專題43 直線的方程原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題43直線的方程（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】直線的傾斜角與斜率 4【考點(diǎn)2】求直線的方程 5【考點(diǎn)3】直線方程的綜合應(yīng)用 6【分層檢測(cè)】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 9【培優(yōu)篇】 9考試要求：1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°；(3)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α<180°}.2.直線的斜率(1)定義：我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan__α.(2)計(jì)算公式①經(jīng)過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直線l上的兩點(diǎn)，則向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)以及與它平行的向量都是直線的方向向量.若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x，y)，則k＝eq\f(y,x).3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線1.直線的傾斜角α和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：α00<α<eq\f(π,2)eq\f(π,2)eq\f(π,2)<α<πk0k>0不存在k<02.截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．62．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，3．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線與圓交于兩點(diǎn)，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5．（2023·全國·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B． C． D．二、填空題6．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點(diǎn)重合，為兩曲線的交點(diǎn)，則原點(diǎn)到直線的距離為．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線的傾斜角與斜率一、單選題1．（2022·貴州畢節(jié)·三模）曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2024·山東·二模）已知直線，圓，則下列說法正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn) B．直線與圓相交C．當(dāng)直線平分圓時(shí)， D．當(dāng)點(diǎn)到直線距離最大值時(shí)，4．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．，使得三、填空題5．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，直線，直線，記分別過定點(diǎn)，且與的交點(diǎn)為，則的最大值為.6．（2022高二·全國·專題練習(xí)）已知兩點(diǎn)、，給出下列曲線方程：①；②；③；④．則曲線上存在點(diǎn)P滿足的方程的序號(hào)是．反思提升：(1)斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.(2)傾斜角和斜率范圍求法：①圖形觀察(數(shù)形結(jié)合)；②充分利用函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性.【考點(diǎn)2】求直線的方程一、單選題1．（2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，直線通過原點(diǎn)，是的一個(gè)法向量，則直線傾斜角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知曲線在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題3．（2023·浙江寧波·一模）已知直線：與圓：相交于兩點(diǎn)，與兩坐標(biāo)軸分別交于兩點(diǎn)，記的面積為，的面積為，則（

）A． B．存在，使 C． D．存在，使4．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點(diǎn)B．存在實(shí)數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線三、填空題5．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知過點(diǎn)的直線（不過原點(diǎn)）與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，則的值為.6．（2023·江西南昌·一模）函數(shù)在x＝1處的切線平行于直線x－y－1＝0，則切線在y軸上的截距為．反思提升：(1)求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫出其方程.②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程.(2)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程，使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用.【考點(diǎn)3】直線方程的綜合應(yīng)用一、單選題1．（2022·安徽黃山·二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西商洛·三模）已知是圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，直線l：（），則（

）A．直線l恒過定點(diǎn)B．存在實(shí)數(shù)m，使得直線l與圓C沒有公共點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于1D．圓C與圓恰有兩條公切線4．（2021·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增B．的最小值為，沒有最大值C．存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為2三、填空題5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知直線，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)k的值為；若直線l不經(jīng)過第三象限，則k的取值范圍是.6．（22-23高二上·江蘇鹽城·期中）已知?分別在直線與直線上，且，點(diǎn)，，則的最小值為.反思提升：1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時(shí)要能夠整理成過定點(diǎn)的直線系，能夠看出“動(dòng)中有定”.若直線的方程為y＝k(x－1)＋2，則直線過定點(diǎn)(1，2).2.求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長(zhǎng)度，進(jìn)而求得多邊形面積.3.求參數(shù)值或范圍.注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·河南信陽·三模）動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù)的圖像上，以P為切點(diǎn)的切線的傾斜角取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·重慶·三模）當(dāng)點(diǎn)到直線l：的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．23．（2024·山東青島·二模）拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（

）A． B． C． D．4．（2020高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中，不過原點(diǎn)的兩直線，的交點(diǎn)為P，過點(diǎn)O分別向直線，引垂線，垂足分別為M，N，則四邊形OMPN面積的最大值為（

）A．3 B． C．5 D．二、多選題5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線與圓相交C．若，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為D．若直線與直線垂直，則6．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習(xí)）已知圓，直線．則以下幾個(gè)結(jié)論正確的有（

）A．直線l與圓C相交B．圓C被y軸截得的弦長(zhǎng)為C．點(diǎn)C到直線l的距離的最大值是D．直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，直線l的方程為7．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點(diǎn)是點(diǎn)，軍營所在位置為，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是三、填空題8．（2024·天津南開·二模）過圓C：上的點(diǎn)作圓C切線l，則l的傾斜角為.9．（2024·北京·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)B在C上.若，則直線AB的方程為.10．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B分別為曲線和直線上的點(diǎn)，則的最小值為.四、解答題11．（23-24高二上·山東德州·期中）已知直線：和直線：，其中m為實(shí)數(shù)．(1)若，求m的值；(2)若點(diǎn)在直線上，直線l過P點(diǎn)，且在x軸上的截距與在y軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程．12．（2024·陜西西安·二模）解答下列問題.(1)已知直線與直線相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值；(2)已知直線過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程.【能力篇】一、單選題1．（2022·四川南充·三模）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在拋物線上，且位于第二象限，M是線段PA的中點(diǎn)，則直線OM的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)到的距離比到軸的距離大2B．點(diǎn)到直線的最小距離為C．以為直徑的圓與軸相切D．記點(diǎn)在的準(zhǔn)線上的射影為，則不可能是正三角形三、填空題3．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）已知圓，直線，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則直線過定點(diǎn).四、解答題4．（2024·河南·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)為C上一點(diǎn)．(1)求直線的斜率；(2)經(jīng)過焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線的距離為，求以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限且與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，直線與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測(cè)）太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組