2024-2025學年上海市靜安區(qū)高三上學期期中考數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年上海市靜安區(qū)高三上學期期中考數(shù)學檢測試卷考試說明：1．；考試2．試題答案全部做在答題紙上．一、填空題（本大題共12小題，1-6每小題4分，7-12每小題5分，滿分54分）1.已知集合，，則___________.2.若冪函數(shù)的圖像經過點，則=___________.3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則_________.4.在銳角中，角所對的邊分別為，若，則角________．5.展開式中常數(shù)項為________.6.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則_________．7.已知一個圓錐的母線長為2，其側面積為2π，則該圓錐的體積為8.已知，則的最小值為________.9.若將函數(shù)向右平移個單位后其圖像關于軸對稱，則.10.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，（b為常數(shù)），則=______．11.關于不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是___________.12.若函數(shù)，則圖象上關于原點對稱的點共_____對二、選擇題（本大題共4小題，13-14每小題4分，15-16每小題5分，滿分18分）13.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.15.如圖，已知等腰中，，，點P是邊上的動點，則（）A.為定值10 B.為定值6 C.有最大值為10 D.有最小值為616.設定義域為兩個函數(shù)，其值域依次是和，給出下列四個命題：①“”是“對任意恒成立”的充要條件；②“”是“對任意恒成立”充分不必要條件；③“”是“對任意恒成立”的充要條件；④“”是“對任意恒成立”的充分不必要條件；下列選項中正確的是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.②④三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17.已知復數(shù)，且純虛數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）設在復平面上對應的點分別為為坐標原點．求向量在向量上的數(shù)量投影．18.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點、分別在棱和棱上，且，，為棱的中點.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；19.近年來，某市認真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場需求，深挖冷水魚產業(yè)發(fā)展優(yōu)勢潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向．為擴大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場計劃在如圖所示的扇形區(qū)域內修建矩形水池，矩形一邊在上，點在圓弧上，點在邊上，且，米，設．（1）求扇形的面積；（2）求矩形的面積的最大值，并求出取得最大值時的值．20.已知函數(shù)，為的導函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）在第（1）題的條件下，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（3）當時，求證；對任意的，且，有．21.已知過橢圓方程右焦點、斜率為的直線交橢圓于、兩點.（1）求橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點構成的四邊形的面積；（2）當直線的斜率為1時，求的面積；（3）在線段上是否存在點，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。2024-2025學年上海市靜安區(qū)高三上學期期中考數(shù)學檢測試卷考試說明：1．；考試2．試題答案全部做在答題紙上．一、填空題（本大題共12小題，1-6每小題4分，7-12每小題5分，滿分54分）1.已知集合，，則___________.【正確答案】【分析】根據(jù)交集的定義運算即可.【詳解】由題意可知.故答案為.2.若冪函數(shù)的圖像經過點，則=___________.【正確答案】##【分析】設冪函數(shù)的解析式，將點坐標代入，得函數(shù)解析式即可求.【詳解】設，則，所以，則，所以.故答案為.3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則_________.【正確答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求解即可.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，解得，所以，故4.在銳角中，角所對的邊分別為，若，則角________．【正確答案】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化得，故，由于為銳角三角形，故.【詳解】解：∵，∴根據(jù)正弦定理邊角互化得：，又∵，∴，∴，∵為銳角三角形，∴∴故本題考查正弦定理解三角形，邊角互化，考查運算能力，是基礎題..5.展開式中常數(shù)項為________.【正確答案】240【分析】先求出二項式的展開式的通項公式，令的指數(shù)等于，求出的值，即可求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】展開式的通項公式令,所以的展開式的常數(shù)項為,故答案為.本題主要考查二項展開式定理的通項與系數(shù)，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數(shù)）（2）考查各項系數(shù)和和各項的二項式系數(shù)和；（3）二項展開式定理的應用.6.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則_________．【正確答案】【分析】首先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)為奇函數(shù)且在定義域內，有，求出的值.【詳解】函數(shù)的定義域為，且為奇函數(shù)，，得經檢驗符合題意.故答案為.7.已知一個圓錐的母線長為2，其側面積為2π，則該圓錐的體積為【正確答案】##【分析】先利用側面積求出底面半徑，然后利用圓錐的體積公式可求答案.【詳解】設圓錐的底面半徑為，高為，因為母線長為2，側面積為2π，所以，解得；所以，圓錐的體積.故答案為.8.已知，則的最小值為________.【正確答案】4【分析】首先根據(jù)指對互化，表示為，再利用基本不等式求最小值.【詳解】，，且，即，等號成立的條件是，又因為，解得.故答案為4.本題考查指對互化，和基本不等式求最值，意在考查轉化和計算能力，屬于簡單題型.9.若將函數(shù)向右平移個單位后其圖像關于軸對稱，則.【正確答案】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換及性質計算即可.【詳解】易知函數(shù)向右平移個單位后得函數(shù)，此時函數(shù)關于軸對稱，則，又，所以時，.故答案為.10.已知函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，當時，（b為常數(shù)），則=______．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用求出，再利用奇函數(shù)定義求出作答.【詳解】R上的奇函數(shù)，當時，，則，解得，所以.故11.關于的不等式在上有解，則實數(shù)的取值范圍是___________.【正確答案】【分析】根據(jù)題意將不等式轉化為在能成立即可，再由二次函數(shù)性質求出即可得的取值范圍是.【詳解】由不等式以及可得，依題意可知即可，令，又，由可得，利用二次函數(shù)性質可知，即可得；即實數(shù)的取值范圍是.故12.若函數(shù)，則圖象上關于原點對稱的點共_____對【正確答案】【分析】由題意可知觀察的圖象與關于原點對稱的函數(shù)的圖象交點個數(shù)即可，由此作出相應函數(shù)圖象，數(shù)形結合，可得答案.【詳解】由題意圖象上關于原點O對稱的點的個數(shù)，只需觀察的圖象與關于原點對稱的函數(shù)的圖象交點個數(shù)即可，作出函數(shù)和的圖象如圖：由上圖可知：兩個圖象交點個數(shù)為4個，即函數(shù)，則圖象上關于原點對稱的點共4對.故4．二、選擇題（本大題共4小題，13-14每小題4分，15-16每小題5分，滿分18分）13.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由得或，進而根據(jù)概念直接求解即可.【詳解】解：解不等式得：或，因為是或的真子集，所以，是或的充分不必要條件，即“”是“”的充分不必要條件.故選：A14.下列函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調性逐項判斷即可.【詳解】對于A選項，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù)；對于B選項，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù)；對于C選項，函數(shù)在區(qū)間0,1上增函數(shù)；對于D選項，函數(shù)在區(qū)間0,1上為減函數(shù).故選：C.15.如圖，已知等腰中，，，點P是邊上的動點，則（）A.為定值10 B.為定值6 C.有最大值為10 D.有最小值為6【正確答案】A【分析】設，根據(jù)平面向量數(shù)量積及加減法運算結合余弦定理可得結果.【詳解】設，因為，，所以，又，，所以，故選：A.16.設定義域為的兩個函數(shù)，其值域依次是和，給出下列四個命題：①“”是“對任意恒成立”的充要條件；②“”是“對任意恒成立”的充分不必要條件；③“”是“對任意恒成立”的充要條件；④“”是“對任意恒成立”的充分不必要條件；下列選項中正確的是（）A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【正確答案】C【分析】由定義域為是的兩個函數(shù)，其值域依次是和，可得為的最小值，為的最大值，結合反例即可判定各命題的正誤，從而得解.【詳解】因為定義域為是的兩個函數(shù)，其值域依次是和，所以為的最小值，為的最大值，所以當時，對任意都有，反之當對任意恒成立時，也可以得到，故“”為“對任意恒成立”的充要條件，所以①對，②錯；因為定義域為是的兩個函數(shù)，其值域依次是和，所以為的最小值，為的最大值，所以當時，可得“對任意恒成立”但是當“對任意恒成立”時，得不到，如反例，，則，任意，fx?gx=x>0但是，所以“”是“對任意恒成立”的充分不必要條件；所以④對，③錯故選：C.三、解答題（本大題共5題，滿分78分）17.已知復數(shù)，且為純虛數(shù)．（1）求復數(shù)；（2）設在復平面上對應的點分別為為坐標原點．求向量在向量上的數(shù)量投影．【正確答案】（1）（2）3【分析】（1）利用復數(shù)的概念及乘法運算計算即可；（2）利用復數(shù)的幾何意義和向量在向量上的數(shù)量投影公式計算即可.【小問1詳解】，因為是純虛數(shù)，所以且，解得.所以.【小問2詳解】由（1）可得，即，所以，所以向量在向量上的數(shù)量投影為.18.如圖，在三棱柱中，平面，，，，點、分別在棱和棱上，且，，為棱的中點.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值；【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，計算出，即可證得結論成立；（2）求出平面和平面的法向量，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）在三棱柱中，平面，，以點坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則點、、、、、，，，則，因此，；（2），，設平面的法向量為，由，取，可得，，所以，，易知平面的一個法向量為，.由圖形可知，二面角為銳角，所以，二面角的余弦值為.思路點睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標系，寫出二面角對應的兩個半平面中對應的點的坐標；（2）設出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標平面，直接取法向量即可）；（3）計算（2）中兩個法向量的余弦值，結合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.19.近年來，某市認真踐行“綠水青山就是金山銀山”生態(tài)文明理念，圍繞良好的生態(tài)稟賦和市場需求，深挖冷水魚產業(yè)發(fā)展優(yōu)勢潛力，現(xiàn)已摸索出以虹鱒、鱘魚等養(yǎng)殖為主方向．為擴大養(yǎng)殖規(guī)模，某鱘魚養(yǎng)殖場計劃在如圖所示的扇形區(qū)域內修建矩形水池，矩形一邊在上，點在圓弧上，點在邊上，且，米，設．（1）求扇形的面積；（2）求矩形的面積的最大值，并求出取得最大值時的值．【正確答案】（1）平方米（2）當時，取得最大值.【分析】（1）根據(jù)題意利用扇形的面積公式求解即可；（2）利用直角三角形的性質結合半徑與分別表示出，從而可求出，再利用三角函數(shù)恒等變換公式對化簡變形，結合角的范圍可求出的最大值.【小問1詳解】由題意知，扇形的半徑米，所以扇形的面積為平方米；【小問2詳解】在中，，在中，，則由，得，所以，所以，，由，得，則，所以當，即時，取得最大值.20.已知函數(shù)，為的導函數(shù)．（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）在第（1）題的條件下，求函數(shù)的單調區(qū)間和極值；（3）當時，求證；對任意的，且，有．【正確答案】（1）（2）減區(qū)間為，增區(qū)間為，極小值為，無極大值；（3）證明見解析【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；（2）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調性極值的關系求解即可；（3）首先確定導函數(shù)的解析式，然后令，將原問題轉化為與有關的函數(shù)，然后構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質即可證得題中的結論.【小問1詳解】當時，，故，，，切點為，曲線在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】，，，令，解得，當，，當，，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，是極小值點，極小值為，無極大值；故函數(shù)的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，極小值為，無極大值；【小問3詳解】證明：由，得，對任意的，且，令，則①，令，，當時，，在單調遞增，當時，，即，，，，，即②，由（2）可知，當時，，即，故③，由①②③可得，當時，任意的，且，有.關鍵點點睛：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間和極值，證明不等式.解題關鍵是不等式的變形，一是去分母，二是引入參數(shù)，這是關鍵所在，這樣可把不等式的證明分解為：，，后者用導數(shù)進行證明，前者直接因式分解可得，然后由不等式的性質放縮，恰好利用（2）的結論得證.21.已知過橢圓方程右焦點、斜率為的直線交橢圓于、兩點.（1）求橢圓的兩個焦點和短軸的兩個端點構成的四邊形的面積；（2）當直線的斜率為1時，求的面積；（3）在線段上是否存在點，使得以、為鄰邊的平行四邊形是菱形？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）2；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根據(jù)題中所給的方程，求得的值，代入菱形面積公式得到答案；（2）右焦點，直線的方程為，設，，由題設條件知，，由此可求出的面積；（3）假設在線段上