專(zhuān)題14 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算 2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)方法技巧講義（解析版）

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2專(zhuān)題14導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1.概念函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱(chēng)它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作或．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)孩僭隽靠梢允钦龜?shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無(wú)限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率，即．2.幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．3.物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：【方法技巧與總結(jié)】1.在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2.過(guò)點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過(guò)點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類(lèi)題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．【題型歸納目錄】題型一：導(dǎo)數(shù)的定義題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.在點(diǎn)P處切線2.過(guò)點(diǎn)P的切線3.公切線4.已知切線求參數(shù)問(wèn)題5.切線的條數(shù)問(wèn)題6.切線平行、垂直、重合問(wèn)題7.最值問(wèn)題【典例例題】題型一：導(dǎo)數(shù)的定義例1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））函數(shù)的圖像如圖所示，下列不等關(guān)系正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和函數(shù)平均變化率的定義，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得表示切線斜率，表示切線斜率，又由平均變化率的定義，可得，表示割線的斜率，結(jié)合圖象，可得，即.故選：C.例2．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，故選：A例3．（2022·新疆昌吉·二模（理））若存在，則稱(chēng)為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為；若存在，則稱(chēng)為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為，已知二元函數(shù)，則下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件求出、，然后可逐一判斷ABC，，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊的最小值即可.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以，則，又，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，，令（），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故選：B.例4．（2022·貴州黔東南·一模（文））一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其位移s（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）滿(mǎn)足關(guān)系式，，則當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（

）A．米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒【答案】B【解析】【分析】先求出導(dǎo)數(shù)，再代入計(jì)算即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為3米/秒.故選：B.例5．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C．10 D．20【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，再用求導(dǎo)公式可得，代入即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：D例6．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（是的導(dǎo)函數(shù)），則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，求出，再令代入解析式，即可得到答案；【詳解】，，，，故選：D.例7．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿(mǎn)足，則（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【解析】【分析】先對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，然后把代入，可列出關(guān)于的等式，即可解出，從而得出的解析式，即可求出.【詳解】解：因?yàn)?，所以，把代入，得，解得：，所以，所?故選：C.【方法技巧與總結(jié)】對(duì)所給函數(shù)式經(jīng)過(guò)添項(xiàng)、拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接寫(xiě)出.題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例8．（2022·天津·耀華中學(xué)高二期中）求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解即可.(1)，.(2)，.(3)，.例9．（2022·新疆·莎車(chē)縣第一中學(xué)高二期中（理））求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可得到結(jié)果.(1)(2)(3)例10．（2022·廣東·北京師范大學(xué)珠海分校附屬外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期中）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則求解.(1)因?yàn)?，所以?2)因?yàn)?，所以?3)因?yàn)?，所以?4)因?yàn)樗浴痉椒记膳c總結(jié)】對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題.題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義1.在點(diǎn)P處切線例11．（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）曲線在處的切線斜率為（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】B【解析】【分析】即求曲線在(0,f(0))處的導(dǎo)數(shù).【詳解】，.故選：B.例12．（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，即可求得的值【詳解】由切點(diǎn)在曲線上，得①；由切點(diǎn)在切線上，得②；對(duì)曲線求導(dǎo)得，∴，即③，聯(lián)立①②③，解之得故選：A.例13．（2022·海南·文昌中學(xué)高三階段練習(xí)）曲線在處的切線的傾斜角為，則（

）A．- B． C．1 D．-1【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，求得其傾斜角，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則，即曲線在處的切線的斜率為，即，因?yàn)?，所以，所?故選：A.例14．（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)高三期中（理））已知，則曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，寫(xiě)出切線方程的公式，直接計(jì)算求解即可【詳解】對(duì)，求導(dǎo)可得，，得到，所以，，所以，，故選D例15．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，則函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求導(dǎo)數(shù)得出，結(jié)合奇函數(shù)定義得函數(shù)解析式，然后計(jì)算即可．【詳解】是奇函數(shù)，恒成立，所以，，，所以，，即，．故選：A．例16．（2022·廣西廣西·模擬預(yù)測(cè)（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】∵∴，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故選：A.例17．（2022·河南省?？h第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））曲線在處的切線方程為（

）A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0【答案】B【解析】【分析】將代入曲線方程求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，利用直線方程點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以．又?dāng)時(shí)，，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為．故選：B.2.過(guò)點(diǎn)P的切線例18．（2022·四川·廣安二中二模（文））函數(shù)過(guò)點(diǎn)的切線方程為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求該切點(diǎn)上的切線方程，再由切線過(guò)代入求參數(shù)m，即可得切線方程.【詳解】由題設(shè)，若切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又切線過(guò)，則，可得或，當(dāng)時(shí)，切線為；當(dāng)時(shí)，切線為，整理得.故選：C例19．（2022·四川省成都市郫都區(qū)第一中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切，則所有可能的切點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由已知，設(shè)出切點(diǎn)，寫(xiě)出切線方程，然后把點(diǎn)代入方程，解出切點(diǎn)坐標(biāo)即可完成求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：，將點(diǎn)代入得，即，解得或，所以切點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為故選：D.例20．（2022·陜西安康·高三期末（文））曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)列方程，由此求出切點(diǎn)坐標(biāo)并求出切線的斜率，進(jìn)而可得切線方程.【詳解】由題意可得點(diǎn)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以所求切線的斜率，所以.因?yàn)辄c(diǎn)是切點(diǎn)，所以，所以，即.設(shè)，明顯在上單調(diào)遞增，且，所以有唯一解，則所求切線的斜率，故所求切線方程為.故選：B.例21．（2022·廣東茂名·二模）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，則切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A．e B．1 C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，寫(xiě)出切線方程，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程，解出即可.【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)，由，得，所以，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，又過(guò)（0，0），∴，解得，∴切點(diǎn)，縱坐標(biāo)為1．故選：B．例22．（2022·山東濰坊·三模）過(guò)點(diǎn)有條直線與函數(shù)的圖像相切，當(dāng)取最大值時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)分析的圖象可得，再設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由題可得有三根，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析圖象單調(diào)性與最值即可【詳解】由，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，結(jié)合圖象易得，過(guò)點(diǎn)至多有3條直線與函數(shù)的圖像相切，故.此時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得，存在三條切線即函數(shù)有三個(gè)不同的根，又，易得在上，，單調(diào)遞增；在和上，，單調(diào)遞減，畫(huà)出圖象可得當(dāng)，即時(shí)符合題意故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決切線的問(wèn)題，同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，進(jìn)而確定根的個(gè)數(shù)與參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，屬于難題3.公切線例23．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù)與函數(shù)有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出各自曲線上的切點(diǎn)，得出兩個(gè)切線方程，由兩個(gè)切線方程可整理成關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的取值范圍即可求解.【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，，切線的斜率為，則切線方程為，即設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，，切線的斜率為，則切線方程為，即所以有因?yàn)?，所以，可得，，即，由可得：，所以，令，則，，設(shè)，則，所以在上為減函數(shù)，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲線過(guò)點(diǎn)的切線的方程的一般步驟是：（1）設(shè)切點(diǎn)（2）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)處的切線斜率；（3）構(gòu)建關(guān)系解得；（4）由點(diǎn)斜式求得切線方程.例24．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線和曲線，若存在斜率為1的直線與，同時(shí)相切，則b的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分別求出兩函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再分別設(shè)直線與兩曲線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由于斜率為1即導(dǎo)數(shù)值為1分別求出切點(diǎn)橫坐標(biāo)，可得切線方程，再根據(jù)切線方程系數(shù)相等得與的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求出b的取值范圍．【詳解】，，設(shè)斜率為的切線在，上的切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，由題知，∴，，兩點(diǎn)處的切線方程分別為和，故，即.故選：D.例25．（2022·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）若兩曲線y=x2-1與y=alnx-1存在公切線，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分別求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，得到切線方程，再由兩點(diǎn)的斜率公式，結(jié)合切點(diǎn)滿(mǎn)足曲線方程，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間、極值、最值即可得出a的取值范圍.【詳解】設(shè)切線：，即切線：，即，令在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以故選：A．例26．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A． B．1 C．e D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，求出，，根據(jù)斜率列出方程，得到，，構(gòu)造，利用函數(shù)單調(diào)性和圖象特征，求出，從而求出答案.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，直線與曲線相切于點(diǎn)，則，且，所以，，且，所以，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，即，所以，所以，故故選：B【點(diǎn)睛】對(duì)于不知道切點(diǎn)的切線方程問(wèn)題，要設(shè)出切點(diǎn)，再根據(jù)斜率列出方程，進(jìn)行求解.例27．（2022·河北省唐縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象都相切，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別得到、，再運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)直線與函數(shù)，的圖象相切的切點(diǎn)分別為，.由，有，解得，.又由，有，解得，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取“=”.故選：B例28．（2022·重慶市育才中學(xué)高三階段練習(xí)）若直線（）為曲線與曲線的公切線，則l的縱截距（

）A．0 B．1 C．e D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)分別為，，分別求出切線方程，再令切線方程相等；【詳解】設(shè)l與的切點(diǎn)為，則由，有.同理，設(shè)l與的切點(diǎn)為，由，有.故解得或則或.因，所以l為時(shí)不成立.故，故選：D.例29．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若兩曲線與存在公切線，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)公切線與曲線的切點(diǎn)為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求和上的切線方程，由所得切線方程的相關(guān)系數(shù)相等列方程求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)范圍.【詳解】設(shè)公切線與曲線和的交點(diǎn)分別為，，其中，對(duì)于有，則上的切線方程為，即，對(duì)于有，則上的切線方程為，即，所以，有，即，令，，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故，即.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)幾何意義求兩條曲線的含參切線方程，由公切線對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得到相關(guān)參數(shù)方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性求參數(shù)范圍.例30．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若僅存在一條直線與函數(shù)（）和的圖象均相切，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分別求出函數(shù)上切點(diǎn)處的切線方程和上切點(diǎn)處的切線方程，消去，得，該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有唯一的值時(shí)，求值，即可通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)直線與的切點(diǎn)為，由可知，該直線的斜率為，即該直線的方程為，即為，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，由可知，該直線的斜率為，即該直線的方程為，即為，∵僅存在一條直線與函數(shù)（）和的圖象均相切，∴，∴即，令，則，當(dāng)時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，即，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得最大值，，圖像為∵切線只有一條，即的值唯一，∴只有，故選：.4.已知切線求參數(shù)問(wèn)題例31．（2022·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知P是曲線上的一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在P點(diǎn)處的切線的傾斜角為，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及給定傾斜角的范圍，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解a的范圍即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)榍€在M處的切線的傾斜角，所以對(duì)于任意的恒成立，即對(duì)任意恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，所以a的取值范圍是．故選：D．例32．（2022·廣西·貴港市高級(jí)中學(xué)三模（理））已知曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出，再將切點(diǎn)代入切線方程，即可求出；【詳解】解：，，∴，∴．將代入得，∴．故選：C．例33．（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）已知奇函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則（

）A．或1 B．或 C．或2 D．或【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)為奇函數(shù)可得，根據(jù)切線的斜率為0建立方程求出即可得解.【詳解】由可得，因?yàn)?，所以，解?所以，故切線斜率，又，所以，解得或，所以或.故選：D例34．（2022·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)（文））若函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】的定義域?yàn)?，，由題意可得，即，解得，故選：A例35．（2022·河南·方城第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知直線l的斜率為2，l與曲線：和圓：均相切，則（

）A．－4 B．－1 C．1 D．4【答案】D【解析】【分析】設(shè)曲線的切點(diǎn)，利用曲線的幾何意義可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得切線方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑即可求得值.【詳解】設(shè)直線l：與曲線相切，切點(diǎn)為，因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，由，解得，所以切點(diǎn)為，代入得，所以切線方程為.將化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閘與圓相切，所以，解得.故選：D5.切線的條數(shù)問(wèn)題例36．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程，代入坐標(biāo)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，變形后轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，構(gòu)造新函數(shù)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的圖象后可得.【詳解】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，因此切線方程為，又切線過(guò)點(diǎn)，則，，設(shè)，函數(shù)定義域是，則直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，結(jié)合圖像知，即.故選：D.例37．（2022·河南洛陽(yáng)·三模（理））若過(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知，設(shè)出切點(diǎn)，然后寫(xiě)出切線方程，把點(diǎn)P帶入切線方程中，然后對(duì)式子進(jìn)行整理，分別設(shè)出兩個(gè)函數(shù)，與，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，然后作圖，看兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況即可完成求解.【詳解】由已知，曲線，即令，則，設(shè)切點(diǎn)為，切線方程的斜率為，所以切線方程為：，將點(diǎn)代入方程得：，整理得，設(shè)函數(shù)，過(guò)點(diǎn)可作出曲線的三條切線，可知兩個(gè)函數(shù)圖像與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又因?yàn)椋桑傻没?，所以函?shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極大值為，函數(shù)的極小值為，如圖所示，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像有三個(gè)不同的交點(diǎn).故選：C.例38．（2022·河南洛陽(yáng)·三模（文））若過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，則這樣的切線共有（

）A．0條 B．1條 C．2條 D．3條【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線方程，再根據(jù)點(diǎn)在切線上，即可代入切線方程，解得，即可得解；【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，由，所以，所以，所以切線方程為，即，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，解得或，所以過(guò)點(diǎn)作曲線的切線可以作2條，故選：C例39．（2022·河北·高三階段練習(xí)）若過(guò)點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】本題為過(guò)點(diǎn)的切線，切點(diǎn)為，可得切線方程，代入點(diǎn)P坐標(biāo)整理為，即與有三個(gè)交點(diǎn)．【詳解】由，則，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率則在點(diǎn)的切線方程為，代入點(diǎn)P坐標(biāo)得整理為，即這個(gè)方程有三個(gè)不等式實(shí)根，令，則，令則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故得，即，故選：D．例40．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模（理））若過(guò)點(diǎn)可以作三條直線與曲線C：相切，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)P的切線方程為,代入點(diǎn)P坐標(biāo)，化簡(jiǎn)為，即這個(gè)方程有三個(gè)不等根即可.令,求導(dǎo)得：.令，解得：，所以在上遞增；令，解得：或，所以在和上遞增.要使方程有三個(gè)不等根即可.只需,即.故選：D例41．（2022·廣東深圳·二模）已知，若過(guò)點(diǎn)可以作曲線的三條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到，整理得，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值，依題意有三個(gè)零點(diǎn)，即可得到不等式組，從而得解；【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，由，所以，所以，則，所以，令，則，因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)取得極大值，當(dāng)時(shí)取得極小值，即，，依題意有三個(gè)零點(diǎn)，所以且，即；故選：B6.切線平行、垂直、重合問(wèn)題例42．（2022·安徽·合肥一中模擬預(yù)測(cè)（文））對(duì)于三次函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處點(diǎn)的切線重合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由得，然后求得，由求得，設(shè)，由得及，再由得，解得后可得．【詳解】設(shè)，，設(shè)，則，即……①又，即……②由①②可得，.故選：B.例43．（2022·山西太原·二模（理））已知函數(shù)圖象上存在兩條互相垂直的切線，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件用換元法令，利用導(dǎo)數(shù)及三角函數(shù)的差的正弦公式即可得出導(dǎo)函數(shù)的范圍，根據(jù)已知條件得出，再利用輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，令，由，得，所以由題意可知，存在，使得，只需要，即，所以，，所以的最大值為.故選:D.【點(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是用換元思想，再利用存在兩條互想垂直的直線進(jìn)而得出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.例44．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象在點(diǎn)A(x1，f(x1))與點(diǎn)B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)處的切線互相垂直，則x2－x1的最小值為（

）A． B．1C． D．2【答案】B【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由切線垂直斜率乘積為得的關(guān)系，計(jì)算，用基本不等式求最小值得結(jié)論．【詳解】因?yàn)閤1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，所以f′(x)＝2x＋2，所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)A，B處的切線的斜率分別為f′(x1)，f′(x2)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，所以f′(x1)f′(x2)＝－1．所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，所以x2－x1＝[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，當(dāng)且僅當(dāng)－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－，x2＝－時(shí)等號(hào)成立．所以x2－x1的最小值為1．故選：B．例45．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)，且曲線在點(diǎn)處的切線為，曲線在點(diǎn)處的切線為，則下列結(jié)論：①，使得；②當(dāng)時(shí)，取得最小值；③的最小值為2；④最小值小于．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)求得兩條切線方程，令,可知，故存在零點(diǎn)，①正確；，通過(guò)求導(dǎo)討論單調(diào)性可知有最小值，進(jìn)而可以判斷最小值范圍，可以判斷②正確，③錯(cuò)誤，④正確.【詳解】解：由直線與兩曲線分別交于兩點(diǎn)可知：曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率，可知切線：.曲線上點(diǎn)坐標(biāo)，可求導(dǎo)數(shù)，則切線斜率.令，則，令，，由零點(diǎn)存在定理，使，即，使，即，故①正確.，令，由同理可知有，使，令，在處取最小值，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，故②正確.是對(duì)勾函數(shù)，在上是減函數(shù)，，故③錯(cuò)誤，④正確.故選：C例46．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出函數(shù)在點(diǎn)、處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出，判斷單調(diào)性，可得出的取值范圍．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，，，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，當(dāng)，或時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)，處的切線方程為：；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)，處的切線方程為．兩直線重合的充要條件是①，②，由①及得，由①②令，則，且，記導(dǎo)數(shù)為，且在恒成立，則函數(shù)在為減函數(shù)，，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B例47．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（文））若曲線的一條切線與直線垂直，則切線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)直線垂直得出切線的斜率，解方程即可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出切線方程.【詳解】，∴，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率，解得，所以，故切線的方程為，即．故選：A7.最值問(wèn)題例48．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】求出平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解.【詳解】設(shè)平行于直線且與曲線相切的切線對(duì)應(yīng)切點(diǎn)為，由，則，令，解得或（舍去），故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故點(diǎn)P到直線的最小值為：.故選：A.例49．（2022·山東省淄博第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）動(dòng)直線分別與直線，曲線相交于兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】當(dāng)點(diǎn)處的切線和直線平行時(shí)，的值最小，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和解析式求得點(diǎn)，再由點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)﹐點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)處的切線和直線平行時(shí)，這兩條平行線間的距離的值最小﹐因?yàn)橹本€的斜率等于，曲線的導(dǎo)數(shù)，令，可得或(舍去)，故此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，故選：A.例50．（2022·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的取值范圍是（）A． B． C． D．，【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求切點(diǎn)坐標(biāo)，再由切點(diǎn)在直線上可得，結(jié)合目標(biāo)式有，構(gòu)造并研究單調(diào)性，進(jìn)而求值域即可.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則，∴切點(diǎn)為，代入，得，、為正實(shí)數(shù)，即，∴，令且，則，即為增函數(shù)，．故選：C．例51.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】【分析】由題意可知曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離即與平行的切線的切點(diǎn)到直線的距離，因此根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切點(diǎn)即可求出結(jié)果.【詳解】，所以，設(shè)曲線在處的切線與直線平行，則，所以，切點(diǎn)，曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離即為切點(diǎn)P到直線的距離，故選：A．例52．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)在處的切線為l，第一象限內(nèi)的點(diǎn)在切線l上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出x=1處的導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程寫(xiě)出l的方程，從而得出a，b之間的關(guān)系，運(yùn)用基本不等式即可求解.【詳解】函數(shù)，，，，由點(diǎn)斜式直線方程得：切線l的方程為，，由于點(diǎn)P在直線l上，則且，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；故選：C.例53．（2022·山東聊城·二模）實(shí)數(shù)，，，滿(mǎn)足：，，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．8【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求上與平行的切線方程，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求目標(biāo)式的最值即可.【詳解】由，則，又，的最小值轉(zhuǎn)化為：上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的距離的平方的最小值，由，得：，與平行的直線的斜率為1，∴，解得或（舍，可得切點(diǎn)為，切點(diǎn)到直線之間的距離的平方，即為的最小值，的最小值為：.故選：D.例54．（2022·河南·許昌高中高三開(kāi)學(xué)考試（理））已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線l對(duì)稱(chēng)，若P，Q分別為它們圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由于為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為在的圖象上，所以函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，然后利用導(dǎo)求出與直線平行，且與曲線相切的直線，從而可求得答案【詳解】設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，設(shè)，，則，，所以，所以，即函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以這兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍.函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，令得,，，所以點(diǎn)P到直線距離的最小值為，所以這兩點(diǎn)之間距離的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是得到函數(shù)的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，屬于較難題例55．（2022·河南·靈寶市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知直線是曲線的切線，則的最小值為（

）A． B．0 C． D．3【答案】A【解析】【分析】對(duì)曲線求導(dǎo)，求出其在處的切線方程，從而得到了切線中的關(guān)系，然后將所求進(jìn)行構(gòu)造，與已知條件建立聯(lián)系，再用均值不等式求解最小值即可.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線不是曲線的切線，故，由得，所以切線方程為，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：A【方法技巧與總結(jié)】函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.這里要注意曲線在某點(diǎn)處的切線與曲線經(jīng)過(guò)某點(diǎn)的切線的區(qū)別.（1）已知在點(diǎn)處的切線方程為.（2）若求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程，應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由過(guò)點(diǎn)，求得的值，從而求得切線方程.另外，要注意切點(diǎn)既在曲線上又在切線上.【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·河南·高三階段練習(xí)（理））若曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，則a＝（

）A．1 B． C．2 D．e【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解：因?yàn)榍€，所以，又因?yàn)榍€在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為，所以，故選：A2．（2022·云南曲靖·二模（文））設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可；【詳解】解：因?yàn)閷?duì)任意，，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞減，即的圖象增長(zhǎng)得越來(lái)越慢，從圖象上來(lái)看函數(shù)是上凸遞增的，所以，又，表示點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，由圖可知即，故選：A3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，且，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A．2 B．-1 C．1 D．【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義進(jìn)行求解.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，點(diǎn)處的切線斜率為，因?yàn)闀r(shí)，，所以，所以在點(diǎn)處的切線斜率為，故選：D.4．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（文））已知，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】求f(x)的導(dǎo)數(shù)和在x=3時(shí)的導(dǎo)數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義和直線的點(diǎn)斜式方程即可求切線方程．【詳解】∵，∴，，∴，∴y=f(x)在處的切線方程為：，即．故選：A．5．（2022·貴州黔東南·一模（理））一個(gè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其位移s（單位：米）與時(shí)間t（單位：秒）滿(mǎn)足關(guān)系式，則當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為（

）A．5米/秒 B．8米/秒C．14米/秒 D．16米/秒【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)得到，即得解.【詳解】解：由題得，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為14米/秒．故選：C6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)存在一條直線與圖象和圖象都相切，則（

）A．0 B． C．3 D．或3【答案】D【解析】【分析】先求得在處的切線方程，然后與聯(lián)立，由求解.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以所以函數(shù)在處的切線方程為，由得，由，解得或，故選：D7．（2022·湖南·長(zhǎng)郡中學(xué)高三階段練習(xí)）若不等式對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線上的點(diǎn)的距離最小值，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求上斜率為1的切線上切點(diǎn)坐標(biāo)，再應(yīng)用點(diǎn)線距離公式求最小距離，即可得m的范圍.【詳解】設(shè)，則T的幾何意義是直線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的距離，將直線平移到與面線相切時(shí)，切點(diǎn)Q到直線的距離最?。?，令，則，可得，此時(shí)，Q到直線的距離，故，所以．故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將題設(shè)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為求直線與曲線上點(diǎn)的最小距離且，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、點(diǎn)線距離公式求m的范圍.8．（2022·遼寧沈陽(yáng)·二模）若直線與直線是曲線的兩條切線，也是曲線的兩條切線，則的值為（

）A． B．0 C．-1 D．【答案】C【解析】【分析】利用和互為反函數(shù)推得兩條公切線和也互為反函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出，，進(jìn)而化簡(jiǎn)可得，代入化簡(jiǎn)可得答案.【詳解】由和互為反函數(shù)可知，兩條公切線和也互為反函數(shù)，即滿(mǎn)足，，即，，設(shè)直線與和分別切于點(diǎn)和，可得切線方程為和，整理得：和，則，，由，得，且，則，所以，所以,故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，解答時(shí)要注意利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線方程并進(jìn)行系數(shù)的比較，從而得出參數(shù)之間的關(guān)系式.二、多選題9．（2022·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）若過(guò)點(diǎn)可以作出曲線的切線l，且l最多有n條，，則（

）A． B．當(dāng)時(shí)，a值唯一C．當(dāng)時(shí)， D．na的值可以取到﹣4【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)切線的切點(diǎn)為，得到，令，畫(huà)出函數(shù)的圖象分析得解.【詳解】解：由題得，設(shè)切線的切點(diǎn)為，所以切線的斜率，所以切線方程為，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，令，所以，令令或，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象如圖所示，過(guò)點(diǎn)可以作出曲線的切線l，所以,所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，，取值唯一，所以選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，或，所以選項(xiàng)C不正確；由于時(shí)，，所以的值可以取到﹣4，所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD10．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）為滿(mǎn)足人們對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門(mén)要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改．設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱．已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)B．在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)C．在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)D．甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合甲乙企業(yè)污水排放量與時(shí)間關(guān)系圖象，利用曲線在區(qū)間的變化率判斷企業(yè)的治污能力，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】由題圖可知甲企業(yè)的污水排放量在時(shí)刻高于乙企業(yè)，而在時(shí)刻甲、乙兩企業(yè)的污水排放量相同，故在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故A正確；由題圖知在時(shí)刻，甲企業(yè)在該點(diǎn)的切線斜率的絕對(duì)值大于乙企業(yè)的，故B正確；在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都低于污水達(dá)標(biāo)排放量，故都已達(dá)標(biāo)，故C正確；由題意可知，甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在時(shí)的污水治理能力明顯低于時(shí)的，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的切線斜率可以是1B．曲線的切線斜率可以是C．過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條D．過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有2條【答案】AC【解析】【分析】由函數(shù)，求導(dǎo)得到，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以A.令，得，所以曲線的切線斜率可以是1，故正確；B.令無(wú)解，所以曲線的切線斜率不可以是，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)樵谇€上，所以點(diǎn)是切點(diǎn)，則，所以切線方程為，即，所以過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故正確；D.設(shè)切點(diǎn)，則切線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在切線上，所以，解得，所以過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有1條，故錯(cuò)誤；故選：AC12．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作曲線兩條互相垂直的切線?，切點(diǎn)為?（?不重合），設(shè)直線?分別與軸交于點(diǎn)?，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積為定值 B．直線的斜率為定值；C．線段的長(zhǎng)度為定值 D．三角形面積的取值范圍為【答案】ABC【解析】【分析】A.由條件可知兩條直線的斜率存在時(shí)，斜率之積為-1，討論的位置，即可判斷；B.由兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示直線的斜率，即可判斷；C.分別求切線方程，并表示點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求線段的長(zhǎng)度；D.根據(jù)切線方程，求交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)闉槎ㄖ担崔D(zhuǎn)化為求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，且，若時(shí)，直線，的斜率分別為，，此時(shí)，不合題意；若時(shí)，則直線，的斜率分別為，，此時(shí)，不合題意.所以或，則，，由題意可得，可得，若，則；若，則，不合題意，所以，選項(xiàng)A對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)B，易知點(diǎn)，，所以，直線的斜率為，選項(xiàng)B對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)C，直線的方程為，令可得，即點(diǎn)，直線的方程為，令可得，即點(diǎn)，所以，，選項(xiàng)C對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D，聯(lián)立可得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以，，選項(xiàng)D錯(cuò).故選：ABC.三、填空題13．（2022·山東·肥城市教學(xué)研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率，將代入函數(shù)可求切點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線方程點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，切線方程為：，即；故答案為：.14．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））若直線與曲線和都相切，則的斜率為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】設(shè)出的切點(diǎn)坐標(biāo)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義表達(dá)出切線斜率，寫(xiě)出切線方程，根據(jù)圓心到半徑距離為半徑列出方程，求出，從而求出斜率.【詳解】設(shè)的切點(diǎn)為，，故，則切線方程為：，即圓心到圓的距離為，即，解得：或（舍去）所以，則的斜率為故答案為：15．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則__________.【答案】-2【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)，求出函數(shù)，再求函數(shù)值作答.【詳解】由函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，解得，因此，，所以.故答案為：-216．（2022·全國(guó)·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知，且，，那么___________.【答案】【解析】【分析】在題中等式兩邊同乘可得，可得出，由可求得的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以，，即，所以，，因?yàn)?，則，所以，，解得，所以，，因此，.故答案為：.四、解答題17．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題