湖南省常德市漢壽縣2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

Page18考試時(shí)間：120分鐘考試分值：150分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1．已知空間向量，則向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．2．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．4．圓與圓的位置關(guān)系為A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離5．點(diǎn)到直線的距離是（

）A． B． C．1 D．6．已知雙曲線的離心率為，若點(diǎn)與點(diǎn)都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．7．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，若該拋物線上兩點(diǎn)、的橫坐標(biāo)之和為，則弦的長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．8．如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則以下不正確的是（

）

A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．使直線與平面所成的角為的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知向量，則（

）A．向量的夾角為 B．C． D．10．下列四個(gè)命題中錯(cuò)誤的有（

）A．直線的傾斜角越大，其斜率越大B．直線傾斜角的取值范圍是C．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為D．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為11．以下四個(gè)命題表述正確的是(

)A．橢圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為B．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為16C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．圓上存在4個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于112．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為是右支上一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有（

）A．若的離心率為，則過點(diǎn)且與的漸近線相同的雙曲線的方程是B．若點(diǎn)，則的最小值為C．過作的角平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為D．若直線與其中一條漸近線平行，與另一條漸近線交于點(diǎn)，且，則的離心率為三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知圓M的圓心在直線上，且過，，則圓M的方程為.14．如圖，已知正方體，設(shè)，，，則.

15．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，平面，則點(diǎn)到平面的距離為.16．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中在第一象限，且，則直線的斜率為.，若的面積為，則.四?解答題：本題共6小題，共70分.17．已知直線，.（1）求直線和直線交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若直線l經(jīng)過點(diǎn)P且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的一般式方程．18．已知雙曲線的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)坐標(biāo)為，且.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與的左?右兩支分別交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)在線段上，滿足，證明：在定直線上.19．已知，，P為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．設(shè)直線AP，BP的斜率分別為，，且滿足．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線l與曲線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．曲線C上是否存在定點(diǎn)N，使得恒成立（直線不經(jīng)過點(diǎn)）？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，并求的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．設(shè)分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過作傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，到直線的距離為3，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn)，若，求的取值范圍；(3)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn)，且滿足，求實(shí)數(shù)的值.21．在銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角的大小；(2)若，求面積的取值范圍.22．如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面底面為中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值.數(shù)學(xué)參考答案：1．B【分析】根據(jù)已知求出，進(jìn)而即可根據(jù)投影向量求出答案.【詳解】由已知可得，，，所以，向量在向量上的投影向量是.故選：B.2．A【分析】根據(jù)直線上任意兩點(diǎn)可求出斜率，從而求出傾斜角.【詳解】由題意得，所以直線的傾斜角為；故選：A3．B【分析】將直線變?yōu)辄c(diǎn)斜式，求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】變形為，故恒過點(diǎn).故選：B4．B【詳解】試題分析：兩圓的圓心分別為、，半徑分別為2、3，∴兩圓心的距離為：，即，因此選B.考點(diǎn)：兩圓的位置關(guān)系.5．A【解析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可【詳解】解：點(diǎn)到直線的距離為，故選：A6．B【分析】根據(jù)給定條件，列出方程組，結(jié)合離心率的意義求出作答.【詳解】由點(diǎn)在雙曲線上，得，則，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解，當(dāng)時(shí)，，而，解得，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：B7．A【分析】利用三角不等式可求得弦的長(zhǎng)的最大值.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，則，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，故弦的長(zhǎng)的最大值為.故選：A.8．D【分析】由底面正方形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離不變，可判定A正確；以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，結(jié)合向量的夾角公式，可判定B正確；由直線與平面所成的角為，作平面，得到點(diǎn)的軌跡，可判定C正確；設(shè)，求得平面的一個(gè)法向量為，得到，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中：底面正方形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離為正方體棱長(zhǎng)，所以四棱錐的體積不變，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B中：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得，設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得，所以；當(dāng)時(shí)，，所以，所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B正確；

對(duì)于C中：因?yàn)橹本€與平面所成的角為，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)樽畲?，不成立；在平面?nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是；在平面時(shí)，作平面，如圖所示，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，以2為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，綜上，點(diǎn)的軌跡的總長(zhǎng)度為，所以C正確；

對(duì)于D中，由，設(shè)，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，可得，所以，因?yàn)槠矫?，所以，可得，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以D錯(cuò)誤.故選：D.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥：對(duì)于立體幾何的綜合問題的解答方法：1、立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長(zhǎng)度及動(dòng)角的范圍等問題；2、解答方法：一般時(shí)根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；3、對(duì)于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后再該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；4、對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若由解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.9．CD【分析】A由向量模長(zhǎng)、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及夾角公式求向量的夾角；B、C由向量線性關(guān)系、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求數(shù)量積、判斷位置關(guān)系判斷；D由向量的坐標(biāo)判斷是否共線.【詳解】A，，，，設(shè)向量的夾角為，則，因?yàn)椋瑒t，錯(cuò).B，，，則，錯(cuò).C，，則，故，對(duì).D，，則，故，對(duì).故選：CD10．ACD【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的定義逐一判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，斜率大于0，當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，斜率小于0，故A錯(cuò)誤；直線傾斜角的取值范圍是，故B正確；若一條直線的斜率為，此時(shí)可以為負(fù)角，而直線傾斜角的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，直線的斜率不存在，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.11．AC【分析】對(duì)：求出與平行，且與橢圓相切的直線，根據(jù)兩平行線之間的距離公式即可求解；對(duì)B：根據(jù)橢圓的定義即可求解；對(duì)C：將兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心和半徑，根據(jù)兩圓外切即可求解；對(duì)D：求得圓心到直線l的距離，與圓的半徑進(jìn)行比較即可判斷．【詳解】對(duì)A：設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線為，與橢圓方程聯(lián)立得：，由解得或，當(dāng)時(shí)，直線與直線之間的距離；當(dāng)時(shí)，直線與直線之間的距離，又，故橢圓上一點(diǎn)到直線距離的最大值為，故A正確；對(duì)B：根據(jù)橢圓的定義，△的周長(zhǎng)為，故錯(cuò)誤；對(duì)C：，即，圓心，半徑，，即，圓心，半徑，，∵兩個(gè)圓有三條公切線，故兩圓外切，∴，解得，故C正確；對(duì)D：∵圓心到直線的距離，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條平行直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上存在3個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，故錯(cuò)誤；故選：AC．12．BD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)出與共漸近線的雙曲線的方程代入求解即可，對(duì)于B項(xiàng)，運(yùn)用雙曲線的定義及兩點(diǎn)之間線段最短即可求解，對(duì)于C項(xiàng)，由三角形中位線性質(zhì)可得，即可得點(diǎn)Q的軌跡為圓，轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線的最大距離求解即可，對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)直線的方程，進(jìn)而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，由求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入雙曲線的方程即可求得離心率.【詳解】于A項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線的離心率為，即，則.因?yàn)殡p曲線與的漸近線相同，則設(shè)雙曲線的方程為（），將代入得，解得，所以雙曲線的方程為，故A項(xiàng)不正確；對(duì)于B項(xiàng)，如圖所示，

因?yàn)槭怯抑弦稽c(diǎn)，所以由雙曲線定義可知，又因?yàn)樵陔p曲線內(nèi)，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖，延長(zhǎng)并與相交于點(diǎn)B，連接.

由題可知，為的中點(diǎn)，則，所以，則是以為圓心，為半徑的圓上一點(diǎn).又點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故C項(xiàng)不正確.對(duì)于D項(xiàng)，如圖所示，

根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，設(shè)，則，，由，則，解得，即，將點(diǎn)代入雙曲線的方程得，即，所以雙曲線的離心率，故D項(xiàng)正確.故選：BD.13．【分析】根據(jù)圓M的圓心在直線上，設(shè)圓心為，再根據(jù)圓過點(diǎn)，，由求解.【詳解】解：因?yàn)閳AM的圓心在直線上，且過，，所以設(shè)圓心為，，解得，則圓心為，，所以圓的方程為：，故答案為：14．【分析】由正方體性質(zhì)，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律得，最后由向量夾角公式求夾角的大小.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，且，由，所以，又，，又，所以.故答案為：15．1【分析】根據(jù)點(diǎn)面距離的向量公式計(jì)算即可.【詳解】，為平面的一個(gè)法向量，，即點(diǎn)到平面的距離為1.故答案為：116．【分析】過、作、，垂足為、，設(shè)，則，根據(jù)拋物線的定義得到，從而求出，即可求出直線的斜率，設(shè)與軸交于點(diǎn)，即可得到，再根據(jù)面積公式求出，即可得解.【詳解】如圖分別過、作、，垂足為、，設(shè)，則，由拋物線定義得，，所以，則，所以，所以，設(shè)與軸交于點(diǎn)，在中，由得，則，所以，，所以，所以，由，解得（負(fù)值舍去），所以.

故答案為：；17．（1）（2，1）；（2）x-2y=0或x-y-1=0【分析】（1）聯(lián)立，解方程組即得直線l1和直線l2交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，利用直線的斜截式方程求直線l的方程，當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，利用直線的截距式方程求直線l的方程.綜合得到直線l的一般式方程.【詳解】（1）聯(lián)立，解得x=2，y=1．∴直線l1和直線l2交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）．（2）直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得直線l的方程為：y=x，即x-2y=0．直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線l的方程為：x-y=a，把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入可得：2-1=a，即a=1，可得方程為：x-y=1．綜上可得直線l的方程為：x-2y=0或x-y-1=0．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率設(shè)，代入得到，得到答案.（2）設(shè)，聯(lián)立方程得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)得到，代入數(shù)據(jù)整理得到，得到答案.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)殡p曲線的離心率為，設(shè)，所以，所以，解得或（舍），所以雙曲線的方程為，（2）設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)不成立，設(shè)，即，由，可得，由于點(diǎn)在雙曲線內(nèi)部，易得，所以.設(shè)，根據(jù)題意，，又，可得，整理得：，即，化簡(jiǎn)得又，消去，得，所以點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了求雙曲線方程，定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.19．(1)（）；(2)存在，，最小值為.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，然后根據(jù)列方程，整理即可得到曲線的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)列方程得到或，然后分別驗(yàn)證或時(shí)是否成立，即可得到，然后在三角形中利用等面積和勾股定理得到，，即可得到，然后求最小值即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以，整理得，所以曲線的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)方程為，代入曲線的方程中得，解得，所以此時(shí)，，設(shè)，則①，，，因?yàn)?，所以②，?lián)立①②解得或（舍去），，所以或，當(dāng)時(shí)，且當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，，因?yàn)橹本€經(jīng)過時(shí)，所以，聯(lián)立得，，，，，，所以，即，當(dāng)時(shí)，同理可得，所以此時(shí)不恒成立，所以存在定點(diǎn)使，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)槿切螢橹苯侨切?，所以，，，?dāng)直線斜率不存在時(shí)，，，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，綜上所述，存在定點(diǎn)使，的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方法：①直譯法：建系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)條件列方程，整理，檢驗(yàn)；②代入法：有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程已知，且兩動(dòng)點(diǎn)之間存在關(guān)系，可以根據(jù)兩動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系代入到已知的軌跡方程中，即可得到軌跡方程；③參數(shù)法：動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)不存在直接關(guān)系，但是都跟某個(gè)參數(shù)存在關(guān)系，可以通過消參的方法得到軌跡方程；④定義法：動(dòng)點(diǎn)的軌跡符合已知的曲線的定義，即可根據(jù)已知曲線的定義來求軌跡方程；（2）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．20．(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離和菱形的面積建立方程組，求解即可；（2）根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算表示出的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用求出的范圍；（3）求出垂直平分線的方程，把代入，結(jié)合可求答案.【詳解】（1）設(shè)的坐標(biāo)分別為，其中；由題意得的方程為.因?yàn)榈街本€的距離為3，所以解得，所以①因?yàn)檫B接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形面積為4，所以，即

②聯(lián)立①②解得:,所求橢圓D的方程為.（2）由（1）知橢圓的方程為，設(shè)，因?yàn)?，所以所以，代入橢圓