湖南省長沙市立信中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁長沙市立信中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期10月核心素養(yǎng)練習(xí)初二數(shù)學(xué)試卷時量：120分鐘總分：120分命題人：劉巧審核人：王璐一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.下面四個圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．由此即可求解．【詳解】解：選項(xiàng)，是軸對稱圖形，符合題意；選項(xiàng)，不是軸對稱圖形，不符合題意；選項(xiàng)，不是軸對稱圖形，不符合題意；選項(xiàng)，不是軸對稱圖形，不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查軸對稱圖形的識別，掌握軸對稱圖形的定義，找到對稱軸是解題的關(guān)鍵．2.如果點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，則的值是（）．A. B.1 C. D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出a、b的值，再計算的值．【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)，又∵關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴．∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的性質(zhì)，點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．3.下列計算正確的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則即可判斷.【詳解】A.，故錯誤；B不能計算，故錯誤；C.，正確；D.，故錯誤；故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運(yùn)算公式.4.國家能源局發(fā)布數(shù)據(jù)，截至3月底，全國累計發(fā)電裝機(jī)容量約29.9億千瓦時，同比增長14.5%，將數(shù)據(jù)“29.9億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法：，其中，n是整數(shù)，當(dāng)原數(shù)大于10時n是正整數(shù)，據(jù)此解答．【詳解】解：29.9億，故選：B．5.把一根長12厘米的鐵絲按下面所標(biāo)長度剪開，剪成的三段首尾順次相接可以圍成三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角形的特性：任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行依次分析即可．【詳解】解：A.，兩邊之和沒有大于第三邊，所以不能圍成三角形；B.，兩邊之和沒有大于第三邊，所以不能圍成三角形；C.，兩邊之和沒有大于第三邊；所以不能圍成三角形；D.，任意兩邊之和大于第三邊,所以能圍成三角形；故選：D．6.如圖，在中，是高，是角平分線，是中線，則下列說法中錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了三角形中線、高線及角平分線的意義，三角形一邊上的中線平分此三角形的面積等知識．根據(jù)上述知識逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵是的中線，，A說法正確，不符合題意；是高，，，B說法正確，不符合題意；是角平分線，，而與不一定相等，C說法錯誤，符合題意；，，D說法正確，不符合題意；故選：C．7.將一副含的直角三角板和的等腰直角三角板按如圖形式疊放，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)．根據(jù)三角板的度數(shù)，三角形外角的性質(zhì)，可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：由題意得，，∴，故選：A．8.如圖，已知平分，于，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，若，則長的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由OP平分∠AOB，則當(dāng)PD⊥OB時，PD的長度是最小值，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求出PD的長度.【詳解】解：根據(jù)題意，∵OP平分∠AOB，則當(dāng)PD⊥OB時，PD的長度是最小值，如圖：∴，在Rt△POD中，有，∴長的最小值是3cm；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，30°直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確找到點(diǎn)D的位置，使得PD的長度最短.9.如圖，中，以B為圓心，長為半徑畫弧，分別交于D，E兩點(diǎn)，連接．若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的理解和掌握，此題的突破點(diǎn)是利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，然后即可求得答案．

根據(jù)，利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出，然后即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，，，∵以B為圓心，長為半徑畫弧，，，，，．故選：C．10.已知：如圖，在中，，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接．以下四個結(jié)論：①；②；③；④．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．①由，利用等式性質(zhì)得到夾角相等，利用得出三角形與三角形全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到，本選項(xiàng)正確；②由三角形與三角形全等，得到一對角相等，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，本選項(xiàng)正確；③再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到垂直于，本選項(xiàng)正確；④利用周角減去兩個直角可得答案．【詳解】解：①∵，∴，即，∵在和中，，∴，∴，本選項(xiàng)正確；②∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，本選項(xiàng)正確；③∵，∴，∴，則，本選項(xiàng)正確；④∵，∴，故此選項(xiàng)正確，故選：D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11.一個正邊形的每一個內(nèi)角都等于，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了正多邊形內(nèi)角和與外角和綜合．首先求出外角度數(shù)，再用除以外角度數(shù)可得答案．【詳解】解：∵正邊形的每一個內(nèi)角都等于，∴每一個外角都等于，∴邊數(shù)；故答案為：．12.已知，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了積的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算．根據(jù)積的乘方和冪的乘方的逆運(yùn)算即可計算求值．【詳解】解：，，故答案為：．13.如圖，在和中，，，若要用“斜邊、直角邊”直接證明，則還需補(bǔ)充條件：____________．【答案】【解析】【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本題考查直角三角形全等的判定，關(guān)鍵是掌握直角三角形全等的判定方法．【詳解】證明：在和中，，∴．故答案為：．14.已知是等腰三角形，其中一個內(nèi)角為，則它底角為______°．【答案】40【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)．熟練掌握等腰三角形兩底角相等，三角形內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得角為等腰三角形的頂角，即可求解．【詳解】解：∵等腰三角形兩底角相等，且，三角形的內(nèi)角和為，∴角只能為等腰三角形的頂角，∴它的底角是．故答案為：40．15.如圖，把一張周長為的長方形紙片沿對角線折疊，則的周長為______．【答案】10【解析】【分析】本題考查等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)、折疊性質(zhì)，先根據(jù)折疊性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)等角對等邊證得，進(jìn)而可求解．【詳解】解：由長方形得，，∴，由折疊性質(zhì)得，∴，∴，∴的周長為，故答案為：10．16.如圖，等邊中，D為中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別為上的點(diǎn)，，，在上有一動點(diǎn)E，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】作點(diǎn)Q關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于E，連接，此時的值最?。钚≈担驹斀狻咳鐖D，∵是等邊三角形，∴，∵D為中點(diǎn)，∴作點(diǎn)Q關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于E，連接，此時的值最?。钚≈?，∵，，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考常考題型．三、解答題（本大題共9小題，17、18、19題各6分，20、21題各8分，22、23題9分，24、25各10分）17.計算：【答案】【解析】【分析】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，先分別進(jìn)行乘方、算術(shù)平方根、絕對值和立方根運(yùn)算，再加減運(yùn)算即可求解．【詳解】解：．18.解方程組和不等式組（1）解方程；（2）解不等式組【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】本題考查解二元一次方程組及解不等式組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等式性質(zhì)、不等式的性質(zhì)及不等式組求解規(guī)則．（1）兩式相加消去y解一元一次方程，再反代入求解即可得到答案；（2）分別解兩個不等式，根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”即可得到答案．【小問1詳解】解：，，得，∴，將代入①，得，∴，所以原方程組的解為；【小問2詳解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，∴原不等式組的解集為：．19.先化簡，再求值：其中．【答案】，4【解析】【分析】本題考查整式的化簡求值，根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方運(yùn)算法則化簡原式，然后代值求解即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．（1）畫出關(guān)于軸對稱的（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；（3）若在軸上有點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）見解析（2），（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【解析】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對稱，熟知關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵．（1）首先確定三點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)的位置，然后依次連接即可；（2）根據(jù)（1）所畫圖形寫出對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）先利用割補(bǔ)法求得，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為0,m，則，再根據(jù)三角形面積公式結(jié)合，列出方程求出a的值，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：如圖所示，即為所求；；【小問2詳解】解：由圖可知，，，故答案為：，；【小問3詳解】解：，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為0,m，則，由題意得，解得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．21.如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．（1）求證：BD＝BC；（2）若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）25°【解析】【分析】（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，則∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根據(jù)ASA可證明△ABD≌△ECB，可得結(jié)論；（2）由（1）知BD＝BC，根據(jù)等邊對等角可求得∠BDC的度數(shù)，再根據(jù)外角的性質(zhì)求得∠DCE的度數(shù)．【小問1詳解】證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠BEC＝∠A＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA），∴BD＝CB；【小問2詳解】解：∵BD＝CB，∴△BCD是等腰三角形，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠BDC＝90°﹣65°＝25°．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，證明△ABD≌△ECB是解題的關(guān)鍵．22.“文房四寶”是中國獨(dú)有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期．某中學(xué)為了落實(shí)“雙減”政策，豐富學(xué)生的課后服務(wù)活動，開設(shè)了書法社團(tuán)，計劃為學(xué)生購買甲、乙兩種型號“文房四寶”，經(jīng)過調(diào)查得知：每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元．（1）求每套甲、乙型號“文房四寶”的價格分別是多少？（2）若學(xué)校需購進(jìn)甲、乙兩種型號“文房四寶”共120套，總費(fèi)用不超過8500元，并且根據(jù)學(xué)生需求，要求購進(jìn)乙型號“文房四寶”的數(shù)量必須低于甲型號“文房四寶”數(shù)量的3倍，問哪有幾種購買方案？【答案】（1）每套甲型號“文房四寶”的價格為100元，每套乙型號“文房四寶”的價格為60元（2）有兩種購買方案，方案一：購進(jìn)甲型號“文房四寶”31套，乙型號“文房四寶”89套；方案二：購進(jìn)甲型號“文房四寶”32套，則購進(jìn)乙型號“文房四寶”88套【解析】【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，理解題意，正確列出方程或不等式是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)每套甲型號“文房四寶”的價格為a元，則每套乙型號“文房四寶”的價格為元，根據(jù)“買5套甲型號和10套乙型號共用1100元”列方程求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)甲型號“文房四寶”x套，則購進(jìn)乙型號“文房四寶”套，根據(jù)題意列不等式組求解即可．【小問1詳解】解：設(shè)每套甲型號“文房四寶”的價格為a元，則每套乙型號“文房四寶”的價格為元，根據(jù)題意，得，解得，，答：每套甲型號“文房四寶”的價格為100元，每套乙型號“文房四寶”的價格為60元；【小問2詳解】解：設(shè)購進(jìn)甲型號“文房四寶”x套，則購進(jìn)乙型號“文房四寶”套，根據(jù)題意，得，解得，又x為正整數(shù)，∴x可取31或32，∴有兩種購買方案，方案一：購進(jìn)甲型號“文房四寶”31套，乙型號“文房四寶”89套；方案二：購進(jìn)甲型號“文房四寶”32套，則購進(jìn)乙型號“文房四寶”88套．23.如圖，在等邊中，點(diǎn)、點(diǎn)分別在、上，，連接、交于點(diǎn)，作于．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30度的直角三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而證得，然后根據(jù)全等三角形的判定可得結(jié)論；（2）利用全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得到，進(jìn)而求得，再根據(jù)含30度∠的直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【小問1詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，即，在和中，，∴；【小問2詳解】證明：∵，∴，∵是的一個外角，∴，∵，∴，∴．24.為了引領(lǐng)當(dāng)代中學(xué)生邁向未來航空新紀(jì)元，2019年，在中國空軍航空開放日上，“南天門計劃”首次被提出，2023年6月央視官方宣傳片播出，它的核心是構(gòu)建一個全球性綜合戰(zhàn)略防衛(wèi)體系，以應(yīng)對未來可能的外星和硅基生命體的威脅，體現(xiàn)了中國航空工業(yè)對未來技術(shù)發(fā)展的前瞻性思維．在對“南天門計劃”的小組學(xué)習(xí)中，我們對在平面直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)，規(guī)定以下三種變換為“南天門變換”：①，如：；②，如：；③，如：；例如：．請回答下列問題：（1）利用“南天門變換”化簡：______；______；______；（2）通過以上“南天門變換”得到的坐標(biāo)叫做“南天門”坐標(biāo)，規(guī)定“南天門”坐標(biāo)可以進(jìn)行如下運(yùn)算：，；，當(dāng)時，且．①“南天門”坐標(biāo)中橫坐標(biāo)為整數(shù)，滿足：（常數(shù)為正整數(shù)），求存在的點(diǎn)的坐標(biāo)．②“南天門”坐標(biāo)在第四象限，滿足：，當(dāng)為正整數(shù)時，求的值．【答案】（1）；；（2）①點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，按順序先算括號里面的即可得出答案；（2）①先將等式化簡，得到關(guān)于x和y的等式，求出x的整數(shù)解即可；②先將等式化簡，得到關(guān)于m和n的等式，在根據(jù)點(diǎn)Q所在的象限，得到不等式組解出k的取值范圍，再根據(jù)題意，選取符合條件的正整數(shù)k，進(jìn)一步計算即可求解．【小問1詳解】解：；；；故答案為：；；；【小問2詳解】解：①∵，，，即，∴，，∴，，∵坐標(biāo)中橫坐標(biāo)為整數(shù)，常數(shù)為正整數(shù)，∴或，∴或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；②∵，，，，，∴，∴，，解得，，∵在第四象限，∴，，即，∵為正整數(shù)，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義的點(diǎn)的坐標(biāo)變化和一元一次不等式組，二元一次方程組的應(yīng)用．仔細(xì)讀題，理解題目所描述的點(diǎn)的變化規(guī)則是解題的關(guān)鍵．25.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，且，滿足，連接，，交軸于點(diǎn)．（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為