專題56 用樣本估計總體原卷版-2025版高中數(shù)學一輪復習講義知識梳理、考點突破和分層檢測

Page專題56用樣本估計總體（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 5【考點1】百分位數(shù)的估計 5【考點2】總體集中趨勢的估計 7【考點3】總體離散程度的估計 9【分層檢測】 11【基礎(chǔ)篇】 11【能力篇】 15考試要求：1.會用統(tǒng)計圖表對總體進行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.會用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.知識梳理知識梳理1.總體百分位數(shù)的估計(1)第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).2.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).(4)標準差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間2．（2022·全國·高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差二、多選題3．（2023·全國·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標準差不小于的標準差D．的極差不大于的極差三、解答題4．（2024·上?！じ呖颊骖}）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．(1)隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；(2)進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預估果園中單果的質(zhì)量．5．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.考點突破考點突破【考點1】百分位數(shù)的估計一、單選題1．（2025·黑龍江大慶·一模）法國當?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運動會在巴黎舉行開幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說過，奧運會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚奧運精神，某學校組織高一年級學生進行奧運專題的答題活動.為了調(diào)查男生和女生對奧運會的關(guān)注程度，在高一年級隨機抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：男生82858687889090929496女生82848587878788889092則下列說法錯誤的是（

）A．男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86B．男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)C．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變2．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知某學校參加學科節(jié)數(shù)學競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A．86 B．87 C．88 D．90二、多選題3．（2023·江蘇連云港·模擬預測）某學校共有2000名男生，為了解這部分學生的身體發(fā)育情況，學校抽查了100名男生體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）

A．樣本的眾數(shù)為67.5 B．樣本的分位數(shù)為72.5C．樣本的平均值為66 D．該校男生中體重低于的學生大約為150人4．（2024·廣東佛山·模擬預測）某企業(yè)是一所大學的社會實踐基地，實踐結(jié)束后學校對學生進行考核評分，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學校規(guī)定，把成績位于后的學生劃定為不及格，把成績位于前的學生劃定為優(yōu)秀，則下列結(jié)論正確的是（

）A．本次測試及格分數(shù)線的估計值為60分 B．本次測試優(yōu)秀分數(shù)線的估計值為75分C．本次測試分數(shù)中位數(shù)的估計值為70分 D．本次測試分數(shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)三、填空題5．（2024·上海·模擬預測）某同學高三以來成績依次為110，93，92，93，88，86，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為．6．（2024·云南曲靖·二模）抽樣統(tǒng)計得到某班8名女生的身高分別為，則這8名女生身高的第75百分位數(shù)是.反思提升：計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟【考點2】總體集中趨勢的估計一、單選題1．（2024·廣東惠州·模擬預測）為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環(huán)保知識測試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（）

A． B．C． D．2．（2024·四川綿陽·模擬預測）某教育機構(gòu)為調(diào)查中小學生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）

A．估計該學生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天B．估計該學生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3C．估計該學生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時D．估計該學生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時二、多選題3．（2025·廣東·一模）現(xiàn)有十個點的坐標為，它們分別與關(guān)于點對稱.已知的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，則這組數(shù)滿足（

）A．平均數(shù)為 B．中位數(shù)為C．方差為 D．極差為4．（23-24高一下·全國·期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）A．圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)B．圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)C．圖（2）的眾數(shù)中位數(shù)<平均數(shù)D．圖（3）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)三、填空題5．（2022·北京·模擬預測）某班在一次考試后分析學生在語文?數(shù)學?英語三個學科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點圖（如下圖所示）．關(guān)于該班級學生這三個學科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：①三科中，數(shù)學年級排名的平均數(shù)及方差均最小；②語文、數(shù)學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人；③本次考試該班語文第一名、數(shù)學第一名、英語第一名可能為三名不同的同學；④從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學排名均在150以內(nèi)的概率為．其中所有正確結(jié)論的序號是．6．（2014高三·全國·專題練習）為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區(qū)進行了“家庭每月日常消費額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標準差分別為，，，則它們的大小關(guān)系為.（用“<”連接）反思提升：(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實際需要選擇使用.(2)頻率分布直方圖的數(shù)字特征①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點的橫坐標；②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.【考點3】總體離散程度的估計一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知有4個數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個數(shù)據(jù)的新方差為（

）A． B． C．6 D．102．（2024·陜西西安·模擬預測）已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差為10，且，則樣本數(shù)據(jù)的方差為（

）A．9.2 B．10.8 C．9.75 D．10.25二、多選題3．（2024·山東泰安·模擬預測）下列結(jié)論正確的是（

）A．回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個點B．已知命題，，則命題的否定為，C．若為取有限個值的離散型隨機變量，則D．若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為17和544．（2024·福建福州·模擬預測）下列說法中，正確的是（

）A．數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為32B．已知隨機變量服從正態(tài)分布，；則C．已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，，，則D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為4三、填空題5．（2023·吉林·一模）吉林市一中學有男生900人，女生600人．在“書香校園”活動中，為了解全校學生的讀書時間，按性別比例分層隨機抽樣的方法抽取100名學生，其中男生、女生每天讀書時間的平均值分別為60分鐘和80分鐘，方差分別為10和15．結(jié)合上述數(shù)據(jù)估計該校學生每天讀書時間的平均值為分鐘，方差為．6．（2022·北京·模擬預測）某班在一次考試后分析學生在語文?數(shù)學?英語三個學科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點圖（如下圖所示）．關(guān)于該班級學生這三個學科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：①三科中，數(shù)學年級排名的平均數(shù)及方差均最小；②語文、數(shù)學、英語年級排名均在150名以外的學生為1人；③本次考試該班語文第一名、數(shù)學第一名、英語第一名可能為三名不同的同學；④從該班學生中隨機抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學排名均在150以內(nèi)的概率為．其中所有正確結(jié)論的序號是．反思提升：標準差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標準差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.分層分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預測）某高校為宣揚中華文化，舉辦了“論語吟唱”的比賽，在比賽中，由A，B兩個評委小組（各9人）給參賽選手打分.根據(jù)兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是（

）A．B組打分的方差小于A組打分的方差B．B組打分的中位數(shù)為75C．A組的意見相對一致D．A組打分的眾數(shù)為502．（2024·四川·一模）一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去天的日銷售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間50,60，60,70，…，90,100分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：根據(jù)圖中信息判斷，下列說法中不恰當?shù)囊豁検牵?/p>

）A．圖中的值為B．這天中有天的日銷售量不低于kgC．這天銷售量的中位數(shù)的估計值為kgD．店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能地滿足顧客的需要（在天中，大約有天可以滿足顧客的需求），則每天的蘋果進貨量應(yīng)為kg3．（2024·廣東珠?！つM預測）下列說法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的標準差為0，則這組數(shù)據(jù)中的數(shù)均相等B．兩組數(shù)據(jù)的標準差相等，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等C．若兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，則這兩個變量的相關(guān)性越強D．已知變量，由它們的樣本數(shù)據(jù)計算得到的觀測值的部分臨界值如下表：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635則在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為變量沒有關(guān)系4．（2024·四川資陽·二模）某產(chǎn)品的標準質(zhì)量是50克/袋，抽取8袋該產(chǎn)品，稱出各袋的質(zhì)量（單位：克）如下：48，49，50，50，50，50，51，52.這8袋產(chǎn)品中，質(zhì)量在以平均數(shù)為中心，1倍標準差范圍內(nèi)的有（

）A．4袋 B．6袋 C．7袋 D．8袋二、多選題5．（2024·浙江嘉興·模擬預測）下列說法正確的是（

）A．樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是17B．在比例分配的分層隨機抽樣中，若第一層的樣本量為10，平均值為9，第二層的樣本量為20，平均值為12，則所抽樣本的平均值為11C．若隨機變量，則D．若隨機變量，若，則6．（2024·湖北·模擬預測）某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（

）A．極差是4 B．眾數(shù)小于平均數(shù)C．方差是1.8 D．數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為47．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）某地農(nóng)研所為研究新的大豆品種，在面積相等的80塊豆田上種植一種新型的大豆，得到各塊豆田的畝產(chǎn)量（單位：kg），將所得數(shù)據(jù)按，，，，，分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

則下列結(jié)論正確的是（

）A．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的中位數(shù)低于180kgB．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的極差不高于60kgC．在這80塊豆田中，畝產(chǎn)量不低于190kg的豆田所占比例為D．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)高于三、填空題8．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┘?、乙兩班參加了同一學科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學生的平均成績是分，方差是分．9．（2024·上海·模擬預測）已知樣本的平均數(shù)為2，方差為2023，則的平均數(shù)為.10．（2024·江西·模擬預測）某新能源汽車店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．四、解答題11．（2024·四川綿陽·模擬預測）2024年，全國政協(xié)十四屆二次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月10日上午閉幕；十四屆全國人大二次會議于3月5日上午開幕，11日上午閉幕.為調(diào)查居民對兩會相關(guān)知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分100分）進行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計全體居民得分的方差（各組以區(qū)間中點值作代表）；(2)為鼓勵小區(qū)居民學習兩會精神，移動公司計劃為參與本次活動的居民進行獎勵，獎勵分為以下兩種方案：方案一：參與兩會知識問答的所有居民每人獎勵20元話費充值卡；方案二：問答活動得分低于平均分的居民獎勵15元話費充值卡，得分不低于平均分的居民獎勵25元話費充值卡.你認為哪種方案，小區(qū)居民所得的獎勵更多，請說明理由.12．（2024·四川成都·模擬預測）某機構(gòu)為了解2023年當?shù)鼐用窬W(wǎng)購消費情況，隨機抽取了100人，對其2023年全年網(wǎng)購消費金額（單位：千元）進行了統(tǒng)計，所統(tǒng)計的金額均在區(qū)間內(nèi)，并按，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中的值，并估計居民網(wǎng)購消費金額的中位數(shù)；(2)若將全年網(wǎng)購消費金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購迷，結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為樣本數(shù)據(jù)中網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系？說明理由．男女合計網(wǎng)購迷20非網(wǎng)購迷47合計下面的臨界值表僅供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中【能力篇】一、單選題1．