考點(diǎn)鞏固19 雙曲線方程及其性質(zhì)(六大考點(diǎn))2025年高考一輪復(fù)習(xí)(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2考點(diǎn)鞏固卷19雙曲線方程及其性質(zhì)（六大考點(diǎn)）考點(diǎn)01：雙曲線的定義（妙用）結(jié)論1：雙曲線第一定義。結(jié)論2：標(biāo)準(zhǔn)方程由定義即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。結(jié)論3：雙曲線第二定義。雙曲線（a＞0,b＞o）的焦半徑公式：,當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,.證明：由第二定義得：M在右支時(shí)，M在左支時(shí)，。1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與的一條漸近線平行，若點(diǎn)在的右支上，點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．6 C． D．8【答案】C【分析】由直線與的一條漸近線平行，可求得，從而可求出，則可求出的坐標(biāo)，結(jié)合圖形可知，從而可求得答案.【詳解】因?yàn)殡p曲線，所以雙曲線的漸近線方程為，因?yàn)橹本€與的一條漸近線平行，所以，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在的右支上，所以，所以的最小值為，故選：C2．若點(diǎn)P是雙曲線C：上一點(diǎn)，，分別為C的左、右焦點(diǎn)，則“”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．充分不必要條件【答案】D【分析】首先求得焦半徑的最小值，然后結(jié)合雙曲線定義以及充要條件的定義即可得解.【詳解】，當(dāng)點(diǎn)在左支時(shí)，PF1的最小值為，當(dāng)點(diǎn)在右支時(shí)，PF1的最小值為，因?yàn)?，則點(diǎn)在雙曲線的左支上，由雙曲線的定義，解得；當(dāng)，點(diǎn)在左支時(shí)，；在右支時(shí)，；推不出；故為充分不必要條件，故選：D.3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在直線上，線段交于點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知，用表示出和PF，進(jìn)而得到的值.【詳解】由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上及其上方，如圖，

依題意，，設(shè)，則，由得，所以，所以.故選：D．4．過雙曲線x24?y212=1的右支上一點(diǎn)P，分別向和作切線，切點(diǎn)分別為M，NA．28 B．29 C．30 D．32【答案】C【分析】求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線x24?y212=1的左右焦點(diǎn)為，，連接，，，【詳解】由雙曲線方程x24?可知雙曲線方程的左、右焦點(diǎn)分別為，，圓的圓心為（即），半徑為；圓的圓心為（即），半徑為．連接，，，F(xiàn)2N，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)P為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，取得等號，即的最小值為30.故選：C.5．已知、是雙曲線或橢圓的左、右焦點(diǎn)，若橢圓或雙曲線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)，且存在，則稱此橢圓或雙曲線存在“阿圓點(diǎn)”，下列曲線中存在“阿圓點(diǎn)”的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用橢圓定義和題給條件求得PF1,PF2的值，再利用【詳解】對于A選項(xiàng)，，、，，所以，，到焦點(diǎn)距離的最小值為，最大值為，假設(shè)存在點(diǎn)，滿足，則，解得，不合乎題意，所以A選項(xiàng)中的橢圓不存在“阿圓點(diǎn)”；對于B選項(xiàng)，，、，，所以，，到焦點(diǎn)距離的最小值為，最大值為，假設(shè)存在點(diǎn)，滿足，則，解得，不合乎題意，所以B選項(xiàng)中的橢圓不存在“阿圓點(diǎn)”；對于C選項(xiàng)，雙曲線的方程為，則雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，、，．到焦點(diǎn)距離的最小值為，若雙曲線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之比為，可得所以C選項(xiàng)中的雙曲線存在“阿圓點(diǎn)”；對于D選項(xiàng)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，、，所以，，到焦點(diǎn)距離的最小值為，若雙曲線上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)、的距離之比為，則，解得，所以D選項(xiàng)中的雙曲線不存在“阿圓點(diǎn)”．故選：C．6．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．16 B．18 C． D．【答案】A【分析】利用雙曲線的定義表示PF【詳解】因?yàn)?，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P是C的右支上的一點(diǎn)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立；因?yàn)?，所以，所以成立，的最小值?6.故選：A.7．設(shè)點(diǎn)P是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為（

）．A． B． C．6 D．12【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，將題意轉(zhuǎn)化為雙曲線與圓有公共點(diǎn)，再聯(lián)立雙曲線與圓的方程，根據(jù)二次方程有解結(jié)合判別式求解即可.【詳解】設(shè)，則點(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，為實(shí)軸長的雙曲線的上支，∴點(diǎn)P的軌跡方程為，依題意，雙曲線與圓有公共點(diǎn)，將圓的方程代入雙曲線方程得，即，判別式，解得，當(dāng)時(shí)，，且，∴等號能成立．∴．故選：B8．已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，則（

）A．－8 B．8 C．10 D．－10【答案】A【分析】先由雙曲線的方程求出其實(shí)半軸長，然后利用雙曲線的定義可求得答案.【詳解】設(shè)雙曲線的實(shí)半軸長為，則，所以，因?yàn)殡p曲線C的左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，所以，故選：A9．設(shè)，為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，Q為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)P（0，2）．當(dāng)取最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結(jié)合雙曲線定義數(shù)形結(jié)合判斷取最小值時(shí)，三點(diǎn)共線，聯(lián)立直線及雙曲線方程解出Q的坐標(biāo)為，即可求解的值.【詳解】由雙曲線定義得,故如圖示，當(dāng)三點(diǎn)共線，即Q在M位置時(shí)，取最小值，，故方程為，聯(lián)立，解得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(Q為第一象限上的一點(diǎn))，故故選：A10．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線左支上一點(diǎn)，若的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由定義知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1|≥8a，當(dāng)且僅當(dāng)=|PF1|，即|PF1|=2a時(shí)取得等號.再由焦半徑公式得雙曲線的離心率的取值范圍.【詳解】由雙曲線定義可得：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|，==+4a+|PF1|≥8a，當(dāng)且僅當(dāng)=|PF1|，即|PF1|=2a時(shí)取得等號.此時(shí)由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，，即可，又雙曲線的離心率，∴.故選:C.考點(diǎn)02：雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題已知雙曲線方程為如圖，頂點(diǎn)在第一象限，對于雙曲線焦點(diǎn)三角形，有以下結(jié)論：1.如圖，、是雙曲線的焦點(diǎn)，設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，記，則的面積.證明：由余弦定理可知．由雙曲線定義知||，可得所以則．2.如圖，有，3.離心率.4.若，則有.5.若，則有.6.焦半徑公式：如圖，對于雙曲線，，對雙曲線，其焦半徑的范圍為.7.雙曲線中，焦點(diǎn)三角形的內(nèi)心的軌跡方程為.證明：設(shè)內(nèi)切圓與的切點(diǎn)分別為，則由切線長定理可得,因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值a.8.如圖，直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，的左右焦點(diǎn)記為，則為平行四邊形.結(jié)論9.已知具有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率分別為是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，則有.證明：依題意，在中，由余弦定理得，所以，即.結(jié)論10.如圖，過焦點(diǎn)的弦的長為，則的周長為.11．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且斜率為的直線與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，若，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】，由雙曲線的定義可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判斷出所求雙曲線的可能方程．【詳解】因?yàn)椋呻p曲線的定義可知，可得，由于過的直線斜率為，所以在等腰三角形中，，則，由余弦定理得：，化簡得，可得，即，，可得，，所以此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為：.故選：C12．已知雙曲線:的左焦點(diǎn)為，過的直線交圓于，兩點(diǎn)，交的右支于點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，過作與，易得，，設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義分別求出對應(yīng)邊，在和中，由勾股定理得和之間的關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，連接，過作與，則，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，即為線段FQ的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，，設(shè)，則，，，所以，在中，由勾股定理可得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故選：.13．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是雙曲線右支上一點(diǎn)，直線交雙曲線的左支于點(diǎn)．若，，，且的外接圓交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線定義得到，，由勾股定理逆定理得為直角，在中，由勾股定理得，故，設(shè)的外接圓交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)Px0,y0，得到方程組，聯(lián)立得【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M，N分別在雙曲線C的右支和左支上，所以．又，，，所以，解得，，所以，所以是直角．在中，，所以，解得，所以，即．又的外接圓交雙曲線的一條漸近線于點(diǎn)Px0,所以，所以點(diǎn)Px0,y0的坐標(biāo)滿足所以，故.故選：D．14．如圖，已知為雙曲線的焦點(diǎn)，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P，且，則雙曲線得漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義及含有的直角三角形的三邊關(guān)系，求得之間的關(guān)系，進(jìn)而得解.【詳解】由題意所以，所以，，雙曲線得漸近線方程為，即.故選：B.15．雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，左、右焦點(diǎn)分別為，過作直線與雙曲線的左、右兩支分別交于M，N兩點(diǎn).若，且，則直線與的斜率之積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由雙曲線定義和題目條件，表達(dá)出，，，在中，由余弦定理得，則，在中，由余弦定理得，故，設(shè)，求出直線與的斜率之積為.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線定義得，，在中，由余弦定理得，解得，則，，在中，由余弦定理得，解得，則，，設(shè)，則，將代入得，則直線與的斜率之積為.故選：D16．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過作直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，若的周長為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由雙曲線的定義可得的周長為，求得AB，再由過焦點(diǎn)的弦長的最小值，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線的定義可得，兩式相加可得，則的周長為，即，再由，可得，解得，由.故選：A17．已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓在第一象限與雙曲線交于一點(diǎn)，且的面積為4，若雙曲線上一點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義得到，再由得到，的面積得到，求出，設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，求出點(diǎn)到兩漸近線的距離，由距離之積為求出、，即可求出離心率.【詳解】設(shè)，則由定義可得，即，又因?yàn)闉橹睆剑?，得，因?yàn)榈拿娣e為4，所以，即，由以上三式可得，即，所以.設(shè)雙曲線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到漸近線的距離為，點(diǎn)到另一條漸近線的距離為，故點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積為，因?yàn)椋?，所以，又，所以，則，所以雙曲線的離心率.故選：B.18．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，滿足.若點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形一邊中線等于這一邊的一半，則這是一個(gè)直角三角形，可得是直角，再利用雙曲線的定義，及已知的兩焦半徑關(guān)系，結(jié)合勾股定理，可得長度關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，連接，由題意可知關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，所以是直角，由，可設(shè)，則，即由雙曲線的定義可知：，，則，，由是直角得：，則，解得：m=a，又由是直角得：，則，解得：，所以離心率故選：B.19．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過作雙曲線的漸近線的垂線，垂足為，且與雙曲線的左支交于點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別在和利用三角函數(shù)的定義和余弦定理，得到關(guān)于的等式，解得，再根據(jù)離心率公式即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以為的中點(diǎn)，

因?yàn)椋渣c(diǎn)到漸近線的距離，又，所以，連接，易知，則由雙曲線的定義可知，在中由余弦定理，得，整理得，所以雙曲線的離心率為，故選：B20．已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)（非頂點(diǎn)），則的內(nèi)切圓恒過定點(diǎn)（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的切線長定理，可得的內(nèi)切圓與的切點(diǎn)為定點(diǎn).【詳解】雙曲線，，則長軸長為，焦距為，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)（非頂點(diǎn)），為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于，如圖所示，

則根據(jù)雙曲線的定義及圓的性質(zhì)可知：，又，得，故為雙曲線的右頂點(diǎn).同上分析，當(dāng)雙曲線方程為時(shí)，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)（非頂點(diǎn)），設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于，可知為雙曲線的右頂點(diǎn)，此時(shí)雙曲線長軸長為，右頂點(diǎn)坐標(biāo).所以此時(shí)的內(nèi)切圓恒過定點(diǎn).故選：B.考點(diǎn)03：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)2.要點(diǎn)理解(1)B1(0,－b)，B2(0，b)不是雙曲線上的點(diǎn)，不能稱為頂點(diǎn)．(2)雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小，e越大，開口越大．(3)雙曲線的漸近線方程要注意焦點(diǎn)所在軸的位置．(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離為b.3.等軸雙曲線：實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線．為了便于研究，方程一般寫為x2－y2＝m(m≠0)．21．下列選項(xiàng)中，所得到的結(jié)果為4的是（

）A．雙曲線的焦距B．的值C．函數(shù)的最小正周期D．?dāng)?shù)據(jù)的下四分位數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)雙曲線關(guān)系，求，求焦距，判斷；運(yùn)用二倍角變形公式化簡，判斷；依據(jù)正切型函數(shù)的最小正周期，代入求解，判斷；按照求解百分位數(shù)的步驟，直接求解，判斷.【詳解】對于，，雙曲線的焦距為，故錯(cuò)誤；對于，，故錯(cuò)誤；對于，最小正周期，故正確；對于，一共有12個(gè)數(shù)據(jù)，，所以這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是從小往大排列，第3個(gè)和第4個(gè)的平均數(shù)，即，故錯(cuò)誤.故選：C.22．過雙曲線的右焦點(diǎn)F作與其中一條漸近線垂直的直線分別與這兩條漸近線交于兩點(diǎn)，若，則該雙曲線的焦距為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由向量關(guān)系可得，再結(jié)合三角形面積關(guān)系列式計(jì)算得解.【詳解】雙曲線的漸近線為，令，由對稱性不妨令直線垂直于直線，而，則，由，得，則，顯然，，由，得，解得，則，所以該雙曲線的焦距為4.故選：D23．若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，則的值為（

）A． B．4 C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)題意，分別求得雙曲線的右焦點(diǎn)以及拋物線的準(zhǔn)線方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，又拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，即.故選：C24．若拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線的右焦點(diǎn)，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，求出拋物線的準(zhǔn)線方程列式運(yùn)算求得的值.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以拋物線的準(zhǔn)線為，，解得.故選：D.25．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意判斷，由雙曲線方程寫出其漸近線方程，比較即得，代入方程即可求得其焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】易知，令，解得，依題有，即，雙曲線方程為，從而，從而的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.26．已知雙曲線C：的焦點(diǎn)為，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)為在縱軸上，所以，且雙曲線C方程滿足，故，則C的方程為．故選：D．27．等軸雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，則其焦點(diǎn)到漸近線的距離為（

）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】由題意，先求出等軸雙曲線的方程，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)樵撉€為等軸雙曲線，

不妨設(shè)該雙曲線的方程為，因?yàn)榈容S雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，則，所以該雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，易知該雙曲線的一條漸近線方程為，則點(diǎn)到直線的距離．故選：A．28．雙曲線和雙曲線具有相同的（

）A．焦點(diǎn) B．頂點(diǎn) C．漸近線 D．離心率【答案】D【分析】分別計(jì)算出兩雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程與離心率即可得.【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為、左右頂點(diǎn)坐標(biāo)為、漸近線方程為、離心率為；雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為、上下頂點(diǎn)坐標(biāo)為、漸近線方程為、離心率為；故其離心率相同.故選：D.29．已知橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，記與在軸上方的兩個(gè)交點(diǎn)為，，過的右焦點(diǎn)作軸的垂線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題將橢圓與雙曲線方程聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出，再由兩曲線共焦點(diǎn)得出，最后由雙曲線的通徑，代入，消去，得到，將值替換并化成的方程分解因式即得.【詳解】如圖，由聯(lián)立消去可得：，不妨設(shè)A(x1,y由題意，，則①；又因橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，故有，即②將代入可求得利用對稱性可得③

，將①、③代入可得，化簡得，將②式代入并化簡，，將代入并化簡得，即，分解因式得：，解得，舍去另兩個(gè)負(fù)值.故選：D.30．已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】首先得到橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依題意可得，利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)為，依題意可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號，故的最小值為.故選：D考點(diǎn)04：求雙曲線離心率及取值范圍離心率(1)離心率的意義：e越大，開口越大在橢圓中，橢圓的離心率可以刻畫橢圓的扁平程度．在雙曲線中，雙曲線的“張口”大小是圖象的一個(gè)重要特征．因?yàn)?，所以?dāng)?shù)闹翟酱螅瑵u進(jìn)線的斜率越大，雙曲線的“張口”越大，也就越大，故反映了雙曲線的“張口”大小，即雙曲線的離心率越大，它的“張口”越大．(2)離心率的求法①直接法：若可求得a，c，則直接利用e＝eq\f(c,a)得解．②齊次式法：若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．31．過雙曲線的右焦點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線作垂線，垂足為，線段FD與雙曲線交于點(diǎn)，過點(diǎn)向另一條漸近線作垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可以求出|的長，再根據(jù)列出等式即可尋找a,b,c的關(guān)系，進(jìn)而可以得到雙曲線的離心率.【詳解】由題意，知雙曲線的漸近線方程為．設(shè)雙曲線的半焦距為，則右焦點(diǎn)到漸近線的距離．設(shè)點(diǎn)，則，即．又，所以，解得．故選：A．32．已知，分別為雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)，過作C的兩條漸近線的平行線，與兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若，則C的離心率為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可知四邊形為菱形，從而求得，，再進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】如圖，連接交軸于.根據(jù)題意易知點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，所以四邊形為菱形，且，故，且.雙曲線的漸近線方程為，令，得.在中，，解得，所以.故選：.33．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)且與漸近線垂直的直線與雙曲線左右兩支分別交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得到漸近線的距離為，從而可求得的值，再在中利用正弦定理求出，然后結(jié)合雙曲線的定義和余弦定理求解即可.【詳解】由題意知，點(diǎn)到漸近線的距離為，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)椋?，得，則，在中，由正弦定理得，即，得，由雙曲線的定義知，所以，在中，由余弦定理得，即，整理得，即，所以離心率為.故選：A34．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，若上存在點(diǎn)，使得，則的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線定義和，得到，結(jié)合，得到不等式，又雙曲線的離心率大于1，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以離心率，又雙曲線的離心率大于1，所以．故選：D．35．雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)為，，直線l過點(diǎn)且平行于C的一條漸近線，l交C于點(diǎn)P，若，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】設(shè)Px,y，通過題意求出直線的方程、直線的方程，之后聯(lián)立直線的方程、直線的方程及雙曲線方程，計(jì)算即可得出答案．【詳解】設(shè)Px,y設(shè)F1?c,0、，，雙曲線其中一條漸近線為，直線的方程為，①由，得，即直線的斜率為，直線方程為，②由點(diǎn)Px,y在雙曲線上，得，③聯(lián)立①③，得，聯(lián)立①②，得，則，即，因此，所以離心率．故選：C36．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，P是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)N在另一條漸近線上．若，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】利用平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系求出，再由得出可得答案.【詳解】因?yàn)镹，O分別是的中點(diǎn)，所以，又，，所以，所以，故．故選：A．37．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，直線y=?b與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若MN=2A． B． C． D．【答案】C【分析】雙曲線方程分別于直線、直線y=?b聯(lián)立求出MN,PQ，利用MN【詳解】由y=ax2a2?y2由y=?bx2a2?y2因?yàn)镸N=2PQ整理得c=2b=2c2?a2故選：C.38．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B是雙曲線上位于第二象限的點(diǎn)．直線與雙曲線交于另一點(diǎn)A，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線定義和勾股定理解得，計(jì)算出，，再次在中利用勾股定理得，最后整理成關(guān)于的齊次方程計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，，，因?yàn)?，則，則，解得又因?yàn)椋?，則為的中點(diǎn)，所以，則，在直角三角形中，，即，化簡得，將代入上式得，則，化簡得，兩邊同除得，解得或1（舍去），則.故選：A.

39．如圖，已知為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過作雙曲線的切線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由與雙曲線相切，可得，即可得，作軸于點(diǎn)，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得，計(jì)算即可得的值，從而求出離心率.【詳解】設(shè)，則，令，則，故，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，由，軸，故與相似，故，及，即.又，所以，所以，即，則．其中雙曲線上一點(diǎn)的切線方程，證明如下：不妨先探究雙曲線在第一象限的部分（其他象限由對稱性同理可得）．由，得，所以，則在的切線斜率，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，又有，化簡即可得切線方程為：．故選：B.

40．設(shè)雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，，，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】由雙曲線的對稱性可得，且四邊形為平行四邊形，由數(shù)量積的定義，結(jié)合余弦定理代入計(jì)算，即可得離心率.【詳解】由雙曲線的對稱性可知，，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，則，即，，所以.故選：B考點(diǎn)05：雙曲線的中點(diǎn)弦問題雙曲線的中點(diǎn)弦斜率公式

(1)若Mx0,y0為雙曲線x2a2?y2b2=1弦AB(AB不平行y軸)的中點(diǎn),則

k在雙曲線x2a2?y2b2=1中,以Px0,y0為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=b2xA． B．C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)有雙曲線漸近線為，，且，求坐標(biāo)，根據(jù)得到齊次方程，即可得漸近線.【詳解】由題設(shè)作出圖形，雙曲線漸近線為，，則直線，故，可得，故，即，又三角形BOF為等腰三角形，所以，則，整理得，即雙曲線的漸近線方程為.故選：B

42．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，圓.若過的直線分別交的左、右兩支于兩點(diǎn)，且圓與相切于點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則直線與沒有交點(diǎn)B．若為線段的中點(diǎn)，則離心率C．不可能為線段AB的中點(diǎn)D．若的離心率為，到的漸近線的距離為，則【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線方程和題中條件，結(jié)合各個(gè)選項(xiàng)的條件進(jìn)行判斷；【詳解】對于A，此時(shí)直線為的一條漸近線，A正確.對于B，若為線段的中點(diǎn)，則，由雙曲線定義可知，即離心率，B正確.對于C，若為線段AB的中點(diǎn)，則.設(shè)Ax1,y1，B聯(lián)立方程組，消去y得，所以，，所以，可知，即M不可能為線段AB的中點(diǎn)，C正確.對于D，由，得，.因?yàn)榈紺的漸近線的距離為，所以，解得，，.聯(lián)立方程組，消去得.設(shè)Ax1,y1，B所以，D錯(cuò)誤.故選：D.43．在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線與雙曲線的兩條漸近線相交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)是，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出直線的方程，由雙曲線方程得到兩漸近線方程，分別聯(lián)立直線與兩漸近線方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合的中點(diǎn)為，可得結(jié)論．【詳解】

直線的斜率不存在時(shí)，應(yīng)該在軸上，不符合題意，直線的斜率為0時(shí)，兩點(diǎn)重合，不符合題意，所以直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線，雙曲線的兩條漸近線方程分別為，聯(lián)立解得，不妨令，聯(lián)立，解得，則，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，即，②式兩邊分別平方得③，將①代入③并化簡可得，所以離心率.故選：D．44．已知雙曲線，、分別為左、右焦點(diǎn)，若雙曲線右支上有一點(diǎn)P使得線段與y軸交于點(diǎn)E，，線段的中點(diǎn)H滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，設(shè)，表示出的方程求得，則，由表示出P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，整理計(jì)算即可求解.【詳解】由，得的橫坐標(biāo)為c2，設(shè)，則直線的方程為，令，得，即，所以線段的中點(diǎn)，則，由，得，則，即，代入雙曲線方程得，即，整理得，由，解得.故選：A45．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，是軸上一點(diǎn)(非原點(diǎn))，且，則的離心率為（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】設(shè)，則由已知可得，設(shè)直線的方程為，，將直線方程代入雙曲線方程化簡利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得，再由，是線段的中點(diǎn)，可得，兩式結(jié)合化簡可求出離心率.【詳解】設(shè)且，則，因?yàn)椋?，得，設(shè)直線的方程為，，由，得，由，得，所以，所以，①，因?yàn)?，是線段的中點(diǎn)，所以，即，化簡得，由①，得，所以，所以，所以離心率，故選：B46．已知F是雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是OP的中點(diǎn)，雙曲線E上有且僅有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)P之間的距離最近，則E的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題知，，設(shè)是雙曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離可得，分類討論可求在處取得最小值，進(jìn)而可求得橢圓的離心率的范圍.【詳解】由題知，，設(shè)是雙曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴，即，∴．易知最小時(shí)，M為E的右頂點(diǎn)，則，∴當(dāng)時(shí)，在處取得最小值，不符合題意，故，此時(shí)在處取得最小值，符合題意，故．故選：B．47．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為F，B為虛軸上端點(diǎn).M是中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OM交雙曲線右支于N，若垂直于x軸，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由圖，可得點(diǎn)M，N坐標(biāo)，后由可得，即可得答案.【詳解】如圖，由題意可知注意到，又由題，，則.因M是中點(diǎn)，則，則.由題，，則，故.故選：A.48．在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為4，M為母線的中點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓、橢圓、雙曲線及拋物線，下面四個(gè)命題，正確的個(gè)數(shù)為（

）

①圓的面積為；②橢圓的長軸長為；③雙曲線兩漸近線的夾角正切值為；④拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】對于①，利用圓錐的幾何性質(zhì)確定圓的半徑，即可求得圓的面積；對于②，結(jié)合圓錐的軸截面可求得橢圓的長軸長；對于③，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線方程，確定雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得雙曲線方程，進(jìn)而求得雙曲線兩漸近線的夾角正切值；對于④，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程，確定拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得參數(shù)，由此可判斷出答案.【詳解】對于①，M為母線的中點(diǎn)，因此截面圓的半徑為底面圓的半徑的，

即截面圓半徑為2，則圓的面積為，故①正確；對于②，如圖，在圓錐的軸截面中，作,垂足為C，由題意可得M為母線的中點(diǎn)，則,

故橢圓的長軸長為,②正確；對于③，如圖，在與平面垂直且過點(diǎn)M的平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)P到底面距離相等，

則點(diǎn)M坐標(biāo)為，雙曲線與底面圓的一個(gè)交點(diǎn)為D，其坐標(biāo)為，則設(shè)雙曲線方程為，則，將代入雙曲線方程，得，設(shè)雙曲線的漸近線與軸的夾角為，則，故雙曲線兩漸近線的夾角正切值為，③錯(cuò)誤；對于④，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線與底面圓的一個(gè)交點(diǎn)為H，

則，則,設(shè)拋物線方程為，則，即拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，④錯(cuò)誤，故正確的命題有2個(gè)，故選：B49．在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足分別為N,M，且為線段的中點(diǎn)，，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由條件證明為線段的中點(diǎn)，由此可得，結(jié)合雙曲線的定義可得，由勾股定理可得的關(guān)系，由此可求曲線的離心率.【詳解】因?yàn)?，為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，所以，因?yàn)樗?，又為線段的中點(diǎn)，所以為線段的中點(diǎn)，且，又為線段的中點(diǎn)，所以，在中，，，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，故，在中，，，，由勾股定理可得：，所以，即，所以，又，故，所以，故選：D.50．已知雙曲線右支上的一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B分別位于第一、四象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，（

）A． B．9 C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，，，，結(jié)合點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)求得，，再代入雙曲線方程求得，進(jìn)而即可求解的值．【詳解】設(shè)，，，，，由點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，得，，將P點(diǎn)代入雙曲線方程可得，化簡得，所以，故選：B．考點(diǎn)06：直線與雙曲線的綜合問題（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.51．已知雙曲線分別是的左、右焦點(diǎn)．若的離心率，且點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)若過點(diǎn)的直線與的左、右兩支分別交于兩點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)，試問是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)x(2)存在，為定值．【分析】（1）根據(jù)已知列方程組求解求出雙曲線方程；（2）先聯(lián)立方程組求出兩根和兩根積，再應(yīng)用弦長公式，最后計(jì)算得出定值.【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為cc>0，由題意可得，解得，所以的方程為x24?y（2）假設(shè)存在常數(shù)滿足條件，由（1）知，設(shè)直線，聯(lián)立方程得，消去，整理可得，所以，，．因?yàn)橹本€過點(diǎn)且與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，所以兩點(diǎn)在軸同側(cè)，所以．此時(shí)，即，所以．設(shè)，將代入拋物線方程，得，則，所以．所以．故當(dāng)時(shí)，為定值，所以，當(dāng)時(shí)，為定值．52．已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且其兩條漸近線相互垂直.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，的面積為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或．【分析】（1）設(shè)所求雙曲線方程為，，把點(diǎn)代入，即可得出答案．（2）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，分別用點(diǎn)到直線的距離公式，弦長公式，三角形面積公式，建立方程，即可得出答案．【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的兩條漸近線互相垂直，所以雙曲線為等軸雙曲線，所以設(shè)所求雙曲線方程為，，又雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，所以雙曲線的方程為，即．（2）根據(jù)題意可知直線的斜率存在，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為，所以原點(diǎn)到直線的距離，聯(lián)立，得，所以且，所以，且，所以，所以的面積為，所以，解得，所以，所以直線的方程為或．53．如圖，已知雙曲線的離心率為2，點(diǎn)在C上，A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，為右支上的動(dòng)點(diǎn)，直線AP和直線x＝1交于點(diǎn)N，直線NB交C的右支于點(diǎn)Q．(1)求C的方程；(2)探究直線PQ是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，請說明理由；(3)設(shè)S1，S2分別為△ABN和△NPQ的外接圓面積，求的取值范圍．【答案】(1)x24【分析】（1）因?yàn)殡x心率，將點(diǎn)代入雙曲線方程得，又，解得a，b，即可得出答案．（2）設(shè)，直線PQ的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得，，寫出直線AP的方程，進(jìn)而可得N點(diǎn)的坐標(biāo)，又N，B，Q三點(diǎn)共線，則，解得，即可得出答案．（3）設(shè)△ABN和△NPQ的外接圓半徑分別為R1，R2，由正弦定理可得，又，可得，設(shè)直線PQ的方程為，與雙曲線C的方程，可得，，由韋達(dá)定理得m的范圍，結(jié)合弦長公式及函數(shù)性質(zhì)進(jìn)而可得答案．【詳解】（1）因?yàn)殡x心率，所以雙曲線的方程為，將點(diǎn)代入雙曲線方程得，所以，所以雙曲線C的方程為x2（2）直線PQ過定點(diǎn)，理由如下：設(shè)，直線PQ的方程為，聯(lián)立，整理得，則，直線，所以，又N，B，Q三點(diǎn)共線，所以，即，即，即．因?yàn)?，所以，代入上式得，所以．所以PQ過定點(diǎn).（3）設(shè)△ABN和△NPQ的外接圓半徑分別為由正弦定理可得，又，所以，即．設(shè)直線PQ的方程為x＝my+4，與C的方程聯(lián)立，整理得，則，又，即，解得，又因?yàn)?，所以?4．已知雙曲線的虛軸長為，點(diǎn)在上.設(shè)直線與交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），直線AP與BP的斜率之積為.(1)求的方程；(2)證明：直線的斜率存在，且直線過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）借助虛軸定義得，將的坐標(biāo)代入方程得，即可求解雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，代入曲線中，可得與交點(diǎn)橫坐標(biāo)有關(guān)韋達(dá)定理，借助韋達(dá)定理計(jì)算斜率之積可得直線l中參數(shù)關(guān)系，即可得其定點(diǎn).【詳解】（1）因?yàn)樘撦S長為，所以，將的坐標(biāo)代入方程，得，解得，故的方程為.（2）設(shè)Ax1,y1當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立得，即，由，得，解得（舍去）或（舍去），所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，代入的方程得，則，由，可得，即，化簡得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過點(diǎn)，與條件矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)55．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，雙曲線的頂點(diǎn)恰好是、，且一條漸近線是．(1)求的方程：(2)若上任意一點(diǎn)（異于頂點(diǎn)），作直線交于，作直線交于，求的最小值．【答案】(1);(2).【分析】（1）利用雙曲線漸近線斜率已知，結(jié)合頂點(diǎn)坐標(biāo)的性質(zhì)，即可求出方程；（2）設(shè)直線的方程為：，利用弦長公式可求出AB與的關(guān)系式，同理再設(shè)直線的方程為：，也可求出PQ與的關(guān)系式，然后利用這兩直線的交點(diǎn)在雙曲線上，得到，從而可求的最小值.【詳解】（1）由橢圓得：左右焦點(diǎn)分別是，因?yàn)殡p曲線的頂點(diǎn)恰好是、，設(shè)雙曲線的方程為：，所以，又由一條漸近線是，可得，所以，即雙曲線的方程為：，（2）設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得：，可設(shè)Ax1則，同理可設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立得：，可設(shè)，則則，再由直線的方程為：與直線的方程為：聯(lián)立解得：，由于這兩直線交點(diǎn)就是點(diǎn)，則把點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線