2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四講數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4.2用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例練習(xí)含解析新人教A版選修4-5

PAGEPAGE1二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例課后篇鞏固探究1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1++…+<n(n∈N+,且n>1)時,第一步是證下述哪個不等式成立()A.1<2 B.1+<2C.1+<2 D.1+<2解析當(dāng)n=2時,左邊=1+,右邊=2,所以應(yīng)證1+<2.答案C2.若x>-1,x≠0,則下列不等式正確的是()A.(1+x)3<1+3xB.(1+x<1+xC.(1+x)-2<1-2xD.(1+x<1+x解析由貝努利不等式可得選項(xiàng)D正確.答案D3.用數(shù)學(xué)歸納法證明+…+(n≥n0,且n∈N+),則n的最小值n0為()A.1 B.2 C.3 D.4解析當(dāng)n=1時,左邊==1,右邊=10=1,1>1,不成立;當(dāng)n=2時,左邊==2+1=3,右邊=,3>,成立;當(dāng)n=3時,左邊==3+3+1=7,右邊=31=3,7>3,成立.所以n的最小值n0為2.答案B4.導(dǎo)學(xué)號26394067某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明<n+1(n∈N+)”的過程如下:證明:(1)當(dāng)n=1時,明顯不等式是成立的;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時不等式成立,即<k+1.當(dāng)n=k+1時,=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時不等式是正確的.由(1)(2)可知,對于n∈N+,不等式都是正確的.以上證法是錯誤的,錯誤在于()A.從k到k+1的推理過程沒有運(yùn)用歸納假設(shè)B.歸納假設(shè)的寫法不正確C.從k到k+1的推理不嚴(yán)密D.當(dāng)n=1時,驗(yàn)證過程不詳細(xì)解析證明<(k+1)+1時進(jìn)行了一般意義的放大.而沒有運(yùn)用歸納假設(shè)<k+1.答案A5.已知f(n)=1++…+(n∈N+),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時,f(2k+1)比f(2k)多的項(xiàng)為.

解析f(2k+1)-f(2k)=1++…++…+.答案+…+6.已知x>0,視察下列幾個不等式:x+≥2;x+≥3;x+≥4;x+≥5…歸納猜想一般的不等式為.

答案x+≥n+1(n為正整數(shù))7.用數(shù)學(xué)歸納法證明(a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),n∈N+)時,假設(shè)當(dāng)n=k時不等式(*)成立,再推證當(dāng)n=k+1時不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式兩邊同乘.

解析對比k與k+1時的結(jié)論可知,兩邊只需同乘即可.答案8.用數(shù)學(xué)歸納法證明1++…+<2(n∈N+).證明(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=2.左邊<右邊,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時不等式成立,即1++…+<2.當(dāng)n=k+1時,1++…+<2=2.所以當(dāng)n=k+1時,不等式成立.由(1)(2)可知,原不等式對隨意n∈N+都成立.9.導(dǎo)學(xué)號26394068若不等式+…+對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論.解取n=1,則有成立,所以,因此a<26,取a=25,即正整數(shù)a的最大值為25.以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.+…+對一切正整數(shù)n都成立.(1)當(dāng)n=1時不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時不等式成立,即+…+,當(dāng)n=k+1時,+…+=.因?yàn)?所以>0,于是+…+,即當(dāng)n=k+1時不等式成立.由(1)(2)知,對一切正整數(shù)n,都有+…+,且正整數(shù)a的最大值等于25.10.導(dǎo)學(xué)號26394069已知數(shù)列{an}滿意:a1=,且an=(n≥2,n∈N+).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)求證對一切正整數(shù)n,不等式a1a2…an<2n!恒成立.(1)解將條件變?yōu)?-,因此數(shù)列為一個等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1-,公比為,從而1-,因此得an=(n≥1).①(2)證明由①得a1a2…an=.為證a1a2…an<2n!,只要證當(dāng)n∈N+時,有×…×.②明顯,左端每個因式皆為正數(shù),先證明對n∈N+,有×…×≥1-.③下面用數(shù)學(xué)歸納法證明③式:ⅰ當(dāng)n=1時,明顯③式成立,ⅱ假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,③