重慶市2023-2024學年高二數(shù)學上學期10月月考試題含解析

Page202023-2024學年高二上期10月月考數(shù)學試卷時間：120分鐘總分：150分一、單選題（每小題5分，共40分）1.若事件A與事件B互斥，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，則（）．A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式計算直接得出結果.【詳解】事件A與事件B互斥，則.故選：B2.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列如下：，經計算，該組數(shù)據(jù)中位數(shù)是16，若分位數(shù)是20，則（）A.33 B.34 C.35 D.36【答案】D【解析】【分析】利用中位數(shù)和百分位數(shù)的定義得到，，求出答案.【詳解】一共有9個數(shù)，故從小到大的第5個數(shù)為中位數(shù)，即，，故選取第7個數(shù)為分位數(shù)，故，所以.故選：D3.如圖，在空間四邊形中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算可得結果.【詳解】因為，即為的中點，所以，因為，所以，.故選：C4.某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中靶”互為對立的是（）A.至多一次中靶 B.兩次都中靶 C.只有一次中靶 D.兩次都沒中靶【答案】D【解析】【分析】利用對立事件的定義判斷可得出結論.【詳解】對于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、兩次都不中靶，“至少一次中靶”包含：一次中靶、兩次都中靶，A選項不滿足條件；對于B，“兩次都中靶”與“至少一次中靶”是包含關系，B選項不滿足條件；對于C，“只有一次中靶”與“至少一次中靶”是包含關系，C選項不滿足條件；對于D，“兩次都沒有中靶”與“至少一次中靶”對立，D選項滿足條件.故選：D.5.已知，，，若，，三向量共面，則實數(shù)等于（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，存在實數(shù)值得，列出方程組，即可求解.【詳解】由向量，，，因為，，三向量共面，則存在實數(shù)值得，即，可得，解得，則.故選：A.6.如圖，在四棱錐中，底面，，底面為邊長為2的正方形，E為的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點為，連接，，確定即為異面直線與所成的角，確定為等邊三角形，得到答案.【詳解】如圖所示：取中點為，連接，，在中，分別為中點，故，即為異面直線與所成的角（或補角），在中，，，，即為等邊三角形，，.故選：B.7.已知，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量在向量上的投影，再求解向量在向量上的投影向量即可．【詳解】因為，0，，，2，，則向量在向量上的投影為，所以向量在向量上的投影向量是．故選：．8.如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點P在線段DO上，且，若平面PBC，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正棱錐的結構特征構建空間直角坐標系，根據(jù)已知條件確定相關點坐標并求出面PBC的法向量，結合線面平行及向量共線定理求參數(shù)即可.【詳解】由題設，△為邊長為的等邊三角形，且，等邊△的高為，在正棱錐中，以原點，平行為x軸，垂直為y軸，為z軸，如上圖示，則，且，所以，，，若為面PBC的法向量，則，令，則，又平面PBC，則且k為實數(shù)，，故.故選：D二、多選題（每小題全選對得5分，有錯誤選項得0分，部分選對得2分，滿分20分.）9.從10個同類產品中（其中8個正品，2個次品）任意抽取3個．下列事件是必然事件的是（）A.至少有一個是正品 B.至多有兩個次品C.恰有一個是正品 D.至多有三個正品【答案】ABD【解析】【分析】把從10個同類產品中（其中8個正品，2個次品）任意抽取3個的三種情況一一列舉出來，即可判斷.【詳解】從10個同類產品中任取3個共有3種情況，分別為3個正品、2個正品1個次品、1個正品2個次品，所以從10個同類產品中任意抽取3個，那么至少有一個正品，至多有兩個次品，至多有三個正品.故選：ABD.10.已知是兩個不同的平面，是兩條不同的直線，下列說法一定正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關系判斷即可.【詳解】對于A：若，，由面面平行的性質定理可知，故A正確；對于B：若，，則或或或與相交（不垂直），故B錯誤；對于C：若，，則或，故C錯誤；對于D：若，則存在直線，使得，又，，所以，所以，故D正確；故選：AD11.已知事件、發(fā)生的概率分別為，，則（）A.若，則事件與相互獨立B.若與相互獨立，則C.若與互斥，則D.若發(fā)生時一定發(fā)生，則【答案】AB【解析】【分析】利用獨立事件的定義可判斷A選項；利用并事件的概率公式可判斷B選項；利用互斥事件的概率公式可判斷C選項；分析可知，可判斷出D選項.【詳解】對于A，因為，，則，因為，所以，事件與相互獨立，A對；對于B，若與相互獨立，則，所以，，B對；對于C，若與互斥，則，C錯；對于D，若發(fā)生時一定發(fā)生，則，則，D錯.故選：AB.12.在空間直角坐標系中，已知向量（），點，點.（1）若直線經過點，且以為方向向量，是直線上的任意一點且其坐標滿足，稱為直線的方程；（2）若平面經過點，且以為法向量，是平面內的任意一點且其坐標滿足，稱為平面的方程.設直線的方程為，平面的方程為，，則（）A.B.直線與平面所成角的余弦值為C.到平面的距離為D.向量是平面內的任意一個向量，則存在唯一的有序實數(shù)對，使得，其中.【答案】ACD【解析】【分析】點的坐標分別代入直線方程、平面方程可判斷A；求出平面的一個法向量、直線的方向向量，利用向量的夾角公式可判斷B；利用點到平面的向量求法可判斷C；由空間向量基本定理可判斷D.【詳解】對于A，因為，，所以，故A正確；對于B，平面的一個法向量為，直線的方向向量為，由，得直線與平面所成角的余弦值為，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以到平面的距離為，故C正確；對于D，因為，所以，又，，則，即在平面內，由空間向量基本定理可得存在唯一的有序實數(shù)對，使得，故D正確.故選：ACD.三、填空題（滿分20分，每題5分）13.用分層抽樣的方法從某校高中學生中抽取一個容量為45的樣本，其中高二年級有學生600人，抽取了15人.則該校高中學生總數(shù)是________人.【答案】1800【解析】【分析】利用比例求出學生總數(shù).【詳解】，故該校高中學生總數(shù)是1800人.故答案：180014.在一個由三個元件構成的系統(tǒng)中，已知元件正常工作的概率分別是，，，且三個元件正常工作與否相互獨立，則這個系統(tǒng)正常工作的概率為______．【答案】【解析】【分析】先求出都不工作的概率，可得至少有一個能正常工作的概率，繼而求得這個系統(tǒng)正常工作的概率.【詳解】由題意可知都不工作概率為，所以至少有一個能正常工作的概率為，故這個系統(tǒng)正常工作的概率為，故答案為：15.如圖，平行六面體中，，，則線段的長度是______.【答案】【解析】【分析】由，轉化為向量的模長，然后結合空間向量數(shù)量積運算，即可求解.【詳解】由題知，所以，所以，即，所以線段的長度是.故答案為：16.如圖，已知正方體的棱長為4，，，分別是棱，，的中點，設是該正方體表面上的一點，若，則點的軌跡圍成圖形的面積是______；的最大值為______．【答案】①.②.12【解析】【分析】如圖，分別取，，的中點，，，連接，可證明六邊形為正六邊形，從而可求其面積，利用向量數(shù)量積的幾何意義可求的最大值.【詳解】∵，∴點在平面上，如圖，分別取，，的中點，，，連接，因為為中點，故，又由正方體可得，，故，故四邊形為平行四邊形，故，故，故四點共面，同理可證四點共面，故五點共面，同理可證四點共面，故六點共面，由正方體的對稱性可得六邊形為正六邊形.故點的軌跡是正六邊形，因為正方體的棱長為4，所以正六邊形的邊長為，所以點的軌跡圍成圖形的面積是．如圖，，∴的最大值為12．故答案為：，12．四、解答題（滿分70分，17題滿分10分，18～22題每題滿分12分）17.目前用外賣網點餐的人越來越多，現(xiàn)在對大眾等餐所需時間情況進行隨機調查，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖.其中等餐所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）利用頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)、中位數(shù).【答案】（1）；（2）眾數(shù)為，中位數(shù)為；【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質得到方程即可求出．（2）眾數(shù)即直方圖中最高一組的組中值，首先判斷中位數(shù)位于，再設中位數(shù)為，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：（1）由頻率分布直方圖得：，解得．（2）由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為因為，所以中位數(shù)位于，設中位數(shù)為，則，解得，故中位數(shù)為；18.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，分別是的中點，平面，且.（1）證明：平面；（2）證明：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系，運用空間向量法解決線面平行即可.（2）運用空間向量法解決線線垂直即可.【小問1詳解】由題知，底面是矩形，分別是的中點，平面，且.所以,所以建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系，所以，所以，因為易知為平面的一個法向量，所以，所以，因為平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）得，，所以，所以，所以.19.已知甲、乙兩個盒子都裝有4個外形完全相同的小球．甲盒中是3個黑色小球（記為）和1個紅色小球（記為），乙盒中是2個黑色小球（記為）和2個紅色小球（記為）．（1）若從甲、乙兩個盒子中各取1個小球，共有多少種不同的結果？請列出所有的結果；（2）若從甲、乙兩個盒子中各取1個小球，求取出的2個小球中至少有一個是黑色的概率．【答案】（1）種，答案見解析（2）【解析】【分析】（1）用列舉法列出所有可能結果；（2）利用古典概型的概率公式計算可得.【小問1詳解】共16種不同結果，總體記為，則,．【小問2詳解】記“取出的2個小球中至少有一個是黑色”，則,，故．20.在△中，內角所對的邊分別是，已知，，.（1）求的值；（2）求△的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；（2）先用同角三角函數(shù)關系式求出，再用三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】由余弦定理可得，即，解得，【小問2詳解】∵，且，∴,由得，,∴.故△的面積為.21.在長方體中，，，與交于點，點為中點.（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由長方體的結構特征，可證，，得平面；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求兩個平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：在長方體中，因為平面，平面，所以，因為為正方形，所以，因為，平面所以平面【小問2詳解】以為坐標原點，、、分別為、、軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，；，，，設平面的法向量為，則，令，則，即，設平面的法向量為，則，令，則，即，，所以，平面與平面的夾角的余弦值為.22.在①，②，③，這三個條件中選擇一個，補充在下面問題中，并給出解答.如圖，在五面體中，已知__________，，，且，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面夾角的正弦值；（3）線段上是否存在一點F，使得平面與平面夾角的余弦值等于，若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）若選①，要證明面面垂直，轉化為證明線面垂直，即證明平面；若選②，根據(jù)線面垂直的判斷定理，并結合面面垂直的判斷定理，即可證明；若選③，利用平行和垂直關系，轉化為證明，即可證明；（2）根據(jù)（1）的結果，建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用向量法求線面角的正弦值；（3）首先假設在線段上存在點，滿足條件，根據(jù)平面和平面的法向量夾角的余弦值，即可求解.【小問1詳解】若選①，取中點G，中點O，連接，,，，四邊形為平行四邊形，，，又，，，，又，，又，，，平面，平面，平面，平面平面.若選②，，，，，平面，平面，平面，平面平面.若選③，取中點O，中點H，連接，，，，，又，