高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)真題分類匯編專題06平面向量和復(fù)數(shù)含答案及解析

專題06平面向量和復(fù)數(shù)考點(diǎn)一：平面向量的加減數(shù)乘運(yùn)算1．（2021春·河北）在中，設(shè)，，若，則（

）A． B．C． D．2．（2021秋·吉林）在中，點(diǎn)D在BC邊上，，則（

）A． B． C． D．3．（2021秋·青海）化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．4．（2022·北京）如圖，已知四邊形為矩形，則（

）A． B． C． D．5．（2022春·廣西）如圖，在正六邊形ABCDEF中，與向量相等的向量是（

）A． B． C． D．6．（2022春·貴州）如圖，在平行四邊形ABCD中，（

）A． B． C． D．7．（2021·北京）如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．8．（2021春·天津）如圖，在平行四邊形中，，，則可以表示為（

）

A． B． C． D．9．（2023·河北）在中，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．10．（2023·江蘇）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是邊的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．11．（2023春·福建）如圖所示，，，M為AB的中點(diǎn)，則為（

）

A． B．C． D．12．（2023春·湖南）在中，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．13．（2022春·天津）如圖，在平行四邊形中，，，則可以表示為（

）

A． B． C． D．14．（2022·山西）已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若，則P與△ABC的位置關(guān)系是（

）A．P在△ABC外部 B．P在線段AB上C．P在線段AC上 D．P在線段BC上15．（2022春·遼寧）已知向量，，則（

）．A． B． C． D．（1，1）16．（2022春·遼寧）如圖所示，在中，為邊上的中線，若，，則（

）．A． B．C． D．17．（2022春·浙江）在中，設(shè)，，，其中.若和的重心重合，則（

）A． B．1 C． D．218．（2022·湖南）已知，則（

）A． B． C． D．19．（2022秋·廣東）已知點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．20．（2022春·廣西）如圖，在中，（

）A． B． C． D．21．（2022春·貴州）已知向量，則（

）A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（4，1）22．（2023·山西）中，M為邊上任意一點(diǎn)，為中點(diǎn)，，則的值為23．（2023春·浙江）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)M、N滿足，，，則.24．（2023·云南），則的坐標(biāo)為.25．（2021秋·福建）已知向量，，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：平面向量的模1．（2021春·河北）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B．4 C． D．2．（2021·湖北）已知兩個(gè)單位向量，滿足，則（

）A． B． C． D．3．（多選）（2021·湖北）已知向量，，則（

）A． B． C． D．4．（2022秋·浙江）已知向量滿足，則（

）A．2 B． C．8 D．5．（2021秋·浙江·）已知平面向量滿足，則.6．（2023春·湖南）已知向量，，則.7．（2022春·天津）已知向量，.(1)求，的坐標(biāo)；(2)求，的值.8．（2021春·天津）已知向量，．(1)求、的坐標(biāo)；(2)求、的值．9．（多選）（2023春·浙江）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．向量在向量上的投影向量為C． D．10．（2022春·貴州）已知平面向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：平面向量的數(shù)量積1．（2023·云南）已知與的夾角為，則（

）A．-3 B．3 C． D．2．（2022·北京）已知向量，則（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2021春·貴州）已知向量和的夾角為，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．34．（2023·廣東）已知向量和的夾角為，，，則.5．（2022春·浙江）已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模為1，，則的取值范圍是.6．（2021秋·廣西）已知向量，，則.7．（2021·北京）已知向量，且，則實(shí)數(shù)；.8．（2022春·浙江）在矩形中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）\A． B． C． D．9．（2021·北京）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，那么（

）A． B．1 C． D．2考點(diǎn)四：平面向量的夾角1．（2022秋·福建）已知向量與滿足，且，則與的夾角等于．2．（2023·河北）已知向量滿足，那么向量的夾角為（

）A． B． C． D．3．（2021秋·福建）已知，滿足，，，則與的夾角的余弦值為.4．（2021春·河北）若向量，，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．5．（2021秋·河南）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，.（1）求；（2）求的余弦值.考點(diǎn)五：平面向量的平行和垂直關(guān)系1．（2023·北京）已知向量，．若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2．（2023·河北）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C．4 D．3．（2023·山西）已知向量，，且，則（

）A． B．C． D．4．（2023春·福建）已知，，且，則y的值為（

）A．3 B． C．4 D．5．（2023·云南）已知向量，若，則（

）A．-8 B．8 C．-10 D．106．（2023春·新疆）已知向量，若，則（

）A． B．C．6 D．7．（2021秋·吉林）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m等于（

）A． B． C．-2 D．28．（2021·吉林）已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．-2 B．2 C．-1 D．19．（2021春·貴州）已知向量．若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C．1 D．210．（2021秋·貴州）已知向量，若，則實(shí)數(shù)x＝.11．（2022春·浙江）已知平面向量，.若，則實(shí)數(shù)（

）A． B．3 C． D．1212．（2022秋·廣東）設(shè)向量，，若，則．13．（2022春·遼寧）已知向量，，(1)求；(2)若，求y的值.14．（2021秋·廣東）已知向量，若與共線，則m=.15．（2023·江蘇）已知向量，則實(shí)數(shù)（

）A． B．0 C．1 D．或116．（2023春·新疆）已知向量與的夾角為60°，．(1)求的值；(2)求為何值時(shí)，向量與相互垂直．考點(diǎn)六：正、余弦定理1．（2023·北京）在中，，，，則（

）A．60° B．75° C．90° D．120°2．（2023·河北）在中，若，，，則（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇）在中，已知，則（

）A． B． C． D．4．（2023春·浙江）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則角C為（

）A． B．或 C． D．或5．（2023春·湖南）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，，，則（

）A． B． C． D．6．（2023春·新疆）在△ABC中，角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B．C． D．7．（2021春·河北）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.若，，，則（

）A． B． C． D．8．（2021春·河北）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，為等邊三角形，則該四邊形的面積是（

）A．12 B．16 C． D．9．（2021秋·吉林）在中，，，，則角B為（

）A． B． C． D．10．（2021春·浙江）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，，則（

）A．2 B． C． D．11．（2021秋·河南）的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定12．（2021秋·河南）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，則B=（

）A．45° B．60° C．60°或120° D．45°或135°13．（2021春·貴州）三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c．若則的面積為（

）A． B． C． D．14．（2021春·貴州）三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c．若，則（

）A．1 B． C． D．15．（2021春·貴州）△三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c．若，則的最大值為（

）A． B． C． D．16．（2021秋·貴州）△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若a＝1，c＝2，B＝60°，則b=（

）A． B． C．1 D．17．（2021秋·福建）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則.18．（2023·北京）在中，，，則．19．（2023春·福建）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，，則=.20．（2022秋·浙江）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，則b=.21．（2022秋·福建）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則．22．（2022·湖南）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知，則的度數(shù)為．23．（2022春·廣西）在中，，則cosA=.24．（2021秋·廣西）如圖，為了測(cè)定河兩岸點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，在點(diǎn)同側(cè)的河岸選定點(diǎn)，測(cè)得，，，則點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為m.25．（2021秋·貴州）已知△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，D是線段BC上任意一點(diǎn)，ADBC，且AD＝BC，則的取值范圍是.26．（2022春·貴州）已知的外接圓半徑為，邊所對(duì)圓心角為，則面積的最大值為．27．（2021春·天津）已知、、分別是三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，且，，，則．28．（2023春·福建）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，.(1)求的值；(2)若，求b的值.29．（2023·廣東）在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，，.(1)求；(2)求.30．（2023·云南）在中，角的對(duì)邊分別為.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.31．（2022·山西）在中，內(nèi)角的對(duì)面分別為，且滿足.（1）求；（2）若，求及的面積.32．（2022春·遼寧）△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若．(1)求A的大??；(2)若，，求a．33．（2022秋·廣東）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，(1)求b(2)求的值34．（2021秋·廣東）如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點(diǎn)，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面積；（2）求邊AC的長(zhǎng).35．（2021·吉林）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，，求角的大小.考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算1．（2023·河北）若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．2．（2023·山西）復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．3．（2023·江蘇）已知，則（

）A．3 B．4 C． D．104．（2023春·湖南）已知i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．5．（2023·云南）若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限6．（2023春·新疆）設(shè)復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B．C． D．7．（2023春·新疆）若復(fù)數(shù)滿足，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限8．（2022·北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（

）A． B． C． D．9．（2022春·天津）是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．（2022春·遼寧）計(jì)算的值是（

）．A．3 B．2 C．1 D．011．（2022春·浙江）復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部是（

）A．1 B． C．2 D．12．（2022春·浙江）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四像限13．（2022·湖南）已知，為虛數(shù)單位，，若為實(shí)數(shù)，則取值為（

）A． B． C． D．14．（2022春·廣西）若復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則（

）A．1 B．2 C．4 D．515．（2021·北京）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限16．（2021春·天津）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．（多選）（2023春·浙江）已知是虛數(shù)單位，，復(fù)數(shù)是共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．18．（2021秋·吉林）若,其中是虛數(shù)單位,則的值分別等于（

）A． B． C． D．19．（2021·湖北）復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限20．（2021秋·廣西）已知是虛數(shù)單位，則（

）A．2 B． C． D．21．（2023·北京）已知復(fù)數(shù)，，則．22．（2023春·福建）已知為虛數(shù)單位，則.23．（2023·廣東）已知復(fù)數(shù)，要讓z為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m為.24．（2022春·天津）是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù).25．（2022·山西）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).26．（2022春·浙江）若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則．27．（2021春·天津）為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．

專題06平面向量和復(fù)數(shù)考點(diǎn)一：平面向量的加減數(shù)乘運(yùn)算1．（2021春·河北）在中，設(shè)，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】∵，∴D為BC的中點(diǎn)，∴，又∵，，∴.故選：A.2．（2021秋·吉林）在中，點(diǎn)D在BC邊上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】.故選：B3．（2021秋·青海）化簡(jiǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】故選：B4．（2022·北京）如圖，已知四邊形為矩形，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知.故選：C5．（2022春·廣西）如圖，在正六邊形ABCDEF中，與向量相等的向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由圖可知六邊形ABCDEF是正六邊形，所以ED=AB，與方向相同的只有；而,,與長(zhǎng)度相等，方向不同，所以選項(xiàng)A,C,D,均錯(cuò)誤；故選：B6．（2022春·貴州）如圖，在平行四邊形ABCD中，（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，.故選：B.7．（2021·北京）如圖，在中，D為BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，利用三角形法則知，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，利用三角形法則知，故D正確；故選：D8．（2021春·天津）如圖，在平行四邊形中，，，則可以表示為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】在平行四邊形中.故選：B9．（2023·河北）在中，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，則，故選：.10．（2023·江蘇）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是邊的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C：，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，正確.故選：D11．（2023春·福建）如圖所示，，，M為AB的中點(diǎn)，則為（

）

A． B．C． D．【答案】B【詳解】，，M為AB的中點(diǎn)，所以.故選：B12．（2023春·湖南）在中，D為BC的中點(diǎn)，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，故，故選：B13．（2022春·天津）如圖，在平行四邊形中，，，則可以表示為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，，因?yàn)?，，所?故選：B14．（2022·山西）已知平面內(nèi)一點(diǎn)P及△ABC，若，則P與△ABC的位置關(guān)系是（

）A．P在△ABC外部 B．P在線段AB上C．P在線段AC上 D．P在線段BC上【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以所以點(diǎn)P在線段AB上故選：B15．（2022春·遼寧）已知向量，，則（

）．A． B． C． D．（1，1）【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，所?故選：C.16．（2022春·遼寧）如圖所示，在中，為邊上的中線，若，，則（

）．A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：因?yàn)樵谥校瑸檫吷系闹芯€，所以故選：C17．（2022春·浙江）在中，設(shè)，，，其中.若和的重心重合，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【詳解】設(shè)為和的重心，連接延長(zhǎng)交與，連接延長(zhǎng)交與，所以是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，，，可得，解得.故選：D.18．（2022·湖南）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)，因?yàn)?，所以，所?故選：D.19．（2022秋·廣東）已知點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】,故選:D.20．（2022春·廣西）如圖，在中，（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由平行四邊形法則知，.故選：B.21．（2022春·貴州）已知向量，則（

）A．（2，0） B．（0，1） C．（2，1） D．（4，1）【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，故選：A22．（2023·山西）中，M為邊上任意一點(diǎn)，為中點(diǎn)，，則的值為【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以故答案為?3．（2023春·浙江）在矩形ABCD中，，，點(diǎn)M、N滿足，，，則.【答案】14【詳解】,,所以,故答案為：14

24．（2023·云南），則的坐標(biāo)為.【答案】【詳解】因?yàn)?，則，所以的坐標(biāo)為.故答案為：25．（2021秋·福建）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題設(shè)，.故選：C.考點(diǎn)二：平面向量的模1．（2021春·河北）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B．4 C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，兩邊平方，得，又，所以，解?故選：C.2．（2021·湖北）已知兩個(gè)單位向量，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：.故選：A.3．（多選）（2021·湖北）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】CD【詳解】解：，，所以，因?yàn)?，所?故選：CD.4．（2022秋·浙江）已知向量滿足，則（

）A．2 B． C．8 D．【答案】B【詳解】∵,又∵∴，∴，∴，故選：B.5．（2021秋·浙江·）已知平面向量滿足，則.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，，，故答案為?．（2023春·湖南）已知向量，，則.【答案】5【詳解】由，可得,所以,故答案為：57．（2022春·天津）已知向量，.(1)求，的坐標(biāo)；(2)求，的值.【答案】(1)，(2)，【詳解】（1），（2），8．（2021春·天津）已知向量，．(1)求、的坐標(biāo)；(2)求、的值．【答案】(1)，(2)，【詳解】（1）解：因?yàn)橄蛄?，，則，.（2）解：因?yàn)橄蛄?，，則，.9．（多選）（2023春·浙江）已知向量，，則下列說法正確的是（

）A． B．向量在向量上的投影向量為C． D．【答案】BD【詳解】因?yàn)?，，，所以，故A錯(cuò)誤；向量在向量上的投影向量，故B正確；因?yàn)?，，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：BD10．（2022春·貴州）已知平面向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，不妨設(shè)，又，不妨設(shè)在直線上，又可得，即，則，設(shè)，則，則，即，則在以為圓心，1為半徑的圓上；又，則的最小值等價(jià)于的最小值，即以為圓心，1為半徑的圓上一點(diǎn)到直線上一點(diǎn)距離的最小值，即圓心到直線的距離減去半徑，即，則的最小值是.故選：D.考點(diǎn)三：平面向量的數(shù)量積1．（2023·云南）已知與的夾角為，則（

）A．-3 B．3 C． D．【答案】B【詳解】.故選：B2．（2022·北京）已知向量，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】.故選：B.3．（2021春·貴州）已知向量和的夾角為，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】由故選：D4．（2023·廣東）已知向量和的夾角為，，，則.【答案】【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得.故答案為：.5．（2022春·浙江）已知平面向量，是非零向量.若在上的投影向量的模為1，，則的取值范圍是.【答案】【詳解】解：由題意，令，，則，所以，由，得，所以.，故答案為：6．（2021秋·廣西）已知向量，，則.【答案】2【詳解】由題意可得：.故答案為：2.7．（2021·北京）已知向量，且，則實(shí)數(shù)；.【答案】24【詳解】解：（1）由題得；（2）.故答案為：2；4.8．（2022春·浙江）在矩形中，，，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（

）\A． B． C． D．【答案】B【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，，，，，即的取值范圍為.故選：B.9．（2021·北京）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，那么（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【詳解】解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系由題意可知，，，故選：B考點(diǎn)四：平面向量的夾角1．（2022秋·福建）已知向量與滿足，且，則與的夾角等于．【答案】/【詳解】依題意，，∴與的夾角為；故答案為：.2．（2023·河北）已知向量滿足，那么向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題意可得：，∵，∴向量的夾角為.故選：D3．（2021秋·福建）已知，滿足，，，則與的夾角的余弦值為.【答案】【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，，，所以，所以與的夾角的余弦值為．故答案為：.4．（2021春·河北）若向量，，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】向量，，，設(shè)向量與的夾角為，則，由，得.故選：A.5．（2021秋·河南）已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，.（1）求；（2）求的余弦值.【答案】（1）-16（2）【詳解】解：（1）由已知，得，.所以.（2）.考點(diǎn)五：平面向量的平行和垂直關(guān)系1．（2023·北京）已知向量，．若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄浚?，則.故選：C.2．（2023·河北）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C．4 D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)橄蛄?，，所以，則，故選：.3．（2023·山西）已知向量，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，，A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤，所以，所以，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.4．（2023春·福建）已知，，且，則y的值為（

）A．3 B． C．4 D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，且，則，解得，所以y的值為3.故選：A5．（2023·云南）已知向量，若，則（

）A．-8 B．8 C．-10 D．10【答案】D【詳解】由向量，，則，解得.故選：D.6．（2023春·新疆）已知向量，若，則（

）A． B．C．6 D．【答案】D【詳解】向量，且，則，所以.故選：D7．（2021秋·吉林）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m等于（

）A． B． C．-2 D．2【答案】A【詳解】由于，所以.故選：A8．（2021·吉林）已知向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?故選：B9．（2021春·貴州）已知向量．若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【詳解】解：因?yàn)?，所以，解?故選：B.10．（2021秋·貴州）已知向量，若，則實(shí)數(shù)x＝.【答案】-6【詳解】因?yàn)?，所以，解得：故答案為?611．（2022春·浙江）已知平面向量，.若，則實(shí)數(shù)（

）A． B．3 C． D．12【答案】B【詳解】由，可得，解得.故選：B.12．（2022秋·廣東）設(shè)向量，，若，則．【答案】1【詳解】由于，所以.故答案為：13．（2022春·遼寧）已知向量，，(1)求；(2)若，求y的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：向量，，所以.（2）解：向量，，若，則，解得.14．（2021秋·廣東）已知向量，若與共線，則m=.【答案】【詳解】因?yàn)橄蛄浚遗c共線，所以，解得：，故答案為：.15．（2023·江蘇）已知向量，則實(shí)數(shù)（

）A． B．0 C．1 D．或1【答案】D【詳解】由已知向量，可得，由可得，即，解得，故選：D16．（2023春·新疆）已知向量與的夾角為60°，．(1)求的值；(2)求為何值時(shí)，向量與相互垂直．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)橄蛄颗c的夾角為60°，所以（2）因?yàn)橄蛄颗c相互垂直，所以，則，所以，則考點(diǎn)六：正、余弦定理1．（2023·北京）在中，，，，則（

）A．60° B．75° C．90° D．120°【答案】D【詳解】由余弦定理得：，.故選：D.2．（2023·河北）在中，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，，，由余弦定理可得，即又可得；利用正弦定理可知，所以.故選：A3．（2023·江蘇）在中，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，，解得.故選：D4．（2023春·浙江）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則角C為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【詳解】，，由正弦定理，,由角B為三角形內(nèi)角，則，可得，由，可得或，故選：B5．（2023春·湖南）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理可得：.故選：C.6．（2023春·新疆）在△ABC中，角的對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由余弦定理得，，又，所以.故選：C7．（2021春·河北）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由正弦定理可得，即，解得，因?yàn)橹?，所以，所以，，故選：D8．（2021春·河北）如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，為等邊三角形，則該四邊形的面積是（

）A．12 B．16 C． D．【答案】D【詳解】中，根據(jù)余弦定理，則，則,因?yàn)槭堑冗吶切危?，的面積，所以四邊形的面積.故選：D9．（2021秋·吉林）在中，，，，則角B為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由正弦定理得，即，解得由于，所以為銳角，所以.故選：B10．（2021春·浙江）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知，，，則（

）A．2 B． C． D．【答案】B【詳解】由余弦定理可得，，所以.故選：B.11．（2021秋·河南）的三邊長(zhǎng)分別為3，5，7，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【答案】C【詳解】設(shè)最大角為，則，是鈍角，三角形為鈍角三角形．故選：C．12．（2021秋·河南）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，，則B=（

）A．45° B．60° C．60°或120° D．45°或135°【答案】D【詳解】由正弦定理得，因?yàn)椋?，所以或．故選：D．13．（2021春·貴州）三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c．若則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由三角形面積公式知：.故選：A14．（2021春·貴州）三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c．若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【詳解】解：在中由正弦定理可得，即，即，解得；故選：C15．（2021春·貴州）△三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別是a，b，c．若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由余弦定理，又，故，由正弦定理知：，則，所以，而，則且，又，當(dāng)時(shí)的最大值為.故選：A16．（2021秋·貴州）△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c.若a＝1，c＝2，B＝60°，則b=（

）A． B． C．1 D．【答案】D【詳解】由余弦定理得，因?yàn)?，所以，故選：D17．（2021秋·福建）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則.【答案】【詳解】由可得,由正弦定理可得，解得，故答案為：18．（2023·北京）在中，，，則．【答案】4【詳解】由正弦定理可得，故，所以.故答案為：4.19．（2023春·福建）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，若，，則=.【答案】/【詳解】由余弦定理，則，又，所以，故答案為：.20．（2022秋·浙江）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a=2，A=45°，B=60°，則b=.【答案】【詳解】解：因?yàn)閍=2，A=45°，B=60°，，所以.故答案為：.21．（2022秋·福建）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則．【答案】【詳解】由正弦定理得：；故答案為：.22．（2022·湖南）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知，則的度數(shù)為．【答案】【詳解】由正弦定理：可得：，由可得，則：.23．（2022春·廣西）在中，，則cosA=.【答案】【詳解】由余弦定理得.故答案為：24．（2021秋·廣西）如圖，為了測(cè)定河兩岸點(diǎn)與點(diǎn)間的距離，在點(diǎn)同側(cè)的河岸選定點(diǎn)，測(cè)得，，，則點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為m.【答案】【詳解】在中，，，，則，因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為.故答案為：.25．（2021秋·貴州）已知△ABC三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，D是線段BC上任意一點(diǎn)，ADBC，且AD＝BC，則的取值范圍是.【答案】【詳解】因?yàn)锳DBC，且，D是線段BC上任意一點(diǎn)，所以當(dāng)點(diǎn)D與B重合時(shí)，c最小，b最大，取最大值，當(dāng)點(diǎn)D與C重合時(shí)，c最大，b最小，取最小值，所以，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得.故答案為：.26．（2022春·貴州）已知的外接圓半徑為，邊所對(duì)圓心角為，則面積的最大值為．【答案】【詳解】解：如圖設(shè)外接圓的圓心為，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，依題意，，所以，，要使的面積最大，即點(diǎn)到的距離最大，顯然點(diǎn)到的距離，所以故答案為：27．（2021春·天津）已知、、分別是三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，且，，，則．【答案】【詳解】因?yàn)?，，，由余弦定理可?故答案為：.28．（2023春·福建）已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，.(1)求的值；(2)若，求b的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理，，又，所以.29．（2023·廣東）在中，內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由正弦定理可得，所以，，因?yàn)椋瑒t，故.（2）解：由（1）可知，所以，.30．（2023·云南）在中，角的對(duì)邊分別為.(1)已知，求的值；(2)已知，求的值.【答案】(1)4；(2)1.【詳解】（1）在中，，由正弦定理，得，所以的值是4.（2）在中，，由余弦定理，得，則有，即，解得，所以的值為1.31．（2022·山西）在中，內(nèi)角的對(duì)面分別為，且滿足.（1）求；（2）若，求及的面積.【答案】（1）；（2）8，.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，且易知所以，又，所?（2）由（1）知，所以在中，由余弦定理得，，即，因?yàn)椋獾?，所?32．（2022春·遼寧）△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若．(1)求A的大?。?2)若，，求a．【答案】(1)或；(2)答案見解析.【詳解】（1）解：由以及正弦定理可得，.又，所以.因?yàn)?，所以?（2）解：當(dāng)時(shí)，，由余弦定理可得，，，解得；當(dāng)時(shí)，，由余弦定理可得，，，解得.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.33．（2022秋·廣東）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，，(1)求b(2)求的值【答案】(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理，所以.（2）由正弦定理.34．（2021秋·廣東）如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點(diǎn)，CD=5，CB=7，DB=3（1）求△CBD的面積；（2）求邊AC的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，則，；（2）在中，由正弦定理得，即，解得.35．（2021·吉林）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，，求角的大小.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴，∴，∵是的內(nèi)角，∴.（2）∵，∴，∴，∵，∴，又因?yàn)椋?考點(diǎn)六：復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算1．（2023·河北）若實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：A.2．（2023·山西）復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，由，根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式，，即，.故選：B3．（2023·江蘇）已知，則（

）A．3 B．4 C． D．10【答案】C【詳解】因?yàn)?，所?故選：C.4．（2023春·湖南）已知i為虛數(shù)單位，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意得，故選：B5．（2023·云南）若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二