專題44 兩條直線的位置關(guān)系原卷版-2025版高中數(shù)學一輪復習講義知識梳理、考點突破和分層檢測

Page專題44兩條直線的位置關(guān)系（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】兩直線的平行與垂直 4【考點2】兩直線的交點與距離問題 5【考點3】對稱問題 6【考點4】直線系方程的應用 8【分層檢測】 9【基礎(chǔ)篇】 9【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 11考試要求：1.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.知識梳理知識梳理1.兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.特別地，當直線l1，l2的斜率都不存在時，l1與l2平行.(2)兩條直線垂直如果兩條直線l1，l2斜率都存在，設(shè)為k1，k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.2.直線的交點與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系(1)兩直線的交點點P的坐標既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點P的坐標是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標.(2)兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行3.距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).特別地，原點O(0，0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).(2)點到直線的距離公式平面上任意一點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩條平行線間的距離公式一般地，兩條平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).4.對稱問題(1)點P(x0，y0)關(guān)于點A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0，2b－y0).(2)設(shè)點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′－y0,x′－x0)·k＝－1，,\f(y′＋y0,2)＝k·\f(x′＋x0,2)＋b，))可求出x′，y′.1.“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要條件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2＋B1B2”＝0.2.討論兩直線的位置關(guān)系時應考慮直線的斜率是否存在.真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知b是的等差中項，直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·高考真題）已知直線與圓交于兩點，則AB的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空題4．（2023·北京·高考真題）設(shè)，函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當時，存在最大值；③設(shè)，則；④設(shè)．若存在最小值，則a的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是．考點突破考點突破【考點1】兩直線的平行與垂直一、單選題1．（23-24高三上·陜西西安·階段練習）已知直線與直線平行，則的值為（

）A．4 B． C．2或 D．或42．（23-24高二上·山東·階段練習）瑞士數(shù)學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.已知的頂點，若直線與的歐拉線垂直，則直線與的歐拉線的交點坐標為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2022·廣東·一模）下列說法正確的是（

）A．已知直線與平行，則k的值是3B．直線與圓的位置關(guān)系為相交C．圓上到直線的距離為的點共有3個D．已知AC、BD為圓的兩條相互垂直的弦，垂足為，則四邊形ABCD的面積的最大值為104．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）費馬原理是幾何光學中的一條重要定理，由此定理可以推導出圓錐曲線的一些性質(zhì)，例如，若點是雙曲線（為的兩個焦點）上的一點，則在點處的切線平分.已知雙曲線的左?右焦點分別為，直線為在其上一點處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的一條漸近線與直線相互垂直B．若點在直線上，且，則（為坐標原點）C．直線的方程為D．延長交于點，則的內(nèi)切圓圓心在直線上三、填空題5．（23-24高三下·河南·階段練習）已知P，Q是拋物線上的兩個動點，，直線AP的斜率與直線AQ的斜率之和為4，若直線PQ與直線平行，則直線PQ與之間的距離等于．6．（2023·海南·模擬預測）已知直線，直線過點且與直線相互垂直，圓，若直線與圓C交于M，N兩點，則．反思提升：1.當含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還要注意x，y的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.【考點2】兩直線的交點與距離問題一、單選題1．（2023·北京東城·二模）已知三條直線，，將平面分為六個部分，則滿足條件的的值共有（

）A．個 B．2個 C．個 D．無數(shù)個2．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知點在拋物線上，則C的焦點與點之間的距離為（

）A．4 B． C．2 D．二、多選題3．（2023·河北·模擬預測）已知函數(shù)，若直線與函數(shù)在上有1個公共點，在上有個公共點，則的值不可能為（

）A．1 B． C． D．4．（2024·甘肅定西·一模）下列命題為真命題的是（

）A．的最小值是2B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是三、填空題5．（2024·山東·二模）過直線和的交點，傾斜角為的直線方程為.6．（2022·江蘇·模擬預測）過拋物線的焦點作圓的切線，切點為.若，則，.反思提升：(1)求過兩直線交點的直線方程的方法：先求出兩直線的交點坐標，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應注意：①點P(x0，y0)到直線x＝a的距離d＝|x0－a|，到直線y＝b的距離d＝|y0－b|；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.【考點3】對稱問題一、單選題1．（2024·天津和平·二模）過直線上的點P作圓C：的兩條切線，，當直線，關(guān)于直線對稱時，點P的坐標為（

）A． B． C． D．2．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）設(shè)直線，一束光線從原點出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點.若，則的值為（

）A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高三上·重慶·階段練習）已知圓，直線（且不同時為0），下列說法正確的是（

）A．當直線經(jīng)過時，直線與圓相交所得弦長為B．當時，直線與關(guān)于點對稱，則的方程為：C．當時，圓上存在4個點到直線的距離為D．過點與平行的直線方程為：4．（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知直線和三點，，，過點C的直線與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點．下列結(jié)論正確的是（

）A．P在直線l上，則的最小值為B．直線l上一點使最大C．當最小時的方程是D．當最小時的方程是三、填空題5．（2023·福建廈門·模擬預測）已知直線：關(guān)于直線的對稱直線為軸，則的方程為.6．（23-24高二上·福建三明·階段練習）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強的一部分．唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設(shè)將軍的出發(fā)點是，軍營所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為．反思提升：(1)光的反射問題實質(zhì)是點關(guān)于直線的對稱問題，要注意轉(zhuǎn)化.(2)直線關(guān)于點的對稱：直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決，也可考慮利用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解.(3)求直線l1關(guān)于直線l對稱的直線l2，有兩種處理方法：①在直線l1上取兩點(一般取特殊點)，利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)于直線l的對稱點，再用兩點式寫出直線l2的方程.②設(shè)點P(x，y)是直線l2上任意一點，其關(guān)于直線l的對稱點為P1(x1，y1)(P1在直線l1上)，根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組，用x，y表示出x1，y1，再代入直線l1的方程，即得直線l2的方程.【考點4】直線系方程的應用一、單選題1．（23-24高二下·上?！るA段練習）已知直線的方程是，則對任意的實數(shù)，直線一定經(jīng)過（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（23-24高三上·山東臨沂·期末）過圓C：外一點作圓C的切線，切點分別為A，B，則直線過定點（

）A． B．C． D．二、多選題3．（23-24高二上·江西·階段練習）已知圓，直線，下列說法正確的是（

）A．無論取何值，直線與圓相交B．直線被圓截得的最短弦長為C．若，則圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為D．直線的方程能表示過點的所有直線的方程4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知直線與圓相交于兩點，下列說法正確的是（

）A．若圓關(guān)于直線對稱，則B．的最小值為C．當時，對任意，曲線恒過直線與圓的交點D．若（為坐標原點）四點共圓，則三、填空題5．（23-24高三上·重慶九龍坡·階段練習）已知直線恒過定點P，則點P關(guān)于直線的對稱點的坐標是．6．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點和兩直線；交點的直線方程為.反思提升：幾種常見的直線系方程(1)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C).(2)與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R).(3)過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與直線互相垂直，交點坐標為，則的值為（

）A．20 B． C．0 D．242．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）平面上一動點滿足：且，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·河北保定·開學考試）函數(shù)圖象上的點到直線距離的最小值為（

）A． B．1 C． D．24．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B． C． D．二、多選題5．（22-23高二上·安徽馬鞍山·期末）若三條直線可以圍成一個三角形，則實數(shù)的值可以為（

）A． B．0 C．1 D．36．（2024·云南昆明·模擬預測）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流m，n，其方程分別為，，將軍的出發(fā)點是點，軍營所在位置為，則下列說法錯誤的是（

）A．若將軍先去河流m飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為B．將軍先去河流n飲馬，再返回軍營的最短路程是C．將軍先去河流m飲馬，再去河流n飲馬，最后返回軍營的最短路程是D．將軍先去河流n飲馬，再去河流m飲馬，最后返回軍營的最短路程是7．（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知直線，下列說法正確的是（

）A．直線過定點B．當時，關(guān)于軸的對稱直線為C．直線一定經(jīng)過第四象限D(zhuǎn)．點到直線的最大距離為三、填空題8．（24-25高二·上?！るS堂練習）若與平行，則兩直線之間的距離為.9．（23-24高二上·江蘇南京·期末）求過兩條直線和的交點，且與垂直的直線方程．10．（23-24高二下·山西·期中）已知圓：，則圓心到直線：的最大距離為.四、解答題11．（22-23高二上·湖北武漢·階段練習）已知兩條平行直線與之間的距離是．(1)求直線關(guān)于直線對稱的直線方程；(2)求直線關(guān)于直線對稱的直線方程．12．（23-24高二下·河北張家口·開學考試）已知直線：和：．(1)若與互相垂直，求實數(shù)的值；(2)若與互相平行，求與間的距離．【能力篇】一、單選題1．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）過原點的直線l的傾斜角為θ，則直線l關(guān)于直線對稱的直線的傾斜角不可能為（

）A．θ B． C． D．二、多選題2．（23-24高二上·福建莆田·期中）以下四