第9章 中心對(duì)稱圖形-平行四邊形 小結(jié)與思考 單元復(fù)習(xí)課件

第9章中心對(duì)稱圖形---平行四邊形八年級(jí)(下冊(cè))蘇科版小結(jié)與思考1.回顧本章所學(xué)的知識(shí)及思想方法，能從不同的角度進(jìn)行歸納，對(duì)本章知識(shí)有全面、系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)；2.進(jìn)一步掌握綜合法的證明格式以及分析和綜合的思考方法.學(xué)習(xí)目標(biāo)中心對(duì)稱圖形——平行四邊形圖形的旋轉(zhuǎn)中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形平行四邊形概念將圖形繞一個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等中心對(duì)稱中心對(duì)稱圖形定義一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠和另一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這點(diǎn)對(duì)稱，也稱這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱性質(zhì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過對(duì)稱中心，且被對(duì)稱中心平分作圖作已知圖形關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱的圖形把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形定義兩組對(duì)邊分別平行的四邊形性質(zhì)平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分判定一組對(duì)邊平行且相等；兩組對(duì)邊分別相等；對(duì)角線互相平分知識(shí)框架中心對(duì)稱圖形——平行四邊形矩形、菱形、正方形三角形的中位線矩形有一個(gè)角是直角的平行四邊形定義矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等性質(zhì)三個(gè)角是直角的四邊形；對(duì)角線相等的平行四邊形判定兩條平行線之間的距離兩條平行線之間的距離處處相等菱形定義有一組鄰邊相等的平行四邊形性質(zhì)菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直判定四邊相等的四邊形；對(duì)角線互相垂直的平行四邊形正方形定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形性質(zhì)四條邊相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且互相垂直平分判定有一組鄰邊相等的矩形；有一個(gè)角是直角的菱形定義定理連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半知識(shí)框架考點(diǎn)一圖形的旋轉(zhuǎn)例

如圖，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=45°，點(diǎn)D在AC邊上，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△ACD'，且點(diǎn)D'、D、B在同一條直線上，則∠ABD的度數(shù)是

.BADCD'45°解：∵將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到△ACD'，∴∠BAC=∠CAD'=45°，AD=AD'，∴∠AD'D=67.5°，∠D'AB=90°，∴∠ABD=22.5°.22.5°考點(diǎn)分析1.如圖是香港特別行政區(qū)區(qū)徽中的紫荊花圖案，該圖案繞中心旋轉(zhuǎn)n°后能與原來的圖案互相重合，則n的最小值為 (

)A.45°B.60°C.72° D.108°C鞏固練習(xí)2.如圖，在方格紙中，將Rt△AOB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△A′O′B，則下列四個(gè)圖形中正確的是(

)A

B

C

DB鞏固練習(xí)3.如圖，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B′與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)B′落在邊AC上，連接A′B.若∠ACB＝45°，AC＝3，BC＝2，則A′B的長為________.

ABCB′A′鞏固練習(xí)4.在如圖所示的方格紙中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上(每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn))，畫出△ABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后所得到的△A'B'C'.C′B′A′OABC鞏固練習(xí)考點(diǎn)二中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形例

如圖在邊長均為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)及點(diǎn)O均在格點(diǎn)上.請(qǐng)僅用無刻度的直尺完成作圖.(保留作圖痕跡)在圖①中，作△ABC關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A′B′C′；A′B′C′考點(diǎn)分析1.觀察下列圖形，其中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是(

)

A

B

C

DD鞏固練習(xí)2.如圖，△ABC與△DEF成中心對(duì)稱，則對(duì)稱中心是(

)A.點(diǎn)C B.點(diǎn)DC.線段BC的中點(diǎn) D.線段FC的中點(diǎn)DBADCEF鞏固練習(xí)3.如圖，已知四邊形ABCD和點(diǎn)P，畫四邊形A′B′C′D′，使四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱.DABCPA'C'B'D'鞏固練習(xí)4.如圖，△ABO與△CDO關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，點(diǎn)E、F在線段AC上，且AF=CE.求證：DF=BE.OBADCEF

鞏固練習(xí)考點(diǎn)三平行四邊形的判定與性質(zhì)例(2022·徐州)如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，且BE=DF.求證：(1)

△ABE≌△CDF；BADCEF

考點(diǎn)分析BADCEF(2)

四邊形AECF是平行四邊形.解：(2)由(1)，得△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.∴

180°－∠AEB＝180°－∠CFD，即∠AEF＝∠CFE.∴AE∥CF.∵AE＝CF，∴

四邊形AECF是平行四邊形.考點(diǎn)分析1.如圖，在?ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，若AD＝6，AC＋BD＝16，則△BOC的周長為________.14BADCO2.

(2022·淮安)如圖，在?ABCD中，CA⊥AB.若∠B＝50°，則∠CAD的度數(shù)是

40°

?.

40°

(1)BADC(2)鞏固練習(xí)3.(2021·宿遷)在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并完成證明過程.已知，如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在AC上，

(填寫序號(hào)).

求證：BE=DF.②(答案不唯一)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=DO.∵OE=OF，∴四邊形BEDF為平行四邊形.∴BE=DF.BADCOEF鞏固練習(xí)4.(2023·無錫)如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，延長DE到點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接CF.求證：(1)

△CEF≌△AED；

BEDCAF鞏固練習(xí)BEDCAF(2)

四邊形DBCF是平行四邊形.解：(2)

由(1)，得△CEF≌△AED，∴

∠FCE＝∠A.∴BD∥CF.∵D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴DF∥BC.∴

四邊形DBCF是平行四邊形.鞏固練習(xí)5.(2022·揚(yáng)州)如圖，在?ABCD中，BE、DG分別平分∠ABC、∠ADC，交AC于點(diǎn)E、G.(1)求證：BE∥DG，BE=DG；BEDCAFG

鞏固練習(xí)(2)過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F.若?ABCD的周長為56，EF=6，求△ABC的面積.BEDCAFG

鞏固練習(xí)考點(diǎn)四矩形的判定與性質(zhì)例

如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是四邊形ABCD外一點(diǎn)，連接EA、EB、EC、ED.(1)求證：AC、BD互相平分；BADCOE證明：∵AD＝BC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC，BD互相平分．考點(diǎn)分析BADCOE(2)若∠AEC＝∠BED＝90°，請(qǐng)判斷四邊形ABCD的形狀，并給予證明.

考點(diǎn)分析1.(2023·上海)在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD.下列說法能使四邊形ABCD為矩形的是(

)A.AB∥CD

B.AD=BCC.∠A=∠B D.∠A=∠DC2.(2023·臺(tái)州)如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，在邊AD上取一點(diǎn)E，使BE=BC，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，則BF的長為

.

BADCFE鞏固練習(xí)3.在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.(1)如圖①，若∠AOB=60°，BD=8，則AB的長為

.

(2)若AB=3，BC=4，E為BC上一動(dòng)點(diǎn).①如圖②，連接AE交BD于點(diǎn)F，當(dāng)AE⊥BD時(shí)，AF的長為

.

②如圖③，過點(diǎn)E作EM⊥BD于點(diǎn)M，EN⊥AC于點(diǎn)N，則EM+EN的值為

.

BADCO①BADCOEF②BADCEOMN③4

鞏固練習(xí)4.(2022·泰州)如圖，線段DE與AF分別為△ABC的中位線與中線.(1)求證：AF與DE互相平分.

BADCFE鞏固練習(xí)(2)當(dāng)線段AF與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ADFE為矩形？請(qǐng)說明理由.

BADCFE鞏固練習(xí)考點(diǎn)五菱形的判定與性質(zhì)例

如圖，在平行四邊形ABCD中，BC＝2AB，AB⊥AC，分別在邊BC，AD上的點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱，連接EF，AE，CF，DE.求證：(1)四邊形AECF為菱形；BADCEF

O考點(diǎn)分析求證：(2)AE⊥DE.BADCEF

考點(diǎn)分析1.菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是(

)A.對(duì)角線相等 B.對(duì)角線互相垂直C.對(duì)角相等 D.對(duì)邊平行B2.若菱形的兩條對(duì)角線的長分別是6和8，則菱形的周長是(

)A.24 B.20C.10 D.5B鞏固練習(xí)3.在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使得邊AB在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是________.

BADCOxy鞏固練習(xí)4.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線的長分別為2和5，P是對(duì)角線AC上任一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，則陰影部分的面積是

．2.5BADCEFP鞏固練習(xí)5.如圖，AM∥BN，AC平分∠BAM，交BN于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)O，交AM于點(diǎn)D，連接CD.求證：四邊形ABCD是菱形.BADCOMN證明：∵AM∥BN，∴

∠DAC＝∠BCA.∵AC平分∠BAM，∴

∠BAC＝∠DAC.∴

∠BCA＝∠BAC.∴BC＝BA.∵BD⊥AC，∴

∠AOB＝∠AOD＝90°.∵

∠BAC＝∠DAC，∴

易得∠ABO＝∠ADO.∴AB＝AD.∴AD＝BC.∵AD∥BC，∴

四邊形ABCD是平行四邊形.又∵BD⊥AC，∴

四邊形ABCD是菱形.鞏固練習(xí)考點(diǎn)六正方形的判定與性質(zhì)例

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且EA=EC.(1)求證：四邊形ABCD是菱形；ABCDE

考點(diǎn)分析(2)如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求證：四邊形ABCD是正方形.ABCDE

考點(diǎn)分析1.如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O.E，F(xiàn)分別為AC，BD上一點(diǎn)，且OE＝OF，連接AF，BE，EF.若∠AFE＝25°，則∠CBE的度數(shù)為(

)A.50° B.55° C.65° D.70°CABCDOEF鞏固練習(xí)2.

(2022·無錫)如圖，正方形ABCD的邊長為8，E是CD的中點(diǎn)，HG垂直平分AE且分別交AE，BC于點(diǎn)H，G，則BG＝

1

?.1

DABCGEH鞏固練習(xí)3.

(2022·南京)在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－1，0)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(－2，4)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是

（2，?.

(2，5)BADCOxy鞏固練習(xí)4.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是各邊上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CG＝DH.求證：(1)

△AHE≌△BEF；解：(1)

∵

四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.又∵AE＝BF＝DH，∴DA－DH＝AB－AE，即AH＝BE.∴

△AHE≌△BEF.ABCDHEFG鞏固練習(xí)ABCDHEFG(2)

四邊形EFGH是正方形.解：(2)

同理(1)，可得△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.∴EH＝FE＝GF＝HG，∠EHA＝∠HGD.∴

四邊形EFGH是菱形.∵

∠HGD＋∠GHD＝90°，∴

∠EHA＋∠GHD＝90°.∴

∠EHG＝90°.∴

四邊形EFGH是正方形.鞏固練習(xí)5.

如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)F在邊CD上，連接AF，延長AD到點(diǎn)E，使得DE＝DF，連接CE.(1)求證：△ADF≌△CDE；

ABCDEFG鞏固練習(xí)ABCDEFG(2)若延長AF，與CE恰好相交于CE的中點(diǎn)G，求DE的長.

鞏固練習(xí)考點(diǎn)七三角形的中位線例

如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高．(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；(2)求證：∠DHF=∠DEF．BACEFHD(1)證明：∵點(diǎn)D、E、F分別是AB、BC、CA的中點(diǎn)，∴DE、EF都是△ABC的中位線，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四邊形ADEF是平行四邊形.考點(diǎn)分析(2)求證：∠DHF=∠DEF．BACEFHD(2)證明：∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴∠DEF=∠BAC，∵D，F(xiàn)分別是AB，CA的中點(diǎn)，AH是邊BC上的高，∴DH=AD，F(xiàn)H=AF，∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，∠DHA+∠FHA=∠DHF，∴∠DHF=∠BAC，∴∠DHF=∠DEF．考點(diǎn)分析

1.(2022·德陽)如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊上的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是(

)CBACEFDGH鞏固練習(xí)2.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AB、AC邊上的中點(diǎn)，連接CD、DE.如果AB＝5m，BC＝3m，那么CD＋DE的長是_____m.BACDE4鞏固練習(xí)3.如圖，已知四邊形ABCD中，R、P分別是BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上從C向D移動(dòng)而點(diǎn)R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是()A.線段EF的長逐漸增大B.線段EF的長逐漸減少C.線段EF的長不變D.線段EF的長與點(diǎn)P的位置有關(guān)BACDERPFC鞏固練習(xí)4.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn).(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形.ABCDEFHG

鞏固練習(xí)(2)①當(dāng)AB與CD滿足條件

時(shí)，四邊形EGFH是菱形，在(1)的基礎(chǔ)上此時(shí)判定菱形的依據(jù)是________________________________.

②當(dāng)AB與CD滿足什么條件時(shí)，四邊形EGFH是矩形？證明你的結(jié)論.ABCDEFHGAB=CD一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形解：②當(dāng)AB⊥CD時(shí)，四邊形EGFH是矩形.證明：由(1)知四邊形EGFH是平行四邊形.∵AB⊥CD，EG∥AB，F(xiàn)G∥CD，∴EG⊥FG.∴平行四邊形EGFH是矩形.鞏固練習(xí)5.

如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，E為AD上的一點(diǎn)，連接EB并延長，使BF＝BE，連接EC并延長，使CG＝CE，連接FG.H為FG的中點(diǎn)，連接AF，DH.(1)求證：四邊形AFHD為平行四邊形；BACEFDGH

鞏固練習(xí)(2)

若CB＝CE，∠BAE＝60°，∠DCE＝30°，求∠CBE的度數(shù).

BACEFDGH鞏固練習(xí)考點(diǎn)八特殊四邊形的動(dòng)態(tài)判定例

如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點(diǎn)F，連接AE、AF.(1)求證：∠ECF＝90°；BACOEFNGM

考點(diǎn)分析(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？請(qǐng)說明理由；BACOEFNGM(2)解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴EO＝CO，F(xiàn)O＝CO，∴OE＝OF.又∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO＝CO，∴四邊形AECF是平行四邊形.∵∠ECF＝90°，∴四邊形AECF是矩形.考點(diǎn)分析BACOEFNGM(3)在(2)的條件下，△ABC應(yīng)該滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF為正方形．解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，且滿足∠ACB為直角時(shí)，四邊形AECF是正方形．∵由(2)知當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，已知MN∥BC，當(dāng)∠ACB＝90°，則∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，即AC⊥EF，∴四邊形AECF是正