同濟(jì)高等數(shù)學(xué)第六章第二節(jié)教案

§6.2定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用一、平面圖形的面積二、體積三、平面曲線的弧長(zhǎng)結(jié)束首頁返回下頁上頁鈴1.直角坐標(biāo)情形設(shè)平面圖形由上下兩條曲線yf?(x)

與yfī(x)及左右兩條直線xa與xb所圍成.在點(diǎn)x處面積增量的近似值為[f:(x)

f(x)]dx,它也就是面積元素.因此平面圖形的面積為Ayy=f±(x)a

x+dxO

X

b

xy=fr(x)首頁

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結(jié)束

鈴一、平面圖形的面積討論:由左右兩條曲線xj左(y)與xjé及上下兩條直線yd與yc所圍成的平圖形的面積如何表示為定積分?提示:首頁

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結(jié)束

鈴面積元素為[j(y)面積為j

左(y)]dy,Ayy=ft(x)y

=fr(x)x+dxb

xOXa例1計(jì)算拋物線y2x與yx2所圍成的圖形的面積.解(1)畫圖；(2)確定在x軸上的投影區(qū)間:[0,1];首頁(4)計(jì)算積分結(jié)束返回下頁上頁鈴(2)確定在y軸上的投影區(qū)間:[-2,4].(3)確定左右曲線:Ay(4)計(jì)算積分y2=2xO-2(-2,2)首頁上頁返回下頁結(jié)束例2

計(jì)算拋物線y2

2x與直線y

x

4所圍成的圖形的面積解

(1)畫圖；(4,8)V=x-4X鈴例3

一

解橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍.橢圓在第一象限部分的面積元素為ydx,于是

因?yàn)闄E圓的參數(shù)方程為x

acost,y

bsint,所以首頁

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結(jié)束鈴2.極坐標(biāo)情形·曲邊扇形曲邊扇形是由曲線·曲邊扇形的面積元素·曲邊扇形的面積首頁

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結(jié)束

鈴()及射線

所圍例4計(jì)算阿基米德螺線a(a>0)上相應(yīng)于的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積.解

O例5

計(jì)算心形線圍成的圖形的面積.解從0變到22πaX結(jié)束曲邊扇形的面積:a(1

COS

(a>(首頁鈴下頁返回p=ad上頁二

、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸.下頁結(jié)束

鈴首頁返回上頁二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf(x)、直線xa、a及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.·旋轉(zhuǎn)體的體積元素考慮旋轉(zhuǎn)體內(nèi)點(diǎn)x處垂直于x軸的厚度為dx的切片,用圓柱體的體積[f(x)]2dx作為切片體積的近似值,于是體積元素為dV

[f(x)]2dx.·旋轉(zhuǎn)體的體積首頁

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下頁結(jié)束鈴旋轉(zhuǎn)體的體積:例6連接坐標(biāo)原點(diǎn)0及點(diǎn)P(h,r)的直線、直線xh及x軸圍成一個(gè)直角三角形.將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h的圓錐體.計(jì)算這圓錐體的體積.解首頁上頁

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結(jié)束

鈴旋轉(zhuǎn)體的體積:例7計(jì)算由橢圓1所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積.解

P

軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體.旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為首頁

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結(jié)束鈴例8計(jì)算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解所給圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為首頁

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結(jié)束

鈴例8計(jì)算由擺線xa(tsint),ya(1cost)的一拱,呈所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.解設(shè)曲線左半邊為x=x?(y),右半邊為x=x?(y).所給圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為首頁

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結(jié)束

鈴6

3

a32.平行截面面積為已知的立體的體積設(shè)立體在x

軸上的投影區(qū)間為[a,b],立體內(nèi)垂直于x軸的截面面積為A(x).立體的體積元素為A(x)dx.立體的體積為首頁上頁

返回下頁結(jié)束

鈴截面面積為A(x)的立體體積:例9一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角.計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積.解建立坐標(biāo)系如圖，則底圓的方程為x2y2R2.立體中過點(diǎn)x且垂直于x軸的截面為直角三角形，其面積為首頁上頁

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結(jié)束

鈴所求立體的體積為三、平面曲線的弧長(zhǎng)·直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程yf(x)(axb)給出,其中f(x)在區(qū)間[a,b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù).現(xiàn)在來計(jì)算這曲線弧的長(zhǎng)度.在曲率一節(jié)中,我們已經(jīng)知道弧微分的表達(dá)式為這也就是弧長(zhǎng)元素.因此,曲線弧的長(zhǎng)度為首頁上頁

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結(jié)束

鈴曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng)例11一長(zhǎng)度.解因此,所求弧長(zhǎng)為首頁

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結(jié)束

鈴曲線yf(x)(a

x

b)的弧

長(zhǎng)·參數(shù)方程情形設(shè)曲線弧由參數(shù)方程x

(t)、y

(t)(

t

)給上(t)

在[

,

]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).首頁

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鈴于是曲線弧的長(zhǎng)為曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng):曲線x(t)、y(t)(t)的弧者例13求擺線xa(qsing),ya(1cosq)的一拱(0長(zhǎng)度.解弧長(zhǎng)元素為首頁

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結(jié)束鈴O

2πa

xx=a(O-sinO)

y=a(1-cosθ)于是所求弧長(zhǎng)為Ay2a曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng):曲線x(t)、y(t)(t)的弧·極坐標(biāo)情形設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程()()給出，其![,]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).因?yàn)閤(q)cosq,y(q)sing(所以弧長(zhǎng)元素為返回

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結(jié)束

鈴首頁曲線弧的長(zhǎng)為上頁曲線yf(x)(axb)的弧長(zhǎng):曲線x(t)、y(t)(t)的弧曲線()()的弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).解

弧長(zhǎng)元素為于是所求弧長(zhǎng)為例14

求阿基米德螺線a

(a>0)相應(yīng)于

從0到2首頁

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結(jié)束

鈴內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積直角坐標(biāo)方程邊界方程弧微分:ds=√(dx)2+(dy)2直角坐標(biāo)方程曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長(zhǎng)極坐標(biāo)方程

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結(jié)束