28.1 銳角三角函數(shù)（第一課時(shí)）（導(dǎo)學(xué)案）九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步備課系列（人教版）

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解正弦的概念，掌握正弦的表示方法；2.會(huì)根據(jù)直角三角形的邊長(zhǎng)求一個(gè)銳角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的邊長(zhǎng).3.經(jīng)歷探索直角三角形中的邊與角的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的演繹推理能力.通過(guò)學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的自我反思能力，通過(guò)提出困惑提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)突破★知識(shí)點(diǎn)1：正弦的概念：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作：sinA.即sinA=∠A所對(duì)的邊斜邊=★知識(shí)點(diǎn)2：利用正弦值求直角三角形邊長(zhǎng)解題技巧：1）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=a，sinB=b，AB=c，則BC=____ac_____，AC=_____bc_____2）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=d，sinB=e，BC=f，則AB=____df

_____，AC=_____核心知識(shí)一、正弦的概念：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的____________叫做∠A的正弦，記作：sinA.即sinA=______________________二、利用正弦值求直角三角形邊長(zhǎng)解題技巧：1）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=a，sinB=b，AB=c，則BC=_________，AC=__________2）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=d，sinB=e，BC=f，則AB=_________，AC=__________新知探究為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌。現(xiàn)測(cè)得斜坡的仰角為30°，為使出水口的高度為35m，需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？【問(wèn)題一】如上圖所示，本題可看作是在三角形ABC中探求某些問(wèn)題，你可以把已知條件用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)嗎？【問(wèn)題二】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.【問(wèn)題三】如果出水口的高度為50m，其它條件不變，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？【問(wèn)題四】對(duì)于有一個(gè)銳角為30°的任意直角三角形，30°角的對(duì)邊與斜邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？可以用一個(gè)怎樣的式子表示呢？【問(wèn)題五】在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠B=45°，那么AC與AB的比是一個(gè)定值嗎？【猜想】一般地，當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？【問(wèn)題六】任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A’，那么BCAB與B典例分析例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．【針對(duì)訓(xùn)練】1.概念理解①sinA=BCAB（）②sinB=BCAB③sinA=0.6m（）④sinB=0.8（）2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），那么sinα的值是（

）A．35 B．34 C．45 3.[易錯(cuò)題]把△ABC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值（）A．不變B．縮小為原來(lái)的13例2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13

，BC=3，求sinB及【解題技巧】1）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=a，sinB=b，AB=c，則BC=_________，AC=__________2）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=d，sinB=e，BC=f，則AB=_________，AC=__________【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=13

，AB=92．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=3A．30 B．50 C．60 D．80感受中考1．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ=（A．45 B．35 C．25 2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則sin∠ABC=3．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足，則sinB的值為課堂小結(jié)1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)？2.簡(jiǎn)述正弦的概念？【參考答案】新知探究為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上修建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面的綠地進(jìn)行噴灌?，F(xiàn)測(cè)得斜坡的仰角為30°，為使出水口的高度為35m，需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？【問(wèn)題一】如上圖所示，本題可看作是在三角形ABC中探求某些問(wèn)題，你可以把已知條件用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述出來(lái)嗎？在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.【問(wèn)題二】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB.根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”.即BCAB=可得AB=2BC=70(m).【問(wèn)題三】如果出水口的高度為50m，其它條件不變，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”.即BCAB=可得AB=2BC=100(m).也就是說(shuō)，如果出水口的高度為50m，需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管.【問(wèn)題四】對(duì)于有一個(gè)銳角為30°的任意直角三角形，30°角的對(duì)邊與斜邊有怎樣的數(shù)量關(guān)系？可以用一個(gè)怎樣的式子表示呢？在直角三角形中，如果一個(gè)銳角的度數(shù)等于30°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于12.

即：30°角所對(duì)的邊斜邊【問(wèn)題五】在Rt△ABC中，如果∠C=90°，∠B=45°，那么AC與AB的比是一個(gè)定值嗎？∵∠C=90°，∠B=45°∴∠A=45，則AC=BC由勾股定理得AB2=AC2+BC2，則AB=在直角三角形中，如果一個(gè)銳角的度數(shù)等于45°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于2【猜想】一般地，當(dāng)∠A取其他一定度數(shù)的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值？是【問(wèn)題六】任意畫(huà)Rt△ABC和Rt△A’B’C’，使∠C=∠C’=90°,∠A=∠A’，那么BCAB與B∵∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'∴Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'∴BCB'C'=AB這就是說(shuō)，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．典例分析例1如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=BC2sinA=BCAB=35，sinB=ACAB=解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=AB2sinA=BCAB=513，sinB=ACAB=【針對(duì)訓(xùn)練】1.概念理解①sinA=BCAB（√）②sinB=BCAB（x③sinA=0.6m（x）④sinB=0.8（√）2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），那么sinα的值是（

C

）A．35 B．34 C．45 3.[易錯(cuò)題]把△ABC三邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值（A）A．不變B．縮小為原來(lái)的13例2如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=13

，BC=3，求sinB及Rt解：∵sinA=13

∴BCAB=1∴sinB=ACAB=629=223∴S【解題技巧】1）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=a，sinB=b，AB=c，則BC=____ac_____，AC=_____bc_____2）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=d，sinB=e，BC=f，則AB=____df

_____，AC=_____【針對(duì)訓(xùn)練】1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=13

，AB=9，那么BC=__3____.2．在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=3A．30 B．50 C．60 D．80感受中考1．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考中考真題）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出“趙爽弦圖”，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如果大正方形面積為25，小正方形面積為1，則sinθ=（A．45 B．35 C．25 D解：∵大正方形的面積是25，小正方形面積是1，∴大正方形的邊長(zhǎng)AB=5，小正方形的邊長(zhǎng)CD=1，∵AD=BC，∴AD=AC+1，在Rt△ABC中，∴AD?12+AD∴sinθ=BC2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的