《數學（第8版 上冊）》 課件 第4章 三角函數

三角函數第4章123目錄4.1角的概念的推廣4.2任意角的三角比4.3三角比的誘導公式4.4三角函數的圖像與性質4.5正弦型函數124學習目標1.了解任意角的概念，會在直角坐標系中作任意角.2.理解弧度制是用實數表示角的一種制度，會進行角度與弧度的換算.3.會用三角比的定義和同角三角比的關系來求已知角的正弦、余弦和正切的值；會用計算器求任意角的三角比的值.4.會利用誘導公式把任意角的三角比的值化為銳角的三角比的值.5.會用五點法作正弦函數、余弦函數和正弦型函數的圖像，并能根據圖像得到它們的性質；會用描點法作正切函數的圖像，并能根據圖像得到它的性質.6.能通過三角函數的學習，認識周期現象的變化規(guī)律，并能用其解釋一些自然現象.1254.1角的概念的推廣126實例考察（1）如圖a所示，公園里的摩天輪，選定一個機械臂的起始位置作為始邊，如果機械臂從這個起始位置旋轉一周，就說它轉過了360°，那么當它轉過一周半或者轉過兩周時，它轉過了多少度呢？（2）如圖b所示，如果時鐘快了2h，應該如何校準？

校準過程中分針相對起始位置轉過了多少度？

如果時鐘慢了2h呢？1274.1.1角的概念的推廣我們規(guī)定：

按上述規(guī)定，我們就把角的概念推廣到了任意角.128例如，摩天輪的機械臂轉過一周半轉了540°，轉過兩周轉了720°；時針快2h，分針校準時旋轉-720°，慢2h，分針校準時旋轉720°.為了能準確地表示一個角，我們在畫角的時候，不僅要表示出旋轉方向，而且要把形成這個角的旋轉過程表示出來.例如，在下圖中，正角α=600°，負角β=-60°.1294.1.2象限角與終邊相同的角為了方便，我們常把角放到平面直角坐標系中進行討論.以平面直角坐標系xOy的原點O

為角的頂點，讓角的始邊與x

軸的正半軸重合，這時角的終邊落在坐標系中的第幾象限，就說這個角是第幾象限角.如果一個角的終邊落在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限.例如，在下圖中，45°角是第一象限角，-240°角是第二象限角，585°角是第三象限角，300°角是第四象限角，90°角與-180°角不是象限角.130131

在0°~360°范圍內，各象限角的范圍如圖所示.132

在同一直角坐標系中，畫出30°，390°，750°，-330°角，如圖所示.133

從上圖可以看出，390°，750°，-330°角的終邊都與30°角的終邊相同.我們把它們稱為與30°角終邊相同的角，而且，30°=30°+0×360°，390°=30°+1×360°，750°=30°+2×360°，-330°=30°+（-1）×360°.134135這樣我們可以得到與30°角終邊相同的角（含30°角在內）的一般表達式β=30°+k·360°，k∈Z.4.1.3弧度制在初中，我們把圓周分成360等份，每一份稱為1度的弧，1度的弧所對的圓心角稱為1度（1°）的角.我們還知道1°=60'，1'=60″.這種度量角的單位制稱為角度制.在數學和工程實際中還常用另一種度量角的單位制———弧度制.我們規(guī)定：136如圖所示，AB

弧的長度等于圓O

的半徑r，則AB

弧所對的圓心角為1rad的角.根據以上規(guī)定，在半徑為r的圓中，長度為l的圓弧所對的圓心角α的大小是rad，即由于圓周的長度是2πr，在弧度制下它所對的圓心角的大小是因為圓周角用角度表示為360°，所以可得出360°=2πrad.137由此可得到度與弧度的換算公式：角的弧度數用實數表示，而且，任何一個角的弧度數必定是唯一確定的實數；反過來，任何一個實數也都可以看作是一個弧度數，它對應唯一確定的一個角.因此，角（弧度制表示）的集合與實數集R之間建立了一一對應關系，如圖所示.1384.2任意角的三角比139實例考察在上一節(jié)的學習中，我們推廣了角的概念，并介紹了在直角坐標系中研究角的方法，這種方法是否也能使銳角三角比的概念推廣到任意角的三角比呢？下面我們來考察在直角坐標系中的銳角三角比.在直角三角形中

如圖所示，在直角三角形OPM

中，∠M

是直角.銳角α的對邊是a，鄰邊是b，斜邊是c，則有140在直角坐標系中

如圖所示，在銳角α的終邊上任取一點P（原點除外)，過點P作x軸的垂線，垂足為

M，這樣就得到了直角三角形OPM.設點P

的坐標為

(x，y)，則角α的對邊MP

的長是y，鄰邊OM

的長是x，斜邊OP的長是r.其中r=(r>0).由此，得到1414.2.1任意角的三角比在直角坐標系中，銳角三角比可以用其終邊上點的坐標來定義.這種方法同樣適用于定義任意角的三角比.如圖所示，在任意角α的終邊上任取一點P，設點P

的坐標為（x，y），OP=r，則142我們這樣定義三角比：如圖所示，由相似三角形的性質，可知比值（x≠0）只依賴于角α的大小，與點P

在角α的終邊上的位置無關.必須指出，當α=+kπ（k∈Z）時，點P

的橫坐標x=0，此時tanα沒有意義.除此以外，對于每一個確定的角α，三個三角比都有意義.143下面給出了一些特殊角的三角比的值，記住它們對于解決實際問題會有很大幫助.1444.2.2三角比值的符號我們知道，角α的終邊上點P

坐標值的符號決定了角α的三角比值的符號，各三角比值在各個象限的符號列表如下：145如圖所示，角α的終邊與單位圓相交于點P（x，y），r=OP=1.由三角比的定義，得146根據點P

的橫坐標x和縱坐標y的符號，可以確定當角α的終邊在不同的象限時sinα，cosα與tanα的符號，如圖所示.1474.2.3利用計算器求已知角三角比的值利用計算器求已知角三角比的值時，角的大小、正負可以是任意的；角的單位可以是度，也可以是弧度.因此，在計算三角比值之前，必須先使用

鍵，把計算器調到相應的狀態(tài).1484.2.4同角三角比的基本關系一般地，如圖所示，設P（x，y）是角α的終邊與單位圓O

的交點，則丨OP丨=1，sinα=y，cosα=x.因為丨OP丨=r=，所以sin2α+cos2α=x2+y2=1.

當α≠+kπ（k∈Z）時，由三角比的定義可得149

于是，得出同角三角比的基本關系：借助同角三角比的基本關系和三角比的定義，當我們知道一個角的某個三角比的值時，就可求出這個角的其他的三角比的值.另外，還可以利用它們來化簡同角的三角式.1504.3三角比的誘導公式151實例考察角-α與角α的終邊關于x軸對稱.如圖所示，在角α的終邊上取一點P，使OP=1，設點P

的坐標為（x，y），則點P'（x，-y）必在角-α的終邊上，那么-α的三角比和α的三角比之間有什么聯系？

三角比的誘導公式可以幫你解密.152

對于任意角α，在直角坐標系中，角α+2kπ（k∈Z），-α，π+α，π-α的終邊與角α的終邊有著特殊的關系.我們可以用幾個公式表達上述關系.這些公式稱為誘導公式.4.3.1有關α+2kπ（k∈Z）的誘導公式我們知道，在直角坐標系中，角α+2kπ（k∈Z）與角α的終邊相同.根據三角比的定義，它們的同名三角比的值相等，即

利用公式一，我們能將任意角的三角比化為[0，2π）內的角的三角比.1534.3.2有關-α

的誘導公式在角α的終邊上取一點P，使OP=1，設點P的坐標為（x，y），則點P'（x，-y）必在角-α

的終邊上，且OP'=1.因為r=1，所以154由此，得到有關-α的誘導公式：利用公式二，我們能將任意負角的三角比轉化為正角的三角比.由公式一和公式二得：sin（2π-α）=sin（-α+2π）=sin（-α）=-sinα，cos（2π-α）=cos（-α+2π）=cos（-α）=cosα，tan（2π-α）=tan（-α+2π）=tan（-α）=-tanα.155

由此，得到2π-α的誘導公式：1564.3.3有關π±α

的誘導公式如圖所示，把任意角α的終邊按逆時針方向旋轉π弧度，就得到了角π+α的終邊.從下圖中可以看出，角π+α的終邊與角α的終邊關于原點對稱.在角α的終邊上取一點P，使OP=1，設點P

的坐標為（x，y），則點P'（-x，-y）必在角π+α的終邊上，且OP'=1.所以157由此，得到有關π+α的誘導公式：由公式四和公式二得sin（π-α）=sin[π+（-α）]=-sin（-α）=sinα，cos（π-α）=cos[π+（-α）]=-cos（-α）=-cosα，tan（π-α）=tan[π+（-α）]=tan（-α）=-tanα.158由此，得到有關π-α的誘導公式：159利用三角比的誘導公式將任意角的三角比化為銳角三角比，一般可按下面步驟進行：1604.4三角函數的圖像與性質1614.4.1正弦函數y=sinx

的圖像與性質正弦函數y=sinx

的圖像先用描點法畫出y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖像.列表：用計算器計算表中的正弦函數值（精確到0.01），并填入表中.162描點：以表中對應x，y

值為坐標，在坐標系中描點.連線：將所描各點順次用光滑曲線連接起來，即完成所畫的圖像.如上圖b所示為用計算機軟件繪制的正弦函數在區(qū)間[0，2π]上的圖像.請照此核對你畫的圖像.163正弦函數的定義域是R，因此我們需要將y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像向兩邊擴展.現在，我們再利用“描點法”在同一坐標系中繼續(xù)畫出正弦函數

y=sinx

在區(qū)間[-2π，0]上的圖像（即下圖中y軸左側的曲線）.164從上圖可以看到，正弦函數在區(qū)間[-2π，0]和[0，2π]上的圖像形狀完全相同，只是位置不同.因此，y=sinx

在區(qū)間[-2π，0]上的圖像，可以看作是把y=sinx在區(qū)間[0，2π]上的圖像向左平移2π個單位得到的.事實上，由于終邊相同的角的正弦函數值相等，即sin（x+2kπ）=sinx，k∈Z.正弦函數y=sinx

在區(qū)間…，[-6π，-4π]，[-4π，-2π]，[-2π，0]，[2π，4π]，[4π，6π]，…上的圖像，都與它在區(qū)間[0，2π]上的圖像形狀完全一樣，只是位置不同.我們把正弦函數y=sinx

在區(qū)間[0，2π]上的圖像向左、右分別平移2π，4π，6π，…個單位，就能得到正弦函數

y=sinx（x∈R）的圖像.165我們把正弦函數y=sinx（x∈R）的圖像稱為正弦曲線.由y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像可以看出，下面五個點在確定圖像形狀時起著關鍵作用：這五個點描出后，正弦函數y=sinx（x∈[0，2π]）的圖像形狀就基本上確定了.今后，當對精確度要求不高時，我們只需描出這五個關鍵點，用光滑的曲線順次連接它們就可得到正弦函數在[0，2π]上的圖像.像這樣畫正弦函數圖像的方法稱為五點法作圖.166正弦函數y=sinx

的性質（1）定義域：正弦函數y=sinx的定義域是R.（2）值域：正弦函數y=sinx的值域是[-1，1].通過分析正弦函數的圖像可知：當x=+2kπ（k∈Z）時，正弦函數y=sinx

取得最大值1，即

ymax=1；當

x=+2kπ（k∈Z）時，正弦函數y=sinx取得最小值-1，即ymax=-1.（3）周期性：一般地，對于函數y=f（x），如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f（x+T）=f（x）.那么，函數f（x）就稱為周期函數.非零常數T稱為這個函數的周期.167我們知道，對于任意實數x都有sin（2kπ+x）=sinx（k∈Z），所以正弦函數y=sinx

是一個周期函數，并且…，-6π，-4π，-2π，2π，4π，6π，…都是它的周期.我們把所有周期中最小的正數2π稱為正弦函數y=sinx

的最小正周期.今后，如果不特別說明，函數的周期均指最小正周期.因此，正弦函數y=sinx是周期函數，周期T=2π.函數的周期性在圖像上的反映是同一形狀的圖形重復出現.因此，周期函數一般只要畫一個周期的圖像就可以了.（4）奇偶性：因為正弦函數y=sinx的圖像關于原點對稱，所以正弦函數y=sinx是奇函數.168（5）單調性：觀察正弦曲線在一個周期

上的圖像：當x由

增大到

時，曲線逐漸上升，函數y=sinx的值由-1增大到1；當x

由

增大到

時，曲線逐漸下降，函數y=sinx的值由1減小到-1.因此，正弦函數y=sinx在區(qū)間

上單調遞增，在區(qū)間

上單調遞減.（6）與x軸的交點：當x=kπ（k∈Z）時，y=sinx=0.因此，正弦函數與x軸的交點的橫坐標是x=kπ（k∈Z）.1694.4.2余弦函數y=cosx

的圖像與性質余弦函數y=cosx

的圖像

先用描點法畫出y=cosx在區(qū)間[0，2π]上的圖像.列表：用計算器計算表中的余弦函數值，并填入表中（精確到0.01）.描點：以表中對應x，y

值為坐標，在坐標系中描點.170連線：將所描各點順次用光滑曲線連接起來，即完成所畫圖像.如上圖b所示為用計算機軟件繪制的余弦函數在區(qū)間[0，2π]上的圖像.請照此核對你畫的圖像.171因為余弦函數y=cosx的定義域是R，而且終邊相同的角的余弦函數值相等，即cos（2kπ+x）=cosx，k∈Z.所以，與畫正弦函數的圖像類似，我們同樣可以把余弦函數y=cosx在區(qū)間[0，2π]上的圖像向左、右分別平移2π，4π，6π，…個單位，從而得到余弦函數y=cosx（x∈R）的圖像.172余弦函數y=cosx（x∈R）的圖像稱為余弦曲線.由y=cosx（x∈[0，2π]）的圖像可以看出，下面五個點在確定圖像形狀時起著關鍵作用：因此，y=cosx（x∈[0，2π]）的圖像也能用五點法畫出.173余弦函數y=cosx

的性質

（1）定義域：余弦函數y=cosx的定義域是R.（2）值域：余弦函數y=cosx的值域是[-1，1].同時，通過分析余弦函數的圖像可知：當x=2kπ（k∈Z）時，余弦函數y=cosx

取得最大值1，即ymax=1；當x=（2k+1）π（k∈Z）時，余弦函數y=cosx取得最小值-1，即ymin=-1.（3）周期性：從余弦曲線可以看出，余弦函數具有周期性，因此，余弦函數y=cosx是周期函數，周期T=2π.（4）奇偶性：余弦函數y=cosx（x∈R）的圖像關于y軸對稱，余弦函數y=cosx是偶函數.174（5）單調性：觀察余弦曲線在一個周期[0，2π]上的圖像，當x由0增大到π時，曲線逐漸下降，函數y=cosx的值由1減小到-1；當x由π增大到2π時，曲線逐漸上升，函數y=cosx的值由-1增大到1.因此，余弦函數y=cosx在區(qū)間[0，π]上單調遞減，在區(qū)間[π，2π]上單調遞增.（6）與x軸的交點：當x=kπ+（k∈Z）時，y=cosx=0，因此，余弦函數與x軸交點的橫坐標是1754.4.3正切函數y=tanx

的圖像與性質正切函數y=tanx

的圖像用描點法畫出正切函數

y=tanx

在區(qū)間

上的圖像.列表：用計算器計算表中的正切函數值（精確到0.01），并填入表中.176

描點：以表中對應x，y值為坐標，在坐標系中描點.177連線：將所描各點順次用光滑曲線連接起來，即完成所畫的圖像.如上圖b所示為用計算機軟件繪制的正切函數在區(qū)間

上的圖像.請照此核對你畫的圖像.

觀察上圖，我們發(fā)現正切函數

y=tanx

在區(qū)間

上的圖像和在區(qū)間

上的圖像完全相同，只是位置不同.因此，y=tanx在區(qū)間

上的圖像，可以看作是把y=tanx在區(qū)間

上的圖像向右平移π個單位得到的.178事實上，由于tan（kπ+x）=tanx（x∈Z），因此，我們只要把正切函數y=tanx在x∈上的圖像向左、右分別平移π，2π，3π，…個單位，就能得到正切函數的圖像，即正切曲線，如圖所示.179正切函數y=tanx

的性質

（1）定義域：正切函數y=tanx的定義域是（2）值域：由正切曲線可知，函數y=tanx的值域為