圍.【小問(wèn)1詳解】,,，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù).（1）判斷并證明的奇偶性；（2）根據(jù)定義證明：在上單調(diào)遞增.【答案】（1）是上的奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先證明定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再證明f?x=?fx，從而可證明是（2）利用單調(diào)性的定義來(lái)證明即可.【小問(wèn)1詳解】是上的奇函數(shù).證明：由題意得的定義域?yàn)?，，都有，，∴fx是上的奇函數(shù).【小問(wèn)2詳解】證明：，，且，則，，，，，，，，∴fx在?1,1上單調(diào)遞增.18.實(shí)行垃圾分類，保護(hù)生態(tài)環(huán)境，促進(jìn)資源再利用.某企業(yè)新建了一座垃圾回收工廠，在2021年年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一套垃圾回收分類生產(chǎn)設(shè)備，并投入生產(chǎn).該設(shè)備可為企業(yè)每年創(chuàng)收50萬(wàn)元，已知該設(shè)備使用年的維修保養(yǎng)總費(fèi)用為萬(wàn)元，相應(yīng)的盈利總額（純利潤(rùn)）為萬(wàn)元.（1）寫出與之間的函數(shù)解析式，并求從哪年（2021年為第一年）開(kāi)始，該設(shè)備開(kāi)始盈利（盈利總額為正）；（2）使用若干年后，對(duì)設(shè)備的處理方案有以下兩種：方案一，當(dāng)年平均盈利額（年平均盈利額盈利總額使用年限）達(dá)到最大值時(shí)，以30萬(wàn)元價(jià)格賣掉該設(shè)備；方案二，當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬(wàn)元價(jià)格賣掉該設(shè)備自設(shè)備投入到賣掉處理，從總利潤(rùn)和效益上看，該企業(yè)應(yīng)選用哪種方案處理？請(qǐng)說(shuō)明你的理由.【答案】（1），，2023年（2）應(yīng)選用方案一，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得解析式以及列不等式，即可求解；（2）方案一運(yùn)用基本不等式可求得總利潤(rùn)，方案二運(yùn)用二次函數(shù)求得最值，綜合比較可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，令，則，，，故從2023年開(kāi)始，該設(shè)備開(kāi)始盈利；【小問(wèn)2詳解】方案一：年平均盈利額，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，故到2027年，該設(shè)備的年平均盈利額達(dá)到最大值，此時(shí)賣掉此設(shè)備后，該企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)為；方案二：盈利總額，當(dāng)時(shí)，取最大值，故到2030年，該設(shè)備的盈利總額達(dá)到最大值102，此時(shí)賣掉此設(shè)備后，該企業(yè)可獲得的總利潤(rùn)為；因?yàn)閮煞N方案企業(yè)獲得的總利潤(rùn)相同，而方案一用時(shí)較短，故應(yīng)選用方案一.19.若函數(shù)對(duì)于定義域的某個(gè)或某些區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)，滿足f?x=?fx，則稱函數(shù)為上的“局部奇函數(shù)”；滿足f?x=fx，則稱函數(shù)為上的“局部偶函數(shù)”.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若為上的“局部奇函數(shù)”，求不等式的解集；（2）已知函數(shù)是上的“局部奇函數(shù)”，也是上的“局部偶函數(shù)”.①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；②對(duì)于上的任意實(shí)數(shù)，，，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）;（2）①；②.【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)恒等式來(lái)求參數(shù)，再利用單調(diào)性來(lái)解不等式；（2）①利用奇偶性來(lái)求不同的參數(shù)，說(shuō)明是分段函數(shù)，然后求分段函數(shù)值域的并集即可；②利用是分段函數(shù)，把原不等式轉(zhuǎn)化為的最值條件來(lái)研究，即可求得參數(shù)范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意得，f?x=?f即恒成立，整理可得恒成立，則，即，又由在上單調(diào)遞增，且，所以不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】①由（1）可得當(dāng)時(shí)，的取值范圍為；由題意得，f?x=f即恒成立，整理可得恒成立，則，即，又由在上單調(diào)遞增，所以在上值域?yàn)?，?/p>