滬教版2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步講義第24講分式方程(六大題型)(學(xué)生版+解析)

第24講分式方程（六大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知道分式方程的概念．2、會(huì)解分式方程．3、掌握無(wú)解、增根等問(wèn)題．4、會(huì)解分式方程的實(shí)際應(yīng)用.一、分式方程、根與增根1.分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.2.分式方程的根、增根及檢驗(yàn)分式方程的解也叫作分式方程的根．在檢驗(yàn)時(shí)只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母中，如果它使最簡(jiǎn)公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個(gè)根；如果它使最簡(jiǎn)公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根．要點(diǎn)：（1）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（2）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.2.分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.三、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫(xiě)出答案.要點(diǎn)：1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這五5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位等．2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度=路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率=工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．【即學(xué)即練1】解分式方程：【即學(xué)即練2】解方程：(1)；(2)．【即學(xué)即練3】已知是分式方程的解，則的值為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練4】若分式方程無(wú)解，則的值為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練5】若分式方程有增根，則k的值是（

）A． B．3 C．6 D．9【即學(xué)即練6】若關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，則m的值是（

）A． B． C．2 D．0【即學(xué)即練7】某市生態(tài)園計(jì)劃種植一批梨樹(shù)，原計(jì)劃總產(chǎn)量萬(wàn)公斤，現(xiàn)改換梨樹(shù)品種，改換后平均每畝產(chǎn)量是原來(lái)的倍，總產(chǎn)量比原計(jì)劃增加了萬(wàn)公斤，且種植畝數(shù)減少了畝，則原來(lái)平均每畝產(chǎn)量是多少萬(wàn)千克？若設(shè)原來(lái)平均每畝產(chǎn)量為萬(wàn)公斤，則可列方程為（）A． B．C． D．題型1：分式方程【典例1】．下列方程不是分式方程的是（

）A． B． C．D．【典例2】．給出下列關(guān)于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例3】．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)未知數(shù)是的分式方程，并且當(dāng)時(shí)沒(méi)有意義．【典例4】．（填“是”或“不是”）方程的解.題型2：解分式方程 【典例5】．解方程：．【典例6】．解方程：．【典例7】．解分式方程(1)(2)【典例8】．解下列方程：(1)(2)【典例9】．解分式方程．【典例10】．解分式方程，去分母后得到的方程是（

）A．B． C． D．【典例11】．若代數(shù)式和的值互為相反數(shù)，則x等于（

）A．1 B． C．2 D．題型3：根據(jù)分式方程的解求值【典例12】．若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【典例13】．如果關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（）A．1 B．4 C． D．【典例14】．已知關(guān)于x的分式方程無(wú)解，且一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則符合條件的所有m的值之和為（）A． B． C． D．題型4：無(wú)解問(wèn)題【典例15】．若關(guān)于的方程無(wú)解，那么的值是（

）A．4 B． C． D．3【典例16】．關(guān)于的分式方程無(wú)解，則的值是（

）A． B．0 C． D．【典例17】．若關(guān)于的方程無(wú)解,則的值為（

）A． B． C．或 D．或題型5：列分式方程【典例18】．學(xué)校舉辦以“強(qiáng)體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報(bào)名參加3千米比賽項(xiàng)目，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間訓(xùn)練后，比賽時(shí)小亮的平均速度提高到原來(lái)的1.2倍，少用3分鐘跑完全程，設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x千米／時(shí)，那么滿足的分式方程為（

）A． B．C． D．【典例19】．某運(yùn)輸公司需要裝運(yùn)一批貨物，由于機(jī)械設(shè)備沒(méi)有及時(shí)到位，只好先用人工裝運(yùn)，12h完成了一半任務(wù)；后來(lái)機(jī)械裝運(yùn)和人工裝運(yùn)同時(shí)進(jìn)行，2h完成了后一半任務(wù)．如果設(shè)單獨(dú)采用機(jī)械裝運(yùn)可以完成后一半任務(wù)，那么下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【典例20】．小王開(kāi)車回家從家到單位有兩條路可選擇，路線A全程25千米的普通道路，路線B包含快速通道，全程21千米，走路線B比走路線A平均速度提高，時(shí)間節(jié)省20分鐘，求走路線A和路線B的平均速度是多少？若設(shè)走路線A的平均速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．題型6：分式方程的實(shí)際應(yīng)用【典例21】．某學(xué)校為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育鍛煉，派王老師和李老師去購(gòu)買(mǎi)一些籃球和排球．回校后，王老師和李老師編寫(xiě)了一道題：

同學(xué)們，請(qǐng)求出籃球和排球的單價(jià)各是多少元？【典例22】．周末騎自行車去郊游成了新的時(shí)尚．某騎行社團(tuán)欲團(tuán)購(gòu)一批自行車，已知型自行車每輛的價(jià)格是型自行車每輛價(jià)格的倍，用元單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)比單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)少輛．求每輛型自行車的價(jià)格．甲同學(xué)所列的方程為；乙同學(xué)所列的方程為(1)甲同學(xué)所列方程中的表示__________，乙同學(xué)所列方程中的表示__________．(2)選擇甲同學(xué)或乙同學(xué)的方法解答這個(gè)問(wèn)題．【典例23】．為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠米，由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)同時(shí)開(kāi)工合作修建，直至完工．甲施工隊(duì)每天修建灌溉水渠米，乙施工隊(duì)修建米后，通過(guò)技術(shù)更新，每天比原來(lái)多修建，灌溉水渠完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建的長(zhǎng)度恰好相同．求乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠多少米．【典例24】．近年來(lái)，遼寧省以建設(shè)“口袋公園”為重點(diǎn)，有效利用城市的邊邊角角，為市民打造更多的綠地空間和休閑去處，某市政府準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種觀花樹(shù)苗，用來(lái)美化“口袋公園”，在購(gòu)買(mǎi)時(shí)發(fā)現(xiàn)，甲種樹(shù)苗的單價(jià)比乙種樹(shù)苗的單價(jià)高了，用1800元購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗的棵數(shù)比用1800元購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗的棵數(shù)少10棵．(1)求甲、乙兩種樹(shù)苗的單價(jià)各是多少元．(2)現(xiàn)需要購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗共120棵，且購(gòu)買(mǎi)的總費(fèi)用不超過(guò)元，至少需要購(gòu)買(mǎi)多少棵乙種樹(shù)苗？【典例25】．君子是我國(guó)古代對(duì)有德者的美稱，梅蘭竹菊俗稱四君子，因?yàn)樗鼈儾晃凤L(fēng)寒，像堂堂君子一樣，所以稱它們?yōu)樗木樱坊ㄑ┲衼?lái)，箭蘭幽谷藏，竹林風(fēng)中立，明菊飄淡香．為裝飾校園，某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)入一批《梅》《蘭》《竹》《菊》的國(guó)畫(huà)，已知《梅》和《菊》的價(jià)格相同，《蘭》和《竹》的價(jià)格相同，每幅《梅》比《蘭》貴15元，并且用1200元購(gòu)買(mǎi)《菊》和用900元購(gòu)買(mǎi)《竹》的數(shù)量相同．(1)求每幅《梅》《蘭》《竹》《菊》的價(jià)格分別為多少元；(2)該學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)《梅》和《蘭》共60幅，總費(fèi)用不超過(guò)3120元，那么該學(xué)校最多能購(gòu)買(mǎi)多少幅《梅》？【典例26】．通常把臟衣服用洗衣液清洗后會(huì)進(jìn)行擰干，但由于不可能擰凈衣服上的全部污水，所以還需要用清水進(jìn)行多次漂洗，不斷降低衣服中污水的含量．某小組研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分內(nèi)容如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整：實(shí)驗(yàn)研究：先準(zhǔn)備幾件相同的洗過(guò)一次并擰干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分別用一定量的清水浸泡，經(jīng)過(guò)充分搓洗，使清水與衣服上存留的污水混合均勻，然后擰干，視為一次漂洗，稱重、記錄每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，擰干到仍然存留1斤污水，則漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的，在多次實(shí)驗(yàn)后，通過(guò)對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，該小組決定使用20斤清水，采用三種不同的方案，對(duì)每件衣服分別進(jìn)行漂洗，并假設(shè)每次擰干后的衣服上都存留約1斤的污水．?dāng)?shù)據(jù)計(jì)算：對(duì)三種漂洗方案進(jìn)行計(jì)算、比較．方案一：采用一次漂洗的方式．將20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的________；方案二：采用兩次漂洗的方式，且兩次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的________；方案三：采用兩次漂洗的方式，且兩次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的________．實(shí)驗(yàn)結(jié)論：對(duì)比可知，在這三種方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．推廣證明：將臟衣服用洗衣液清洗后，再用清水進(jìn)行漂洗，假設(shè)每次擰干后還存留（）斤污水，現(xiàn)用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量為斤），請(qǐng)比較并證明方案二與方案三的漂洗效果．一、單選題1．是下列哪個(gè)方程的解（

）A． B． C． D．2．下列方程：①；②（為常數(shù)，且）；③；④；⑤．其中，分式方程有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．解分式方程分以下四步，其中錯(cuò)誤的一步是（

）A．方程兩邊分式的最簡(jiǎn)公分母是B．方程兩邊都乘以，得整式方程C．解這個(gè)整式方程，得D．原方程的解為4．下列說(shuō)法中，正確的是（

）.A．解分式方程一定會(huì)產(chǎn)生增根B．方程的根為2C．方程與方程的根相同D．代數(shù)式與的值不可能相等5．解方程時(shí)，小剛在去分母的過(guò)程中，右邊的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（

）A． B． C． D．6．為美化城市環(huán)境，計(jì)劃種植樹(shù)木10萬(wàn)棵，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植比原計(jì)劃多20%，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天種植樹(shù)木x萬(wàn)棵．可列方程是（

）A．+5＝ B．﹣＝5C．﹣＝5 D．﹣＝57．若關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．8．若關(guān)于x的方程無(wú)解，則a的值為（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或29．關(guān)于x的分式方程＝1的解是不小于﹣3的負(fù)數(shù)，則下列各數(shù)中，a可取的一組數(shù)是（）A．﹣1，1 B．5，6 C．2，3 D．1.5，410．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組無(wú)解，且使關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a的值之積為（

）A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2二、填空題11．方程的解是．12．若分式方程的解是，則．13．若與分式的值互為相反數(shù)，x的值為．14．分式方程若要化為整式方程，在方程兩邊同乘的最簡(jiǎn)公分母是．15．代數(shù)式與代數(shù)式的和為1，則．16．若方程的解與方程的解相同，則．17．某中學(xué)全體同學(xué)到距學(xué)校15千米的科技館參觀，一部分同學(xué)騎自行車先走40分鐘后，其余同學(xué)乘汽24．若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，求m的取值范圍．25．某村計(jì)劃對(duì)總長(zhǎng)為的道路進(jìn)行改造，安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成．已知甲隊(duì)每天能完成的道路長(zhǎng)度是乙隊(duì)每天能完成的2倍，并且在獨(dú)立完成長(zhǎng)為的道路時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用4天．(1)求甲、乙兩工程隊(duì)每天能完成道路的長(zhǎng)度分別是多少m？(2)若村委每天需付給甲隊(duì)的道路改造費(fèi)用為萬(wàn)元，乙隊(duì)為萬(wàn)元，要使這次的道路改造費(fèi)用不超過(guò)8萬(wàn)元，至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作多少天？26．觀察下列算式：、、(1)由此可推斷：_______；(2)請(qǐng)用含字母m（m為正整數(shù)）的等式表示（1）中的一般規(guī)律_______；(3)仿照以上方法可推斷：_______；(4)仿照以上方法解方程：．27．在計(jì)算的值時(shí)，大家可以利用裂項(xiàng)的思想方法，即請(qǐng)你利用裂項(xiàng)的思路解決下列問(wèn)題．(1)化簡(jiǎn)：(2)解分式方程：28．新定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)使得關(guān)于的分式方程的解是成立，那么我們就把實(shí)數(shù)組成的數(shù)對(duì)稱為關(guān)于的分式方程的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”．例如：使得關(guān)于的分式方程的解是成立，所以數(shù)對(duì)就是關(guān)于的分式方程的一個(gè)“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”．(1)判斷下列數(shù)對(duì)是否為關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”，若是，請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)內(nèi)打“√”.若不是，打“×”．①（

）；②（

）；③（

）；④（

）；(2)若數(shù)對(duì)是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”，求的值；(3)若數(shù)對(duì)（且，）是關(guān)于的分式方程的“關(guān)聯(lián)數(shù)對(duì)”，且關(guān)于的方程有整數(shù)解，求整數(shù)的值．第24講分式方程（六大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知道分式方程的概念．2、會(huì)解分式方程．3、掌握無(wú)解、增根等問(wèn)題．4、會(huì)解分式方程的實(shí)際應(yīng)用.一、分式方程、根與增根1.分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.2.分式方程的根、增根及檢驗(yàn)分式方程的解也叫作分式方程的根．在檢驗(yàn)時(shí)只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母中，如果它使最簡(jiǎn)公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個(gè)根；如果它使最簡(jiǎn)公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根．要點(diǎn)：（1）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（2）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.2.分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.三、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫(xiě)出答案.要點(diǎn)：1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這五5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫(xiě)出單位等．2、要掌握常見(jiàn)問(wèn)題中的基本關(guān)系，如行程問(wèn)題：速度=路程時(shí)間；工作量問(wèn)題：工作效率=工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．【即學(xué)即練1】解分式方程：【答案】【分析】本題考查了解分式方程，先化為整式方程，再解一元一次方程，然后對(duì)所求的方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)即可得．【解析】去分母得，解得檢驗(yàn)：將代入∴原方程的解為．【即學(xué)即練2】解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無(wú)解【分析】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是：（1）方程兩邊都乘，得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解析】（1）解：方程兩邊都乘，得，解這個(gè)方程，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根；（2）解：方程兩邊都乘，得．解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)是增根，原方程無(wú)解．【即學(xué)即練3】已知是分式方程的解，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了分式方程解的定義，分式方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把代入原方程求出的值即可．【解析】解：是分式方程的解，，解得：，故選：C．【即學(xué)即練4】若分式方程無(wú)解，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程的解確定參數(shù)，用含字母的代數(shù)表示出是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意求出方程無(wú)解時(shí)的值，代入得出的值．【解析】解：解：去分母得：，分式方程無(wú)解，則，故選：A．【即學(xué)即練5】若分式方程有增根，則k的值是（

）A． B．3 C．6 D．9【答案】D【分析】本題考查解分式方程，增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．本題的增根是，把增根代入化為整式方程的方程即可求出的值．【解析】解：方程兩邊都乘，得，增根為．故選：D．【即學(xué)即練6】若關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，則m的值是（

）A． B． C．2 D．0【答案】C【分析】本題主要考查分式方程有增根的情況下求參數(shù)，理解分式方程的增根情況是解題關(guān)鍵．先去分母化簡(jiǎn)，然后根據(jù)題意得出，將其代入方程求解即可．【解析】解：方程兩邊同乘以，得∵原方程有增根，∴，即，把代入，得，故選：B．【即學(xué)即練7】某市生態(tài)園計(jì)劃種植一批梨樹(shù)，原計(jì)劃總產(chǎn)量萬(wàn)公斤，現(xiàn)改換梨樹(shù)品種，改換后平均每畝產(chǎn)量是原來(lái)的倍，總產(chǎn)量比原計(jì)劃增加了萬(wàn)公斤，且種植畝數(shù)減少了畝，則原來(lái)平均每畝產(chǎn)量是多少萬(wàn)千克？若設(shè)原來(lái)平均每畝產(chǎn)量為萬(wàn)公斤，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，根據(jù)更換梨樹(shù)品種前后平均每畝產(chǎn)量間的關(guān)系，可得出改換梨樹(shù)品種后平均每畝產(chǎn)量為萬(wàn)公斤，利用種植畝數(shù)=總產(chǎn)量÷平均每畝產(chǎn)量，結(jié)合改換梨樹(shù)品種后種植畝數(shù)減少了10畝，可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解.【解析】解：∵改換梨樹(shù)品種后平均每畝產(chǎn)量是原來(lái)的1.5倍，且原來(lái)平均每畝產(chǎn)量為x萬(wàn)公斤，∴改換梨樹(shù)品種后平均每畝產(chǎn)量為萬(wàn)公斤.根據(jù)題意得：即：故選：B．題型1：分式方程【典例1】．下列方程不是分式方程的是（

）A． B． C．D．【答案】A【分析】本題考查分式的定義，解答的關(guān)鍵是熟知分式的定義：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．【解析】解：A、方程分母中含未知數(shù)x，故A是分式方程，不符合題意；B、方程分母中含未知數(shù)x，故B是分式方程，不符合題意；C、方程分母中不含未知數(shù)，故C不是分式方程，符合題意；D、方程分母中含未知數(shù)x，故D是分式方程，不符合題意；故選：C．【典例2】．給出下列關(guān)于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查分式方程的概念，根據(jù)分式方程概念對(duì)上述方程進(jìn)行判斷，即可解題．【解析】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知數(shù)x，是關(guān)于x的分式方程．故分式方程有1個(gè)，故選：A．【典例3】．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)未知數(shù)是的分式方程，并且當(dāng)時(shí)沒(méi)有意義．【答案】(答案不唯一)【分析】根據(jù)時(shí)沒(méi)有意義可知，當(dāng)時(shí)，分式的分母為0，根據(jù)條件進(jìn)行構(gòu)造即可．【解析】解：一個(gè)未知數(shù)是且當(dāng)時(shí)沒(méi)有意義的分式方程為答案不唯一．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的概念和方程有增根，掌握使分式方程的最簡(jiǎn)公分母的值為0的方程的根是增根，是解題的關(guān)鍵．【典例4】．（填“是”或“不是”）方程的解.【答案】是【分析】把代入方程的左邊，判斷等式是否仍然成立即可．【解析】解：把代入方程左邊，右邊左邊=右邊所以是方程的解故答案為：是【點(diǎn)睛】本題考查方程的解，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型2：解分式方程【典例5】．解方程：．【答案】【分析】本題考查了分式方程的求解，方程兩邊同時(shí)乘以，將分式方程化為整式方程，求解后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【解析】解：方程兩邊同時(shí)乘以得：，解得：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程的解為：．【典例6】．解方程：．【答案】【分析】本題考查分式方程的解法，方程兩邊乘得，解出方程的解并檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：原方程可化為，方程兩邊同乘，得，整理，得，解得．當(dāng)時(shí)，，∴是原分式方程的解．【典例7】．解分式方程(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查分式方程的解法；（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解析】（1）解：去分母得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．（2）解：去分母得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．【典例8】．解下列方程：(1)(2)【答案】(1)(2)無(wú)解【分析】本題考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的兩邊都乘以各分母的最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程求解，求出未知數(shù)的值后不要忘記檢驗(yàn)．（1）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗(yàn)根即可．（2）兩邊都乘以化為整式方程求解，然后驗(yàn)根即可．【解析】（1）方程兩邊乘，得，解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以原分式方程的解為．（2），方程兩邊乘，得，解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．因此不是原分式方程的解，所以原分式方程無(wú)解．【典例9】．解分式方程．【答案】【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)移項(xiàng)，去分母，展開(kāi)得到，系數(shù)化為1，最后檢驗(yàn)即可．【解析】解：原方程可變?yōu)椋茫?，∴，即，解得，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程的解為．【典例10】．解分式方程，去分母后得到的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了解分式方程，把方程兩邊同時(shí)乘以去分母即可得到答案．【解析】解：方程兩邊同時(shí)乘以去分母得，故選：B．【典例11】．若代數(shù)式和的值互為相反數(shù)，則x等于（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本題考查了相反數(shù)，分式方程的求解，根據(jù)相反數(shù)定義列式，根據(jù)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1的過(guò)程進(jìn)行求解即可．【解析】解：代數(shù)式和的值互為相反數(shù)，，去分母得：，去括號(hào)得：，合并同類項(xiàng)得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，故選：B．題型3：根據(jù)分式方程的解求值【典例12】．若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．且C． D．且【答案】C【分析】此題考查了利用分式方程的解求參數(shù)的取值范圍，正確求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先求出分式方程的解，根據(jù)關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，分式有意義的條件，可得且，進(jìn)而求解即可；【解析】解：，，，關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，且，即，且，且，故選：．【典例13】．如果關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值是（）A．1 B．4 C． D．【答案】D【分析】本題考查了根據(jù)分式方程有增根求參數(shù)問(wèn)題，根據(jù)分式方程有增根得，等式兩邊同時(shí)乘，得，再把代入得，進(jìn)而可求解，熟練掌握分式方程有增根時(shí)的值是解題的關(guān)鍵．【解析】解：分式方程有增根，，等式兩邊同時(shí)乘，得：，將代入得：，解得：，【典例14】．已知關(guān)于x的分式方程無(wú)解，且一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則符合條件的所有m的值之和為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】題目主要考查解分式方程及一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出或或，確定或或，再由一次函數(shù)的性質(zhì)得出，即可求解，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【解析】解：分式方程兩邊同時(shí)乘，得，整理，得．∵此分式方程無(wú)解，∴或或，∴或或．∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，∴，且，∴，∴或，∴滿足條件的m的值之和是．故選C．題型4：無(wú)解問(wèn)題【典例15】．若關(guān)于的方程無(wú)解，那么的值是（

）A．4 B． C． D．3【答案】D【分析】本題考查了分式方程根的情況，解題的關(guān)鍵是明確分式方程無(wú)解的條件：①去分母后的整式方程無(wú)解；②解出的根為增根．將分式方程化成整式方程，求出使最簡(jiǎn)公分母為0的x的值，代入整式方程或根據(jù)整式方程無(wú)解，進(jìn)行計(jì)算即可；【解析】解：將分式方程變?yōu)檎椒匠痰茫海淼茫海咴质椒匠虩o(wú)解，∴，∴，解得：．【典例16】．關(guān)于的分式方程無(wú)解，則的值是（

）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】此題考查了分式方程的解，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無(wú)解，得到，求出的值，代入整式方程計(jì)算即可求出的值；熟練掌握分式方程有增根則無(wú)解是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵分式方程無(wú)解，即分式方程有增根；∴，即；將代入整式方程得：，解得，故選：B．【典例17】．若關(guān)于的方程無(wú)解,則的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題考查解分式方程的解,分式方程無(wú)解即最簡(jiǎn)公分母為0．分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,由分式方程無(wú)解確定出的值,代入整式方程計(jì)算即可求出的值．【解析】解:∵無(wú)解,∴去分母得:,解得,∵當(dāng)時(shí),即,方程無(wú)解;∵由分式方程無(wú)解,得,解得:,∴把代入整式方程得:,解得:,∴方程無(wú)解則的值為或．故選:D．題型5：列分式方程【典例18】．學(xué)校舉辦以“強(qiáng)體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報(bào)名參加3千米比賽項(xiàng)目，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間訓(xùn)練后，比賽時(shí)小亮的平均速度提高到原來(lái)的1.2倍，少用3分鐘跑完全程，設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x千米／時(shí)，那么滿足的分式方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程．根據(jù)比賽時(shí)小亮的平均速度提高到原來(lái)的1.2倍，可得比賽時(shí)小亮平均速度為千米/時(shí)，根據(jù)比賽時(shí)所用時(shí)間比訓(xùn)練前少用3分鐘即小時(shí)，列出方程即可．【解析】解：∵比賽時(shí)小亮的平均速度提高到原來(lái)的1.2倍，小亮訓(xùn)練前的平均速度為x千米/時(shí)，∴比賽時(shí)小亮平均速度為千米/時(shí)，根據(jù)題意可得，故選：A．【典例19】．某運(yùn)輸公司需要裝運(yùn)一批貨物，由于機(jī)械設(shè)備沒(méi)有及時(shí)到位，只好先用人工裝運(yùn)，12h完成了一半任務(wù)；后來(lái)機(jī)械裝運(yùn)和人工裝運(yùn)同時(shí)進(jìn)行，2h完成了后一半任務(wù)．如果設(shè)單獨(dú)采用機(jī)械裝運(yùn)可以完成后一半任務(wù)，那么下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了列分式方程，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)單獨(dú)采用機(jī)械裝運(yùn)可以完成后一半任務(wù)，由題意列出分式方程即可求解．【解析】解：根據(jù)題意，得，化簡(jiǎn)得，故選：D．【典例20】．小王開(kāi)車回家從家到單位有兩條路可選擇，路線A全程25千米的普通道路，路線B包含快速通道，全程21千米，走路線B比走路線A平均速度提高，時(shí)間節(jié)省20分鐘，求走路線A和路線B的平均速度是多少？若設(shè)走路線A的平均速度為x千米/時(shí)，根據(jù)題意，可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，根據(jù)走兩條路線速度間的關(guān)系，可得出走路線B的平均速度為千米/時(shí)，利用時(shí)間路程速度，結(jié)合走“走路線B比路線A時(shí)間節(jié)省20分鐘”，即可得出關(guān)于x的分式方程，找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【解析】設(shè)走路線A的平均速度為千米/小時(shí)，則走路線B的平均速度為千米/時(shí)，由題意得：，故選：D．題型6：分式方程的實(shí)際應(yīng)用【典例21】．某學(xué)校為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育鍛煉，派王老師和李老師去購(gòu)買(mǎi)一些籃球和排球．回校后，王老師和李老師編寫(xiě)了一道題：

同學(xué)們，請(qǐng)求出籃球和排球的單價(jià)各是多少元？【答案】籃球的單價(jià)為元，排球的單價(jià)為元．【分析】設(shè)排球的單價(jià)為x元，則籃球的單價(jià)為元，根據(jù)“用元購(gòu)買(mǎi)的排球個(gè)和用元購(gòu)買(mǎi)的籃球個(gè)數(shù)相等”列方程，解方程并檢驗(yàn)即可．【解析】設(shè)排球的單價(jià)為x元，則籃球的單價(jià)為元，根據(jù)題意，列方程得：．解得：．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，當(dāng)時(shí)，．答：籃球的單價(jià)為元，排球的單價(jià)為元．【點(diǎn)睛】本題考查了列分式方程解決實(shí)際問(wèn)題，分式方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)排球和籃球的數(shù)量相等建立方程是解題的關(guān)鍵．【典例22】．周末騎自行車去郊游成了新的時(shí)尚．某騎行社團(tuán)欲團(tuán)購(gòu)一批自行車，已知型自行車每輛的價(jià)格是型自行車每輛價(jià)格的倍，用元單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)比單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)少輛．求每輛型自行車的價(jià)格．甲同學(xué)所列的方程為；乙同學(xué)所列的方程為(1)甲同學(xué)所列方程中的表示__________，乙同學(xué)所列方程中的表示__________．(2)選擇甲同學(xué)或乙同學(xué)的方法解答這個(gè)問(wèn)題．【答案】(1)型自行車單價(jià)是元；單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)是輛(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)方程中的等量關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)解分式方程的方法即可求解．【解析】（1）解：∵用元單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)比單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)少輛，∴甲同學(xué)所列的方程為，∴表示型自行車單價(jià)是元，∵型自行車每輛的價(jià)格是型自行車每輛價(jià)格的倍，∴乙同學(xué)所列的方程為，∴表示用元單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)是輛，故答案為：型自行車單價(jià)是元；單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)是輛．（2）解：若選擇甲同學(xué)的：，化簡(jiǎn)得：，去分母得：，解得，，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，原分式方程有意義，且符合題意，∴每輛型自行車的價(jià)格是元；若選擇乙同學(xué)的：，化簡(jiǎn)得：，去分母得：，解得，，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，原分式方程有意義，且符合題意，∴單獨(dú)購(gòu)買(mǎi)型自行車的輛數(shù)是輛，∴，∴每輛型自行車的價(jià)格是元．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程與實(shí)際問(wèn)題的綜合，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，掌握分式方程的運(yùn)用，解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．【典例23】．為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠米，由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)同時(shí)開(kāi)工合作修建，直至完工．甲施工隊(duì)每天修建灌溉水渠米，乙施工隊(duì)修建米后，通過(guò)技術(shù)更新，每天比原來(lái)多修建，灌溉水渠完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建的長(zhǎng)度恰好相同．求乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠多少米．【答案】米【分析】設(shè)乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠米，則技術(shù)更新后每天修建水渠米，根據(jù)題意，列出方程，解出方程，即可．【解析】解：設(shè)乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠米，則技術(shù)更新后每天修建水渠米，（米），由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意，答：乙施工隊(duì)原來(lái)每天修建灌溉水渠米．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的運(yùn)用．【典例24】．近年來(lái)，遼寧省以建設(shè)“口袋公園”為重點(diǎn)，有效利用城市的邊邊角角，為市民打造更多的綠地空間和休閑去處，某市政府準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種觀花樹(shù)苗，用來(lái)美化“口袋公園”，在購(gòu)買(mǎi)時(shí)發(fā)現(xiàn)，甲種樹(shù)苗的單價(jià)比乙種樹(shù)苗的單價(jià)高了，用1800元購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗的棵數(shù)比用1800元購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗的棵數(shù)少10棵．(1)求甲、乙兩種樹(shù)苗的單價(jià)各是多少元．(2)現(xiàn)需要購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗共120棵，且購(gòu)買(mǎi)的總費(fèi)用不超過(guò)元，至少需要購(gòu)買(mǎi)多少棵乙種樹(shù)苗？【答案】(1)甲樹(shù)苗的單價(jià)是元，乙樹(shù)苗的單價(jià)是元(2)至少需要購(gòu)買(mǎi)棵乙樹(shù)苗【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用；（1）設(shè)乙樹(shù)苗的單價(jià)是元，則甲樹(shù)苗的單價(jià)是元，由題意：用元購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗的棵數(shù)比用元購(gòu)買(mǎi)乙樹(shù)苗的棵數(shù)少棵．列出分式方程，解方程即可；（2）設(shè)需要購(gòu)買(mǎi)棵乙樹(shù)苗，則購(gòu)買(mǎi)棵甲樹(shù)苗，由題意：購(gòu)買(mǎi)的總費(fèi)用不超過(guò)元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【解析】（1）設(shè)乙樹(shù)苗的單價(jià)是元，則甲樹(shù)苗的單價(jià)是元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：甲樹(shù)苗的單價(jià)是元，乙樹(shù)苗的單價(jià)是元；（2）設(shè)需要購(gòu)買(mǎi)棵乙樹(shù)苗，則購(gòu)買(mǎi)棵甲樹(shù)苗，由題意得：，解得：，答：至少需要購(gòu)買(mǎi)棵乙樹(shù)苗．【典例25】．君子是我國(guó)古代對(duì)有德者的美稱，梅蘭竹菊俗稱四君子，因?yàn)樗鼈儾晃凤L(fēng)寒，像堂堂君子一樣，所以稱它們?yōu)樗木樱坊ㄑ┲衼?lái)，箭蘭幽谷藏，竹林風(fēng)中立，明菊飄淡香．為裝飾校園，某學(xué)校計(jì)劃購(gòu)入一批《梅》《蘭》《竹》《菊》的國(guó)畫(huà)，已知《梅》和《菊》的價(jià)格相同，《蘭》和《竹》的價(jià)格相同，每幅《梅》比《蘭》貴15元，并且用1200元購(gòu)買(mǎi)《菊》和用900元購(gòu)買(mǎi)《竹》的數(shù)量相同．(1)求每幅《梅》《蘭》《竹》《菊》的價(jià)格分別為多少元；(2)該學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)《梅》和《蘭》共60幅，總費(fèi)用不超過(guò)3120元，那么該學(xué)校最多能購(gòu)買(mǎi)多少幅《梅》？【答案】(1)《梅》《菊》的價(jià)格為60元每幅，《竹》《蘭》的價(jià)格為45元每幅(2)最多能購(gòu)買(mǎi)28幅《梅》【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)《梅》的價(jià)格為元，根據(jù)每幅《梅》比《蘭》貴15元，并且用1200元購(gòu)買(mǎi)《菊》和用900元購(gòu)買(mǎi)《竹》的數(shù)量相同，列出分式方程即可；（2）設(shè)《梅》購(gòu)買(mǎi)幅，《蘭》購(gòu)買(mǎi)幅，根據(jù)總費(fèi)用不超過(guò)3120元，列出不等式進(jìn)行求解即可．【解析】（1）設(shè)《梅》的價(jià)格為元，則：《蘭》的價(jià)格為元由題意，得：解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，∴，∴《梅》《菊》的價(jià)格為60元每幅，《竹》《蘭》的價(jià)格為45元每幅．（2）設(shè)《梅》購(gòu)買(mǎi)幅，《蘭》購(gòu)買(mǎi)幅，，；∴最多能購(gòu)買(mǎi)28幅《梅》．【典例26】．通常把臟衣服用洗衣液清洗后會(huì)進(jìn)行擰干，但由于不可能擰凈衣服上的全部污水，所以還需要用清水進(jìn)行多次漂洗，不斷降低衣服中污水的含量．某小組研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分內(nèi)容如下，請(qǐng)補(bǔ)充完整：實(shí)驗(yàn)研究：先準(zhǔn)備幾件相同的洗過(guò)一次并擰干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分別用一定量的清水浸泡，經(jīng)過(guò)充分搓洗，使清水與衣服上存留的污水混合均勻，然后擰干，視為一次漂洗，稱重、記錄每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，擰干到仍然存留1斤污水，則漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的，在多次實(shí)驗(yàn)后，通過(guò)對(duì)收集的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，該小組決定使用20斤清水，采用三種不同的方案，對(duì)每件衣服分別進(jìn)行漂洗，并假設(shè)每次擰干后的衣服上都存留約1斤的污水．?dāng)?shù)據(jù)計(jì)算：對(duì)三種漂洗方案進(jìn)行計(jì)算、比較．方案一：采用一次漂洗的方式．將20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的________；方案二：采用兩次漂洗的方式，且兩次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的________；方案三：采用兩次漂洗的方式，且兩次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的________．實(shí)驗(yàn)結(jié)論：對(duì)比可知，在這三種方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．推廣證明：將臟衣服用洗衣液清洗后，再用清水進(jìn)行漂洗，假設(shè)每次擰干后還存留（）斤污水，現(xiàn)用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量為斤），請(qǐng)比較并證明方案二與方案三的漂洗效果．【答案】方案一：；方案二：；方案三：；實(shí)驗(yàn)結(jié)論：三；推廣證明：見(jiàn)解析【分析】本題考查分式的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列式等．?dāng)?shù)據(jù)計(jì)算∶分別計(jì)算出三種方案漂洗后衣服中存有的污物與原來(lái)的污物關(guān)系即可解答；實(shí)驗(yàn)結(jié)論∶比較數(shù)據(jù)計(jì)算得出的數(shù)據(jù)，即可作出判斷；推廣證明∶先用字母表示出三種方案漂洗后衣服中存有的污物與原來(lái)污物間的關(guān)系，再利用求差法比較即可解決問(wèn)題．【解析】解：根據(jù)題意可知：方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的；方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的；方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的．∵，∴方案三的漂洗效果最好，故答案為：；；；三；推廣證明理由如下：方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的；方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的；方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原來(lái)的，∵，∴方案三比方案一漂洗效果好；∵，當(dāng)時(shí)，，∴方案三比方案二效果好，綜上所述：方案三漂洗效果最好．一、單選題1．是下列哪個(gè)方程的解（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題可把x=1的值，代入選項(xiàng)中，看選項(xiàng)左右邊的值是否相等，若相等，則x=-1是方程的解．【解析】解：A、當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0，分式無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)x=1時(shí)，x-1=0，分式無(wú)意義，故本選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)x=1時(shí)，左邊，右邊，則左邊右邊，故本選項(xiàng)符合題意；D、當(dāng)x=1時(shí)，左邊=右邊，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解，可將x的值代入方程，然后觀察方程的值是否左邊=右邊．2．下列方程：①；②（為常數(shù)，且）；③；④；⑤．其中，分式方程有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義對(duì)各小題進(jìn)行逐一分析即可．【解析】①分母中含未知數(shù)，是分式方程；②（為常數(shù)，且）分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；③分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；④分母中含未知數(shù)，是分式方程；⑤分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；綜上，①④是分式方程，共有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)，注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母．3．解分式方程分以下四步，其中錯(cuò)誤的一步是（

）A．方程兩邊分式的最簡(jiǎn)公分母是B．方程兩邊都乘以，得整式方程C．解這個(gè)整式方程，得D．原方程的解為【答案】D【分析】分式方程兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解析】解：分式方程的最簡(jiǎn)公分母為（x?1）（x＋1），方程兩邊乘以（x?1）（x＋1），得整式方程2（x?1）＋3（x＋1）＝6，解得：x＝1，經(jīng)檢驗(yàn)x＝1是增根，分式方程無(wú)解．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．4．下列說(shuō)法中，正確的是（

）.A．解分式方程一定會(huì)產(chǎn)生增根B．方程的根為2C．方程與方程的根相同D．代數(shù)式與的值不可能相等【答案】D【分析】根據(jù)分式方程的解的定義、增根的概念進(jìn)行判斷即可．【解析】A.整式方程的解不一定都會(huì)使分式方程的分母為0，如：的解為x=3，但x=3不是增根，所以分式方程不一定有增根，錯(cuò)誤；B.方程的根為2，分母為0，所以是增根，原方程無(wú)解，錯(cuò)誤；C.方程|x|=1的解為x=±1，方程的解為x=1，值不相同，錯(cuò)誤；D.令，解得x=－3(為增根)，原方程無(wú)解，故值不可能相等，正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程及分式方程的解、增根的定義，熟練掌握分式方程的解法及解、增根的定義是解題的關(guān)鍵.5．解方程時(shí)，小剛在去分母的過(guò)程中，右邊的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先按此方法去分母，再將x=-2代入方程，求得a的值，然后把a(bǔ)的值代入原方程并解方程．【解析】解：把x=2代入方程2（2x-1）=3（x+a）-1中得：6=6+3a-1，解得：a=，正確去分母結(jié)果為2（2x-1）=3（x+）-6，去括號(hào)得：4x-2=3x+1-6，解得：x=-3．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解的定義以及解一元一次方程．使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右兩邊相等．6．為美化城市環(huán)境，計(jì)劃種植樹(shù)木10萬(wàn)棵，由于志愿者的加入，實(shí)際每天種植比原計(jì)劃多20%，結(jié)果提前5天完成任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天種植樹(shù)木x萬(wàn)棵．可列方程是（

）A．+5＝ B．﹣＝5C．﹣＝5 D．﹣＝5【答案】A【分析】設(shè)原計(jì)劃每天種植樹(shù)木x萬(wàn)棵，則實(shí)際每天種植樹(shù)木（1+20%）x萬(wàn)棵，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率，結(jié)合實(shí)際比原計(jì)劃提前5天完成任務(wù)，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解析】解：設(shè)原計(jì)劃每天種植樹(shù)木x萬(wàn)棵，則實(shí)際每天種植樹(shù)木（1+20%）x萬(wàn)棵，依題意得：-＝5，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．7．若關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【分析】先通過(guò)去分母把分式方程化為整式方程，再把增根代入整式方程，求出參數(shù)m，即可．【解析】解：把原方程去分母得：，∵原分式方程有增根：x=1，∴，即：m=1，【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程增根的意義，理解使分式方程的分母為零的根，是分式方程的增根，是解題的關(guān)鍵．8．若關(guān)于x的方程無(wú)解，則a的值為（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或2【答案】A【分析】分式方程無(wú)解的條件是：去分母后所得整式方程無(wú)解，或解這個(gè)整式方程得到的解恰好使原分式方程的分母等于0．【解析】方程去分母得解得由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)，即時(shí)，整式方程無(wú)解，分式方程無(wú)解（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分母為0，分式方程無(wú)解，即解得綜上，a的值為1或2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無(wú)解問(wèn)題，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．9．關(guān)于x的分式方程＝1的解是不小于﹣3的負(fù)數(shù)，則下列各數(shù)中，a可取的一組數(shù)是（）A．﹣1，1 B．5，6 C．2，3 D．1.5，4【答案】D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出整式方程的解，根據(jù)分式方程解為不小于﹣3的負(fù)數(shù)列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可確定出a的范圍．【解析】解：分式方程去分母得：x+1＝2x+a，即x＝1﹣a，根據(jù)分式方程解為不小于﹣3的負(fù)數(shù)，得到，且1﹣a≠﹣1，解得且a≠2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程解的情況求分式方程中參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是解出方程，表達(dá)出關(guān)于a的不等式．10．若數(shù)a使關(guān)于x的不等式組無(wú)解，且使關(guān)于x的分式方程有正整數(shù)解，則滿足條件的整數(shù)a的值之積為（

）A．28 B．﹣4 C．4 D．﹣2【答案】C【解析】解：不等式組整理得：，由不等式組無(wú)解，得到3a﹣2≤a+2，解得：a≤2，分式方程去分母得：ax+5=﹣3x+15，即（a+3）x=10，由分式方程有正整數(shù)解，得到x=且x≠5，即a+3=1，5，10，解得：a=﹣2，2，7．綜上，滿足條件a的為﹣2，2，之積為﹣4，【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．二、填空題11．方程的解是．【答案】【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解析】解：去分母得：，移項(xiàng)合并得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴分式方程的解為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．12．若分式方程的解是，則．【答案】7【分析】根據(jù)分式方程的解的定義把x＝0代入分式方程得到關(guān)于a的方程，然后解一元一次方程即可．【解析】解：把x＝0代入分式方程得，∴a＝7．故答案為7．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解：使分式方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫分式方程的解．13．若與分式的值互為相反數(shù)，x的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得=0，故可求出x．【解析】根據(jù)題意可得=0，∴x2=16解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式方程的求解，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)列出方程．14．分式方程若要化為整式方程，在方程兩邊同乘的最簡(jiǎn)公分母是．【答案】【分析】取所有分母的系數(shù)的最小公倍數(shù)及不同因式的最高次冪的乘積最為最簡(jiǎn)公分母．【解析】解：在方程兩邊同乘的最筒公分母是，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查分式的最簡(jiǎn)公分母的確定方法：取所有分母的系數(shù)的最小公倍數(shù)及不同因式的最高次冪的乘積，熟記確定方法是解題的關(guān)鍵．15．代數(shù)式與代數(shù)式的和為1，則．【答案】1【分析】根據(jù)題意得到，然后根據(jù)分式方程的解法求出x的值，再檢驗(yàn)方程的根即可．【解析】解：∵代數(shù)式與代數(shù)式的和為1，∴，去分母得,，去括號(hào)得,，移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)得,，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴,故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解法，理解去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)、未知數(shù)系數(shù)化1，檢驗(yàn)方程的根是解答關(guān)鍵．16．若方程的解與方程的解相同，則．【答案】【分析】求出第二個(gè)分式方程的解，代入第一個(gè)方程中計(jì)算即可求出a的值．【解析】解：方程去分母得：3x＝6，解得：x＝2，經(jīng)檢驗(yàn)x＝2是分式方程的解，根據(jù)題意將x＝2代入第一個(gè)方程得：解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．17．某中學(xué)全體同學(xué)到距學(xué)校15千米的科技館參觀，一部分同學(xué)騎自行車先走40分鐘后，其余同學(xué)乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)科技館，已知汽車的速度是自行車速度的3倍，求汽車的速度，設(shè)汽車的速度是x千米/小時(shí)，根據(jù)題意列方程．【答案】【分析】根據(jù)汽車的速度是x千米/小時(shí)，則自行車的速度是，根據(jù)題意，自行車比汽車多走40分鐘列方程即可．【解析】解：根據(jù)題意得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程得應(yīng)用，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．18．已知，，，……，（，且n為正整數(shù)）．若，則a的值為．【答案】13【分析】分別用a表示出再根據(jù)列出方程，求出a的值并檢驗(yàn)即可．【解析】解：∵，∴；∵，∴∴解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的運(yùn)算以及解分式方程，用a表示出是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題19．解分式方程(1)；(2)．【答案】(1)；(2)分式方程無(wú)解．【分析】本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．（）按照解分式方程的步驟解答即可求解；（）按照解分式方程的步驟解答即可求解；【解析】（1）解：方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母得，，解得，檢驗(yàn)：把代入最簡(jiǎn)公分母得，，∴是分式方程的解；（2）解：方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母得，，解得x=1，檢驗(yàn)：把x=1代入最簡(jiǎn)公分母得，，∴x=1不是原分式方程的解，∴原分式方程無(wú)解．20．解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)原方程無(wú)解(2)【分析】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解析】（1）解：方程兩邊同時(shí)乘以得：，整理得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，則是增根，∴原方程無(wú)解；（2）解：，方程兩邊同時(shí)乘以得：，整理得：，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴原方程的解為．21．解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【分析】根據(jù)分式方程的求解方法，先去分母化成整式方程計(jì)算即可；【解析】（1）兩邊同時(shí)乘以得，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：，∴是分式方程的解；（2）兩邊同時(shí)乘以得，，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：，∴是分式方程的解；（3）兩邊同時(shí)乘以得，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：，∴是分式方程的解；（4）