專題47 橢圓原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識梳理、考點突破和分層檢測

Page專題47橢圓（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】橢圓的定義及應(yīng)用 4【考點2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 5【考點3】橢圓的簡單幾何性質(zhì) 7【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 11【培優(yōu)篇】 12考試要求：1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).知識梳理知識梳理1.橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.其數(shù)學(xué)表達式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數(shù)：(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a＜c，則集合P為空集.2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b21.若點P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個焦點，則(1)b≤|OP|≤a；(2)a－c≤|PF|≤a＋c.2.焦點三角形：橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫作焦點三角形，r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中：(1)當(dāng)r1＝r2時，即點P的位置為短軸端點時，θ最大；(2)S＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|，當(dāng)|y0|＝b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc.3.焦點弦(過焦點的弦)：焦點弦中通徑(垂直于長軸的焦點弦)最短，弦長lmin＝eq\f(2b2,a).4.AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段PP'，為垂足，則線段PP'的中點M的軌跡方程為（

A．（） B．（）C．（） D．（）2．（2023·全國·高考真題）設(shè)為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．53．（2023·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則（

）A． B． C． D．4．（2023·全國·高考真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．6．（2022·全國·高考真題）橢圓的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2022·全國·高考真題）已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是．考點突破考點突破【考點1】橢圓的定義及應(yīng)用一、單選題1．（23-24高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知，是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，則的最大值是（

）A． B．9 C．16 D．252．（2024·陜西西安·三模）已知定點與橢圓上的兩個動點，，若，則的最小值為（

）A． B．13 C． D．二、多選題3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知橢圓：（）的左、右焦點為，，過的直線與交于，兩點.若，.則（

）A．的周長為 B．C．的斜率為 D．橢圓的離心率為4．（23-24高三下·黑龍江·階段練習(xí)）已知、，點為曲線上動點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若為拋物線，則B．若為橢圓，則C．若為雙曲線，則D．若為圓，則三、填空題5．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習(xí)）設(shè)橢圓的左右焦點為，橢圓上點滿足，則的面積為.6．（23-24高二上·山東青島·期末）如圖所示，已知橢圓的左右焦點分別為，點在上，點在軸上，，則的離心率為.

反思提升：橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求焦點三角形的周長、面積及弦長、最值和離心率等.(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題.【考點2】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、單選題1．（2024·遼寧·二模）已知方程表示的曲線是橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·廣西桂林·三模）已知橢圓C：的右焦點為F，過F的直線與C交于A、B兩點，其中點A在x軸上方且，則B點的橫坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知為3與5的等差中項，為4與16的等比中項，則下列對曲線描述正確的是（

）A．曲線可表示為焦點在軸的橢圓B．曲線可表示為焦距是4的雙曲線C．曲線可表示為離心率是的橢圓D．曲線可表示為漸近線方程是的雙曲線4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知分別為橢圓的左、右焦點，直線過的一個焦點和一個頂點，且與交于兩點，則（

）A．的周長為8B．的面積為C．該橢圓的離心率為D．若點為上一點，設(shè)到直線的距離為，則三、填空題5．（2023·廣東·二模）已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．（2024·上?！と＃┦骝v尺是荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（1615-1660）設(shè)計的一種作圖工具，如圖，是滑槽的中點，短桿可繞轉(zhuǎn)動，長桿通過處的鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽滑動，當(dāng)點在滑槽內(nèi)作往復(fù)移動時，帶動點繞轉(zhuǎn)動，點也隨之而運動，記點的運動軌跡為，點的運動軌跡為.若，，且，過上的點向作切線，則切線長的最大值為反思提升：(1)利用定義法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，要注意條件2a＞|F1F2|；利用待定系數(shù)法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式.(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個應(yīng)用①方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0)有相同的離心率.②與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)共焦點的橢圓系方程為eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0)，恰當(dāng)運用橢圓系方程，可使運算簡便.【考點3】橢圓的簡單幾何性質(zhì)一、單選題1．（2024·山西太原·一模）設(shè)雙曲線（、均為正值）的漸近線的傾斜角為，且該雙曲線與橢圓的離心率之積為1，且有相同的焦距，則（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）已知橢圓的方程為，過橢圓中心的直線交橢圓于A、B兩點，是橢圓的右焦點，則的周長的最小值為（

）A．8 B． C．10 D．二、多選題3．（2024·江西南昌·三模）將橢圓上所有的點繞原點旋轉(zhuǎn)角，得到橢圓的方程：，則下列說法中正確的是（

）A． B．橢圓的離心率為C．是橢圓的一個焦點 D．4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，長、短軸所在直線不與坐標(biāo)軸重合的橢圓稱為“斜橢圓”，將焦點在坐標(biāo)軸上的橢圓繞著對稱中心順時針旋轉(zhuǎn)，即得“斜橢圓”，設(shè)在上，則（

）A．“斜橢圓”的焦點所在直線的方程為 B．的離心率為C．旋轉(zhuǎn)前的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 D．三、填空題5．（2025·黑龍江大慶·一模）已知是橢圓的左焦點，直線交橢圓于兩點.若，則橢圓的離心率為.6．（2023·廣西·一模）如圖，一個光學(xué)裝置由有公共焦點的橢圓C與雙曲線構(gòu)成，一光線從左焦點發(fā)出，依次經(jīng)過與C的反射，又回到點.，歷時m秒；若將裝置中的去掉，則該光線從點發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點歷時n秒，若的離心率為C的離心率的4倍，則.反思提升：1.求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下：(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解.(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解.(3)構(gòu)造a，c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.2.利用橢圓幾何性質(zhì)求值域或范圍的思路(1)將所求問題用橢圓上點的坐標(biāo)表示，利用坐標(biāo)范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系.(2)將所求范圍用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范圍、關(guān)系求范圍.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·江西九江·三模）已知橢圓的左右焦點分別為,過且傾斜角為的直線交于第一象限內(nèi)一點.若線段的中點在軸上,的面積為,則的方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知焦點在軸上的橢圓的離心率為，焦距為，則該橢圓的方程為（

）A． B．C． D．3．（2024·福建泉州·二模）若橢圓的離心率為，則該橢圓的焦距為（

）A． B． C．或 D．或4．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測）若動直線始終與橢圓（且）有公共點，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·河南開封·三模）橢圓的焦點為，，上頂點為A，直線與C的另一個交點為B，若，則（

）A．C的焦距為2 B．C的短軸長為C．C的離心率為 D．的周長為86．（2024·山東濰坊·二模）已知橢圓：的焦點分別為，，P為上一點，則（

）A．的焦距為 B．的離心率為C．的周長為 D．面積的最大值為7．（20-21高三上·江蘇南通·期末）嫦娥奔月是中華民族的千年夢想.2020年12月我國嫦娥五號“探月工程”首次實現(xiàn)從月球無人采樣返回.某校航天興趣小組利用計算機模擬“探月工程”，如圖，飛行器在環(huán)月橢圓軌道近月點制動（俗稱“踩剎車”）后，以的速度進入距離月球表面的環(huán)月圓形軌道（月球的球心為橢圓的一個焦點），環(huán)繞周期為，已知遠月點到月球表面的最近距離為，則（

）A．圓形軌道的周長為B．月球半徑為C．近月點與遠月點的距離為D．橢圓軌道的離心率為三、填空題8．（2022·廣東佛山·三模）已知橢圓，、為的左、右焦點，是橢圓上的動點，則內(nèi)切圓半徑的最大值為．9．（2024·廣東江門·二模）已知圓內(nèi)切于圓，圓內(nèi)切于圓，則動圓的圓心的軌跡方程為.10．（2023·貴州畢節(jié)·一模）勒洛三角形是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，邊長為半徑，在另兩個頂點間作圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形（如圖），已知橢圓的焦點和頂點能作出一個勒洛三角形，則該勒洛三角形的周長為．四、解答題11．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知橢圓C：的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓C交于M，N兩點，且的周長為8，的最大面積為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)，是否存在x軸上的定點P，使得的內(nèi)心在x軸上，若存在，求出點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．12．（2024·廣東梅州·二模）已知橢圓C：（）的離心率為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓C的方程：(2)求橢圓C上的點到直線l：的距離的最大值．【能力篇】一、單選題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左右焦點為，右頂點為，已知點在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知，，，動點滿足與的斜率之積為，動點的軌跡記為，過點的直線交于，兩點，且，的中點為，則（

）A．的軌跡方程為B．的最小值為1C．若為坐標(biāo)原點，則面積的最大值為D．若線段的垂直平分線交軸于點，則點的橫坐標(biāo)是點的橫坐標(biāo)的倍三、填空題3．（2024·浙江杭州·二模）機場為旅客提供的圓錐形紙杯如圖所示，該紙杯母線長為，開口直徑為．旅客使用紙杯喝水時，當(dāng)水面與紙杯內(nèi)壁所形成的橢圓經(jīng)過母線中點時，橢圓的離心率等于．四、解答題4．（2024·山東淄博·二模）已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且四個頂點所圍成的菱形的面積為4．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，設(shè)，滿足．①求證：直線AB和直線BC的斜率之和為定值；②求四邊形ABCD面積的最大值．【培優(yōu)篇】一