(人教A版數(shù)學(xué)必修一講義)第4章第03講4.3對(duì)數(shù)(4.3.1對(duì)數(shù)的概念+4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算)(知識(shí)清單+8類(lèi)熱點(diǎn)題型講練+分層強(qiáng)化訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

第03講4.3對(duì)數(shù)（4.3.1對(duì)數(shù)的概念+4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解對(duì)數(shù)的概念、掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)。②掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)運(yùn)算。③理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式，能熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。④能利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解方程及與指、冪函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題的解決。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握對(duì)數(shù)的概念及對(duì)數(shù)條件，熟練掌握指對(duì)數(shù)形式的互化，準(zhǔn)確利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行對(duì)數(shù)式子的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，會(huì)解決與對(duì)數(shù)相關(guān)的綜合問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念：一般地,如果(,且),那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù),記作,其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),叫做真數(shù).特別的：規(guī)定,且的原因：①當(dāng)時(shí)，取某些值時(shí)，的值不存在，如：是不存在的.②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值不存在，如：是不成立的；當(dāng)時(shí)，則的取值時(shí)任意的，不是唯一的.③當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則的值不存在；當(dāng)時(shí)，則的取值時(shí)任意的，不是唯一的.【即學(xué)即練1】（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．2、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)①常用對(duì)數(shù)：將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),并把記為②自然對(duì)數(shù)：是一個(gè)重要的常數(shù),是無(wú)理數(shù),它的近似值為2.71828.把以為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù),并把記作說(shuō)明：“”同+、-、×等符號(hào)一樣,表示一種運(yùn)算,即已知一個(gè)底數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算,這種運(yùn)算叫對(duì)數(shù)運(yùn)算,不過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)寫(xiě)在數(shù)的前面.知識(shí)點(diǎn)02：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化當(dāng)且，知識(shí)點(diǎn)03：對(duì)數(shù)的性質(zhì)①負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).②對(duì)于任意的且,都有，，；③對(duì)數(shù)恒等式:（且）【即學(xué)即練2】（2024高二上·福建·學(xué)業(yè)考試）若，，則等于（

）A． B． C． D．知識(shí)點(diǎn)04：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)且，,①②③（）④（）⑤（）【即學(xué)即練3】（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）.知識(shí)點(diǎn)05：對(duì)數(shù)的換底公式換底公式：（且，，，且）特別的：【即學(xué)即練4】（23-24高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）題型01對(duì)數(shù)概念判斷與求值【典例1】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【典例2】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若有意義，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【典例3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則x的值為.【變式1】（23-24高一上·福建福州·期中）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一上·上海浦東新·期中）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則．題型02指數(shù)式與對(duì)數(shù)式相互轉(zhuǎn)換【典例1】（23-24高一上·福建廈門(mén)·期末）已知，則（

）A．2 B． C．3 D．4【典例2】（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）將化成指數(shù)式可表示為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）將下列指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化.(1)；(2)；(3)；(4).【變式1】（23-24高一上·廣西河池·期末）若，則的值為（

）A．2 B．3 C．5 D．8【變式2】（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知，，則．【變式3】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)式改寫(xiě)為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．題型03對(duì)數(shù)的運(yùn)算【典例1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）.【典例2】（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2).【典例3】（23-24高一上·廣東中山·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值；(1)；(2)【變式1】（23-24高一上·廣東茂名·期中）計(jì)算：.【變式2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）求值：(1)；(2)．【變式3】（23-24高一上·安徽·期末）計(jì)算：(1)；(2).題型04對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足且，則（

）A． B．12 C． D．【典例2】（23-24高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）已知，則.（用含的式子表示）【典例3】（23-24高一上·青海海東·階段練習(xí)）（1）求值：；（2）設(shè)，，試用，表示.【變式1】（23-24高一下·陜西安康·階段練習(xí)）若，則等于（

）A． B．6 C． D．3【變式2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：＝．（2）化簡(jiǎn)：＝．（3）設(shè)，且，則等于【變式3】（24-25高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）已知，（且），用含有的代數(shù)式表示.題型05換底公式的應(yīng)用【典例1】（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）若，，則（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【典例2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若，，則.【典例3】（23-24高一上·黑龍江雞西·期末）計(jì)算下列各式的值：(1)(2)【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則．【變式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，則.【變式3】（23-24高一上·山東·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：．（2）已知，用表示．題型06對(duì)數(shù)方程求解【典例1】（2024·內(nèi)蒙古·三模）若，則.【典例2】（23-24高一上·河北保定·階段練習(xí)）從以下三題中任選兩題作答．(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)求方程的解集．【變式1】（23-24高一上·江西贛州·階段練習(xí)）方程：的解是.【變式2】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·期末）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．題型07有附加條件的對(duì)數(shù)求值問(wèn)題【典例1】（2024·遼寧丹東·一模）若，，，則（

）A． B． C． D．1【典例2】（多選）（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）已知，則實(shí)數(shù)滿(mǎn)足（

）A．B． C． D．【變式1】（23-24高一下·云南昆明·期中）若，則.【變式2】（22-23高一下·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）已知，則．題型08對(duì)數(shù)的實(shí)際運(yùn)用【典例1】（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）某海島核污水中含有多種放射性物質(zhì)，其中放射性物質(zhì)含量非常高，它可以進(jìn)入生物體內(nèi)，還可以在體內(nèi)停留，并引起基因突變，但卻難以被清除.現(xiàn)已知的質(zhì)量隨時(shí)間（年）的指數(shù)衰減規(guī)律是:（其中為的初始質(zhì)量）.則當(dāng)?shù)馁|(zhì)量衰減為最初的時(shí)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù):A．300年 B．100年 C．255年 D．125年【典例2】（多選）（23-24高一下·安徽銅陵·期中）放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間叫做半衰期．有一種放射性物質(zhì)，現(xiàn)在的質(zhì)量為500g，按每年的比率衰減，則（

）參考數(shù)據(jù)：，．A．10年后這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量為9年后這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量的0.1倍B．2年后，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量與現(xiàn)在相比減少了405gC．t年后，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量為gD．這種放射性物質(zhì)的半衰期約為7.5年【典例3】（23-24高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）國(guó)家主席習(xí)近平在十九大報(bào)告中指出，堅(jiān)持人與自然和諧共生．必須樹(shù)立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，堅(jiān)持節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境的基本國(guó)策．某林區(qū)一片森林2019年底的木材總量為a萬(wàn)立方米，由于環(huán)境保護(hù)，樹(shù)木的木材總量每年在上一年的基礎(chǔ)上增加15%，則至少經(jīng)過(guò)年，使得木材總盤(pán)翻兩番．（參考數(shù)據(jù)：，，）【變式1】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是大小的特殊的幾何圖形，即441個(gè)點(diǎn).根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則，一共有種不同的碼，假設(shè)我們1萬(wàn)年用掉個(gè)二維碼，那么所有二維碼大約可以用（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．萬(wàn)年 B．萬(wàn)年 C．萬(wàn)年 D．萬(wàn)年【變式2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車(chē)，及以上認(rèn)定為醉酒駕車(chē)．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（

）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3】（2024·北京昌平·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來(lái)近似地刻畫(huà)茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（江蘇省鹽城市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題）若，，則用，表示（

）A． B． C． D．2．（2024·河南開(kāi)封·三模）已知，則（

）A．log26－log23＝log23 B．log26－log23＝1C．log39＝2 D．log3(－4)2＝2log3(－4)三、填空題11．（2024·全國(guó)·高考真題）已知且，則．12．（23-24高二下·上?！て谀┮阎?，則的最大值為.四、解答題13．（24-25高一上·上海·假期作業(yè)）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4).14．（22-23高一上·新疆喀什·期末）求值：(1)；(2).(3)B能力提升1．（23-24高二下·江蘇徐州·期末）我們通常用里氏震級(jí)來(lái)標(biāo)定地震規(guī)模的大小，里氏震級(jí)與震源中心釋放的能量有關(guān)，二者滿(mǎn)足關(guān)系式2008年5月12日，四川汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震，2024年6月12日，四川甘孜州石渠縣發(fā)生里氏4.7級(jí)地震，則里氏8.0級(jí)地震釋放的能量是里氏4.7級(jí)地震釋放的能量的（

）A．1.7倍 B．4.95倍 C．倍 D．倍2．（23-24高二下·浙江寧波·期中）已知，，，且滿(mǎn)足，則的最大值為.3．（23-24高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）求下列各式的值.(1)(2)已知試用表示第03講4.3對(duì)數(shù)（4.3.1對(duì)數(shù)的概念+4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解對(duì)數(shù)的概念、掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)。②掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)運(yùn)算。③理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式，能熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值。④能利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行解方程及與指、冪函數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題的解決。通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求掌握對(duì)數(shù)的概念及對(duì)數(shù)條件，熟練掌握指對(duì)數(shù)形式的互化，準(zhǔn)確利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行對(duì)數(shù)式子的化簡(jiǎn)與運(yùn)算，會(huì)解決與對(duì)數(shù)相關(guān)的綜合問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)01：對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念：一般地,如果(,且),那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù),記作,其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),叫做真數(shù).特別的：規(guī)定,且的原因：①當(dāng)時(shí)，取某些值時(shí)，的值不存在，如：是不存在的.②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值不存在，如：是不成立的；當(dāng)時(shí)，則的取值時(shí)任意的，不是唯一的.③當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則的值不存在；當(dāng)時(shí)，則的取值時(shí)任意的，不是唯一的.【即學(xué)即練1】（2024高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】由對(duì)數(shù)的定義，真數(shù)大于，底數(shù)大于且不等于，得到關(guān)于的不等式組，求解不等式即可.【詳解】由對(duì)數(shù)的定義可知，解得，且，故選：B．2、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)①常用對(duì)數(shù)：將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),并把記為②自然對(duì)數(shù)：是一個(gè)重要的常數(shù),是無(wú)理數(shù),它的近似值為2.71828.把以為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù),并把記作說(shuō)明：“”同+、-、×等符號(hào)一樣,表示一種運(yùn)算,即已知一個(gè)底數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算,這種運(yùn)算叫對(duì)數(shù)運(yùn)算,不過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)寫(xiě)在數(shù)的前面.知識(shí)點(diǎn)02：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化當(dāng)且，知識(shí)點(diǎn)03：對(duì)數(shù)的性質(zhì)①負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).②對(duì)于任意的且,都有，，；③對(duì)數(shù)恒等式:（且）【即學(xué)即練2】（2024高二上·福建·學(xué)業(yè)考試）若，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，所?故選：D知識(shí)點(diǎn)04：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)且，,①②③（）④（）⑤（）【即學(xué)即練3】（23-24高二下·北京·階段練習(xí)）.【答案】6【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可求解.【詳解】.故答案為：6知識(shí)點(diǎn)05：對(duì)數(shù)的換底公式換底公式：（且，，，且）特別的：【即學(xué)即練4】（23-24高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）【答案】【分析】根據(jù)題意，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，以及對(duì)函數(shù)的換底公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由.故答案為：.題型01對(duì)數(shù)概念判斷與求值【典例1】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·階段練習(xí)）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)數(shù)式的定義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由式子有意義，則滿(mǎn)足，解得且.故選：C.【典例2】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）若有意義，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.【答案】【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)建立不等關(guān)系，即可求解.【詳解】若有意義，則滿(mǎn)足，解得.故答案為：【典例3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則x的值為.【答案】1【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)，列出式子，求解即可.【詳解】由對(duì)數(shù)的性質(zhì)，可得，解得.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.【變式1】（23-24高一上·福建福州·期中）使式子有意義的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的意義建立不等式組求解即可.【詳解】要使式子有意義，則，即，解得或，所以x的取值范圍是.故選：D【變式2】（23-24高一上·上海浦東新·期中）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】由題得，解出即可.【詳解】根據(jù)真數(shù)大于0得，解得，故答案為：.【變式3】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則．【答案】0【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，列式求的值.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，知，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，，不符合題意，時(shí)，，符合題意．故．故答案為：題型02指數(shù)式與對(duì)數(shù)式相互轉(zhuǎn)換【典例1】（23-24高一上·福建廈門(mén)·期末）已知，則（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算分析求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，且，解?故選：B.【典例2】（23-24高一上·新疆烏魯木齊·期末）將化成指數(shù)式可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式的含義，將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式.【詳解】把對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式，為．故選：A．【典例3】（2023高一上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）將下列指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化.(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析(3)答案見(jiàn)解析(4)答案見(jiàn)解析【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)互化的公式即可得到答案.【詳解】（1）由，得；（2）由，得；（3）由，得；（4）由，得.【變式1】（23-24高一上·廣西河池·期末）若，則的值為（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】D【分析】根據(jù)給定的等式，求出即可計(jì)算得解.【詳解】由，得，解得，由，得，解得，所以.故選：D【變式2】（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知，，則．【答案】/【分析】由得到，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，故答案為：【變?】（22-23高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）將下列對(duì)數(shù)式改寫(xiě)為指數(shù)式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則即可將（1）~（4）化為相對(duì)應(yīng)的指數(shù)式.【詳解】（1）由可得；（2）由可得；（3）由可得；（4）由可得題型03對(duì)數(shù)的運(yùn)算【典例1】（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）.【答案】【分析】根據(jù)條件，利用指對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，故答案為?【典例2】（23-24高一下·山西大同·階段練習(xí)）化簡(jiǎn)下列各式：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）、（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】（1）原式.（2）原式.【典例3】（23-24高一上·廣東中山·階段練習(xí)）計(jì)算下列各式的值；(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，逐步計(jì)算，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）.（2）【變式1】（23-24高一上·廣東茂名·期中）計(jì)算：.【答案】1【分析】利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】解：.故答案為：.【變式2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）求值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)0【分析】（1）利用換底公式即可求值；（2）利用指數(shù)運(yùn)算，對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可．【詳解】（1）原式.（2）.【變式3】（23-24高一上·安徽·期末）計(jì)算：(1)；(2).【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用指數(shù)運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)換底公式計(jì)算即得.（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、對(duì)數(shù)換底公式計(jì)算即得.【詳解】（1）.（2）.題型04對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，，滿(mǎn)足且，則（

）A． B．12 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的互化可得，，代入，即可計(jì)算得到的值.【詳解】因?yàn)榍遥字?，所以，，所以，，所以，則.故選：D．【典例2】（23-24高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）已知，則.（用含的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系得到，再由換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故答案為：【典例3】（23-24高一上·青海海東·階段練習(xí)）（1）求值：；（2）設(shè)，，試用，表示.【答案】（1）101；（2）．【分析】（1）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（2）利用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】（1）.（2）.【變式1】（23-24高一下·陜西安康·階段練習(xí)）若，則等于（

）A． B．6 C． D．3【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及指對(duì)數(shù)互化可得，進(jìn)而即得.【詳解】由，可得，即，所以.故選：C【變式2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）（1）化簡(jiǎn)：＝．（2）化簡(jiǎn)：＝．（3）設(shè)，且，則等于【答案】12【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解，（2）根據(jù)指數(shù)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解，（3）根據(jù)指對(duì)互化即可結(jié)合換底公式求解.【詳解】（1）原式＝（2）（3）由得，∴．∴，，故．故答案為：1，2，【變式3】（24-25高一上·上海·假期作業(yè)）已知，（且），用含有的代數(shù)式表示.【答案】【分析】由證明，即可得到答案.【詳解】.故.題型05換底公式的應(yīng)用【典例1】（2024·青海·模擬預(yù)測(cè)）若，，則（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】A【分析】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.【詳解】由，所以故選：A【典例2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）若，，則.【答案】1【分析】利用換底公式可得，，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以，，因此?故答案為：1【典例3】（23-24高一上·黑龍江雞西·期末）計(jì)算下列各式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)8【分析】利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合對(duì)底的換底公式即可得解.【詳解】（1）.（2）.【變式1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則．【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，則．故答案為：3【變式2】（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，，則.【答案】1【分析】先指數(shù)式對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化，再結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值.【詳解】由得，由得，.故答案為：.【變式3】（23-24高一上·山東·階段練習(xí)）（1）計(jì)算：．（2）已知，用表示．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計(jì)算即可.【詳解】（1）原式；（2）因?yàn)?，所以，則.題型06對(duì)數(shù)方程求解【典例1】（2024·內(nèi)蒙古·三模）若，則.【答案】/0.25【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化可得，利用指數(shù)冪的運(yùn)算可得結(jié)果.【詳解】由，可得，則.故答案為：.【典例2】（23-24高一上·河北保定·階段練習(xí)）從以下三題中任選兩題作答．(1)已知，求的值；(2)已知，求的值；(3)求方程的解集．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解；（2）指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案；（3）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到求出解集.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋?，所以，所以．?）由，得，則解得或20，所以方程的解集為．【變式1】（23-24高一上·江西贛州·階段練習(xí)）方程：的解是.【答案】【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即，所以，即，解得，則，或無(wú)實(shí)根.故答案為：【變式2】（23-24高一上·貴州貴陽(yáng)·期末）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）7；（2）64【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算即可求解；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故；?）因?yàn)?，所以，故，所以．題型07有附加條件的對(duì)數(shù)求值問(wèn)題【典例1】（2024·遼寧丹東·一模）若，，，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式，即可求解.【詳解】由，，，可得，所以，則.故選：B.【典例2】（多選）（2024·貴州貴陽(yáng)·一模）已知，則實(shí)數(shù)滿(mǎn)足（

）A．B． C． D．【答案】ABD【分析】由條件求出，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，基本不等式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，A正確；，B正確，，C錯(cuò)誤，由，可得，D正確，故選：ABD.【變式1】（23-24高一下·云南昆明·期中）若，則.【答案】1【分析】根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化可得，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式和運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：1.【變式2】（22-23高一下·江蘇蘇州·開(kāi)學(xué)考試）已知，則．【答案】1【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化和換底公式即可求值．【詳解】，則，，．故答案為：．題型08對(duì)數(shù)的實(shí)際運(yùn)用【典例1】（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）某海島核污水中含有多種放射性物質(zhì)，其中放射性物質(zhì)含量非常高，它可以進(jìn)入生物體內(nèi)，還可以在體內(nèi)停留，并引起基因突變，但卻難以被清除.現(xiàn)已知的質(zhì)量隨時(shí)間（年）的指數(shù)衰減規(guī)律是:（其中為的初始質(zhì)量）.則當(dāng)?shù)馁|(zhì)量衰減為最初的時(shí)，所經(jīng)過(guò)的時(shí)間約為（

）（參考數(shù)據(jù):A．300年 B．100年 C．255年 D．125年【答案】A【分析】由題意列出時(shí)間的方程，解方程即可.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為年，由題意得，，所以，所以.故選：A.【典例2】（多選）（23-24高一下·安徽銅陵·期中）放射性物質(zhì)質(zhì)量衰減一半所用的時(shí)間叫做半衰期．有一種放射性物質(zhì)，現(xiàn)在的質(zhì)量為500g，按每年的比率衰減，則（

）參考數(shù)據(jù)：，．A．10年后這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量為9年后這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量的0.1倍B．2年后，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量與現(xiàn)在相比減少了405gC．t年后，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量為gD．這種放射性物質(zhì)的半衰期約為7.5年【答案】CD【分析】依題意寫(xiě)出時(shí)間與該物質(zhì)剩余質(zhì)量的函數(shù)關(guān)系，逐一判斷ABC；令，將指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式，利用換底公式求解可判斷D.【詳解】依題意，該物質(zhì)每經(jīng)過(guò)1年，所剩質(zhì)量為上一年的，記t年后該物質(zhì)的質(zhì)量為y，則，對(duì)于A(yíng)，10年后這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量為9年后這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量的0.9倍，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，2年后，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量為（g），故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，t年后，這種放射性物質(zhì)的質(zhì)量為，故C正確；對(duì)于D，令，即，故D正確．故選：CD【典例3】（23-24高二下·廣東茂名·階段練習(xí)）國(guó)家主席習(xí)近平在十九大報(bào)告中指出，堅(jiān)持人與自然和諧共生．必須樹(shù)立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，堅(jiān)持節(jié)約資源和保護(hù)環(huán)境的基本國(guó)策．某林區(qū)一片森林2019年底的木材總量為a萬(wàn)立方米，由于環(huán)境保護(hù)，樹(shù)木的木材總量每年在上一年的基礎(chǔ)上增加15%，則至少經(jīng)過(guò)年，使得木材總盤(pán)翻兩番．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】10【分析】根據(jù)題意可得年后：木材總量為萬(wàn)立方米，即可利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】2019年底的木材總量為a萬(wàn)立方米，1年后：2020年底的木材總量為萬(wàn)立方米，2年后：2021年底的木材總量為萬(wàn)立方米，3年后：2022年底的木材總量為萬(wàn)立方米，……年后：木材總量為萬(wàn)立方米，由木材總量翻兩番即為4a，令，，．又，，故至少經(jīng)過(guò)10年，才能使得木材總量翻兩番．故答案為：10【變式1】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是大小的特殊的幾何圖形，即441個(gè)點(diǎn).根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則，一共有種不同的碼，假設(shè)我們1萬(wàn)年用掉個(gè)二維碼，那么所有二維碼大約可以用（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．萬(wàn)年 B．萬(wàn)年 C．萬(wàn)年 D．萬(wàn)年【答案】A【分析】利用取對(duì)數(shù)法進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可．【詳解】萬(wàn)年用掉個(gè)二維碼，大約能用萬(wàn)年，設(shè)，則，即萬(wàn)年．故選：A．【變式2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車(chē)，及以上認(rèn)定為醉酒駕車(chē)．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么他至少經(jīng)過(guò)幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（

）（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛，則，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算可得.【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才能駕駛，則即.由于在定義域上單調(diào)遞減，.他至少經(jīng)過(guò)4小時(shí)才能駕駛.故選：D.【變式3】（2024·北京昌平·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來(lái)近似地刻畫(huà)茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．【答案】B【分析】令，則，兩邊同時(shí)取對(duì)將代入即可得出答案.【詳解】由題可知，函數(shù)，令，則，兩邊同時(shí)取對(duì)可得：，即，即.故選：B.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（江蘇省鹽城市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末數(shù)學(xué)試題）若，，則用，表示（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解【詳解】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，故選：D.2．（2024·河南開(kāi)封·三模）已知，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化即可求得.【詳解】由可得，即，，故.故選：C.3．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算得解.【詳解】.故選：A4．（2023·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則用表示為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算.【詳解】.故選：C.5．（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正確的是（

）A． B．C