第9章 隨機(jī)變量及其分布（知識(shí)考點(diǎn)）-【中職專用】高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講與測(cè)（高教版2021·拓展模塊一下冊(cè)）解析版

第9第9章隨機(jī)變量及其分布知識(shí)點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量及其分布1．離散型隨機(jī)變量（1）隨機(jī)變量的基本概念①隨機(jī)變量的概念：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量.常用希臘字母、等表示．②離散型隨機(jī)變量的概念：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．③連續(xù)型隨機(jī)變量的概念：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)字特征(1)離散型隨機(jī)變量的分布列：設(shè)離散型隨機(jī)變量ξ可能取的值為x1，x2，…，x3，…，ξ取每一個(gè)值xi（i=1，2，…）的概率為，則稱表為隨機(jī)變量ξ的概率分布，簡(jiǎn)稱ξ的分布列．ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…注：分布列的兩個(gè)性質(zhì)：任何隨機(jī)事件發(fā)生的概率都滿足：，并且不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1．由此你可以得出離散型隨機(jī)變量的分布列都具有下面兩個(gè)性質(zhì)：①，；②，．(2)離散型隨機(jī)變量的期望和方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列，如下表所示X…P…則稱為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望。稱為隨機(jī)變量的方差，稱為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．3．二項(xiàng)分布(1)重伯努利試驗(yàn)(次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn))①我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).②將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為重伯努利試驗(yàn).(2)二項(xiàng)分布一般地，在重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為()，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，則的分布列為，.如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作．(3)二項(xiàng)分布的均值與方差若隨機(jī)變量服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布，即,則,.知識(shí)點(diǎn)二：正態(tài)分布1．正態(tài)曲線正態(tài)曲線沿著橫軸方向水平移動(dòng)只能改變對(duì)稱軸的位置，曲線的形狀沒有改變，所得的曲線依然是正態(tài)曲線顯然對(duì)于任意，，它的圖象在軸的上方．可以證明軸和曲線之間的區(qū)域的面積為1，我們稱為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①；當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”；σ越大，曲線越“矮胖”，如圖②.若隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則稱隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記為，特別地，當(dāng)，時(shí)，稱隨機(jī)變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布．2．由的密度函數(shù)及圖象可以發(fā)現(xiàn)，正態(tài)曲線還有以下特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱；(2)曲線在處達(dá)到峰值；(3)當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí)，曲線無(wú)限接近軸．3．正態(tài)分布的期望與方差若，則，．4．正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)；(2)；(3)．在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為原則．5．利用正態(tài)分布求概率的兩個(gè)方法(1)對(duì)稱法：由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線對(duì)稱的，且概率的和為1，故關(guān)于直線對(duì)稱的區(qū)間概率相等．如：①；②．(2)“”法：利用落在區(qū)間內(nèi)的概率分別是0．6827，0．9545，0．9973求解．考點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量及其分布1．下面給出的四個(gè)隨機(jī)變量中是離散型隨機(jī)變量的為（

）①高速公路上某收費(fèi)站在半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個(gè)沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離；③某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)；④某電子元件的壽命；A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【解析】對(duì)于①，半小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故①是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于②，沿直線進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來(lái)，故②不是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于③，某同學(xué)射擊3次，命中的次數(shù)可以一一列舉出來(lái)，故③是離散型隨機(jī)變量；對(duì)于④，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來(lái)，故④不是離散型隨機(jī)變量；故選：C.2．甲、乙兩班進(jìn)行足球?qū)官?，每?chǎng)比賽贏了的隊(duì)伍得3分，輸了的隊(duì)伍得0分，平局的話，兩隊(duì)各得1分，共進(jìn)行三場(chǎng)．用表示甲的得分，則表示（

）．A．甲贏三場(chǎng) B．甲贏一場(chǎng)、輸兩場(chǎng)C．甲、乙平局三次 D．甲贏一場(chǎng)、輸兩場(chǎng)或甲、乙平局三次【答案】D【解析】由于贏了的隊(duì)伍得3分，輸了的隊(duì)伍得0分，平局的話，兩隊(duì)各得1分，所以可以分成兩種情況，即或，即甲贏一場(chǎng)、輸兩場(chǎng)或甲、乙平局三次．故選：D．3．袋中裝有除顏色外，質(zhì)地大小完全相同的4個(gè)小球，其中有1個(gè)紅球、3個(gè)白球，從中任意取出1個(gè)觀察顏色，取后不放回，如果取出的球的顏色是紅色，則停止取球，如果是白色，則繼續(xù)取球，直到取到紅球時(shí)停止，記停止時(shí)的取球次數(shù)為，則所有可能取值的集合為______，的意義為______．【答案】

第一次取到白球，第二次取到紅球,并且停止取球.【解析】若第一次取到紅球，則停止取球，此時(shí)，若第一次取到白球，第二次取到紅球，則停止取球，此時(shí)；若第一次和第二次都取到白球，第三次取到紅球，則停止取球，此時(shí)；若前次都取到白球，則第四次必取到紅球，則停止取球，此時(shí)；綜上所述：所有可能取值的集合為.的意義為第一次取到白球，第二次取到紅球，并且停止取球.故答案為：；第一次取到白球，第二次取到紅球，并且停止取球.4．已知隨機(jī)變量的分布列是：123則（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】解：因?yàn)椋?，所以，故選：A.5．已知隨機(jī)變量X的分布列如表（其中a為常數(shù)）：X012345P0.10.1a0.30.20.1則等于（）A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：C.6．一木箱中裝有8個(gè)同樣大小的籃球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7，8，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個(gè)籃球，以ξ表示取出的籃球的最大號(hào)碼，則ξ＝8表示的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)為（

）A．18 B．21 C．24 D．10【答案】B【解析】ξ＝8表示3個(gè)籃球中一個(gè)編號(hào)是8，另外兩個(gè)從剩余7個(gè)號(hào)中選2個(gè)，有種方法，即21種．故選：B.7．若隨機(jī)變量X的概率分布表如下：X01P0.4則（

）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【答案】C【解析】根據(jù)概率的性質(zhì)可得，所以，所以，故選:C.8．一袋中裝5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為()A． B．C． D．【答案】C【解析】隨機(jī)變量的可能值為1，2，3，，，，故選C.9．若隨機(jī)變量ξ只能取兩個(gè)值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，寫出ξ的分布列.【答案】答案見解析【解析】解：由題意及分布列滿足的條件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故，所以ξ的分布列為ξ01P10．袋中有4只紅球，3只黑球，現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1分，試求得分X的均值．【答案】答案見解析【解析】解：取出4只球顏色及得分分布情況是4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分，因此，X的可能取值為5,6,7,8，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(C\o\al(4,4)C\o\al(0,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(1,35)，故X的分布列為X5678Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)∴E(X)＝5×eq\f(4,35)＋6×eq\f(18,35)＋7×eq\f(12,35)＋8×eq\f(1,35)＝eq\f(44,7).11．某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品3件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為概率.（1）求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；（2）記X為第二天開始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求X的分布列.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）記“當(dāng)天商品銷售量為0件”為事件A，“當(dāng)天商品銷售量為1件”為事件B，“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”為事件C，則；（2）由題意知，X的可能取值為2，3.P(X＝2)＝P(當(dāng)天商品銷售量為1件)＝；P(X＝3)＝P(當(dāng)天商品銷售量為0件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為2件)＋P(當(dāng)天商品銷售量為3件)＝，故X的分布列為：X23P12．若離散型隨機(jī)變量，，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，得，所以，故選：C.13．現(xiàn)有甲，乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員，甲?乙兩人各投籃一次，投中的概率分別和，假設(shè)每次投籃是否投中，相互之間沒有影響.（結(jié)果需用分?jǐn)?shù)作答）（1）求甲投籃3次，至少有2次未投中的概率；（2）求兩人各投籃2次，甲恰好投中2次且乙恰好投中1次的概率；（3）設(shè)乙單獨(dú)投籃3次，用表示投中的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】解：（1）記“甲投籃3次至少有2次未投中”為事件，由題意知投籃3次，相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故；（2）記“甲投籃2次，恰有2次投中”為事件，“乙投籃2次，恰有1次投中”為事件，則，，由于甲?乙投籃相互獨(dú)立，故；（3）根據(jù)題意可知，的可能取值為0，1，2，3，服從二項(xiàng)分布，，則，，，，則的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望為.考點(diǎn)二正態(tài)分布14．設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)的圖像，且，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是（

）．A．10與8 B．10與2 C．8與10 D．2與10【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，即正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為與.故選：B．15．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，則.故選:D16．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.3 B．0.3 C．0.2 D．0.1【答案】D【解析】解：因?yàn)榍?，所?故選：D17．已知隨機(jī)變量X，Y分別滿足，，且均值，方差，則________.【答案】【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X，Y分別滿足，，所以，，解得，故答案為：.18．已知三個(gè)正態(tài)密度函數(shù)（，）的圖像如圖所示，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】由題圖中的對(duì)稱軸知：，與(一樣)瘦高，而胖矮，所以.故選：C19．已知在體能測(cè)試中，某校學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布，其中60分為及格線，則下列結(jié)論中正確的是（

）附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則A．該校學(xué)生成績(jī)的均值為25 B．該校學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為C．該校學(xué)生成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差