2024-2025學(xué)年山東省百師聯(lián)盟高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案

2024—2025學(xué)年高三期中考試數(shù)學(xué)試題1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時(shí)間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合A2,3,4,5,6，BxN2x，則eB（A）AA.6B.4,6C.2,3D.4,5,63π2.“sinA.充要條件”是“”的（）23B.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件C.必要不充分條件3.設(shè)向量a2，b6，c2，且abc，則（）A.3B.2C.2D.34.已知某圓錐的軸截面為等邊三角形，且圓錐側(cè)面積為6π，則該圓錐的內(nèi)切球體積為（4π）A.4πB.C.43πD.3π3π5.函數(shù)fxx0，Asin（A0，）的部分圖象如圖所示，圖象上的所有點(diǎn)向左平2π移（個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)gx的圖象.若對(duì)任意的xR都有g(shù)xgx0，則圖中a的值為）62A.1B.3C.2D.22x4x,x6.已知函數(shù)fx若方程fxax0恰有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍1x,0x是（）B.1,0C.1,4D.A.,0947.已知函數(shù)fx2為偶函數(shù)，f2x1為奇函數(shù)，且當(dāng)x0,1時(shí)，fxx，則f4（）A.2B.2C.1D.1x2y21對(duì)應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的焦距為（）8.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程46323433263A.B.C.D.3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.x22x40的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為z，z，則下列說(shuō)法正確的有（）9.已知方程12A.zz2B.z12z2C.zz4D.12121210.設(shè)函數(shù)fxx3x2ax1，則（）13A.當(dāng)a1時(shí)，fx的極大值大于0B.當(dāng)a時(shí)，fx無(wú)極值點(diǎn)C.aR，使fx在R上是減函數(shù)D.aR，曲線yfx的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為定值1的距離相等，則11.已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)Px,y到點(diǎn)F1,0的距離與其到直線xA.曲線C的軌跡方程為y24xB.若T4,2，M為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，則MTMF的最小值為5C.過(guò)點(diǎn)N1,0，恰有2條直線與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)x2y25與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與直線x1交于E，G兩點(diǎn)，則A，B，E，G四點(diǎn)圍D.圓成的四邊形的周長(zhǎng)為12三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.S______.12.記S為等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和，若347，a255，則9nn913.曲線y2xx在點(diǎn)1,2處的切線與拋物線yax2ax2相切，則a______.x22y2214.已知雙曲線C：1（a0，b0）與平行于x軸的動(dòng)直線交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)Bab左側(cè)，雙曲線C的左焦點(diǎn)為F，且當(dāng)AFAB時(shí)，AFAB，則雙曲線的離心率是______；當(dāng)直線FQ運(yùn)動(dòng)時(shí)，延長(zhǎng)BF至點(diǎn)P使AFFP，連接AP交x軸于點(diǎn)Q，則第二空3分）的值是______.（第一空2分，F(xiàn)P四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.π15.（13分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足asinBbA.6（1）求角A；（2）若a2，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.xxax1.216.（15分）已知函數(shù)fx（1）若fx在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a0，證明：fx0.17.（15分）如圖，在四棱錐P中，底面ABCD是菱形，E，F(xiàn)分別為AB，PD的中點(diǎn)，PA平面ABCD，且2.（1）證明：//平面；π（2）若FC與平面ABCD所成的角是，求二面角FACD的余弦值.6x22y2218.（17分）如圖，已知橢圓C：1（ab0）上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大矩離和最小距離分別ab1為232和232，斜率為的直線l與橢圓C相交于異于點(diǎn)P的M，N兩點(diǎn).3（1）求橢圓C的方程；（2）若MN10，求直線l的方程；（3）當(dāng)直線PM，PN均不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線PM的斜率為k，直線PN的斜率為k，求證：kk1212為定值.19.（17分）若有窮數(shù)列anN*且n3）滿足ai1i1i2（i,n2（nia為M數(shù)列.n（1）判斷下列數(shù)列是否為M數(shù)列，并說(shuō)明理由.①1，2，4，3；②4，2，8，1.（2）已知M數(shù)列a中各項(xiàng)互不相等，令mmm1（m,n1a是等差nn數(shù)列的充分必要條件是數(shù)列b是常數(shù)列.mmmN*且m3個(gè)連續(xù)正整數(shù)1，2，…，m的一個(gè)排列，若（3）已知M數(shù)列a是nm1kk1m2，求m的所有取值.k12024—2025學(xué)年高三期中考試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分意見(jiàn)1.D【解析】因?yàn)锳2,3,4,5,6，BxN2x，所以B2,3，eB6.故選AAD.3π2ππ2.C【解析】當(dāng)sin時(shí)，2π，kZ或2π，kZ，推不出；2333π33π當(dāng)時(shí)，必有sin，故“sin”是“”的必要不充分條件，故選C.32233.A【解析】因?yàn)閍2，b6，c2，所以ab22,26；bc814131240，解得3.故選A.因?yàn)閍bc，所以a4.B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則πr2r6π，所以r3.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R，又圓錐的軸截面為等邊三角形，3144π所以R231，則內(nèi)切球的體積VR3.故選B.23335.A【解析】由fx2，得A2.πfx的圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得gx的圖象，π12由題意知gx為奇函數(shù)，所以其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得函數(shù)fx的圖象過(guò)點(diǎn),0.7ππT2ππ，故2.設(shè)fx的最小正周期為T，則，所以T12122πππ又2π，kZ，且，可得，1226π6π6，af01.故選A.所以fx2x6.C【解析】當(dāng)x0時(shí)，fxx24x，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知fx在,2上單調(diào)遞減，在x24x，則gx2x4，所以g04.2,0上單調(diào)遞增.令gx1x1當(dāng)0x1時(shí)，fx1x，fx0，fx在0,1上單調(diào)遞減.1.作出yfx的大致圖象，如圖所示.方程fxax0恰有2個(gè)不令hx1x，則h0相等的實(shí)數(shù)解，也就是fx的圖象與直線y恰有兩個(gè)公共點(diǎn).由圖易知所求a的取值范圍是1,4.故選C.f7.C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)fx2為偶函數(shù)，所以fx2x2，即函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱；因?yàn)楹瘮?shù)f2x1為奇函數(shù)，2x10，即函數(shù)fx的圖象關(guān)于點(diǎn)1,0中心對(duì)稱.所以f2x1f又當(dāng)x0,1時(shí)，fxx，4949474741414所以ff22ff2f1.故選C.48.C【解析】因?yàn)閤y21，將點(diǎn)x,y的坐標(biāo)代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關(guān)于原2點(diǎn)對(duì)稱；將點(diǎn)y,x和y,x的坐標(biāo)分別代入方程，原方程保持不變，所以橢圓關(guān)于直線yx和yx對(duì)稱.設(shè)直線yx與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，yx,則xxyy所以AB22；解得或x2y2設(shè)直線yx與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，33x,x,yx,則33解得或x2y233y,y,3326263所以CD.由橢圓性質(zhì)可知，2aAB22，bCD，36233433所以a2，b，則ca2b2，故焦距為.故選C.39.ACD【解析】方程x2x40的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為z，z，212由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得zz2，zz4，A，C正確；121222x22x40的兩個(gè)復(fù)數(shù)根為1，B選項(xiàng)，2若z1，z1，122z21112222z2，B錯(cuò)誤；則D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)知，z1或1，均有z132，D正確.故選ACD.1110.BD【解析】對(duì)于A，當(dāng)a1時(shí)，fxx3x2x1，求導(dǎo)得fx3x22x1，113令fx0得x或x1，由fx0，得x或x1，311由fx0，得上單調(diào)遞增，x1，于是fx在,，331在,1上單調(diào)遞減，fx在x1處取得極大值，331極大值為f11110，A錯(cuò)誤；2793313對(duì)于B，fx3x22xa，當(dāng)a時(shí)，412a0，即fx0恒成立，函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，fx無(wú)極值點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，要使fx在R上是減函數(shù)，則fx3x22xa0恒成立，而不等式3x2xa0的解集不可能為R，C錯(cuò)誤；23223232323235827對(duì)于D，由fxfxxxax1xx2ax13a，1a293327得曲線yfx的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，D正確.故選BD.,11.ABD【解析】對(duì)于A，依題意，曲線C是以F1,0為焦點(diǎn)，直線x1為準(zhǔn)線的拋物線，方程為2y4x，A正確；對(duì)于B，如圖，過(guò)點(diǎn)T作直線x1的垂線，交直線x1于E，交拋物線于A.令點(diǎn)M到直線x1的距離為d，則d,dTE，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)取等號(hào)，因此MTMF的最小值為TE5，B正確；對(duì)于C，顯然過(guò)點(diǎn)N1,0與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率存在，ykx1,y4x,設(shè)其方程為ykx1，由消去x得4y4k0，22當(dāng)k0時(shí)，直線y0與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，0，解得k1，顯然直線yx1，yx1均與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)，因此過(guò)點(diǎn)N1,0與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，C錯(cuò)誤；當(dāng)k0時(shí)，由1616k2對(duì)于D，直線x1交圓x2y5于點(diǎn)E2，G2，222xx得或y4x,從而A1,2，B2，由xy2yy所以四邊形是矩形，其周長(zhǎng)為22412，D正確.故選ABD.12.8【解析】設(shè)等差數(shù)列a的公差為d，n215d7,因?yàn)閍a7，aa5，即1解得3425417dd9898S99則S991d94372，所以8.故答案為8.221，則f11，13.1【解析】設(shè)fx2xx，則fx2x所以曲線y2xx在點(diǎn)1,2處的切線方程為y2x1，即yx1.yx由消去y，得axax10，2yaxax2a14a02，得a1.故答案為1.由14.2121【解析】當(dāng)AFAB時(shí)，設(shè)Ac,y0，c22y202b4b21，解得y02.又AFAB，所以c，則aba2a又b2c2a2，所以c2a22ac，兩邊同時(shí)除以a2，得e22e10，解得e12或e12（舍）.如圖，因?yàn)椤鱌QFPAB，所以FQFPABBPABAFBF，2y2，BF2y2，設(shè)Ax,y，則Bx,y，2x，AFxcxcFQFP2x所以xc2y22y2xc2y22y2xc2y2xcy222xxcxc2aac，xc2y22y22c2cxcca1又12，所以21.ac21π6π615.1）由asinBbA及正弦定理得sinAsinBsinBcosA，3131故sinAsinBsinBAsinAsinBAsinBsinA，222213所以sinAsinBsinBA.22因?yàn)锽π，sinB0，13πAsinA0，3所以sinA22π因?yàn)锳π，所以A.3π（2）由（1）可知，A，由余弦定理，得b2c2abc，23又a2，所以b2c2bc4.由基本不等式得：b2cbc，即bc4bc，2所以bc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí)，等號(hào)成立.又bc2b2c2bcbc416，即0bc4，又bca2，所以2bc4，所以4abc6，即△ABC周長(zhǎng)的取值范圍是4,6.16.（1）解：fxxxax1，x0，則fxx12ax.2因?yàn)閒x在上單調(diào)遞減，所以fxx12ax0在上恒成立，x12x即a在上恒成立.x1構(gòu)造函數(shù)gx（x02x12x2x1xx則gx，令gx0，解得x1.4x22x2當(dāng)x時(shí)，gx0；當(dāng)x時(shí)，gx0，上單調(diào)遞減，所以gx在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間12所以當(dāng)x1時(shí)，gx取得極大值，也是最大值，即gxg1.112所以a，即a的取值范圍為,.22xxax1的定義域?yàn)?，?）證明：方法一：由題意得fx1當(dāng)a0時(shí)，要證fx0，即證xxax210，等價(jià)于證明xax0.x10.構(gòu)造函數(shù)hxxax（x0hxx11axx12，令Txax2x1，因?yàn)閔xaxx2x210，所以Tx在上單調(diào)遞增，因?yàn)楹瘮?shù)Tx圖象的對(duì)稱軸為直線x2aa0，所以存在00,1，且T010，T120010，所以當(dāng)x0時(shí)，Txhx0；使得Tx0當(dāng)xx,時(shí)，Tx0，hx0，0所以hx在0上單調(diào)遞減，在x,上單調(diào)遞增，0所以當(dāng)xx時(shí)，hx取得極小值，也是最小值，01（0x1）.即hxhx000001202x10，得ax1，所以hxx1（001）.又因?yàn)?00000212x2令pxx0在上恒成立，1，x0，則pxxxx2x2所以px在0,1上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x0,1時(shí)，pxp11，所以h0方法二：將fx看作以a為變量的函數(shù)0，所以a關(guān)于a單調(diào)遞減.0，即hx0，所以fx0.axaxx1，其中x，22因?yàn)橐C當(dāng)a0時(shí)，fx0x0，即證當(dāng)a0時(shí)，0，a只需證當(dāng)a0時(shí)，xx10.1e令mxxx1，則mxx1，令mx0，解得x.當(dāng)x變化時(shí)，mx，mx的變化情況如下表：11e1ex,emx－0＋單調(diào)遞減mx單調(diào)遞增11所以mx10.mee1e綜上，a0.，fxa0mxm0，即fx0.117.（1）證明：如圖，設(shè)PC的中點(diǎn)為H，連接，，則//CD且FHCD.21又AE//CD且CD，2所以FH//AE，F(xiàn)HAE，所以四邊形為平行四邊形，則AF//EH.又因?yàn)镋H平面PCE,AF平面，所以//平面.（2）解：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接AG，取AD的中點(diǎn)M，連接FM，CM，1則FM//PA且FMPA，又2，所以FM1.2因?yàn)镻A平面ABCD，所以平面ABCD，π故FC與平面ABCD所成的角為，所以FCM.6FM所以在Rt△FCM中，CM3.πtan6又由菱形性質(zhì)可得AGCM，所以22AB2，所以AGBC.所以，所以AG，AD，AP兩兩垂直.10分以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AG，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以A0，B3,1,0，C0，D2,0，F(xiàn)，P0,0,2，所以，CF3,0,1，0,0,2.由PA平面ABCD得平面ACD的一個(gè)法向量為n0,1.設(shè)平面的一個(gè)法向量為mx,y,z，故m,mAFyz則mCF,mCF3xz0.取x3，則yz3，所以m3,3,3為平面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角FACD的平面角為，由圖可得為銳角，mn所以cos,n217，mn21所以二面角FACD的余弦值為.7x22y2218.（1）解：由橢圓C：1上的點(diǎn)到其左焦點(diǎn)的最大距離和最小距離分別為232和abac232,232，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，得ac232.a23,解得則ba2c22，c22,x2y2故橢圓C的方程為1.1241（2）解：設(shè)直線l的方程為yxm，Mx,y，Nx,y.112231yxm,3由消去y，整理得4x26mx9m2360.x2y21246m2144m2，得40433433，由m9m236m則xx，xx.1212241101xx241216m210，1292解得m2或m2.10分當(dāng)m2時(shí)，直線l的方程為yx2，此時(shí)直線l過(guò)點(diǎn)P；131當(dāng)m2時(shí)，直線l的方程為yx2，滿足題目條件.31所以直線l的方程為yx2.3（3）證明：因?yàn)橹本€PM，PN均不與x軸垂直，1所以直線l：yxm不經(jīng)過(guò)點(diǎn)1和，則m0且m2，3113xm1xm112y1y13由（2）可知，kk121213x3